第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元测试卷-2025-2026学年沪科版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）下列命题中，可判断为假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．直角三角形两个锐角互余 2．（本题4分）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（本题4分）能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题4分）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 6．（本题4分）如果一个三角形的两边长分别为和，那么这个三角形第三边长可能是（    ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 8．（本题4分）已知是的三条边，若，则的结果为（　　） A．c B． C． D． 9．（本题4分）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 10．（本题4分）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分 11．（本题5分）若三角形一边长为，并且这边上的高为，则这个三角形的面积为 ． 12．（本题5分）在中，若，则 度． 13．（本题5分）[传统文化]为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．某同学“抖空竹”的一个瞬间如图①所示，将图①抽象成数学问题如图②所示．若，，，则的度数是 ． 14．（本题5分）如图，点为直线外一点，，连接，，点，分别是，的中点，连接，交于点，已知图中阴影部分的面积为5． （1）的面积为 ； （2）线段长的最小值为 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）等腰中，，边上的中线把的周长分成和两部分．求边的长． 16．（本题8分）如图，，分别平分与，且交于点()，判断，与之间的数量关系，并证明你的结论． 17．（本题8分）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数． 18．（本题8分）如图，是的角平分线． (1)画的边上的高； (2)若，，求的度数． 19．（本题10分）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 20．（本题10分）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 21．（本题12分）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 22．（本题12分）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 23．（本题14分）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）下列命题中，可判断为假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．直角三角形两个锐角互余 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补、直角三角形的两个锐角互余、判断命题真假 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用对顶角的性质、平行线的判定与性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．对顶角相等，正确，是真命题； B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等，选项中的命题错误，是假命题； C．同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题； D．直角三角形两个锐角互余，正确，是真命题． 故选：B． 2．（本题4分）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了画三角形的高，过三角形的一个顶点作其对边的垂线，顶点与垂足的连线段叫做对边上的高，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可得，四个选项中只有D选项中的图形符合题意， 故选：D． 3．（本题4分）能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：∵能说明判定命题“若，则”是假命题的反例， ∴举例需满足，且， 选项中只有，满足，，所以能说明命题“若，则”是假命题， 其他选项不能说明． 故选：D． 4．（本题4分）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：，，分别是的高、角平分线、中线， ，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选C． 5．（本题4分）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．熟练掌握这两个性质是解决本题的关键． 先根据角平分线的性质求出相关角的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：因为是中的平分线，且， 所以． 因为是的外角的平分线，且， 同理可得． 在中，是的一个外角， 所以， 即． 将，代入可得：． 在中，是的一个外角， 可得． 已知，， 那么，即． 故选：A． 6．（本题4分）如果一个三角形的两边长分别为和，那么这个三角形第三边长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的三边关系进行计算即可． 【详解】解：设第三边为x， 由题意可知：6-3＜x＜3+6 ∴3＜x＜9 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，求出第三边的取值范围是解题关键． 7．（本题4分）如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质．如图，运用翻折变换的性质证明；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可得：， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 8．（本题4分）已知是的三条边，若，则的结果为（　　） A．c B． C． D． 【答案】A 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，结合，求出式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：∵是的三条边，， ∴， ∴， ∴原式； 故选A． 9．（本题4分）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 10．（本题4分）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角和角平分线的性质，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角和角平分线的性质． 根据三角形外角的性质和角平分线的定义求出，利用三角形的内角和定理求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的性质与三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 、分别平分、， ，， ，， ， 、CE分别平分、， ， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分 11．（本题5分）若三角形一边长为，并且这边上的高为，则这个三角形的面积为 ． 【答案】ah 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据三角形的面积公式，即可求得． 【详解】解：∵S△=×底×高， ∴此三角形面积应为ah， 故答案为：ah． 【点睛】本题考查了三角形面积公式：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高． 12．（本题5分）在中，若，则 度． 【答案】90 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴故答案为：90． 13．（本题5分）[传统文化]为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．某同学“抖空竹”的一个瞬间如图①所示，将图①抽象成数学问题如图②所示．若，，，则的度数是 ． 【答案】/40度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质．能正确画出辅助线是解题关键．延长交于点，先根据平行线性质得出，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， ， ， 故答案为：． 14．（本题5分）如图，点为直线外一点，，连接，，点，分别是，的中点，连接，交于点，已知图中阴影部分的面积为5． （1）的面积为 ； （2）线段长的最小值为 ． 【答案】 5 6 【知识点】垂线段最短、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线与面积、垂线段最短，熟练掌握三角形的中线与面积是解题关键． （1）先根据三角形的中线可得，，则可得，由此即可得； （2）过点作，交延长线于点，连接，先根据三角形的中线可得，，则可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得，然后根据垂线段最短即可得． 【详解】解：（1）∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵图中阴影部分的面积为5， ∴的面积为5， 故答案为：5． （2）如图，过点作，交延长线于点，连接， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 由垂线段最短可知，线段长的最小值为， 故答案为：6． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）等腰中，，边上的中线把的周长分成和两部分．求边的长． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形三边关系定理，合理进行分类讨论并检验结果是否符合三角形三边关系定理是解题关键．分为两类：或，求出三边后验证是否符合三角形三边关系定理即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴设，则 ∵边上的中线把的周长分成和两部分， 或， 当AB+AD=15cm时， ， ， ，， 此时， , 检验满足三角形两边之和大于第三边， ； 当时， ， ，， 此时， , ，所以舍去； 综上所述，． 16．（本题8分）如图，，分别平分与，且交于点()，判断，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】；见解析． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，角的计算的题目，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 由角平分线的性质得，，，由三角形外角的性质得， ，结合，，综合可得结果； 【详解】解：，与之间的数量关系是， 证明：如图，延长交于点，设与交于点， 平分， ， 平分， ， ，， ， ， ， 又，， ， ． 17．（本题8分）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数． 【答案】 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形内角和定理，由题意可得，进而根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与平行， ∴． 18．（本题8分）如图，是的角平分线． (1)画的边上的高； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、画三角形的高、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形内角和定理以及角平分线的有关计算． （1）过点A作的垂线交的延长线与点E即可． （2）由三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义以及角的和差关系即可得出，，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求： （2）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线．， ∴，， ∴． 19．（本题10分）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为21 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得，根据是偶数得； （2）根据是的中线得，根据的周长为13和即可求解． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， 即， 是偶数， ； （2）解：的周长为13， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 的周长． 20．（本题10分）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形中线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，是的一个外角， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 21．（本题12分）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又∵， ∴ ， 即． 22．（本题12分）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质以及三角形高线的性质，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数，进而找出角之间的关系． （1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线性质求出，根据直角三角形性质求出，最后得出． （2）根据（1）的计算结果进行归纳猜想． （3）同样先求出相关角的度数，再验证猜想是否成立． 【详解】（1）在中，已知，则， 是的平分线， ． 是边上的高线， ， 在中， ， ； （2）猜想：，证明如下： ，， ∴； （3）当是钝角时，上述猜想成立， 设． 根据三角形内角和定理，， 是的平分线， 是边上的高线， ， 在中， 所以当是钝角时，上述猜想仍然成立． 23．（本题14分）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 【答案】(1)，，，； (2)证明见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， ，分别平分和 ， ， ， 如图2， 是的外角， ， ，分别平分和， ，， 是的外角， ， ， 如图3， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， 如图4， ，的三等分线交于点，， ，， 平分，平分， 平分， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）证明：平分，平分， ，， ； （3）解：是△的外角， ， ，， ， 、是的三等分线， ，， ， 是的平分线， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $