第13章 三角形（单元测试·冲刺卷）数学人教版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元测验卷 第13章 三角形 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，的面积为36，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（本题3分）如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 6．（本题3分）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在中，，，是边上一点，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（本题3分）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 9．（本题3分）如图，中，，是的角平分线，且于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A．4 B．4.5 C．6 D．8 10．（本题3分）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ． 12．（本题3分）如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 13．（本题3分）已知、、是三角形的三边长，化简： ． 14．（本题3分）用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ． 15．（本题3分）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 17．（本题8分）在中，，． (1)求，，的度数； (2)按边分类，属于______________三角形，按角分类，属于___________三角形． 18．（本题8分）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 19．（本题9分）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 20．（本题9分）如图①，平分． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点在的延长线上，”，，，请用、的代数式表示． 21．（本题9分）（1）如图，过的顶点作直线，求证：； （2）已知内部两条射线、交于点， 如图，若，则 度直接写出答案即可 如图，若，、分别平分、，求的度数； （3）如图，在四边形中，、的角平分线交于点，，和之间有什么数量关系？说明理由． 22．（本题11分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线AD、交线段于点 C规定 (1)_____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (2)若 则____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (3)当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 23．（本题14分）某同学在学习了角平分线内容后，对三角形内外角的角平分线问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元测验卷 第13章 三角形 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 无法证明，故C错误． 故选：C． 2．（本题3分）在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考据三角形的内角和定理和直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握三角形内角和为．根据三角形内角和等于，即可得到或的度数，进而得出结论． 【详解】若，则， 能确定是直角三角形，故A不符合题意； 若，则， ∴，能确定是直角三角形，故B不符合题意； 若，则， 能确定是直角三角形，故C不符合题意； 若， ∴， 由三角形内角和定理， 可得，解得， ∴是不是直角三角形，故D不符合题意． 故选：D． 3．（本题3分）如图，的面积为36，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，连接，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵于E，于F， ∴， ∵的面积为36，，， ∴， ∴． 4．（本题3分）如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的三边关系，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点O作，，，根据角平分线的性质得，再根据，即可判断． 【详解】解：过点O作，，，如图所示， ∵点是的三条角平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故选：B． 5．（本题3分）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【答案】D 【分析】首先根据|a-2|+（2a+3b-13）2=0求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可． 【详解】解：∵|a-2|+（2a+3b-13）2=0， ∴， 解得：， 当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8； 当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理．关键是根据等腰三角形的定义进行分类讨论． 6．（本题3分）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 根据平行线的性质得到，由折叠得：，，从而得到与的和，利用两个平角求出与的和，最后根据三角形内角和等于即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 由折叠得：，， ∴， ∴， 在中， ， 故选：A 7．（本题3分）如图，在中，，，是边上一点，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查角的和与差，三角形的内角和定理，三角形外角的性质． 根据为直角三角形可得或，分两种情况讨论：①若，根据三角形的内角和即可求得，进而可求解；②若，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】∵为直角三角形， ∴或， ①若， ∵，， ∴， ∴． ②若， ∵， ∴． 综合所述，或． 故选：C 8．（本题3分）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 9．（本题3分）如图，中，，是的角平分线，且于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A．4 B．4.5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，延长交于点H．设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交延长线于点H．设交于点O， ∵， ∴， ∴， ∵（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故选：D． 10．（本题3分）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得，根据三角形外角的性质得，继而得到，可判断结论①；根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，再根据，可判断结论②；根据角平分线的定义得，由平角定义得，根据三角形外角的性质得，可推出，根据三角形三角和定理得，可判断结论③；根据角平分线的定义得，，由平行线的性质得，，得到，，可推出，可判断结论④；⑤由④得，，由平行线的性质得，继而得到，可判断结论⑤，即可得解． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴，故结论②正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ⑤由④得，， ∵， ∴， ∴，故结论⑤不正确； ∴正确的结论有个． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，平角的定义，解题的关键是三角形外角性质的应用． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ． 【答案】/180度 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴； 故答案为：． 12．（本题3分）如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 13．（本题3分）已知、、是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵ 、、是三角形的三边长 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴ ，即；，即 ∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ∴ ， 则 故答案为： ． 14．（本题3分）用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．根据三角形的周长和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：∵细铁丝的长度为，即三角形的周长为， ∵， ∴a是这个三角形最长的边， 由三角形三边的关系，得，而， ∴， 解得，， ∵a、b、c为整数， ∴a最大可取6． 故答案为：6． 15．（本题3分）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 17．（本题8分）在中，，． (1)求，，的度数； (2)按边分类，属于 三角形，按角分类，属于 三角形． 【答案】(1)；； (2)等腰；直角 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求解即可； （2）按照三角形的分类标准分类即可； 【详解】（1）解：在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴按边分类，属于等腰三角形； ∵， ∴按角分类，属于直角三角形； 故答案为：等腰，直角． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的分类；熟练掌握上述基础知识是解题的关键． 18．（本题8分）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． （1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论； （2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形内角和等于即可求解． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， ； （2）解：， ， 、是角平分线， ， ． 19．（本题9分）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 【答案】(1) (2)是“好运三角形” 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ，即， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）设为偶数，则， 解得， 为偶数， ． ， 又， 是“好运三角形”． 20．（本题9分）如图①，平分． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点在的延长线上，”，，，请用、的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）先利用三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义求出，由三角形外角的性质得到，再由垂直的定义得到，由此即可求解； （2）同（1）进行求解即可； 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ． ， ， ． （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 21．（本题9分）（1）如图，过的顶点作直线，求证：； （2）已知内部两条射线、交于点， 如图，若，则 度直接写出答案即可 如图，若，、分别平分、，求的度数； （3）如图，在四边形中，、的角平分线交于点，，和之间有什么数量关系？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，，再结合平角是计算即可得解； （2）①根据三角形内角和是计算即可得解；②根据三角形内角和是并结合角平分线的定义计算即可得解； （3）连接，根据三角形内角和是并结合角平分线的定义计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ，， ， ． （2）解：，， ， 故答案为：． ，， ， 、分别平分、， ，， ， 则． （3）连接，如图： 、的角平分线交于点， ，， ， ， 即， 整理得：， 则， 即， 整理得：A． 22．（本题11分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线AD、交线段于点 C规定 (1)_____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (2)若 则____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (3)当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 【答案】(1)是 (2)是 (3)或或 【分析】（1）根据，得到，结合定义判定是灵动三角形； （2）根据，得到，结合结合定义判定是 灵动三角形； （3）根据，得到，分类计算解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，互余性质，分类思想，正确理解新定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴是灵动三角形， 故答案为：是． （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵ 且， ∴是灵动三角形， 故答案为：是． （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵是灵动三角形，， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去， 当时，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 23．（本题14分）某同学在学习了角平分线内容后，对三角形内外角的角平分线问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； （4）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解∶（1） 平分，平分，，， ，， ， 故答案为：； （2） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （3） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （4）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元测验卷 第13章 三角形 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，的面积为36，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（本题3分）如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 6．（本题3分）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在中，，，是边上一点，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（本题3分）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 9．（本题3分）如图，中，，是的角平分线，且于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A．4 B．4.5 C．6 D．8 10．（本题3分）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ． 12．（本题3分）如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 13．（本题3分）已知、、是三角形的三边长，化简： ． 14．（本题3分）用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ． 15．（本题3分）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 17．（本题8分）在中，，． (1)求，，的度数； (2)按边分类，属于___________三角形，按角分类，属于____________三角形． 18．（本题8分）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 19．（本题9分）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 20．（本题9分）如图①，平分． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点在的延长线上，”，，，请用、的代数式表示． 21．（本题9分）（1）如图，过的顶点作直线，求证：； （2）已知内部两条射线、交于点， 如图，若，则 度直接写出答案即可 如图，若，、分别平分、，求的度数； （3）如图，在四边形中，、的角平分线交于点，，和之间有什么数量关系？说明理由． 22．（本题11分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线AD、交线段于点 C规定 (1)_____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (2)若 则____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (3)当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 23．（本题14分）某同学在学习了角平分线内容后，对三角形内外角的角平分线问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级上册数学单元测验卷 第13章三角形 (参考答案) 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 2 3 5 6 1 8 9 10 0 B 6 D D D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.180°/180度 12.100° 13.2c 14.6 15.减少 10 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(本题7分) 【详解】(1)如图所示，高CD和中线CE即为所求： (2)如图所示，AC边上的高BF即为所求； A :AC的长等于5 ÷S△4Bc=AC·BF=3AB·CD .专×5BF=专×11×3 :BF=胃 1/7 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 17.(本题8分) 【详解】(1)解：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°， :∠A十∠B=∠C, .2∠C=180°， .∠C=90°， ∠A十∠B=90°， :∠B=∠A, ∠A=∠B=专×90°=45o; (2)解：：∠A=∠B=45°， ∴BC=AC, ·.△ABC按边分类，属于等腰三角形： :∠C=90°， ·.△ABC按角分类，属于直角三角形； 故答案为：等腰，直角 18.(本题8分) 【详解】(1)解：：AD是高，∠C=70°， ·∠DAC=90°-70°=20°， :∠ABC=60°， ÷∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-70°-60°=50°， :AE是∠BAC的平分线， :∠EAC=克∠BAC=克X50°=25°， :∠DAE=∠EAC-∠DAC=25°-20°=5°； (2)解：：∠C=70°， ·∠ABC+∠BAC=180°-70°=110°， :AE、BF是角平分线， :∠BAE+∠ABF=(∠ABC+∠BAC)=支×110°=55°， ·∠A0B=180°-（∠BAE+∠ABF=125°. 19.(本题9分) 217 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：BC-AB<AC<BC+AB, ·4-2<AC<4+2,即2<AC<6, :△ABC为“好运三角形”， :AC为偶数， ·AC=4: (2)设AB=x(x为偶数)，则BC=12-x, 1x+12-x>4, {x+4>12-x, (12-x+4>x, 解得4<x<8, :x为偶数， ·AB=X=6, ÷BC=12-6=6, 又：AC=4, ·△ABC是“好运三角形”. 20.（本题9分) 【详解】(1)解：：∠B=35°，∠C=65°， ·∠BAC=180o-350-65°=80°， :AD平分∠BAC ·∠BAD=∠CAD=40o, :∠ADE=∠B+∠BAD=350+40°=75° :AE⊥BC, ·∠AEB=90°， ·∠DAE=90°-∠ADE=15°. (2)解：：∠B=%∠C=B, ÷∠BAC=180°-a-B, :AD平分∠BAC, :∠BAD=∠CAD=90·-(C+B), :∠ADE=LB+∠BAD=+90°-支(&+B), :FE⊥BC, 317 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 ∠FEB=90°， :∠DFE=90°-∠ADE=3(B-a). 21.(本题9分) 【详解】(1)证明：：MNBC, ∠B=∠MAB,∠C=∠NAC, :∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°， ·∠B+∠C+∠BAC=180°. (2)解：①∠P=150°，∠PBC+∠PCB+∠P=180°， ÷∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-150°=30°， 故答案为：30 ②：∠P=130°，∠PBC+∠PCB+∠P=180°， :∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-130°=50°， :PB、PC分别平分∠ABC、∠ACB, ·∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB, ·∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=100°， 则∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=180°-100°=80°. (3)连接BC,如图： C:∠ABD、∠ACD的角平分线交于点E, ·∠ABE=∠DBE=∠ABD,∠ACE=∠DCE=∠ACD, :∠DBC+∠DCB=180°-∠D, :∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠DCB+(∠ABD+∠ACD)=180°-∠A, 即180°-∠D+(∠ABD+∠ACD)=180°-∠A, 整理得：∠ABD十∠ACD=∠D-∠A, 则∠EBC+∠ECB=∠DBC+∠DCB+(∠ABD+∠ACD)=180°-∠E, 即180°-∠D-青（∠D-∠A)=180°-∠E, 整理得：2∠E=∠D十∠A. 22.(本题11分) 417 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：AB⊥OM, ∠BA0=90°， :∠M0N=60°， .∠AB0=30°， :∠BA0=90°=3×30°=3∠AB0, ·.△A0B是灵动三角形， 故答案为：是。 (2)解：：AB⊥OM, .∠BA0=90°， :∠BAC=70°， .∠0AC=20°， :∠M0N=60°， 且∠M0N=60°=3×20°=3∠0AC, :△A0C是灵动三角形， 故答案为：是 (3)解：：AB⊥OM, ∠BA0=90°， :∠M0N=60°， ∠AB0=30°， :△ACB是灵动三角形，∠BA0=90°>∠BAC, .∠BAC≠3∠ABC, 当∠ACB=3∠ABC时，∠ACB=90°， .∠0AC=90°-∠M0N=30o; 当∠ACB=3∠BAC时，∠ABC=30°， .∠ACB+∠BAC=150°， ∴4∠BAC=150°， ∠BAC=37.5°， ∴.∠0AC=90o-∠BAC=52.5o; 当∠BAC=3∠ACB时，∠ABC=30°， .∠ACB+∠BAC=150°， 5/7 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 .4∠ACB=150°， ∠ACB=37.5°， ∠BAC=112.5°，不符合题意，舍去， 当∠ABC=3∠BAC时，∠ABC=30°， ·.∠BAC=10°， ∴∠0AC=90°-∠BAC=80°； 综上所述，∠0AC的度数为80°或30°或52.5°. 23.(本题14分) 【详解】解：(1)：BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,∠ABC=50°，∠ACB=80°， ∠PBC=∠ABC=25°，∠PCB=∠ACB=40°， ·∠P=180°-∠PBC-∠PCB=115°， 故答案为：115°； (2):∠A=6, ·∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-6， :BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ·∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB, :2∠PBC+2∠PCB=180°-6，即∠PBC+∠PCB=90°-号0 ÷∠P=180°-∠PBC-PCB=90°+号6； (3):AP平分∠BAC,BP平分∠CBM, ·∠BAC=2∠BAP,∠CBM=2∠CBP, :∠CBM=∠BAC+∠ACB,∠ACB=80°， ·2∠CBP=2∠BAP+∠ACB, ·∠CBP=∠BAP+40°， :∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC, ÷∠ABC=100°-2∠BAP ·∠ABP=∠ABC+∠CBP=140o-∠BAP, ·∠ABP十∠BAP=140°， ·∠P=180°-∠BAP-∠ABP=40°， :BH⊥AP,即∠BHP=90o, 617 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 ∠PBH=180°-∠P-∠BHP=50°； (4)如图3所示， :BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB, ·∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠DCB, :BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN, ÷∠MBC=2∠EBC,∠BCN=2∠ECB, :BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ,， ·∠EBC=2∠FBE=2∠FBC,∠ECQ=2∠ECF=2∠QCF, :∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠DBC=180°-∠MBC,∠DCB=180°-∠BCN, :∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2∠DBC-2∠DCB =180°-2(180°-∠MBC-2(180°-∠BCN =2(∠MBC+∠BCN)-540o, =2(2∠EBC+2∠ECB)-540· =4(∠EBC+∠ECB)-540°， 又：∠F+∠FBC+∠FCB=180°，∠FBC=∠EBC-∠FBE,∠FCB=∠ECB+∠ECF, 即∠F+∠FBC+∠FCB=∠F+∠EBC-∠FBE+∠ECB+∠ECF=180°， ·∠EBC+∠ECB=180°-∠F-（∠ECF-∠FBE), 又∠ECF=∠QCF,∠FBE=∠FBC, :∠ECF-∠FBE=∠QCF-∠FBC=∠F, :∠EBC+∠ECB=180°-∠F-(∠ECF-∠FBE)=180°-2∠F, :∠A=4(∠EBC+∠ECB)-540°=4(180°-2∠F-540°=180°-8∠F=180°-8n°. 717