第06讲 等式与不等式的性质（知识清单+8题型讲解练+强化训练）（讲义）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版2020必修第一册）

本讲义聚焦函数的奇偶性这一核心知识点，系统构建从定义理解到性质应用的完整知识链，前后衔接自然：先通过定义法、图象法和性质法层层递进地建立概念认知，再延伸至奇偶函数在单调性、最值及对称性中的应用，最后融合参数求解、不等式求解与抽象函数问题，形成由浅入深的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养。例如题型04抽象函数奇偶性判断中，引导学生从特殊到一般进行逻辑推理，强化推理意识；例题7巧妙利用奇函数对称性确定点坐标，展现几何直观与数学表达的统一；课后强化训练精选各地期末真题，帮助学生在真实情境中迁移运用，既提升课堂效率又助力课后查漏补缺，实现教学闭环。

第06讲 等式与不等式的性质 知识清单 知识点01：等式的性质与方程的解集 1 知识点02：一元二次方程的解集及根与系数的关系 2 知识点03：不等式的性质 3 题型归纳 题型01 等式的性质与方程的解集 4 题型02 解不含参数的一元一次不等式 5 题型03 解含参数的一元一次不等式 5 题型04 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 6 题型05 由不等式的性质比较数（式）大小 8 题型06 作差法比较代数式的大小 8 题型07 由不等式的性质证明不等式 10 题型08 利用不等式求取值范围 11 强化训练 11 知识点01.等式的性质与方程的解集 1.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么； 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 3.方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 知识点02 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 2.一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 【注意】应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①；②； ③； 知识点03 不等式的性质 1.作差比较法 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 2.不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么； （5）性质 设、、均为实数，如果，则；(不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么；(同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 3.不等式性质（定理） 对任意的实数a和b，总有a2＋b2≥2ab，且等号当且仅当a＝b时成立； 题型01 等式的性质与方程的解集 【例1】（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【变式3】（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集. 题型02 解不含参数的一元一次不等式 【例2】（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 【变式1】已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的 （结果用集合或区间表示）. 【变式2】（2023高一·上海·专题练习）解下列不等式组： (1) (2) 题型03 解含参数的一元一次不等式 【例3】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【变式1】不等式的解为 ． 【变式2】关于的不等式，当时的解集为 . 【变式3】（2023高一·上海·专题练习）设为实数，求一元一次不等式的解集. 题型04 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【例4-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知方程的两个根为和，则 . 【例4-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【变式3】（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 【变式4】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【变式5】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，一个二次项系数为的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足. (1)直接写出该一元二次方程； (2)若，求的取值范围； (3)若为正整数，记集合，若，且中元素个数不超过，求正整数的取值范围. 题型05 由不等式的性质比较数（式）大小 【例5】（24-25高一下·上海·阶段练习）如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知、、，则下列推理中正确的是（   ） A． B． C．， D．， 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）下列结论成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型06 作差法比较代数式的大小 【例6】（2025高一上·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 题型07 由不等式的性质证明不等式 【例7】（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 【变式1】已知，证明：若，则或. 【变式2】（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：，其中为正整数. 【变式3】（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 题型08 利用不等式求取值范围 【例8】（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 【变式1】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的一元二次方程中m为实数，则（    ）． A．没有实根 B．有两相等实根 C．有两不相等实根 D．可能有实根 3．（24-25高一上·上海·阶段练习），则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设是方程的两个实数根，则 . 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，，则的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 ． 8．（24-25高一上·上海·开学考试）若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为 ． 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，且，，则的取值范围是 . 10．（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 . 11．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 12．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ． 三、解答题 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，图片中为初中化学实验试题. 已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入 氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了. (1)用数学中的不等式解释这一现象； (2)证明（1）中的不等式. 14．（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）已知、，比较与的大小； （2）已知实数、满足，证明：、至少有一个不小于. 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）对定义一种新的运算，规定：（其中，），已知． (1)求的值； (2)若，解不等式组． 17．（24-25高一上·上海浦东新·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； (1)写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)设点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“下位点”，又是点的上位点，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值，并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等式与不等式的性质 知识清单 知识点01：等式的性质与方程的解集 1 知识点02：一元二次方程的解集及根与系数的关系 2 知识点03：不等式的性质 3 题型归纳 题型01 等式的性质与方程的解集 4 题型02 解不含参数的一元一次不等式 6 题型03 解含参数的一元一次不等式 9 题型04 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 11 题型05 由不等式的性质比较数（式）大小 16 题型06 作差法比较代数式的大小 19 题型07 由不等式的性质证明不等式 22 题型08 利用不等式求取值范围 24 强化训练 26 知识点01.等式的性质与方程的解集 1.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么； 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 3.方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 知识点02 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 2.一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 【注意】应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①；②； ③； 知识点03 不等式的性质 1.作差比较法 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 2.不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么； （5）性质 设、、均为实数，如果，则；(不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么；(同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 3.不等式性质（定理） 对任意的实数a和b，总有a2＋b2≥2ab，且等号当且仅当a＝b时成立； 题型01 等式的性质与方程的解集 【例1】（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，求解即可． 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得 综上，方程的解集为 故选：D 【变式1】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【知识点】数与式、等式的性质与方程的解集 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【答案】且 【知识点】等式的性质与方程的解集、方程组的解集 【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可. 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 【变式3】（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集. 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】方程可化为，讨论与即可求解. 【详解】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 题型02 解不含参数的一元一次不等式 【例2】（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】由已知条件可得且，分、两种情况解不等式，即可得出结论. 【详解】因为关于的方程解集为，则，即，且， 由得， 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为； 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为. 故原命题为假命题. 故答案为：假. 【变式1】已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的 （结果用集合或区间表示）. 【答案】 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】先由求出的值，再由不等式组有且只有一个实数解，可得或，从而可求出结果 【详解】由，得， ， 得或， 因为不等式组有且只有一个实数解， 所以或或 解得或或 所以实数的取值范围为， 故答案为： 【变式2】（2023高一·上海·专题练习）解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1)∅ (2) 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1）解不等式组可得答案； （2）解不等式组可得答案. 【详解】（1）解不等式①，得，解不等式②，得， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为； （2）解不等式①，得，解不等式②，得， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    由图可知不等式组的解集为. 题型03 解含参数的一元一次不等式 【例3】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解含参数的一元一次不等式 【分析】根据题意，结合不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，此时，但不满足，即充分性不成立； 反之：当时， 此时，不等式的解集为，的解集为， 所以，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也必要条件. 故选：D. 【变式1】不等式的解为 ． 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，所以原不等式的解为． 故答案为：． 【变式2】关于的不等式，当时的解集为 . 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】利用不等式的性质直接求解即可 【详解】因为，，所以， 所以不等式的解集为， 故答案为： 【变式3】（2023高一·上海·专题练习）设为实数，求一元一次不等式的解集. 【答案】答案见解析 【知识点】利用不等式求值或取值范围、解含参数的一元一次不等式 【分析】分析的不同取值即可求出一元一次不等式的解集. 【详解】由题意， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 题型04 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【例4-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知方程的两个根为和，则 . 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用韦达定理，结合配方法来求解即可. 【详解】因的两个根为， 则， 所以. 故答案为： 【例4-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 【答案】(1) (2)2， 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可. 【详解】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得， 所以， 所以， 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是方程的两个实数根，由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【答案】3 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根为、， 由韦达定理得，，， 所以. 故答案为：3. 【变式3】（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 【答案】或. 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】分和两种情况讨论，当时，可得是方程的两个根，由根与系数的关系，可得的值，整理所求的代数式，可得其代数式的值. 【详解】解：当时，为方程的两个不等实根， 可得， 所以 ， 当时，则. 故答案为：或. 【变式4】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由韦达定理求解． 【详解】（1）由题意，解得或， 的范围是． （2）由题意，， 所以，解得， 又，所以，即． 【变式5】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，一个二次项系数为的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足. (1)直接写出该一元二次方程； (2)若，求的取值范围； (3)若为正整数，记集合，若，且中元素个数不超过，求正整数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）求出，利用根与系数的关系可写出该一元二次方程； （2）分析可知，以及已知条件和，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）根据题意可得出，再由可得出的取值范围，确定正整数的可能取值，然后结合题意逐一检验即可. 【详解】（1）解：因为，则， 所以，， 所以，这个一元二次方程为，即， 即. （2）解：因为 ，可得， 因为，则，可得，则， 对于方程，，可得， 所以，，解得或， 因此，实数的取值范围是或. （3）解：由，可得， 因为集合，，且中元素个数不超过， 则，即， 可得，所以，， 所以，正整数的可能取值集合为， 当时，方程为，解得，，则，合乎题意； 当时，方程为，解得，， 此时，，合乎题意. 综上所述，正整数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题的解题关键在于根据中的元素不超过，分析出，在求出的可能取值后，逐一检验即可. 题型05 由不等式的性质比较数（式）大小 【例5】（24-25高一下·上海·阶段练习）如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，则，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】特殊值验证A，B，C；不等式性质验证D. 【详解】对于A，若时，不成立，故A错误； 对于B，若时，不成立，故B错误； 对于C，若时，无意义，不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，所以成立，故D正确. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知、、，则下列推理中正确的是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的基本性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，由，又， 所以，即，故C正确； 对于D，当时，满足，， 而，故D错误. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）下列结论成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】由不等式的性质及特例逐个判断即可. 【详解】对于A，当时，不成立； 对于B，取，满足，显然不成立； 对于C，取，满足，显然不成立； 对于D，由，可得，所以成立. 故选：D 题型06 作差法比较代数式的大小 【例6】（2025高一上·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】令，对进行化简后作差求解. 【详解】令，则，， ， 所以. 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据作差比较法即可得解. 【详解】因为 ，当时等号成立， 所以. 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，当且仅当时取等. 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用立方差公式和作差法即可证明. 利用作差法直接化简即可证明. 【详解】（1）证明： 因为 所以， 所以， 所以当时，. （2）证明： 当且仅当时取等. 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)4045 【知识点】作差法比较代数式的大小、集合新定义 【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可； （2）根据新定义得到，再利用不等式的性质利用作差法判断即可； （3）由题意得到，，进而得到，从而求出最小值. 【详解】（1）由于，不满足"下位序列"的概念，所以不是“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. （3）由是的“下位序列”，得， 即，则， 由是的“下位序列”，得， 即，则， 所以， 则，又对集合内的每个均成立， 则， 所以正整数的最小值为4045. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“下位序列”，解题时要充分利用这个定义构造不等关系，结合不等式的性质求解. 题型07 由不等式的性质证明不等式 【例7】（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】利用不等式的性质和绝对值的意义，即可求解. 【详解】因为，两边平方得到， 整理得到，所以等号当且仅当时成立， 故选：D. 【变式1】已知，证明：若，则或. 【答案】证明见解析 【知识点】由不等式的性质证明不等式、反证法的概念辨析 【分析】应用反证法证明即可. 【详解】假设且，则，与已知矛盾， 所以假设不成立，故或. 【变式2】（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：，其中为正整数. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）首先由不等式的同向同正可乘得到，，利用不等式的传递性，得. （2）上文下用，反复利用（1）的结论即可证明不等式. 【详解】（1），，由不等式的传递性，得. （2）将（1）结论中的换成，换成，就得到 结合，再次利用（1）的结论，可得，反复运用（1）的结论，最终就得到. 【变式3】（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 题型08 利用不等式求取值范围 【例8】（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用不等式求取值范围 【分析】根据不等式性质直接求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 【答案】 【知识点】利用不等式求取值范围 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围. 【详解】由，，得. 所以的范围是. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用不等式求取值范围 【分析】根据不等式的性质得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 【答案】 【知识点】利用不等式求取值范围 【分析】设，，可得，化简得，从而可得，再结合，从而得，从而可求解. 【详解】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【答案】D 【分析】分类讨论的值，再分别判断线性方程组解的情况即可. 【详解】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的一元二次方程中m为实数，则（    ）． A．没有实根 B．有两相等实根 C．有两不相等实根 D．可能有实根 【答案】C 【分析】利用根的判别式进行判断即可． 【详解】 ， 故方程有两不相等实根 故选：C． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习），则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法结合不等式性质对选项逐一分析即可. 【详解】， ，所以， 所以，即，所以，故正确； ，所以， 所以，即， 所以，故正确； ，， 所以，所以，故错误； ，所以，故正确. 故选：. 4．（24-25高一上·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①，作差法比较大小；②，先得到，，作差法得到，故，即；③，由不等式性质得到，，得到③正确；④，由同号可加性得到. 【详解】对于①，因为，所以，故， 所以，①正确； 对于②，因为，所以，， 由得，故，即，②错误； 对于③，两边同乘以得， 两边同乘以得，故，③正确； 对于④，由②知，，又，由不等式性质得，④正确. 故选：C 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设是方程的两个实数根，则 . 【答案】 【分析】根据韦达定理，结合已知条件，转化求解表达式的值即可. 【详解】因为是方程的两个实数根， 所以， 即，且， 所以 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可得出结果. 【详解】∵ ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质可求解. 【详解】由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·开学考试）若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据韦达定理求解． 【详解】设已知方程两根为，则， 所以，解得或， 又，即或，所以， 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，且，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用同向不等式相加求的取值范围. 【详解】由，可得，又， 则有，即的取值范围是. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 . 【答案】1 【分析】由韦达定理可得，结合的关系建立关于a的方程，解之即可求解. 【详解】由韦达定理，得， 有，得， 又，所以，即， 所以，解得. 故答案为：1 11．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【答案】3 【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解 【详解】因为方程的两个根为，， 所以， 则． 故答案为：3 12．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】利用特殊值、不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①若，则，所以①正确. ②若，如， 则，所以②错误. ③正数若，则， ，所以，所以③正确. 故答案为：①③ 三、解答题 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，图片中为初中化学实验试题. 已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入 氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了. (1)用数学中的不等式解释这一现象； (2)证明（1）中的不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 利用浓度的变大来解释变咸了； 利用作差法来证明不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以盐水中含有氯化钠的浓度变大了，则盐水变得更咸了. （2）由， 因为，所以， 即. 14．（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差比较即可判断； （2）利用反证法即可证明． 【详解】（1）因为， 则， 所以； （2）假设，，，都不小于1，即，，，， 则，，，， 所以，与已知矛盾， 故，，，中至少有一个小于1． 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）已知、，比较与的大小； （2）已知实数、满足，证明：、至少有一个不小于. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法可得出与的大小关系； （2）利用反证法，假设、都小于，利用不等式的基本性质推出矛盾，即可证得原结论成立. 【详解】（1） ， 因为，，则，， 当时，，此时，； 当时，，此时，. 综上所述，当时，；当时，. （2）证明：假设、都小于，即且，由不等式的基本性质可得， 这与题设条件矛盾，假设不成立，故、至少有一个不小于. 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）对定义一种新的运算，规定：（其中，），已知． (1)求的值； (2)若，解不等式组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可； （2）因为，先判断出，，根据题意列出不等式组，求解即可 【详解】（1）由题意知，解得； （2）由（1）知， 因为，所以，即；，即； 所以由得， 解得，即， 故方程组的解为 【点睛】关键点点睛：准确理解本题新定义“对定义一种新的运算，规定：（其中，）”是解决本题的关键，第（2）问需先判断出，，再根据定义解不等式组. 17．（24-25高一上·上海浦东新·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； (1)写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)设点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“下位点”，又是点的上位点，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值，并说明理由. 【答案】(1)“下位点”； “上位点” (2)是，理由见解析 (3)4049，理由见解析 【知识点】作差法比较代数式的大小、利用不等式求值或取值范围、集合新定义 【分析】（1）根据上位点和下位点的定义，找出满足条件的坐标即可. （2）要判断点与点和点的上下位关系，需要根据定义分别计算相应的比值并比较大小. （3）根据条件找到满足要求的最小正整数，需要通过上下位关系列出不等式求解. 【详解】（1）∵, ∴的一个“下位点”可以是；的一个“上位点”可以是. （2）结论正确：点既是点的“下位点”，又是点的上位 证明：∵点是点的“上位点”， ∴，且，，，均大于0，∴ ∴，即， ∴点是点的“下位点”； 同理，，即， ∴点是点的“上位点”. （3）由题意对任意，都成立 即总存在正整数，使不等式成立 则对任意，都成立 对任意，为正整数恒成立 所以正整数的最小值为4049. 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $