专题01 函数的性质及其应用大题（36题）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题01 函数的性质及其应用大题（36题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 利用函数的性质求解析式 1．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)求出的值域． 2．（25-26高一上·全国·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 3．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 4．（24-25高二下·江西·期末）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 5．（24-25高二下·上海·期末）已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 6．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 题型二 利用函数的性质求最值 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 8．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值． 9．（24-25高一上·湖南·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 10．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数， (1)当时， ①求函数单调递增区间； ②求函数在区间的最大值； (2)当时，记函数的最大值为，求的表达式. 11．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 12．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最大值； (3)解关于的不等式：. 题型三 利用函数的单调性、奇偶性解不等式 13．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)判断的奇偶性与单调性； (2)若，求的解集． 14．（24-25高一下·陕西安康·期末）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 15．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 16．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 17．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 18．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 题型四 利用函数性质解决恒成立、有解问题 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若函数，且恒成立，求的取值范围． 20．（24-25高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数 (1)若关于的不等式的解集是，求、的值； (2)若，，，与的定义域都是，使得恒成立，求实数的取值范围. 21．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对 ，都有对恒成立，求实数的取值范围． 22．（24-25高一上·云南昆明·期中）若函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集； (3)若在区间上有解，求实数的取值范围． 23．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数. (1)求； (2)当时，试运用函数单调性的定义判定的单调性； (3)设，若在时有解，求的取值范围. 24．（24-25高一上·上海松江·期末）已知函数 是定义域为 的奇函数，且 . (1)求函数 的表达式； (2)判断函数 在 上的单调性，并用定义证明; (3)设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 题型五 函数性质的综合应用 25．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 26．（24-25高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 27．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 28．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 29．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 30．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 题型六 函数中的新定义 31．（24-25高一上·上海·期中）设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； (3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围． 32．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数” (1)若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围 (2)若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证： (3)如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由. 33．（24-25高一上·河北邯郸·期末）若函数在定义域内存在区间满足以下条件：①函数在区间上是单调函数；②函数在区间上的值域为（为常数且），则称函数在定义域内为“闭函数”． (1)当时，证明：为“闭函数”，并求出区间； (2)当时，若函数是“闭函数”，求的取值范围； (3)若定义在上的函数是“闭函数”，求实数的取值范围． 34．（24-25高一上·广东惠州·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”. (1)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”.并说明理由； (2)用定义证明函数在为单调递增函数； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 35．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”. (1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由； ； . (2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由. 36．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）定义：设函数的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，M是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，m是的一个下界. (1)若函数在上是以2为上界的有界函数，求实数c的取值范围； (2)某同学在研究函数单调性时发现该函数在与具有单调性， （i）请直接写出函数在与的单调性，不必证明； （ii）若函数定义域为，m是函数的下界，请利用（i）的结论，求m的最大值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的性质及其应用大题（36题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 利用函数的性质求解析式 1．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)求出的值域． 【答案】(1) (2)单增区间为，，单减区间为，. (3) 【解题思路】（1）令求出，再根据偶函数的定义即可； （2）根据二次函数的性质得出在上的单调性，再结合偶函数的性质即可； （3）根据二次函数的单调性以及偶函数的性质可得. 【解答过程】（1）若，则，则， 因是偶函数，则， 则. （2）时，的图象开口朝上且对称轴为， 则的单增区间为，单减区间为， 因是偶函数，则的单增区间为，， 单减区间为，. （3）由的单调性以及偶函数的性质可知，， 故的值域为    2．（25-26高一上·全国·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析． 【解题思路】（1）由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验； （2）由题易得函数在上单调递增，再利用定义法证明单调性即可. 【解答过程】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时恒成立， 故. （2）在上单调递增． 证明如下： 任取， ， 而，，所以，故在上单调递增． 3．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【解答过程】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 4．（24-25高二下·江西·期末）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】（1）因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. （2）因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 5．（24-25高二下·上海·期末）已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由偶函数性质得，再验证是偶函数即可； （2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【解答过程】（1）由题意，即，解得， 当时，，此时定义域为关于原点对称， 且，即是偶函数， 故满足题意； （2）由题意，显然是偶函数， 所以也是偶函数， 当时，， 显然当时，都是增函数， 即在上单调递增，所以函数在上单调递减， 而， 所以，解得. 6．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由点代入解析式，列出方程求解即可； （2）由单调性的定义作差即可求证； （3）利用单调性求得最值，即可求解； 【解答过程】（1），， ，解得，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知函数在上单调递增， 由对勾函数性质得在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以的最小值为. 题型二 利用函数的性质求最值 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【解题思路】（1）根据求出的值，利用换元法求的解析式即可； （2）利用函数单调性的定义求函数在上的单调性进而求最值即可. 【解答过程】（1）方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. （2）由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的最小值为，最大值为. 8．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意可得1，3为方程的两根，再利用根与系数的关系可求出的值，从而可求得的解析式； （2）求出的图象的对称轴，然后由题意可得或，从而可求出实数的取值范围； （3）分，和三种情况结合二次函数的性质求解即可. 【解答过程】（1）根据条件的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，得， 所以； （2）由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得，或， 即； （3）因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在区间上递增， 此时； 当，即时，； 当，即时，在区间上递减， 此时； 综上所述：即为所求． 9．（24-25高一上·湖南·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 【答案】(1)； (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以，即 因为，所以． （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． （3）当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. 10．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数， (1)当时， ①求函数单调递增区间； ②求函数在区间的最大值； (2)当时，记函数的最大值为，求的表达式. 【答案】(1)①；②0 (2) 【解题思路】（1）①分和讨论，结合二次函数的性质可得； ②由二次函数的单调性可得； （2）先求出分段函数的表达式，再结合函数参数的二次函数的对称轴和单调性讨论最值即可； 【解答过程】（1）①当时，； 当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为. ②由①知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ；，，， 在上的最大值是0. （2）由题意得：， ①当，即时，时，，对称轴为； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， ； ②当，即时，若，；若，； 当时，，对称轴， 在上单调递增，； ③当，即时，， 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 若，即时，； 若，即时，； 综上所述：. 11．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）且，利用作差法证明即可； （2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解. 【解答过程】（1）且， 则， 因为，所以， 又因为，所以， 因此， 所以在是减函数； （2）由（1）可知，是减函数， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 因为最大值与最小值之差为1， 所以，解得. 12．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最大值； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)； (3)答案见解析. 【解题思路】（1）应用赋值法，令得，再由及奇偶性定义证明； （2）令，应用单调性定义证明单调性，进而求区间最大值； （3）根据奇函数性质及条件得，结合单调性并整理得，由含参一元二次不等式解法求解集. 【解答过程】（1）为奇函数，证明如下： 令，则， 令，则，故， 所以为奇函数. （2）令，则， 而，所以， 所以在R上单调递增，则在区间的最大值. （3）由，则， 所以，因为为增函数，则，即， 当，则解集为； 当，则解集为； 当，则解集为. 题型三 利用函数的单调性、奇偶性解不等式 13．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)判断的奇偶性与单调性； (2)若，求的解集． 【答案】(1)奇函数，在单调递增，在单调递增 (2) 【解题思路】（1）由奇函数定义判断奇偶性，由单调性定义及奇函数性质判断单调性；（2）写出其等价不等式组，再利用单调性求解. 【解答过程】（1）因为函数的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数； 任取，且， 则 ， 因为，且，所以， 又，所以，即， 故在单调递增， 由函数为奇函数可得在单调递增； （2）由题意得等价于或 由（1）得是奇函数，因为，所以， ①即 解得或； ②即解得， 综上，的解集为． 14．（24-25高一下·陕西安康·期末）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)为偶函数. (3) 【解题思路】（1）由已知条件代入数值计算，即可得答案； （2）根据偶函数的定义即可判断结论； （3）判断函数的单调性，结合偶函数性质可得不等式，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意得， 将代入，得到，解得. （2）由（1）可得， 其定义域为，关于原点对称， 且， 故为偶函数. （3）当时，在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，即， 解得. 15．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【解答过程】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 16．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 【答案】(1)函数为奇函数； (2) 【解题思路】（1）通过证明来证得为奇函数. （2）利用单调性的定义来证得在上为增函数，根据所奇函数及单调性解不等式即可. 【解答过程】（1）由已知，函数的定义域为． ，都有， ． 所以函数为奇函数． （2）任取 ，且，则， 那么 因为 ， 所以 ，，， 所以 ， 所以 ， 所以 在上是增函数． 因为，所以，且在上是增函数． 所以，所以， 所以不等式的解集. 17．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 【答案】(1)在上的单调递增，证明见解析 (2)所求不等式的解集为 【解题思路】（1）判断函数的单调性，再证明对，且，都有，结合定义可得结论； （2）先证明函数为奇函数，再结合函数性质化简不等式，解不等式可得结论. 【解答过程】（1）（1）因为函数在上单调递增，故在上的单调递增． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上的单调递增．                                                                                         （2）因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数． 由， 得，即， 又，， 由（1）知在上的单调递增， 所以，所以， 所以不等式的解集为． 18．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）借助 ，代入计算即可得； （2）借助单调性定义证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【解答过程】（1）由，则，解得，故， 此时，满足题意，故； （2）设， 则 ， 由，故，故，， 故，故在上是增函数； （3），由在上是增函数， 故，解得， 即不等式的解集为. 题型四 利用函数性质解决恒成立、有解问题 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若函数，且恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用偶函数的定义可求答案； （2）利用定义法判断的单调性，根据单调性求出在的最小值即得答案. 【解答过程】（1）由是偶函数得， 即，解得． （2）由（1）得，则， 因为恒成立， 即． 当时，， 因为，所以， 则，则， 因此，即， 故函数在区间上单调递增， 则， 则原不等式等价于，解得， 故的取值范围是． 20．（24-25高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数 (1)若关于的不等式的解集是，求、的值； (2)若，，，与的定义域都是，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）分析可知，方程的两根为和，利用韦达定理可求得实数、的值； （2）由题意可知，在上恒成立，在时，直接验证即可；在时，由参变量分离法可得在上恒成立，结合函数单调性可得出的范围，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为的解集为，所以的两根为和， 由根与系数的关系得，所以，. （2）因为，，所以， 因为在上恒成立，所以在上恒成立. ①当时，满足题意， ②当时，在上恒成立， 即， 因为函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，，此时，. 综上所述，实数的取值范围为. 21．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对 ，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解. 【解答过程】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为 ， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 22．（24-25高一上·云南昆明·期中）若函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集； (3)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【解题思路】（1）解不等式可得答案； （2），然后讨论与1的大小关系可得答案； （3）由可得，求出即可得答案. 【解答过程】（1）时，， 故不等式解集为：； （2）. 当，解集为； 当，，解集为； 当，解集为. （3）, 则，因，则. 故，要使在区间上有解， 则，其中. 令，则. 因函数在上递减，在上递增. 又，则. 故实数的取值范围为. 23．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数. (1)求； (2)当时，试运用函数单调性的定义判定的单调性； (3)设，若在时有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上是单调递增函数 (3)或 【解题思路】（1）直接代入求解即可. （2）利用单调性定义法证明即可. （3）根据与时的单调性，求解不等式在定区间上有解问题即可. 【解答过程】（1）因为， 所以. （2）当时，设，则， ， 显然，， 当有一个值为0时，因为，所以有； 当时，因为，所以有； 当时，，所以有； 当时，，所以有； 综上，当时，必有， 当时，在上是单调递增函数； （3）由上知当时，在上是单调递增函数； 同理可证明：当时，在上是单调递减函数； 令，所以，可得，在时有解，等价于在时有解， 当时，由的单调性知，令，得； 当时，由的单调性知，令，得； 当时，无解； 综上，的取值范围为或. 24．（24-25高一上·上海松江·期末）已知函数 是定义域为 的奇函数，且 . (1)求函数 的表达式； (2)判断函数 在 上的单调性，并用定义证明; (3)设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上递增，证明见解析； (3) 【解题思路】（1）利用奇函数的性质可求得，再由的值，可求得，从而得到 的表达式. （2）用定义法判断证明在上的单调性即可. （3）将问题转化为，对进行分类讨论，结合一次函数的单调性，求得的取值范围. 【解答过程】（1）依题意函数是定义域为 的奇函数， 所以，所以 又，解得. 此时，经检验，该函数为奇函数． 故. （2）函数在上递增，证明如下： 任取，则，， 因为，，所以， 所以，故在上递增. （3）由（1）得 若对任意的，存在，使得成立，则 由（2）得在上递增，所以， 存在，成立，即 若，则在上为增函数， ， 若，则，此时符合题意． 若，则在上为减函数， ，符合题意 综上可知：. 即实数的取值范围是：. 题型五 函数性质的综合应用 25．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【解答过程】（1）令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 26．（24-25高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【解题思路】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【解答过程】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 27．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【解答过程】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）函数在上的单调递减，理由如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 28．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【解答过程】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 29．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)，偶函数 (2)上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据，求解的解析式，按照求解实数a的值即可；再根据奇偶性的定义判断与的关系即可得奇偶性； （2）分离函数，用定义即可判断的单调性； （3）再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 【解答过程】（1）， 故，即． ，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. （2）在上单调递减．在上单调递增．下面证明： 设，，且.计算： 因为，，且，所以，，，. 那么，即，所以. 根据函数单调性的定义可知，函数在上单调递减. 又因为是偶函数，所以在上单调递增． （3）因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 30．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增 (3) 【解题思路】（1）根据题目中中心对称图形的性质结合奇函数的定义列式求解即可； （2）利用函数单调性的定义判断即可； （3）根据题意可得函数在上的值域为在上的值域的子集，原问题转化为在上的值域，根据二次函数的图象和性质结合对称性分类讨论的单调性，进而求出在上的值域列不等式组求解即可. 【解答过程】（1）方法一：设函数图象的对称中心为， 则由题意得， 即， 整理得， 所以，解得， 所以图象的对称中心为. 方法二：设函数图象的对称中心为， 因为的定义域为，所以， 则由题意可知为奇函数， 设， 则，即，解得． 则，经检验是奇函数，所以， 所以函数图象的对称中心为. （2）函数在上单调递增 （证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以且， 所以，即， 所以函数在上单调递增．） （3）由对任意，总存在，使得， 可得函数在上的值域为在上的值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故在上的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， 由二次函数的图象和性质可知当，即时，在上单调递增， 又，所以函数的图象恒过对称中心， 所以在上也单调递增，故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，解得； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 因为的图象过对称中心，所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 欲使，只需且， 解得，又因为，所以， 当，即时，在上单调递减，在上也单调递减， 所以在上单调递减，所以， 因为，所以，解得， 综上可得，实数的取值范围是． 题型六 函数中的新定义 31．（24-25高一上·上海·期中）设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； (3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是，峰点为 (2) (3) 【解题思路】（1）以一元二次函数的单调性进行判断即可解决； （2）先满足单调性要求，再满足值域的要求，逐步递进即可解决； （3）在按参数t分类讨论时要注意不重不漏的原则，逐步求得t的取值范围. 【解答过程】（1）函数的图像是开口向下，对称轴为的抛物线， 则在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数， 故是上的“含峰函数”，峰点为. （2）记函数，，， 则在区间[m，2]上是严格增函数，在区间上是严格减函数，则， 且有，得到， 则， 当时，的最小值为，则， 又，故， 当时，的最小值为，解得， 综上，实数的取值范围是. （3）记，设任意，且， 则 当时，由，且， 可知，， 则，即， 则为上严格减函数，不符合题目要求； 当时，由，且， 可知，， 则，即 则为上严格增函数，不符合题目要求； 当时， 设任意，且，此时，， 则，即，为上严格增函数； 设任意，且，此时， 则，即，为上严格减函数； 故是上峰点为的“含峰函数”. 综上，t的取值范围为. 32．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数” (1)若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围 (2)若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证： (3)如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，0 【解题思路】（1）分析可知为上的严格增函数，即可得结果； （2）根据题意可得，进而分析证明； （3）根据题意利用反证法可得，再举例说明不恒成立，进而分析求解. 【解答过程】（1）若为定义在区间上的“1阶增函数”， 可得对任取，均有， 可知为上的严格增函数，所以. （2）因为为定义在区间上的“1阶增函数”，且， 则， 即，. 可得，所以. （3）假设存在，使，则， 因为为定义在区间上的“2阶增函数”， 则对任意的，都有， 令，则对任意的，都有，与有上界矛盾， 若“2阶增函数”有上界，则对任意，都有. 假设存在，使， 则对任意的，都有，故，矛盾， 所以“2阶增函数”有上界，都有恒成立，即存在均满足题意， 假设存在符合题意，例如， 则在上是严格增函数， 且，则是有上界的“2阶增函数”. 但当时，有，矛盾， 所以的取值范围为，即的最小值为0. 33．（24-25高一上·河北邯郸·期末）若函数在定义域内存在区间满足以下条件：①函数在区间上是单调函数；②函数在区间上的值域为（为常数且），则称函数在定义域内为“闭函数”． (1)当时，证明：为“闭函数”，并求出区间； (2)当时，若函数是“闭函数”，求的取值范围； (3)若定义在上的函数是“闭函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【解题思路】（1）根据二次函数的单调性，结合题中定义进行求解即可； （2）根据题中定义，结合函数的单调性、一元二次方程的定义及根的判别式进行求解即可； （3）根据对钩函数的单调性，结合绝对值的性质、一元二次方程的定义及根的判别式分类讨论进行求解即可 【解答过程】（1）函数在区间上单调递增， 若函数是闭函数且，则当时，函数在上的值域应为，且，因为，所以解方程得， 所以在区间上单调递增，且值域为，所以为“闭函数”，故所求区间为． （2）因为在上单调递减， 当时，若函数是“闭函数”，则，且， 两式作差，所以， 所以，即，同理，所以，为方程在区间上的两个不相等的非负实根， 故，解得． （3） 当，在区间上单调递减，所以，即，消去得，与矛盾． 当，，在区间上单调递增，所以，即 ，所以方程在上有两个不相等的实数根 即在上有两个不相等的实数根，令， 在单调递增，在单调递减，，，所以的范围为． 34．（24-25高一上·广东惠州·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”. (1)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”.并说明理由； (2)用定义证明函数在为单调递增函数； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）判断方程有没有实数解即可； （2）设，且是上任意两个实数，用作差法证明； （3）方程在上有解，令，问题转化为方程在上有解，再由一元二次方程根的分布知识求解． 【解答过程】（1），则方程为， 化为，又，此方程无实数解， 所以，不存在实数，满足， 所以不是“局部反比例对称函数”. （2）， 设，且是上任意两个实数，则， 所以，即， 所以在为单调递增函数； （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，即在上有解． 即在上有解． ， 令，则上述方程化为， ，则， 所以方程在上有解， 设，则其图象开口向上，对称轴为， ①若，， 即，所以，所以； ②若，， 即，所以，所以； 综上，实数的取值范围为． 35．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”. (1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由； ； . (2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由. 【答案】(1)无下界，理由见解析； 有下界，为8； (2)答案见解析，无“上界”，理由见解析 【解题思路】（1）根据称为函数在上的“下界”的定义，判断即可； （2）类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间上有“上界”的定义即可；通过讨论的范围，判断函数是否有“上界”即可. 【解答过程】（1）因为，所以，无“下界”； 因为，，当且仅当时“”成立， 所以有“下界”，为8. （2）对于定义在区间上的函数， 若存在，对任意的，都有， 则称函数在区间上有“上界”，把称为函数在上的“上界”. 由题，， 当时，， ，易得在上单调递减， 当时，，无“上界”； 当时，， ，易得在上单调递增， ； 综上，函数无“上界”. 36．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）定义：设函数的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，M是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，m是的一个下界. (1)若函数在上是以2为上界的有界函数，求实数c的取值范围； (2)某同学在研究函数单调性时发现该函数在与具有单调性， （i）请直接写出函数在与的单调性，不必证明； （ii）若函数定义域为，m是函数的下界，请利用（i）的结论，求m的最大值. 【答案】(1) (2)（i）在为减函数，在为增函数；（ii） 【解题思路】（1）由分离参数，结合函数的单调性求得的取值范围. （2）根据对钩函数的知识求得函数在与的单调性；根据的单调性，对进行分类讨论，结合“下界”的定义求得. 【解答过程】（1）依题得，对任意，恒成立， ∴对任意恒成立， 令，显然函数在上单调递减， ∴， ∴，即实数c的取值范围为； （2）（i）函数在为减函数，在为增函数； （ii）∵， 由（i）知，在为减函数，在为增函数， ①当，即时，由（i）知为减函数， ∴， ∴， ②当，即，由（i）知为增函数， ∴， ∴， ③当，即，， 当且仅当时等号成立， ∴， 综上所述，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $