12.3一次函数与二元一次方程 同步习题 2025-2026学年沪科版（2024）数学八年级上册

12.3一次函数与二元一次方程 同步习题 一、单选题 1．如果一次函数与的交点坐标为，那么是下列哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 2．直线（）与直线（）的交点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若关于x，y的二元一次方程组 无解，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 4．如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数与一次函数的图象交于P（1，3），则下列说法正确的个数是（　　　）个 （1）方程的解是 （2）方程组的解是 （3）不等式的解集是 （4）不等式的解集是． A．1 B．2 C．3 D．4 6．对于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．y随x的增大而增大 C．图象与两坐标轴围成的三角形的面积为4 D．该函数图象的截距是2 7．如图，矩形的边在轴上，的中点与原点重合，，过定点和动点的直线与矩形的边有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．关于一次函数与，下列说法： ①两函数的图象关于轴对称； ②两函数的图象和轴围成的三角形的面积为24； ③函数（是常数，且）的图象一定过点． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 9．已知直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 11．已知直线与的交点的坐标为，则关于的方程组的解是 ． 12．如果直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么的值为 ． 13．如果关于x，y的方程组无解，那么直线不经过第 象限． 14．如图，直线与y轴相交于点A，直线与y轴交于点B，这两条直线相交于点，则的面积等于 ． 三、解答题 15．利用图象求方程组的解． 16．已知直线与直线的图象如图所示，且方程组的解为点B的坐标为，你能确定这两个一次函数的表达式吗？ 17．如图，矩形的边分别与反比例函数的图象相交于点D、E，与相交于点F． (1)若点B的坐标为，求点D、E、F的坐标； (2)求证：点F是的中点． 18．如图1，已知一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点，B，点E为y轴负半轴上一点，且． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，直线交直线于点M，交直线于点N，当时，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B C D D B 1．C 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由题意可得，是方程组，即的解． 【详解】解：∵一次函数与的交点坐标为， ∴是方程组的解， 即是方程组的解． 故选：C． 2．B 【详解】直线（ ）与直线（ ）的大致图象如图所示： ． 所以交点A位于第二象限．故选B． 考点：两条直线相交或平行问题． 3．A 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系即可判断． 【详解】解：∵二元一次方程组无解，即直线与无交点， ∴两直线的位置关系为平行， 故选：A． 【点睛】此题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是熟知他们的关系，有一解为相交，有无数解为重合，无解为平行． 4．B 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，先求出点的坐标，再根据方程组与函数的关系求解即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：设点的坐标为， 点在直线上， ， ， 点的坐标为， 一次函数的图象与的图象相交于点A， 方程组的解是， 故选：B． 5．C 【分析】根据两直线与不等式和方程组的关系解答即可． 【详解】解：因为一次函数与一次函数的图象交于P（1，3）， 所以（1）方程ax+b=3的一个解是x=1，正确； （2）方程组的解是，错误； （3）不等式ax+b>kx十4的解集是x>1，正确； （4）不等式4>kx十4>ax+b的解集是0<x<1，正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx十b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 6．D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 求出一次函数图象与坐标轴的交点即可判断A，C，D选项，根据一次函数的性质即可判断B． 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴， ∴图象与x轴的交点坐标是， 故A错误，不符合题意； ∵， ∴y随x的增大而减小， 故B错误，不符合题意； 当， ∴直线与轴交点坐标为， ∴图象与两坐标轴围成的三角形的面积为， 故C错误，不符合题意； ∵直线与轴交点坐标为， ∴截距为2， 故D正确，符合题意， 故选：D． 7．D 【分析】考查了一次函数的综合题，解题关键是运用数形结合思想．分别求出直线过点D和直线过点C时对应的函数解析式，然后求出点P的坐标即可． 【详解】解：根据题意得：，即， 当直线过点D时，设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得到； 当直线过点C时，设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， 则过定点和动点的直线与矩形的边有公共点时，a的取值范围是． 故选：D． 8．B 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两个一次函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握函数与方程间的关系是解题的关键． 首先画出两个一次函数的图象，然后根据图象即可判断①；然后利用三角形面积公式即可判断②；首先得到，然后将代入求解即可判断③． 【详解】一次函数与的图象如图所示， 由图象可得，两函数的图象关于轴对称，故①正确； 的面积，故②错误； 函数 当时， ∴函数（是常数，且）的图象一定过点，故③正确． 综上所述，其中正确的个数是2个． 故选：B． 9． 【分析】本题考查两直线的交点问题，熟练掌握两直线的交点坐标与对应二元一次方程组的解的关系是解答的关键．根据两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：直线与相交于点， 、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义是解题的关键．在平面直角坐标系中，直线与直线交点的坐标就是二元一次方程组的解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点， 关于、的二元一次方程组的解是． 故答案为： ． 11． 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点坐标就是函数解析式组成的二元一次方程组的解．根据题意求出两直线交点坐标，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线和的交点坐标为， ∴， ∴交点坐标为， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 12． 【分析】当时，，当时，可求，由，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 解得：， ， ， 解得：， 故答案：． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴围成的面积，掌握求法是解题的关键． 13．一、二． 【分析】首先通过该方程组无解求出k，再确定出直线的解析式，根据其图像特征即可确定． 【详解】解：∵方程组无解， ∴直线与平行， ∴， 解得， ∴直线经过第三、四象限，不经过第一、二象限． 故答案为：一、二． 【点睛】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的解之间的联系，学生需明白方程组无解，即直线与平行，而直线平行，说明它们的一次项系数相等，求出k的值后，代入进而求解即可．本题用到了数形结合的思想方法，要求学生能理解并熟记相关概念和公式，同时做到灵活运用． 14．9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得点P和点A、B的坐标是解题的关键． 先求得P点的坐标，进一步求得直线的解析式，根据直线的解析式求得A，B的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得的面积． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， 把代入，得 ， 解得， ∴， 由直线可知，由直线可知， ∴， ∴ 故答案为：9． 15． 【分析】本题考查一次函数的交点与二元一次方程的关系，将方程组内的每一个方程转化为用x表示y的式子，即函数关系式，再画出两条直线，从而确定交点，从而得解，正确绘图是解题的关键． 【详解】解：由得：， 画出两个一次函数的图象图下：    由图象知：是原方程组的解． 16．能确定，这两个一次函数的表达式为和 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，同时考查了用待定系数法求一次函数的表达式． 把的代入方程组，把B的坐标代入，运用待定系数法即可求出两个一次函数的表达式． 【详解】解：把代入方程组得 由①得， ∵点B在上， ∴， ∴， ∴， ∴这两个一次函数的表达式为和． 17．(1)，， (2)见解析 【分析】（1）根据题意可得D点横坐标为4，E点纵坐标为2，从而得到，，再求出直线和的解 析式，再联立，即可求解； （2）设点B的坐标为，可得，，再求出直线和的解析式，再联立，可得到点 F的坐标，再求出的中点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：轴，轴， ∵点B的坐标为， ∴D点横坐标为4，E点纵坐标为2， ∵点D、E在反比例函数的图象上， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得， ∴； （2）证明：设点B的坐标为， ∴D点横坐标为a，E点纵坐标为b， ∵点D、E在反比例函数的图象上， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得， ∴， ∵，， ∴的中点坐标为，即， ∴点F是的中点． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，矩形的性质，中点坐标公式，直线交点的求法是解题的关键． 18．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的基本性质、一次函数与面积问题，熟练掌握一次函数性质能够求出一次函数解析式是解题关键． （1）分别令与，即可求得A、B两点的坐标； （2）先通过的面积求出E点的坐标，再通过A、E两点坐标即可得到函数表达式； （3）先联立解析式求出M和N的坐标，再通过面积关系得到M、N两点之间的坐标关系，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴, ∵ ∴， ． 把代入，得， 解得, 该一次函数的表达式为． （2）解：由（1）知：，， ， ， 解得， 点E的坐标为． 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，解得， 直线的函数表达式为． （3）解：如图，过点M作轴于点C，过点N作轴于点D． 由（2）知，． ， 即 ． 在和中， ， ． 设点N的坐标为，则点M的坐标为． 将点M的坐标代入，得，解得， 点N的坐标为． 把点N的坐标代入得：， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $