第3章 第8周 勾股定理的探究&勾股定理的逆定理-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（苏科版2024）

一本初中数学周末小测卷八年级上册SK版 第3章 勾股定理 第 8 周 勾股定理的探究&勾股定理的逆定理 ⊙时间：45分钟 8分值：100分 8得分： ☑答案：P50 基础测·教材变式 弥 一、选择题（每题3分，共15分） n 1.新考法数学文化勾股定理的证明从古至今已有数百种方法.公元3世纪初，我国数学家赵爽用剪拼 洲 图形的方法完成了证明，他用来证明勾股定理的图形被称为“赵爽弦图”.下列图形中是“赵爽弦图” 的是 () A B C D 2.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是 () A.1,W2,w3 B.4,5,6 C.1,1,w2 D.7,24,25 拟 3.D□如图，数轴上点A表示的数是一1，点B表示的数是1，已知BC=1,∠ABC=90°，以点A为圆 封 心，AC的长为半径作弧，与数轴交于点P,则点P表示的数是 () A.√5-1 B.√5-2 C.5-1 D.2-√3 B -2101p2 第3题图 第4题图 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,分别以AC,BC,AB的长为直径作半圆，则图中阴 影部分的面积为 () A.6 6 25 C.4π-6 D.12 线 5.《九章算术》是我国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式：a= m2、n2),6=mm,c三2(m2+n),其中m>>0,m,n是互质的奇数下列四组勾股数 由该勾股数的计算公式直接得出的是 () B.5,12,13 C.6,8,10 A.3,4,5 D.7,24,25 苏 二、填空题（每题3分，共12分） 6.回易错题若a,3,4是一组勾股数，则a的值为 7.如图，已知正方形网格中每个小正方形的边长都为1，点A,B,C,D都在格点上，则四边形ABCD 的面积为 N M--- B 图1 图2 第7题图 第8题图 第9题图 8.根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.例如，利用图形面积的不同计 算方法，可以验证很多代数恒等式，体现了数形结合的数学思想.如图1、图2，你可以写出的代数恒 等式是 (任选一图作答，回答时请注明图形序号，如图1、图2) 9.D如图，长方体的底面的长为4cm,宽为3cm,高为12cm,则上下两底面的对角线MN的长为 cm. 三、解答题（共25分） 10.(8分)如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块四边形空地ABCD,已知AD=4m,CD=3m, ∠ADC=90°，AB=13m,BC=12m,小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，若草坪每平方米 100元，则用草坪铺满这块空地需花费多少元？ D 11.(8分)观察下面图形，已知每个小正方形的边长为1. (1)图1中阴影正方形的面积为 边长为 (2)请用无刻度的直尺和圆规在图2的数轴上作出点M,使得点M表示的数为√I3(保留作图痕 迹，不写作法). -4-3-21012345 图1 图2 12.(9分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D.已知BD=3,AB=5,设CD的长为x. (1)根据勾股定理，得AC2= (用含x的代数式表示，结果需化简) (2)求x的值. 。19● 一李初中数学周末小测卷|八年级上册SK版 能力测·迁移运用 一、选择题（每题3分，共9分） 13.(2024南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的 直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n (m>n).若小正方形的面积为5，(m十n)2=21,则大正方形的面积为 () A.12 B.13 C.14 D.15 之 第13题图 第14题图 第15题图 14.(2024淮安中考)如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都 有一条直角边长为1，记这个图形的周长（实线部分）为1，则下列整数与1最接近的是 A.14 B.13 C.12 D.11 15.如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都为1，点A,B,C,D,E都在格点上，线段AB,CD 相交于点F.若∠CFB=a,则∠ABE= () A.180°-a B.180°-2a C.90°+a D.90°+2a 二、填空题（每题3分，共6分） 16.(2024泰州海陵区期末)如图，在正方形网格中每个小正方形的边长为1，点A,B,C都在格点上，在 图中找一点O,使得OA=OB=OC,则OA的长为 B 第16题图 第17题图 17.D如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,B两点出发，分别沿AB,BC 方向匀速移动，它们的速度都是1c/s,当点P到达点B时，P,Q两点停止运动.设运动时间为 ts,则当t= 时，△PBQ是直角三角形 三、解答题（共33分） 18.(10分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现， 当两个全等的直角三角形按如图1或图2所示的方式摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小 聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2十b2=c2. 证明：如图，连接DB,过点D作△DCB中边BC上的高DF,则DF=EC=b一a. 。20· :SRe=Sam十SN度=b+号4b, D 1 S四边形ADcB=SAADB十SADCB三7C2+ 2a(b-a), 图2 ∴.a2十b2=c2. 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明. 弥 将两个全等的直角三角形按如图2所示的方式摆放，其中∠DAB=90°.求证：a2十b2=c2. 19.D(10分)(2025镇江期中)小明在探究勾股数的规律时关注到这样几组勾股数：3,4,5；5,12,13； 7,24,25;…,他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成. (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9,40,41，这是一组勾股数吗？请给出证明. (2)为了进一步探究勾股数的构成规律，小明设勾股数为m,n,n+1(m为大于1的奇数，且m<n). ①猜想是否可以用表示出n.若可以，请帮小明完成他的猜想；若不可以，请说明理由. ②当m=17时，请直接写出这组勾股数， 封 思维测·拓展创新 20.D新定义问题(13分)在△ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,且a,b,c满足ac十a2=b2,则称这 个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC,AC>AB,求∠A的度数， (2)如图2，在△ABC中，∠B=2∠A,且∠C>∠A,求证：△ABC为“类勾股三角形”.小明同学想 到可以在AB上找一点D,使得AD=CD,再作CE⊥BD,请你帮助小明完成证明过程. 线 图1 图2一专初中数学周末小测卷|八年级上册SK版 ..BC=FE, ∴.AB+BC=CD+BC, ..BC-EC=FE-EC, ..AC=BD. 即BE=FC. 在△ACE和△BDF中， BF=13,EC=5, (AE=BF, BE=2(BF-EC)=2X13-5)=4, 1 ∠A=∠DBF, AC-BD, ∴.BC=BE+EC=4+5=9. ∴.△ACE≌△BDF(SAS). 4.解：(1)证明：在△ABC和△BAD中， (2)由(1)，得△ACE≌△BDF, ∠C=∠D, ∴.∠ACE=∠D, ∠CBA=∠DAB, .EC∥FD. AB=BA, 7证明：EF是AD的垂直平分线， ∴.△ABC≌△BAD(AAS). ..AF=DF, (2),∠DAB=70°，∠D=90°， ∴∠FAD=∠ADF, ∴.∠DBA=90°-70°=20°. ,AD是△ABC的角平分线， 由(1)，知△ABC≌△BAD, .∠DAB=∠CAD. ∴.∠CAB=∠DBA=20°. '∠FAD=∠FAC+∠CAD,∠ADF=∠B+∠DAB, 故答案为20. ∠FAC=∠B, 5.解：(1)证明：BE⊥AC,CF⊥AB, ∴.∠BAC+∠FAC=∠BAC+∠B, ∴.∠HFB=∠HEC=90°. 即∠BAF=∠ACF. ∠BHF=∠CHE, 8.解：(1)AB=AC,AD是边BC上的中线， ∴.∠ABD=∠ACG. ∴∠BAD=∠CAD, 在△ABD和△GCA中， .∠BAC=2∠BAD=50°， (AB=GC, ∴∠C=∠ABC= 2X(180°-∠BAC)= ×(180° ∠ABD=∠GCA, BD=CA, 50)=65°. (2)证明：，'AB=AC,AD是边BC上的中线， ,∴.△ABD≌△GCA(SAS), ∴.ED⊥BC ..AD=AG. BG平分∠ABC,EF⊥AB, (2)AD⊥AG.理由如下： ..EF=ED. 由(1)，知△ABD2△GCA, 9.证明：如图，过点A作AM⊥BC于点M. ∴.∠ADB=∠GAC :∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC=∠GAD+ ∠DAE, ∴.∠AED=∠GAD=90°， .AD⊥AG .AB=AC,AM⊥BC 6.证明：(1)：AB=CD, ∴.∠BAC=2∠BAM. 。14。 .AD=AE, ∠D=∠AED, ∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D, .∠BAC=2∠BAM=2∠D, .∠BAM=∠D, .DF∥AM. ,AM⊥BC, ∴.DF⊥BC. 10.A11.C 12.解：如图，点C即为所求. M' 13.D:√1-a=b,∴.1-a≥0，解得a≤1. 14.解：根据题意，得x-3>0且3一x>≥0， 解得x≥3且x≤3， x=3,y=8, .x+3y=3+3×8=27. 33=27, .x十3y的立方根为3. 15.A,√x+3+√y-2=0, .x+3=0,y-2=0, .x=-3,y=2, ∴.3x+2y=3×(-3)+2×2=-9+4=-5. 16.D.(x-2)2+√y+2=0, ∴.x-2=0,y十2=0， .x=2,y=一2， ()》-()=(-1海=一1 17.解：.a+√a-2=2, .√a-2=2-a. :a-2≥0,2-a≥0， a=2, ∴.√a+2=√4=2. 第3章 勾股定理 第⑧周 勾股定理的探究& 勾股定理的逆定理 1.B“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小 正方形拼成的一个大正方形 2.BA12+(W2)2=1+2=3=(W3)2, ∴1W2W3能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B..42+52=16+25=41≠62， ∴.4,5,6不能作为直角三角形的三边长，符合题意； C.:12+12=1+1=2=(W2)2, ∴.1,1√2能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D.,72+242=49+576=625=252, ∴.7,24,25能作为直角三角形的三边长，不符合题意， 3.A,∠ABC=90°，.AC=√12+22=√5. 以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点P, .AP=AC=√5， 点P表示的数是√5-1. 4.A由勾股定理可得，AB2=AC2十BC=25, 则S男影=S△Ac十S半医Ac十S半c一S半医AB=2AC·BC十 2×xx(9)+2×xx()'-2×π×()° 2×4X3+2×xX}X4C+BC-AB)=6. 1 解题大招 以直角三角形的三边为直径向外作的三个半圆 的面积关系是两个小半圆的面积和等于大半圆的面 积若以直角三角形的三边为基础，向外作正方形、等 边三角形，结论同样成立 5.CA当m=3,n=1时， a=2(m2-m2)=2×(32-12)=4,b=m=3X1=3, c=号(m+)=号×(3+1)）=5，则选项A不符合 题意 一初中数学周末小测卷八年级上册SK版 B.当m=5,n=1时， 1 1 a=2(m2-n2)=2×(52-1)=12,b=mn=5X1=5, c=2(m2+n)=2×(62+1)=13, 1 则选项B不符合题意. D.当m=7,n=1时， 1 Q-1（m2-2)=。×(72-12)=24,b=mn=7×1=7, 1 1 c=2(m2+n2)=2×(72+12)=25,则选项D不符合 题意 没有符合条件的m,n使a,b,c分别为6,8,10，选项 C符合题意， 6.5当4是直角边长时，，32+42=52，.a=5. 当4是斜边长时，a=√4一3z=√7（不是整数，舍去）. 易错警示 勾股数必须都是正整数，如0.3,0.4,0.5，虽然 0.32+0.42=0.5,但是它们都是小数，所以不是勾 股数 如图。 DG K B FH 由题意，得EF=FC=CG=EG=5,则S正方形Br=EF2= 52=25, 且SAam-2X2X4=4,Sm-2X1X5-号，SA1= 5 7X1X4=2,SE5I=1,SAMx2×1X2=1, ∴.S四边形ABCD=S正方形EG一S△ABD-SACc一SARCH S正方形BKFH一S△ABK, 5 29 ∴.S四边形ABD=25一4- 8-2-1-1= 2 四边形ABCD的面积为2 9 8.如题图1，(a十b)}2=(a一b)2十4ab(答案不唯-）如题图1， 根据长方形的面积公式，得(a十b)2=(a一b)2+4ab;如 1 题图2,2(h+c)(b+c)=2X2bc+2a3,.b+c2=a, 9.13如图，连接MD E D 由题意可得，EM=3cm,ED=4cm,ND=12cm. 在Rt△DEM中，MD=√EMP+ED=√32+4= 5(cm). 在Rt△MND中，MN=√ND2+MDz=√122+5 13(cm). 10.解：如图，连接AC. …1分 B 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4m,CD=3m. 由勾股定理可得，AC=√32+42=5(m).…2分 ,AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169,…4分 ∴.AC2+BC2=AB2, .∠ACB=90°，…6分 1 S边BAD=SAM8一SMpe2X5X127X3X4E 24(m2),…………7分 则用草坪铺满这块空地需花费24×100=2400（元）. …8分 1.解：()阴影正方形的面积为5×5-4×号×2X3=13, 阴影正方形的边长为√13.故答案为13，√13.…4分 (2)提示：如图，构造两直角边分别为2和3的Rt △OAB,由勾股定理可得，斜边OB=√22+32=√13】 在数轴上以点O为圆心，以OB的长为半径作弧，与数 轴正半轴交于点M,即点M表示的数为√3.…8分 .BG∥CD, .∠ABG=∠CFB=a. -4-3-26 12345 ,BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+ 52=34, 12.解：(1)，AD⊥BC, ..BG2+BE2=EG2, ∠ADB=∠ADC=90°. .△BEG是直角三角形， BD=3,AB=5, .∠GBE=90°， ∴.∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+a. ∴AD=√AB2-BD2=√52-32=4. CD的长为x, 16.√T0如图，作AB的垂直平分线交BC的垂直平分线于 ∴.AC2=AD2+CD2=42+x2=16+x2. 点O,连接OA,OB,OC,此时OA=OB=OC. 故答案为16十x2.……4分 (2)BD=3,CD=x, ∴.BC=BD十CD=3十x.…6分 由题意及(1)，得AC2=BC2-AB2,AC2=16十x2, R .16十x2=(3十x)2-52,…8分 解得2-号 …9分 由勾股定理，得OA=√32+1严=√10. 13.B由题意可知，中间小正方形的边长为m一n, 17.1或2根据题意，得AP=tcm,BQ=tcm. ∴.(m-n)2=5,即m2+n2-2mm=5.① 在△ABC中，AB=BC=3cm,∠B=60°， (m+n)2=21, 则BP=(3-t)cm. ∴.m2+n2+2mn=21.② 若△PBQ是直角三角形， ①+②，得2(m2+n2)=26, 则∠BQP=90或∠BPQ=90°. .大正方形的面积为m2+n2=13. 当∠BQP=90时，BQ=2BP, 14.B第1个直角三角形的斜边长=√+1下=√2， 第2个直角三角形的斜边长=√1？+(W2)2=√3， 即1=28-)，解得上=1. 当∠BPQ=07时，BP-号BQ, 第9个直角三角形的斜边长=√1十(W9)2=√10， 即3-t=2t,解得t=2. 则l=1+1×9+√10=10+√10. 综上所述，当t的值为1或2时，△PBQ是直角三角形. 与√10最接近的整数是3， 18.解：如图，连接BD,过点B作△BDE中边DE上的高 .与10+√10最接近的整数是13. BF,则BF=b一a.…2分 15.C如图，过点B作BG∥CD,连接EG. D 。15。 一初中数学周末小测卷|八年级上册SK版 Saae=SAa十SAs十Saue=号ab 262 1 :∠B=2∠A, ∠CDB=∠B, 1 b,…4分 .'.CD=CB=a, 1 ∴.AD=CD=a, Si助AaED=SAN十SAm十Saae=2ab+2c2+ .DB=AB-AD=c-a.…l0分 2(h-),…6分 ,CE⊥AB, + 62+1 1 1 2 ab= 1 2 4b+. 1 2c2+ a(b-a), 六DE=BE=2(c-a), 1 a2十b2=c2.…10分 六AE=AD+DE=a+2(c-a)=2(c+a).…11分 19.解：(1)9,40,41是一组勾股数.理由如下：…1分 .92+402=81+1600=1681,412=1681, 在△McE中，CE=AC-AE--[2c+o) .92十402=412，……2分 在R△BCE中，CE=BC-BE=a-[合c-a)]、 9,40,41是一组勾股数.…3分 (2)①可以用m表示出n.…4分 6-[2c+a]=a-[2c-a],…12分 .m2+n2=(n+1)2, '.b2=ac+a2, .m2=(n十1)2-n2=2n十1，…6分 ,∴.△ABC是“类勾股三角形”.…13分 n=m21 第⑨，周勾股定理的简单应用 2 …7分 ②这组勾股数是17,144,145. 1.A当铅笔不垂直于底面放置时，铅笔在笔筒内部的最大 提示：当m=17时，n-m,1_17,1-14, 长度为√122+92=15(cm); 2 2 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒内部的长度 则这组勾股数是17,144,145.…10分 最小，最小长度为12cm, 20.解：(1)AB=BC,AC>AB, 则这支铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围为l2cm≤ a=c,b>c.…1分 l≤15cm, ,△ABC是“类勾股三角形”， 2.C由勾股定理可得，楼梯的水平宽度为√132-52= ∴.ac+a2=b2, 12(m). .c2十a2=b2,…3分 ,'楼梯表面铺地毯所需的长度是楼梯的水平宽度与垂直 ∴△ABC是等腰直角三角形， …5分 高度的和， ∠A=45°.… …6分 ∴.地毯的长度至少需要12十5=17(m). (2)证明：如图. 3.C如图，设离开港口1h后，向东北方向航行的轮船至 点B,向东南方向航行的轮船至点C,连接BC. .'AD=CD, 东 ,.∠A=∠ACD, ∴.∠CDB=∠ACD十∠A=2∠A.…8分 。16。 由题意，得AB=3×1=3(n mile),AC=4×1= 4(n mile),∠BAC=90°， .BC=√AB2+AC=5 n mile,∴.离开港口1h后，两船 相距5 n mile. 4.D由题意作出图形如下. BD 在Rt△AOB中，OB=4m,AB=5m, .OA=√JAB2-OB2=√52-4=3(m). 在Rt△COD中，OC=OA一AC=3-1=2(m),CD= AB=5 m, ∴.0D=√CD2-0C=√52-22=√21(m), .BD=OD-OB=(√21-4)m, 即梯子的底端将滑动（√21一4）m. 5.C由题意，得AC=5尺，DC=1尺，BD=BA. 设BC=x尺，则BD=BA=(x十1)尺. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BA2=AC2+BC2, 即(x+1)2=52+x2, 解得x=12, 即BC=12尺. 解题大招 如果已知直角三角形的两边长，可直接由勾股 定理求第三边长；如果已知直角三角形的一边长及 另两边长的关系，可设未知数，根据勾股定理列方程 求解。 6.8由题意可得，AB=3m,AC=4m,∠BAC=90°. 由勾股定理可得，BC=√AB2+AC=√32+4平= 5(m), ∴.这棵大树折断前的高度为AB十BC=3+5=8(m). 7√2如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与 出发点间的最短距离为√1十1=√2. ② 帅》 8.北偏东50°由题意可知，AP=12 n mile,BP=16 n mile, AB=20 n mile. .122+162=202, ∴△APB是直角三角形， .∠APB=90° 由题意可知，∠1=40°， .∠2=90°-∠1=90°-40°=50°， 即乙轮船沿北偏东50°方向航行. 9.5如图，将圆柱表面展开. D G E H B C ,圆柱高为4m,底面周长为1m, .'.AB=DC=4 m,BC=1 m, ∴FC=3DC=m 4 在R△F中，BF=VC+元-√F+() m ..BF+HE+GD= 5×3=5(m), 则彩带的长至少是5m. 解题大招 此类问题往往化曲为直，将侧面展开转化为平 面内两点之间的距离问题，从而构造直角三角形，根 据勾股定理来解。 10.解：设绳索的长为x尺. 根据题意，得x2一(x一3)2=82，…4分 73 解得x= 61 …7分 73 答：绳索的长为 尺.…8分