专题02 一元一次不等式（组）相关专题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题02 一元一次不等式（组）相关专题 题型1 不等式的性质（常考点） 题型6 一元一次不等式的实际应用 题型2 不等式组的解集（重点） 题型7 解一元一次不等式组（常考点） 题型3 在数轴上表示不等式的解集 题型8 含参数的一元一次不等式组整数解问题（难点）（重点） 题型4 解一元一次不等式（重点） 题型9 一元一次不等式组的实际应用（重点） 题型5 含参数的一元一次不等式的整数解问题（重点）（难点） 题型10 方程组与一元一次不等组的结合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 不等式的性质与应用（共8小题） 1．（2024秋•江北区校级期中）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式不成立的是（　　） A．a+c＞b+c B．c﹣a＜c﹣b C．ac2＞bc2 D． 【分析】根据不等式的基本性质逐一判定即可得解． 【解答】解：A、由a＞b，c＜0得到：a+c＞b+c，正确，故本选项不符合题意； B、由a＞b，c＜0得到：c﹣a＜c﹣b，正确，故本选项不符合题意； C、由a＞b，c＜0得到：ac2＞bc2，正确，故本选项不符合题意； D、由a＞b，c＜0得到：，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2024秋•江北区校级期中）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．3a＞b+1 B．a+1＞b+1 C．﹣2a＞﹣2b D．|a|＞|b| 【分析】根据不等式的性质逐一判断，可得答案． 【解答】解：a＞b，不妨设a＝0.2，b＝0.1，则3a＜b+1，故选项A不符合题意； a＞b，不妨设a＝1，b＝﹣2，则|a|＜|b|，故选项D不符合题意； ∵a＞b， ∴a+1＞b+1，﹣2a＜﹣2b， 故选项B符合题意，选项C不符合题意． 故选：B． 3．（2024秋•西湖区校级期中）下列判断不正确的是（　　） A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则﹣2a＜﹣2b C．若2a＞2b，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可． 【解答】解：A．若a＞b，则a+2＞b+2，判断正确，故本选项不合题意； B．若a＞b，则﹣2a＜﹣2b，判断正确，故本选项不合题意； C．若2a＞2b，则a＞b，判断正确，故本选项不合题意； D．当c＝0时，ac2＝bc2，原判断错误，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（2024秋•绍兴期中）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【解答】解：由题意得，a＞b， ∴a+c＞b+c， ∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a+c＞b+c． 故选：A． 5．（2024秋•西湖区校级期中）若x＞y，且ax＜ay，则a的取值范围是 　a＜0　 ． 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【解答】解：∵x＞y， ∴当a＜0时，ax＜ay． 故答案为：a＜0． 6．（2024秋•绍兴期中）关于x，y的二元一次方程2y＝x+1的解满足x﹣y≤2，则x的最大值是 　5　 ． 【分析】根据2y＝x+1和x﹣y≤2，可得关于x的不等式x2，解不等式即可得出答案． 【解答】解：∵2y＝x+1， ∴y， ∵x﹣y≤2， ∴x2， 解得x≤5， ∴x的最大值是5． 故答案为：5． 7．（2024秋•绍兴期中）当x＞y时， （1）请比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由． （2）若（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围为 　 　 ．（直接写出答案） 【分析】（1）先求出（﹣3x+5）﹣（﹣3y+5）的值，再根据x＞y判断即可； （2）根据不等式的性质3得出a﹣3＜0，再求出答案即可． 【解答】解：（1）﹣3x+5＜﹣3y+5， 理由是：∵x＞y， ∴y﹣x＜0， ∴（﹣3x+5）﹣（﹣3y+5） ＝﹣3x+5+3y﹣5 ＝3y﹣3x ＝3（y﹣x）＜0， ∴﹣3x+5＜﹣3y+5； （2）∵x＞y，（a﹣3）x＜（a﹣3）y， ∴a﹣3＜0， ∴a＜3， 即a的取值范围是a＜3． 故答案为：a＜3． 8．（2024秋•丽水期中）对于负整数a，b，c，d，现规定符号ac﹣bd，已知13，则b+d的值为 　 　 ． 【分析】根据题意列出不等式，求出b、d的整数解即可解决问题． 【解答】解：（﹣1）×d﹣b×（﹣4）＝4b﹣d； 由题意1＜4﹣bd＜3， ∴1＜bd＜3， ∵b、d都是负整数， ∴或， ∴b+d＝﹣3． 故答案为：﹣3． 题型二 不等式组的解集（共4小题） 9．（2024秋•永康市校级期中）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是 　 　 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：∵不等式组的解集是x＜2， ∴a≥2． 故答案为：a≥2． 10．（2024秋•义乌市期中）不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥4 D．m＞4 【分析】利用不等式组取解集的方法判断即可得到m的范围． 【解答】解：∵等式组的解集是x＞4， ∴m≤4， 故选：A． 11．（2024秋•义乌市校级期中）若不等式组无解，则m的值可能（　　） A．7 B．6 C．3 D．5 【分析】解不等式组可得x≥2，x，由不等式组无解可得2，求出m的范围即可求解． 【解答】解：， 由①得x≥2， 由②得x， ∵不等式组无解， ∴2， ∴m≤4， 故选：C． 12．（2024秋•奉化区校级期中）不等式组有解，m的取值范围是　 　 ． 【分析】根据不等式的解集是小大大小中间找，可得答案． 【解答】解：由有解，得m＜8． 故答案为：m＜8． 题型三 在数轴上表示不等式的解集（共3小题） 13．（2024秋•鹿城区校级期中）不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将已知解集表示在数轴上即可． 【解答】解：不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是： 故选：B． 14．（2024秋•宁海县期中）已知不等式x≥1，此不等式的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据不等式的解集的表示方法，即可解答． 【解答】解：已知不等式x≥1，此不等式的解集在数轴上表示为 故选：C． 15．（2024秋•西湖区校级期中）（1）将不等式﹣1≤x＜3表示在数轴上． （2）利用数轴说明，x取下列值：﹣2，﹣1，0，3，其中满足不等式﹣1≤x＜3的是 　 　 ． 【分析】（1）根据不等式的解集的表示方法，即可解答； （2）根据数轴即可解答． 【解答】解：（1）如图： （2）x取下列值：﹣2，﹣1，0，3，其中满足不等式﹣1≤x＜3的是﹣1，0， 故答案为：﹣1，0． 题型四 解一元一次不等式（共5小题） 16．（2024秋•钱塘区校级期中）一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（　　） A．2x≥6 B．x﹣3＜0 C．3﹣x＜0 D．x+3＞0 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤求解即可． 【解答】解：A．不等式2x≥6的解集为x≥3，不符合题意； B．不等式x﹣3＜0的解集为x＜3，符合题意； C．不等式3﹣x＜0的解集为x＞3，不符合题意； D．不等式x+3＞0的解集为x＞﹣3，不符合题意； 故选：B． 17．（2024秋•慈溪市期中）若关于x的一元一次方程4x+m+1＝3x﹣1的解是负数，则m的取值范围是（　　） A．m＝0 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m≤2 【分析】解出该方程，即可用m表示该方程的解，再根据该方程的解为负数，即得出关于m的一元一次不等式，解出m即可． 【解答】解：4x+m+1＝3x﹣1， 解得：x＝﹣m﹣2． ∵该方程的解为负数，即x＜0， ∴﹣m﹣2＜0， 解得：m＞﹣2． 故选：B． 18．（2024秋•慈溪市期中）解下列不等式： （1）9x﹣1＞7x+3． （2）． 【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法可以解答本题； （2）根据解一元一次不等式的方法可以解答本题． 【解答】解：（1）9x﹣1＞7x+3， 移项及合并同类项，得：2x＞4， 系数化为1，得：x＞2； （2）， 去分母，得：3（1+x）≤2（1+2x）+6， 去括号，得：3+3x≤2+4x+6， 移项及合并同类项，得：﹣x≤5， 系数化为1，得：x≥﹣5． 19．（2024秋•西湖区校级期中）（1）解不等式3x+2＜6； （2）解不等式，并在如图所示的数轴上表示不等式的解集． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出x范围，再表示在数轴上即可． 【解答】解：（1）3x+2＜6， 移项得：3x＜6﹣2， 合并同类项得：3x＜4， 系数化为1得：x； （2）3≤x， 两边同时乘以2得：3x+2﹣6≤2x， 移项得：3x﹣2x≤﹣2+6， 合并同类项得：x≤4； 把解集表示在数轴上如下： 20．（2024秋•江北区校级期中）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：3×4＝﹣2． （1）填空：若，则x＝　 　 ，若，则x的取值范围为 　 　 ； （2）若，x+y≥0，求实数k的取值范围． 【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则：，进行计算，得﹣x﹣（2x﹣1）×0.5＝0；，得2x﹣（3﹣x）＞0，再根据解一元一次方程和解一元一次不等式，即可； （2）根据二阶行列式的运算法则，对进行计算，则，解二元一次方程，求出x，y，从而确定k的取值范围． 【解答】解：（1）， ∴﹣x﹣0.5×（2x﹣1）＝0， 解得x＝0.25， ∵， ∴2x﹣1×（3﹣x）＞0， 解得x＞1； 故答案为：0.25，x＞1； （2）∵， ∴， 解得：， ∵x+y≥0， ∴， 解得：． 题型五 含参数的一元一次不等式整数解问题（共4小题） 21．（2024秋•江北区校级期中）关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　） A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2 【分析】表示出已知不等式的解集，根据负整数解只有﹣1，﹣2，确定出b的范围即可． 【解答】解：不等式x﹣b＞0， 解得：x＞b， ∵不等式的负整数解只有两个负整数解， ∴﹣3≤b＜﹣2 故选：D． 22．（2024秋•滨江区校级期中）已知关于x的不等式a﹣4x≤0有且只有3个负整数解，则a的取值范围是 　 　 ． 【分析】先按照解一元一次不等式的步骤，进行计算可得x，然后根据不等式有3个负整数解，可得﹣43，进行计算即可解答． 【解答】解：a﹣4x≤0， ﹣4x≤﹣a， x， ∵不等式有3个负整数解， ∴﹣43， ∴﹣16＜a≤﹣12， 故答案为：﹣16＜a≤﹣12． 23．（2024秋•拱墅区校级期中）若不等式3x﹣m≤0的正整数解是1、2、3．则m的取值范围为（　　） A．m＜12 B．m≥9 C．9≤m≤12 D．9≤m＜12 【分析】求出不等式的解集，根据已知得出不等式组34，求出不等式组的解集即可． 【解答】解：3x﹣m≤0， 3x≤m x， ∵不等式3x﹣m≤0的正整数解是1、2、3， ∴34， ∴9≤m＜12， 故选：D． 24．（2024秋•诸暨市期中）关于x的不等式x﹣a＞1有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（　　） A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．﹣5≤a＜﹣4 D．﹣5＜a≤﹣4 【分析】先求出解集，然后根据正数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值． 【解答】解：∵x﹣a＞1， ∴x＞a+1， ∵关于x的不等式x﹣a＞1有且只有三个负整数解， ∴x的负整数解有：﹣1，﹣2，﹣3， ∴﹣4≤a+1＜﹣3， 解得：﹣5≤a＜﹣4， 故选：C． 题型六 一元一次不等式的实际应用（共7小题） 25．（2024秋•兰溪市校级期中）一次环保知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为（　　） A．5x﹣（20﹣x）＞88 B．5x﹣（20﹣x）＜88 C．5x﹣x≥88 D．5x﹣（20﹣x）≥88 【分析】设答对的题数为x道，则答错或不答的题数为（20﹣x）道，根据总分＝5×答对题数﹣1×答错或不答题数，结合总得分不少于88分，即可得出关于x的一元一次不等式． 【解答】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为（20﹣x）道， 则5x﹣（20﹣x）≥88． 故选：D． 26．（2024秋•拱墅区校级期中）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，则导火线的长x（m）应满足的不等式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，从而可以列出相应的方程． 【解答】解：∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域， ∴， 故选：C． 27．（2024秋•龙游县校级期中）x的与2的和是正数，用不等式表示为　 　 ． 【分析】x的与2的和即为“x+2”、正数即“＞0”可得． 【解答】解：x的与2的和是正数，用不等式表示为x+2＞0， 故答案为：x+2＞0． 28．（2024秋•拱墅区校级期中）用不等式表示下列各式： （1）0大于﹣1； （2）a的5倍超过1； （3）x减去y小于﹣3； （4）a的2倍与1的和是正数； （5）m与n的差不大于0； （6）x的6倍加上4是非负数． 【分析】（1）直接列不等式即可； （2）根据超过就是大于列不等式即可； （3）直接列不等式即可； （4）根据正数大于零列不等式即可； （5）直接列不等式即可； （6）根据非负数为大于等于零的数列不等式即可． 【解答】解：（1）根据“0大于﹣1”得到：0＞﹣1． （2）“超过”表示大于，则a的5倍超过1表示：5a＞1． （3）x减去y小于﹣3表示：x﹣y＜﹣3． （4）a的2倍与1的和是正数表示：2a+1＞0． （5）“不大于”表示小于或等于，则m与n的差不大于0表示：m﹣n≤0． （6）“非负数”表示大于或等于，则x的6倍加上4是非负数表示6x+4≥0． 29．（2024秋•钱塘区校级期中）为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【分析】（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元， 根据题意得：， 解得， 答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元； （2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（300﹣a）只，费用为w元， w＝5a+7（300﹣a）＝﹣2a+2100， ∵a≤2（300﹣a）， ∴a≤200， ∴当a＝200时，w取得最小值，此时w＝1700，300﹣a＝100， 答：当购买A型号节能灯200只，B型号节能灯100只时最省钱． 30．（2024秋•海曙区校级期中）某中学因运动会开幕式演出需要，向佳衣服装厂购买A，B两种不同款式的服装，已知该厂用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米． （1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ （2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ （3）在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂这100套服装能否实现盈利不低于2185元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【分析】（1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，根据“1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产（100﹣m）套A款服装，根据生产两款服装100套所用布料不超过168米，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （3）根据这100套服装的总利润不低于2185元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合m≥60及m为正整数，即可得出各生产方案． 【解答】解：（1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米， 根据题意，得， 解得． 答：每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米； （2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产（100﹣m）套A款服装， 根据题意，得1.8（100﹣m）+1.6m≤168， 解得m≥60． 答：该服装厂最少需要生产60套B款服装； （3）该厂这100套服装能实现盈利不低于2185元的目标， 根据题意，得25（100﹣m）+20m≥2185， 解得m≤63， 又∵m≥60，且m为正整数， ∴m可以为60，61，62，63， ∴共有4种生产方案， 方案1：生产40套A款服装，60套B款服装； 方案2：生产39套A款服装，61套B款服装； 方案3：生产38套A款服装，62套B款服装； 方案4：生产37套A款服装，63套B款服装． 31．（2024秋•永康市校级期中）某商店店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款电风扇，如表中是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 3台 5台 1800元 第二天 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两款电风扇的销售单价； （2）若该商店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款电风扇共30台，求A款电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，在销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设A种型号的电风扇的销售单价是x元，B种型号的电风扇的销售单价是y元，利用销售收入＝销售单价×销售数量，结合近两周A、B两种型号的电风扇的销售数据，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购m台A种型号的电风扇，则采购（30﹣m）台B种型号的电风扇，根据采购总价不多于5400元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）超市销售完这30台电风扇不能实现利润为1400元的目标，利用总利润＝每台A种型号的电风扇的销售利润×采购数量+每台B种型号的电风扇的销售利润×采购数量，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再结合m≤10，即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种型号销售单价是x元，B种型号的销售单价是y元， ∴， ∴． 答：A种型号的电风扇的销售单价是250元，B种型号的电风扇的销售单价是210元； （2）设采购m台A种型号的电风扇，则采购（30﹣m）台B种型号的电风扇， ∴200m+170（30﹣m）≤5400， 解得：m≤10， ∴m的最大值为10． 答：A种型号的电风扇最多能采购10台，采购金额不多于5400元； （3）不能实现利润为1400元的目标，理由如下： ∵（250﹣200）m+（210﹣170）（30﹣m）＝1400， 解得：m＝20， 又∵m≤10， ∴m＝20不符合题意，舍去， ∴超市销售完这30台电风扇不能实现利润为1400元的目标． 题型七 解一元一次不等式组（共7小题） 32．（2024秋•滨江区校级期中）不等式组的解集是 x＞2，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式组的解集得到2≥m+1，求出即可． 【解答】解：， 由①得：x＞2， 由②得：x＞m+1， ∵不等式组的解集是 x＞2， ∴2≥m+1， ∴m≤1， 故选：C． 33．（2024秋•镇海区校级期中）若关于x的不等式组的解集为x≥﹣4，则a的取值范围是 　 　 ． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x≥﹣4， 解不等式②得：x＞a， ∵不等式组的解集为x≥﹣4， ∴a＜﹣4， 故答案为：a＜﹣4． 34．（2024秋•温州期中）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（　　） A．5 B．2 C．4 D．6 【分析】表示出方程的解，由方程的解为非负整数且不等式无解，确定出k的值即可． 【解答】解：解方程3﹣2x＝3（k﹣2）得x， ∵方程的解为非负整数， ∴0，即k≤3， 不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到k＞﹣1， ∴﹣1＜k≤3，即整数k＝0，1，2，3， 当k＝0时，x＝4.5，不是整数； 当k＝2时，x＝1.5，不是整数，两个k的值不符合题意，舍去； 综上，k＝1，3， 则符合条件的整数k的值的和为4． 故选：C． 35．（2024秋•宁波校级期中）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先分别解出不等式组的每一个不等式的解集，再找出其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示即可得到答案． 【解答】解：解不等式2x+1＞﹣1得：x＞﹣1， 解不等式3x﹣9≤0得：x≤3， ∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3， 在数轴上表示为： 故选：B． 36．（2024秋•钱塘区校级期中）解下列不等式（组）： （1）4+3x＞10； （2）． 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答； （2）分别求解两个不等式，再取其交集． 【解答】解：（1）4+3x＞10， 3x＞10﹣4， 3x＞6， x＞2； （2）， 由①，得x＜1， 由②，得x≥﹣3， ∴不等式组的解集﹣3≤x＜1． 37．（2024秋•宁波校级期中）（1）解关于x的不等式，并求出其最小整数解． （2）解关于x的不等式组： 【分析】（1）先去分母，移项，系数化为1即可求出不等式的解集，再取其最小整数解即可； （2）分别根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1解出每个不等式的解集，再取公共部分即可． 【解答】解：（1）， 去分母得2x﹣1＞3， 解得x＞2， ∴最小整数解为3； （2）， 解①得x≤4， 解②得x＜5； ∴x≤4． 38．（2024秋•上城区校级期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】分别解两个不等式，再确定不等式组的解集即可． 【解答】解： 解不等式①得x≥﹣3， 解不等式②得x＜1， ∴不等式组的解集为﹣3≤x＜1， 在数轴上表示为： 题型八 含参数的一元一次不等式组的整数解问题（共3小题） 39．（2024秋•奉化区校级期中）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是 　 　 ． 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出23，解之可得． 【解答】解：由3x﹣m＞0得：x， 由x﹣1≤5得：x≤6， ∵不等式组有四个整数解， ∴不等式组的整数解为6、5、4、3， 则23， 解得6≤m＜9， 故答案为：6≤m＜9． 40．（2024秋•滨江区校级期中）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　） A．﹣6＜m＜﹣5 B．﹣6≤m＜﹣5 C．﹣6＜m≤﹣5 D．﹣6≤m≤﹣5 【分析】先解不等式组，再根据仅有5个整数解，得出关于m的不等式，求解即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞m+3， 解不等式②得：x＜3， ∴不等式组的解集为m+3＜x＜3， ∵不等式组的整数解仅有5个， ∴不等式组的整数解有2、1、0、﹣1、﹣2， ∴﹣3≤m+3＜﹣2， ∴﹣6≤m＜﹣5， 故选：B． 41．（2024秋•杭州期中）关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围为 　 　 ． 【分析】先根据不等式的性质求解，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解决，再根据仅有两个整数解进行判定，即可求解． 【解答】解：由不等式组可得：x＜2，x＞a， 原不等式组仅有两个整数解， ∴a的取值范围为：﹣1≤a＜0， 故答案为：﹣1≤a＜0． 题型九 一元一次不等式组的实际应用（共3小题） 42．（2024秋•西湖区校级期中）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容量为500ml的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满且溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（　　） A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下 【分析】要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是（500﹣300）cm3，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可． 【解答】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出， 所以5颗玻璃球的体积最少是：500﹣300＝200（cm3）， 一颗玻璃球的体积最少是：200÷5＝40（cm3）， 因此推得这样一颗玻璃球的体积在40cm3以上，50cm3以下． 故选：C． 43．（2024秋•拱墅区校级期中）某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． （1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【分析】（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，根据“3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设调配m台A型挖掘机，则调配（12﹣m）台B型挖掘机，根据“不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各调配方案． 【解答】解：（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 根据题意得：， 解得：． 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米； （2）设调配m台A型挖掘机，则调配（12﹣m）台B型挖掘机， 根据题意得：， 解得：6≤m≤9， 又∵m为正整数， ∴m可以为6，7，8，9， ∴施工时有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 44．（2024秋•江北区校级期中） 如何安排销售，使总收益最大 素材1 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元． 素材2 已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ 任务2 设计销售方案，求出最大收益 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【分析】任务1：设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元，由题意得：25x+15（x+20）＝3500，再计算即可． 任务2：设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000﹣m）盒，由题意得：，故595≤m≤600，设收益为w元，由题意得：w＝（80﹣50）m+（100﹣60）（1000﹣m）＝﹣10m+40000，再计算即可． 【解答】任务1：设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元， 由题意得：25x+15（x+20）＝3500， ∴x＝80， ∴x+20＝100， 答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元； 任务2：设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000﹣m）盒， 由题意得：， ∴595≤m≤600， 设收益为w元， 由题意得：w＝（80﹣50）m+（100﹣60）（1000﹣m）＝﹣10m+40000， ∵﹣10＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝595时，w有最大值＝﹣10×595+40000＝34050， 此时，1000﹣m＝1000﹣595＝405， 答：使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒， 农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元． 题型十 方程组与一元一次不等式组的综合（共2小题） 45．（2024秋•义乌市校级期中）红糖是义乌特产，为促进销量，某批发商销售A、B两种包装的红糖，若购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元． （1）A种包装、B种包装每箱价格分别是多少元？ （2）若某公司购买A、B两种包装共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【分析】（1）设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装（30﹣x）箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得x的取值范围，再结合为正整数可得m所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可． 【解答】解：（1）设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元， ， ∴． ∴A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元． （2）设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装（30﹣x）箱， ∴， ∴17.5≤x≤20， 由题意可得：当x＝18，19或20， ∴当x＝18时，此时30﹣x＝30﹣18＝12，费用为30×18+20×12＝780（元）： 当x＝19时，此时30﹣x＝30﹣19＝11，费用为30×19+20×11＝790（元）； 当x＝20时，此时30﹣x＝30﹣20＝10，费用为30×20+20×10＝800（元）； ∵780＜790＜800． ∴购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，总费用最少，费用为780元． 46．（2024秋•义乌市期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． （1）求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； （2）若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【分析】（1）设每辆A型大巴车需x元，每辆B型大巴车需y元，根据“租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用（30﹣m）辆B型大巴车，根据“A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金＝每辆A型大巴车的租金×租用A型大巴车的数量+每辆B型大巴车的租金×租用B型大巴车的数量，可求出采用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设每辆A型大巴车需x元，每辆B型大巴车需y元， ∴， ∴． 答：每辆A型大巴车需500元，每辆B型大巴车需300元； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用（30﹣m）辆B型大巴车， ∴， ∴， ∴m可以为10，11，12， 则方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车； 方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车； 方案3：租用12辆A型大巴车，8辆B型大巴车； （3）采用租车方案1所需费用为500×10+300×20＝11000（元）； 采用租车方案2所需费用为500×11+300×19＝11200（元）； 采用租车方案3所需费用为500×12+300×18＝11400（元）． ∴采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． $专题02 一元一次不等式（组）相关专题 题型1 不等式的性质（常考点） 题型6 一元一次不等式的实际应用 题型2 不等式组的解集（重点） 题型7 解一元一次不等式组（常考点） 题型3 在数轴上表示不等式的解集 题型8 含参数的一元一次不等式组整数解问题（难点）（重点） 题型4 解一元一次不等式（重点） 题型9 一元一次不等式组的实际应用（重点） 题型5 含参数的一元一次不等式的整数解问题（重点）（难点） 题型10 方程组与一元一次不等组的结合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 不等式的性质与应用（共8小题） 1．（2024秋•江北区校级期中）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式不成立的是（　　） A．a+c＞b+c B．c﹣a＜c﹣b C．ac2＞bc2 D． 2．（2024秋•江北区校级期中）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．3a＞b+1 B．a+1＞b+1 C．﹣2a＞﹣2b D．|a|＞|b| 3．（2024秋•西湖区校级期中）下列判断不正确的是（　　） A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则﹣2a＜﹣2b C．若2a＞2b，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2 4．（2024秋•绍兴期中）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则 5．（2024秋•西湖区校级期中）若x＞y，且ax＜ay，则a的取值范围是 　 　 ． 6．（2024秋•绍兴期中）关于x，y的二元一次方程2y＝x+1的解满足x﹣y≤2，则x的最大值是 　 　 ． 7．（2024秋•绍兴期中）当x＞y时， （1）请比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由． （2）若（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围为 　 　 ．（直接写出答案） 8．（2024秋•丽水期中）对于负整数a，b，c，d，现规定符号ac﹣bd，已知13，则b+d的值为 　 　 ． 题型二 不等式组的解集（共4小题） 9．（2024秋•永康市校级期中）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是 　 　 ． 10．（2024秋•义乌市期中）不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥4 D．m＞4 11．（2024秋•义乌市校级期中）若不等式组无解，则m的值可能（　　） A．7 B．6 C．3 D．5 12．（2024秋•奉化区校级期中）不等式组有解，m的取值范围是　 　 ． 题型三 在数轴上表示不等式的解集（共3小题） 13．（2024秋•鹿城区校级期中）不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（2024秋•宁海县期中）已知不等式x≥1，此不等式的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 15．（2024秋•西湖区校级期中）（1）将不等式﹣1≤x＜3表示在数轴上． （2）利用数轴说明，x取下列值：﹣2，﹣1，0，3，其中满足不等式﹣1≤x＜3的是 　 　 ． 题型四 解一元一次不等式（共5小题） 16．（2024秋•钱塘区校级期中）一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（　　） A．2x≥6 B．x﹣3＜0 C．3﹣x＜0 D．x+3＞0 17．（2024秋•慈溪市期中）若关于x的一元一次方程4x+m+1＝3x﹣1的解是负数，则m的取值范围是（　　） A．m＝0 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m≤2 18．（2024秋•慈溪市期中）解下列不等式： （1）9x﹣1＞7x+3． （2）． 19．（2024秋•西湖区校级期中）（1）解不等式3x+2＜6； （2）解不等式，并在如图所示的数轴上表示不等式的解集． 20．（2024秋•江北区校级期中）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：3×4＝﹣2． （1）填空：若，则x＝　 　 ，若，则x的取值范围为 　 　 ； （2）若，x+y≥0，求实数k的取值范围． 题型五 含参数的一元一次不等式整数解问题（共4小题） 21．（2024秋•江北区校级期中）关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　） A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2 22．（2024秋•滨江区校级期中）已知关于x的不等式a﹣4x≤0有且只有3个负整数解，则a的取值范围是 　 　 ． 23．（2024秋•拱墅区校级期中）若不等式3x﹣m≤0的正整数解是1、2、3．则m的取值范围为（　　） A．m＜12 B．m≥9 C．9≤m≤12 D．9≤m＜12 24．（2024秋•诸暨市期中）关于x的不等式x﹣a＞1有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（　　） A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．﹣5≤a＜﹣4 D．﹣5＜a≤﹣4 题型六 一元一次不等式的实际应用（共7小题） 25．（2024秋•兰溪市校级期中）一次环保知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为（　　） A．5x﹣（20﹣x）＞88 B．5x﹣（20﹣x）＜88 C．5x﹣x≥88 D．5x﹣（20﹣x）≥88 26．（2024秋•拱墅区校级期中）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，则导火线的长x（m）应满足的不等式为（　　） A． B． C． D． 27．（2024秋•龙游县校级期中）x的与2的和是正数，用不等式表示为　 　 ． 28．（2024秋•拱墅区校级期中）用不等式表示下列各式： （1）0大于﹣1； （2）a的5倍超过1； （3）x减去y小于﹣3； （4）a的2倍与1的和是正数； （5）m与n的差不大于0； （6）x的6倍加上4是非负数． 29．（2024秋•钱塘区校级期中）为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 30．（2024秋•海曙区校级期中）某中学因运动会开幕式演出需要，向佳衣服装厂购买A，B两种不同款式的服装，已知该厂用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米． （1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ （2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ （3）在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂这100套服装能否实现盈利不低于2185元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 31．（2024秋•永康市校级期中）某商店店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款电风扇，如表中是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 3台 5台 1800元 第二天 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两款电风扇的销售单价； （2）若该商店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款电风扇共30台，求A款电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，在销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 题型七 解一元一次不等式组（共7小题） 32．（2024秋•滨江区校级期中）不等式组的解集是 x＞2，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 33．（2024秋•镇海区校级期中）若关于x的不等式组的解集为x≥﹣4，则a的取值范围是 　 　 ． 34．（2024秋•温州期中）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（　　） A．5 B．2 C．4 D．6 35．（2024秋•宁波校级期中）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　） A． B． C． D． 36．（2024秋•钱塘区校级期中）解下列不等式（组）： （1）4+3x＞10； （2）． 37．（2024秋•宁波校级期中）（1）解关于x的不等式，并求出其最小整数解． （2）解关于x的不等式组： 38．（2024秋•上城区校级期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 题型八 含参数的一元一次不等式组的整数解问题（共3小题） 39．（2024秋•奉化区校级期中）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是 　 　 ． 40．（2024秋•滨江区校级期中）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　） A．﹣6＜m＜﹣5 B．﹣6≤m＜﹣5 C．﹣6＜m≤﹣5 D．﹣6≤m≤﹣5 41．（2024秋•杭州期中）关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围为 　 　 ． 题型九 一元一次不等式组的实际应用（共3小题） 42．（2024秋•西湖区校级期中）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容量为500ml的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满且溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（　　） A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下 43．（2024秋•拱墅区校级期中）某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． （1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 44．（2024秋•江北区校级期中） 如何安排销售，使总收益最大 素材1 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元． 素材2 已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ 任务2 设计销售方案，求出最大收益 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 题型十 方程组与一元一次不等式组的综合（共2小题） 45．（2024秋•义乌市校级期中）红糖是义乌特产，为促进销量，某批发商销售A、B两种包装的红糖，若购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元． （1）A种包装、B种包装每箱价格分别是多少元？ （2）若某公司购买A、B两种包装共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 46．（2024秋•义乌市期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． （1）求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； （2）若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ $