第21章 一元二次方程（单元测试·冲刺卷）数学人教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 一元二次方程 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C B A C B B A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．-1 12． 13． 14．， 15． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题8分） 【详解】（1）x2﹣2x+1=100，（x﹣1）2=100，x﹣1=±10，所以x1=11，x2=﹣9； （2）x2+5x﹣7=0，△=52﹣4×1×（﹣7）=53，x= 所以x1=，x2=； （3）4x（2x+1）﹣3（2x+1）=0，（2x+1）（4x﹣3）=0，2x+1=0或4x﹣3=0，所以x1=﹣，x2=； （4）x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0，x+4=0或x﹣2=0，所以x1=﹣4，x2=2． 17．（本题7分） 【详解】证明：①当， 即时，方程为，解得， 所以此时方程有实数根； ②当时，， 所以此时方程有两个实数根． 综上，不论m为何值，方程总有实数根． 18．（本题8分） 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 19．（本题9分） 【详解】解： 每千克土特产售价(单位：元) 可供出售的土特产质量(单位：克) 现在出售 天后出售 （2）设商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，有题意得 ． 解得，(不合题意，舍去) 答：这批土特产贮藏天后一次性出售最终可获得总利润元． 【点睛】本题主要考查了利润方面一元二次方程的应用．找到关键描述语与等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 20．（本题9分） 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 21．（本题9分） 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 22．（本题11分） 【详解】解：（1）设，则， ∴，即，∴， ∵，∴， ∴． （2）设最小数为x，则， 即：， 设，则， ∴，， ∵，∴， ∴，（舍去）， ∴这四个整数为2，3，4，5． 23．（本题14分） 【详解】解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”为：-10x2+3x+1=0， 故答案为：-10x2+3x+1=0； （2）-10x2+3x+1=0， ， 解得，，， 根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 证明如下： ∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为， “友好方程”cx2+bx+a=0的两根为． ∴， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； （3）∵方程2021x2+bx-c=0的两根是， ∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2021， 则c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021， ∴该方程的解为x5=0，x6=2022． 利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的两根为x5=0，x6=2022， 故答案为x5=0，x6=2022． 【点睛】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 一元二次方程 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 3．（本题3分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 4．（本题3分）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 5．（本题3分）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 6．（本题3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（    ）． A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 8．（本题3分）已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 9．（本题3分）已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 10．（本题3分）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 12．（本题3分）已知，且满足，，那么的值为 . 13．（本题3分）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 14．（本题3分）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 15．（本题3分）若（为实数），则的最小值为 ． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题8分）解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（分解因式法）     17．（本题7分）已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根． 18．（本题8分）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 19．（本题9分）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以元/千克收购了这种土特产千克，若立即销往外地，每千克可以获利元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过天，在贮藏过程中平均每天损耗千克． （1）若商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，请完成下列表格： 每千克土特产售价(单位：元) 可供出售的土特产质量(单位：克) 现在出售 天后出售    20．（本题9分）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 21．（本题9分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 22．（本题11分）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即，∴． ∵，∴． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 23．（本题14分）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”_______． （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 一元二次方程 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 3．（本题3分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 4．（本题3分）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 5．（本题3分）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 6．（本题3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（    ）． A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 8．（本题3分）已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 9．（本题3分）已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 10．（本题3分）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 12．（本题3分）已知，且满足，，那么的值为 . 13．（本题3分）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 14．（本题3分）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 15．（本题3分）若（为实数），则的最小值为 ． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题8分）解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（分解因式法）     17．（本题7分）已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根． 18．（本题8分）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 19．（本题9分）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以元/千克收购了这种土特产千克，若立即销往外地，每千克可以获利元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过天，在贮藏过程中平均每天损耗千克． （1）若商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，请完成下列表格： 每千克土特产售价(单位：元) 可供出售的土特产质量(单位：克) 现在出售 天后出售    20．（本题9分）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 21．（本题9分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 22．（本题11分）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即，∴． ∵，∴． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 23．（本题14分）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”_______． （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 一元二次方程 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则 ． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：D． 2．（本题3分）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 3．（本题3分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 4．（本题3分）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 【详解】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 5．（本题3分）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 6．（本题3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 7．（本题3分）关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（    ）． A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， ∴是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8．（本题3分）已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由根与系数的关系得到，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵a，b分别为方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， 故选：B． 9．（本题3分）已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式．熟练掌握点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由点在第二象限，可得，则，由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 10．（本题3分）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 【答案】C 【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可． 【详解】解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】-1 【分析】根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴k−1≠0且|k|＋1＝2， 解得：k＝−1， 故答案为：−1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 12．（本题3分）已知，且满足，，那么的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键．由a、b满足的条件可得出a、b为方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中可求出结论． 【详解】解： ，且满足，， 、b为方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 13．（本题3分）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为t 秒，则，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴2或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 14．（本题3分）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，根据新定义得：，，由可得到一元二次方程，求解即可．根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 15．（本题3分）若（为实数），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 【详解】解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题8分）解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（分解因式法）     【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)， 【分析】（1）利用配方法得（x﹣1）2=100，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程； （3）先移项得到4x（2x+1）﹣3（2x+1）=0，然后利用因式分解法解方程； （4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）x2﹣2x+1=100，（x﹣1）2=100，x﹣1=±10，所以x1=11，x2=﹣9； （2）x2+5x﹣7=0，△=52﹣4×1×（﹣7）=53，x= 所以x1=，x2=； （3）4x（2x+1）﹣3（2x+1）=0，（2x+1）（4x﹣3）=0，2x+1=0或4x﹣3=0，所以x1=﹣，x2=； （4）x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0，x+4=0或x﹣2=0，所以x1=﹣4，x2=2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法和配方法解一元二次方程． 17．（本题7分）已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了根的判别式，讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，因为，则方程有两个实数根． 【详解】证明：①当， 即时，方程为，解得， 所以此时方程有实数根； ②当时，， 所以此时方程有两个实数根． 综上，不论m为何值，方程总有实数根． 18．（本题8分）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 19．（本题9分）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以元/千克收购了这种土特产千克，若立即销往外地，每千克可以获利元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过天，在贮藏过程中平均每天损耗千克． （1）若商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，请完成下列表格： 每千克土特产售价(单位：元) 可供出售的土特产质量(单位：克) 现在出售 天后出售    （2）将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润元？ 【答案】（1）10，，；（2）这批土特产贮藏天后一次性出售最终可获得总利润元． 【分析】（1）由售价=进价+利润可求出现在出售每千克土特产的售价,根据市场调查，该土特产的售价每天上涨0.4元/千克及在贮藏过程中平均每天损耗约5千克，可得出x天后出售的售价及可供出售的重量; （2） 根据总利润=销售收入-成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的较小值即可得出结论． 【详解】解： 每千克土特产售价(单位：元) 可供出售的土特产质量(单位：克) 现在出售 天后出售 （2）设商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，有题意得 ． 解得，(不合题意，舍去) 答：这批土特产贮藏天后一次性出售最终可获得总利润元． 【点睛】本题主要考查了利润方面一元二次方程的应用．找到关键描述语与等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 20．（本题9分）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 21．（本题9分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 22．（本题11分）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即，∴． ∵，∴． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【答案】（1）；（2）这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）设2x2+2y2=m，则原方程变为（m+3）（m-3）=27，解方程求得m=±6，根据非负数的性质即可求得x2+y2=3； （2）设最小的正整数为x，则另三个分别为x+1、x+2、x+3，根据题意可得方程x（x+1）（x+2）（x+3）=120，整理为（x2+3x）（x2+3x+2）=120，设x2+3x=y，则原方程变为y（y+2）=120，解方程求得y=-12或10，由于y是正整数，可得y=10，所以x2+3x=10，再解方程求得x的值即可. 【详解】解：（1）设，则， ∴，即，∴， ∵，∴， ∴． （2）设最小数为x，则， 即：， 设，则， ∴，， ∵，∴， ∴，（舍去）， ∴这四个整数为2，3，4，5． 【点睛】本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 23．（本题14分）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”_______． （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】（1）-10x2+3x+1=0；（2），互为倒数，证明见解析；（3）x5=0，x6=2022． 【分析】（1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可； （3）先根据“友好方程”的根的特点得出-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2020，将待求方程变形为（x-1）2-b（x-1）-2021=0，把x-1看做整体即可求解． 【详解】解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”为：-10x2+3x+1=0， 故答案为：-10x2+3x+1=0； （2）-10x2+3x+1=0， ， 解得，，， 根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 证明如下： ∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为， “友好方程”cx2+bx+a=0的两根为． ∴， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； （3）∵方程2021x2+bx-c=0的两根是， ∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2021， 则c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021， ∴该方程的解为x5=0，x6=2022． 利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的两根为x5=0，x6=2022， 故答案为x5=0，x6=2022． 【点睛】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $