第11章 整式的乘除 章节（11知识点回顾+13题型巩固）讲义-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册满分全攻略备考系列

该初中数学讲义围绕“整式的乘除”单元构建了清晰的知识体系，通过表格梳理11个核心知识点，用思维导图呈现幂运算、整式乘法与除法的内在逻辑关系，突出同底数幂运算法则、乘法公式及除法法则的重难点分布，帮助学生建立从基础概念到综合应用的认知链条。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，如题型七借助几何图形直观理解完全平方公式的结构特征，培养几何直观素养；题型十三通过贾宪三角探索规律，发展抽象能力和创新意识。每类题型均配备典型例题和解题步骤指导，基础薄弱生可掌握基本模型，优等生能拓展思维深度，教师据此实现分层教学与精准反馈，助力学生自主复习与课堂提质增效。

第11章 整式的乘除 章节（11知识点回顾+13题型巩固） 目录 知识梳理 1.同底数幂的乘法 2．幂的乘方 3.积的乘方 4.单项式与单项式相乘 5.单项式与整式相乘 6.整式与整式相乘 7.平方差公式 8.完全平方公式 9.同底数幂的除法 10.单项式除以单项式 11.整式除以单项式 题型巩固 一、幂的运算 二、整式的乘法运算 三、运用平方差公式进行运算 四、平方差公式与几何图形 五、运用完全平方公式进行运算 六、通过对完全平方公式变形求值 七、完全平方公式在几何图形中的应用 八、求完全平方式中的字母系数 九、乘法公式的混合运算 十、整式的除法 十一、整式四则混合运算 十二、整式乘除的化简求值 十三、规律探索题 知识梳理 知识点1．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点2．幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点3.积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点4.单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【要点归纳】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点5.单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【要点归纳】 （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点6.整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 【要点归纳】 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 知识点7.平方差公式 1．平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即：． 2. 公式变化 （1）位置变化：； （2）符号变化：； （3）公式中的字母，可以表示具体的数字，可以表示单项式，也可以表示多项式． 知识点8.完全平方公式 1．完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍， 即： 与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以是一个多项式． 2. 完全平方变形应用 （1） （2） （3）；； （4）；； （5）； （6）；． 3. 完全平方公式推广应用 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点9.同底数幂的除法 1、同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减． （、是正整数，且，） 注：底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式． 2、任何不等于零的数的零次幂都等于1 （） 同底数数幂的乘除运算顺序 先算积的乘方、幂的乘方、再算同底数幂的乘除；在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 知识点10.单项式除以单项式 1、单项式除以单项式法则 两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2、单项式除以单项式的步骤 把系数相除，所得的结果作为商的因式； 把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式； 只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式． 3、单项式混合运算法则 通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算． 知识点11.整式除以单项式 整式除以单项式的法则 整式除以单项式，先把整式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表示就是：． 题型巩固 题型一、幂的乘法运算 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）的计算结果是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 4．（24-25七年级上·上海·假期作业）如果，，则 ． 5．（22-23七年级上·上海·期中）用科学记数法表示： ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）比较大小： ． 8．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算： ．（n是整数） 9．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 10．（24-25七年级上·上海·期中）已知，求的值． 题型二、整式的乘法运算 11．计算：（﹣2x3）•（﹣2x）3+（x3）2． 12．（23-24七年级上·上海长宁·期中）计算： 13．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 14．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 15．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 16．计算：． 题型三、运用平方差公式进行运算 17．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 18．计算： ； 题型四、平方差公式与几何图形 19．（22-23七年级上·上海·期中）从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何?”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了 平方米． 20．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，正方形是由两个长为a、宽为b长方形和两个边长分别为a、b正方形拼成的． (1)根据上图，利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是 ； (2)若x满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)如图所示，正方形、长方形、长方形和正方形的面积分别为，，和，已知，，求及的值． 题型五、运用完全平方公式进行运算 21．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·上海闵行·期末） 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ 以上节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 题型六、通过对完全平方公式变形求值 23．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知，则 ． 24．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，求的值． 题型七、完全平方公式在几何图形中的应用 25．如图（1），是一个长为，宽为的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积为 ． 26．（24-25七年级上·上海·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________； (2)观察图2，试猜想式子之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值． 题型八、求完全平方式中的字母系数 27．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 题型九、乘法公式的混合运算 28．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 29．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 30．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算：． 31．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： 32．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 题型十、整式的除法 33．（24-25七年级上·上海嘉定·期中） ． 34．正整数，那么除以3的余数是 ． 35．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 36．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算：． 题型十一、整式四则混合运算 37．化简： 38．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算：． 39．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 40．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： 41．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 42．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 题型十二、整式乘除的化简求值 43．（22-23七年级·上海·假期作业）先化简，再求值：，其中． 44．化简求值：，其中，． 45．（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 46．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：（为正整数），其中． 47．（24-25七年级上·上海·期中）先化简再求值：，其中． 48．（24-25七年级上·上海静安·期末）先化简，再求值：，其中． 题型十三、规律探索题 49．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读并填空： 我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 50．（22-23七年级上·上海闵行·周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如 （乘法分配律） （合并同类项） 则叫做的展开式，叫做的展开式． (1)计算的展开式； (2)请指出是几次几项式，并计算的展开式（按照x进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测是几次几项式（用n表示，其中n为正整数）； (3)推测的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n表示，其中n为正整数）． 51．阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为　　． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，求的值． 52．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能． 例如：规定： 那么，，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 根据以上规律，展开式共有________项，系数分别为________…… 根据以上规律，写出的展开式：=________ 53．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）发现与探索：你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手． 先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； 由此我们可以得到：___________． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （1）． （2）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除 章节（11知识点回顾+13题型巩固） 目录 知识梳理 1.同底数幂的乘法 2．幂的乘方 3.积的乘方 4.单项式与单项式相乘 5.单项式与整式相乘 6.整式与整式相乘 7.平方差公式 8.完全平方公式 9.同底数幂的除法 10.单项式除以单项式 11.整式除以单项式 题型巩固 一、幂的运算 二、整式的乘法运算 三、运用平方差公式进行运算 四、平方差公式与几何图形 五、运用完全平方公式进行运算 六、通过对完全平方公式变形求值 七、完全平方公式在几何图形中的应用 八、求完全平方式中的字母系数 九、乘法公式的混合运算 十、整式的除法 十一、整式四则混合运算 十二、整式乘除的化简求值 十三、规律探索题 知识梳理 知识点1．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点2．幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点3.积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点4.单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【要点归纳】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点5.单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【要点归纳】 （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点6.整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 【要点归纳】 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 知识点7.平方差公式 1．平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即：． 2. 公式变化 （1）位置变化：； （2）符号变化：； （3）公式中的字母，可以表示具体的数字，可以表示单项式，也可以表示多项式． 知识点8.完全平方公式 1．完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍， 即： 与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以是一个多项式． 2. 完全平方变形应用 （1） （2） （3）；； （4）；； （5）； （6）；． 3. 完全平方公式推广应用 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点9.同底数幂的除法 1、同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减． （、是正整数，且，） 注：底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式． 2、任何不等于零的数的零次幂都等于1 （） 同底数数幂的乘除运算顺序 先算积的乘方、幂的乘方、再算同底数幂的乘除；在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 知识点10.单项式除以单项式 1、单项式除以单项式法则 两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2、单项式除以单项式的步骤 把系数相除，所得的结果作为商的因式； 把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式； 只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式． 3、单项式混合运算法则 通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算． 知识点11.整式除以单项式 整式除以单项式的法则 整式除以单项式，先把整式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表示就是：． 题型巩固 题型一、幂的乘法运算 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】本题考查合并同类项法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方法则，熟练掌握运算法则是解题关键． 利用合并同类项法则可判断A，根据同底数幂乘法法则判断B，利用积的乘方运算法则可判断C，利用幂的乘方法则可判断D即可． 【详解】解：A．∵，原式不正确； B．，原式不正确； C．∵，原式不正确； D．∵，正确． 故选,：D． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】逆用幂的乘法，积的乘方计算即可． 本题考查了幂的乘法，积的乘方公式的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则．本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海·假期作业）如果，，则 ． 【答案】75 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用 【分析】此题考查了幂的运算法则．根据幂的乘方、同底数幂的乘法法则得到，把已知条件代入进行解题即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 5．（22-23七年级上·上海·期中）用科学记数法表示： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、用科学记数法表示数的乘法 【分析】根据同底数幂的乘法法则求解，然后用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方，根据积的乘方，幂的乘方进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用；把两个幂转化为同指数的两个幂，根据指数相同，两个正底数中，底数大的幂也大即可比较大小． 【详解】解：∵， 而， ∴， 即； 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算： ．（n是整数） 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，积的乘方的逆用，解题的关键是掌握相关知识．将所求式子变形为，再利用积的乘方的逆用求解即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】将方程两边化为同底数的指数形式，利用对数或指数运算性质简化方程，最终解出 的值．本题主要考查了指数运算性质和同底数幂相等的条件，熟练掌握指数运算法则和方程变形是解题的关键． 【详解】解： ∴ 解得． 题型二、整式的乘法运算 11．计算：（﹣2x3）•（﹣2x）3+（x3）2． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】根据整式的混合运算法则，先计算乘方、乘法，再计算加法． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的运算法则是解题的关键． 12．（23-24七年级上·上海长宁·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可求解． 【详解】解： 13．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式的乘法运算，根据多项式乘以多项式以及平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 14．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 15．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、整式乘法混合运算、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先去括号，再根据整式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16．计算：． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、整式乘法混合运算、计算单项式乘多项式及求值、计算单项式乘单项式 【分析】单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解：原式， ． 【点睛】本题考查单项式与多项式相乘，积的乘方，单项式与单项式相乘，解题的关键是掌握以上运算法则． 题型三、运用平方差公式进行运算 17．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式为两数和与两数差的乘积，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，可以用平方差公式进行计算，符合题意； C、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； 故选B． 18．计算： ； 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了乘法公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 题型四、平方差公式与几何图形 19．（22-23七年级上·上海·期中）从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何?”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了 平方米． 【答案】9 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】由题意可知道原来正方形土地的面积是平方米，而现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是平方米，然后用减去算出答案即可． 【详解】解：原来正方形土地的边长为x米，面积是平方米， 现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是平方米， 平方米， 张老汉租用的土地面积比之前少了9平方米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式进行计算． 20．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，正方形是由两个长为a、宽为b长方形和两个边长分别为a、b正方形拼成的． (1)根据上图，利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是 ； (2)若x满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)如图所示，正方形、长方形、长方形和正方形的面积分别为，，和，已知，，求及的值． 【答案】(1) (2) (3)； 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形 【分析】（1）观察图形，大正方形面积等于两个小正方形面积加上两个长方形面积，即可作答； （2）运用（1）中的数量关系，代入进行化简，即可作答； （3）因为四边形是正方形，所以，因为，，所以，，则，把，代入即可得；结合，得，即得． 【详解】（1）解：依题意，大正方形面积等于两个小正方形面积加上两个长方形面积， 则； （2）解：因为（1）中的数量关系， 所以， 因为 所以， 则； （3）解：依题意，因为四边形是正方形 所以， 因为，， 所以， 则 因为，， 所以， 即； 因为， 所以 因为，且 所以，即，得或 因为和为边长， 所以舍去 则． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用以及平方差公式与几何图形，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型五、运用完全平方公式进行运算 21．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式直接计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 22．（24-25七年级上·上海闵行·期末） 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ 以上节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)i）n；；ii） 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、列代数式及多项式，能根据题意得出各式计算结果的系数变化规律是解题的关键． （1）根据所给式子，观察其各项系数，发现规律即可解决问题． （2）①根据所给式子，观察计算结果分别为几次几项式，发现规律即可解决问题． ②分别求出所给式子计算结果的各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：观察所给各式可知， 计算结果中的各项系数依次为：1，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，2，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，3，3，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，4，6，4，1； 由此可知，计算结果中的各项系数依次为：1，5，10，10，5，1， 即． 故答案为：． （2）解：i）由题知， 计算结果是一个一次二项式； 计算结果中是一个二次三项式； 计算结果中是一个三次四项式； 计算结果是一个四次五项式； …， 所以计算结果是一个n次项式． 故答案为：n，． ii）计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； …， 所以计算结果各项系数之和为． 故答案为：． 题型六、通过对完全平方公式变形求值 23．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知，则 ． 【答案】21 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，先求出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，此时不满足题意， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方式的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先求出，再根据完全平方公式拓展公式，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 题型七、完全平方公式在几何图形中的应用 25．如图（1），是一个长为，宽为的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积正方形的面积矩形的面积即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，正方形的边长为， 故正方形的面积为， 又原矩形的面积为， 中间空的部分的面积． 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是求出正方形的边长． 26．（24-25七年级上·上海·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________； (2)观察图2，试猜想式子之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键． （1）根据图形，正方形的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方形的边长等于小长方形两边的差； （2）正方形可以直接用边长的平方求解，也可用阴影正方形的面积加上四个小长方形的面积，由此解答即可； （3）先求得，再利用（2）中的结论求出的值，然后求解即可． 【详解】（1）由图可知 正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为； 故答案为：； （2），理由如下： 由图可知： 正方形的面积为，也等于4个长为m，宽为n的长方形与边长为的阴影部分正方形面积的和，即为， 故得到 （3） ， 又 由（2）得： 题型八、求完全平方式中的字母系数 27．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，根据是某个整式的平方，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是某个整式的平方， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：或． 题型九、乘法公式的混合运算 28．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，利用平方差公式和完全平方根公式计算即可． 【详解】解： 29．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算，先利用平方差公式与完全平方公式计算整式的乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 30．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，先利用平方差公式与完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ； 31．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，整式的混合运算，先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】解： ； 32．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算完全平方公式、多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：原式 ． 题型十、整式的除法 33．（24-25七年级上·上海嘉定·期中） ． 【答案】/ 【知识点】计算单项式除以单项式、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到答案． 【详解】解：原式， 故答案为： ． 34．正整数，那么除以3的余数是 ． 【答案】2 【知识点】数字类规律探索、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】先求出除以3的余数是0，再得到时，除以3的余数是2，依此即可得到除以3的余数． 【详解】解：∵， ∴除以3的余数是0， 由知： 当时，,除以3的余数是2， ∴除以3的余数是2， 即除以3的余数是2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了同余问题，解题的关键是变形为． 35．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查单项式的乘除混合运算，运用积的乘方公式、单项式乘以单项式法则、单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 36．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型十一、整式四则混合运算 37．化简： 【答案】/ 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算乘法，在合并同类项，熟练运用计算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 38．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查整式混合运算法则，熟练掌握整式运算法则是解题的关键． 39．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】2 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可． 【详解】解： ． 40．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】 【知识点】多项式除以单项式、整式四则混合运算 【分析】本题主要考查了整式的运算，根据多项式除以单项式，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 41．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算、整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，直接利用整式的运算法则进行计算即可． 【详解】 ，， ， ， ． 42．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算法，熟练掌握整式运算法则是解题的关键； 根据整式混合运算运算顺序计算即可. 【详解】解： 题型十二、整式乘除的化简求值 43．（22-23七年级·上海·假期作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 1 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和代数式求值，正确计算是解题的关键． 44．化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】根据多项式乘多项式、去括号法则和合并同类项的方法，可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 45．（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 46．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：（为正整数），其中． 【答案】， 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则，把所求式子化简．先根据多项式除单项式和单项式除单项式法则算除法，再合并同类项，化简后将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 47．（24-25七年级上·上海·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，，解得，， ∴原式 ． 48．（24-25七年级上·上海静安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【知识点】绝对值非负性、计算单项式除以单项式、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算括号内单项式除以单项式和括号外积的乘方，然后计算单项式乘以多项式，然后利用平方和绝对值的非负性求出x，y的值，然后将x，y的值代入化简后的式子中即可求解． 【详解】 ∵ ∴， ∴， ∴原式． 题型十三、规律探索题 49．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读并填空： 我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 【答案】，，，， 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字的规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键．利用多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，求解多项式的乘方即可． 【详解】解 ：由题意知，． ． ． 利用“贾宪三角”可知：． ∵第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第5个数为， …… ∴可推导一般性规律为：第n个数是． 故答案为：，，，，． 50．（22-23七年级上·上海闵行·周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如 （乘法分配律） （合并同类项） 则叫做的展开式，叫做的展开式． (1)计算的展开式； (2)请指出是几次几项式，并计算的展开式（按照x进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测是几次几项式（用n表示，其中n为正整数）； (3)推测的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n表示，其中n为正整数）． 【答案】(1) (2)的展开式是二次三项式；的展开式是三次四项式；是n次项式 (3)的系数之和为，证明见解析 【知识点】计算多项式乘多项式、多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）按照完全平方公式，将展开即可； （2）将展开，然后得出是几次几项式即可，按照多项式乘法运算法则将展开，得出这个展开式是几次几项式即可；找出规律推测是几次几项式即可； （3）根据展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，……得出的展开式中各项系数之和即可，设，令，，则，得出，从而证明结论． 【详解】（1）解： ， ∴的展开式为． （2）解：∵， ∴的展开式是二次三项式； ∵ ， ∴的展开式是三次四项式； 由的展开式是二次三项式，的展开式是三次四项式，推测是n次项式． （3）解：的系数之和为，理由如下： ∵展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， …… ∴展开式的各项系数之和为； 设， 令，， 则， ∴， 即展开式的各项系数之和为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算． 51．阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为　　． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）直接根据材料中的方法，求多项式的一次项系数即可； （2）先利用材料中的方法，求一次项的系数，然后其系数等于零求解即可； （3）求即多项式中一次项的系数，利用材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：一次项系数为， 故答案为：； （2）解：根据题意，得一次项系数， 解得； （3）解：的一次项系数为， ． 【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法运算，准确理解并掌握题目中的求多项式的某次项的系数的方法是解答此题的关键． 52．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能． 例如：规定： 那么，，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 根据以上规律，展开式共有________项，系数分别为________…… 根据以上规律，写出的展开式：=________ 【答案】五；1，4，6，4，1； 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】由图可知，从第三行开始，除去首项和最后一项，其余项应该等于上一行与其列数相同的数+上一行前一列的数．那么第五行的五个数就应该是1，4，6，4，1．即可得到答案． 【详解】解：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1； （a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1； （a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 所以（a+b）4的展开式有五项，系数分别为：1，4，6，4，1． 故答案为：五；1，4，6，4，1． ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的推广，读懂题目信息，准确找出规律是解题的关键，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 53．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）发现与探索：你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手． 先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； 由此我们可以得到：___________． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （1）． （2）． 【答案】；（1）；（2） 【知识点】数字类规律探索、整式的混合运算 【分析】根据所给式子从而总结出规律是； （1）将；写成的形式进行计算即可； （2）设，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】解：根据规律可得：； 故答案为：； 解：（1）∵， ∴； （2）设， ∵， ∴， ， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般要根据所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，难度一般． 学科网（北京）股份有限公司 $