专题12.7 函数与一次函数集合100道计算题专项训练（10大题型）-2025-2026学年沪科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题12.7 函数与一次函数集合100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 用关系式表示变量间的关系 题型二 求自变量的取值范围 题型三 求自变量的值或函数值 题型四 根据一次函数的定义求参数 题型五 求一次函数自变量或函数值 题型六 列一次函数解析式并求值 题型七 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型八 求直线围成的图形面积 题型九 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型十 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【经典计算题一 用关系式表示变量间的关系】 1．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图所示，梯形上底的长是，下底长，高． (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)当每增加时，如何变化？ (3)当时，等于什么？此时表示的是什么？ (4)当的值为多少时，梯形的面积为？ 【答案】(1) (2)当每增加时，增加 (3)，表示的是的面积 (4) 【分析】本题考查用关系式表示两个变量间的关系，正确得到关系式是解答的关键． （1）根据梯形的面积公式求解即可； （2）根据（1）所求关系式，求出当时，当时的因变量的值即可得到答案； （3）根据（1）所求关系式，求出当时的y值，根据可得点A和点D重合，则此时y表示的是的面积； （4）由列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴当x每增加时，y增加； （3）解：当时，，此时表示的是的面积； （4）解：把代入到得： 解得： 所以时，梯形的面积为． 2．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，请解答下列问题： 放水时间 0 1 2 3 4 …… 水池中的水量 50 48 46 44 42 …… (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)这个放水过程中，每分钟放水 ，放水 后，水池中的水全部放完； (3)根据上表反映的规律，试写出水池中的水量V与放水时间t的关系式 ． 【答案】(1)放水时间，水池中的水量 (2)2，25 (3) 【分析】本题考查了用图象和关系式表示变量之间的关系，通过分析题意列出正确的关系式是解决本题的关键． （1）根据表格，理解题意得出自变量和因变量即可； （2）根据表格得出这个放水过程中，每分钟放水量，根据总量求出水池中的水全部放完需要的时间即可； （3）根据题意得出水池中的水量V与放水时间t的关系即可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是放水时间，因变量是水池中的水量； （2）解：根据题意得：这个放水过程中，每分钟放水， 水池中的水全部放完需要的时间为： ． （3）解：水池中的水量V与放水时间t的关系式为：． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是常量，哪些是变量． (1)《赣州晚报》每份元，购买《赣州晚报》所需钱数元与购买的份数份之间的关系式； (2)用总长为80m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积与一边长之间的关系式． 【答案】(1)y与x之间的关系式为，其中是常数，y，x是变量 (2)S与x之间的关系式：，其中40，是常数，S，x是变量 【分析】本题主要考查了函数关系式．熟练掌握总价、单价和数量的关系，长方形面积公式，常量，变量的定义是解决问题的关键． （1）根据：所需钱数每份钱数购买的份数x，列出函数解析式，再指出关系式中的变量与常量； （2）根据长方形的面积公式，求出，再指出关系式中的变量与常量． 【详解】（1）解：单价元的报纸，购买x份， 总金额， 与x之间的关系式为，其中是常数，y，x是变量； （2）解：总长为的篱笆围成长方形场地，一边长， 另一边长为：， 长方形的面积：， 与x之间的关系式：，其中40，是常数，S，x是变量． 4．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在一个边长为的正方形的四个角上，都剪去大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积随之发生变化． (1)在这个变化中，自变量、因变量各是什么？ (2)写出阴影部分的面积与小正方形边长之间的关系式． (3)当小正方形边长由增加到时，阴影部分的面积是怎样变化的？ 【答案】(1)自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分的面积 (2) (3)由减小到 【分析】本题考查了函数关系式，常量与变量，函数求值． （1）根据常量与变量的定义即可求解； （2）用正方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可得出y与x之间的关系式； （3）代值计算即可得解． 【详解】（1）解：自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分的面积； （2）解：，即； （3）解：当时，； 当时，． 所以小正方形边长由增加到时，阴影部分的面积由减小到． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是_____；边的长度是_____； (2)边向左匀速平行移动时的速度是_____； (3)在变化过程中，长方形面积的最大值_____； (4)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【答案】(1)2，3 (2)4 (3)36 (4) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）由图2可得初始时，边的长度，由图3可得初始时，长方形的面积，据此结合长方形面积计算公式可得边的长度； （2）由图2可知第6秒到第9秒为向左平移的过程，此时的长度由变为，据此求解即可； （3）当最大时，长方形的面积最大，据此求解即可； （4）用含t的式子表示出的长，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解；由图2可知，移动前，由图3可知，移动前， ∴； （2）解：， ∴边向左匀速平行移动时的速度是； （3）解：由题意得，； （4）解：由题意得，． 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为x（米），长方形的面积为y（平方米）． (1)求长方形的面积y与长方形的宽x之间的关系式； (2)当长方形的宽为20米时，则此时长方形的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了列函数关系式，求解函数的函数值，理解题意列出正确的函数解析式是解题的关键． （1）由长方形的面积公式可得函数解析式； （2）把代入函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，平方米． 7．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮想探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着叠放的碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的碗的总高度与碗的个数之间的一些数据： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 碗的总的高度/ 6 8.4 10.8 15.6 22.8 根据以上信息，回答： (1)把上述表格中的空格补全； (2)若碗的总高度为（单位：），碗的数量为（单位：个），请直接写出与之间的关系式． (3)求10个整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总的高度． 【答案】(1)13.2，18，20.4，25.2 (2) (3)整齐叠放10个这种碗的总高度是 【分析】本题主要考查了根据表格内数据的规律得到一次函数的解析式，解题的关键是看到表格内数据的规律； （1）认真观察数据规律，可以看到后面一个数比前面一个数大2.4，即可得到答案； （2）根据数据的规律，得到一次函数的解析即可； （3）此小问考查了，相当于函数值是10时，求的值即可得到答案； 【详解】（1）解：从左到右，依次为13.2，18，20.4，25.2． （2）解： ； （3）解：当时，． 答：整齐叠放10个这种碗的总高度是． 8．（24-25八年级下·河北沧州·期中）珍珍同学在学习函数的两个变量之间的关系后，设计了下面的与的关系图和表格． 输入 输出 (1)函数关系式中的值为______； (2)当输入的值为2时，求输出的值； (3)当输出的值为9时，输入的值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了根据自变量的取值范围求相应的函数值，能够分情况考虑问题是解题的关键． （1）把，代入，即可求解； （2）当时，把，代入，得出，把代入求解即可； （3）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 故答案为：； （2），代入， 得： 当时， 当时， （3）当时，把代入， 得， 解得； 把代入，得， 解得， 综上，输入的值为3或． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）将若干张长为，宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸条长度 30 80 105 … (1)根据图，将表格补充完整． (2)设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式是什么？ (3)你认为若干张白纸粘合起来总长度可能为吗？为什么？ 【答案】(1)55；130 (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形规律探究，用关系式表示变量间的关系，解答本题的关键在于熟读题意并求出正确的变量间关系式． （1）根据题意找出白纸张数与纸条长度之间的关系，然后求解填空即可； （2）张白纸黏合，需黏合次，重叠，所以总长可以表示出来； （3）当时得到关于x的方程，求解，若为正整数，则可能，否不可能． 【详解】（1）解：由图可得：， ， 故填：55；130. （2）解：根据题意和所给图形可得出：， 即． （3）解：不可能. 把代入， 解得， 不是整数，所以不可能． 10．（23-24七年级上·广西南宁·期中）如图在直角梯形中，，，，，，点P，Q同时从点B出发，其中点P以的速度沿着点运动；点Q以的速度沿着点运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之停止运动． （1）当运动时间时，则三角形的面积为_____； （2）当运动时间时，则三角形的面积为_____； （3）当运动时间为时，请用含t的式子表示三角形的面积． 【答案】（1）16；（2）30；（3）当运动时间为时，三角形的面积 【分析】（1）根据、的值和点Q的速度是，点P的速度是，求出、的值，再根据三角形面积公式计算即可； （2）求出的值，再根据三角形面积公式计算即可； （3）分三种情况讨论：根据三角形面积公式列出即可． 【详解】解：（1）AB=5cm，AD=8cm，BC=14cm，点Q的速度是2cm/s，点P的速度是1cm/s， 当运动时间t=4s时，QB=2t=2×4=8（cm），BP=t=4（cm）， 则三角形BPQ的面积为：， 故答案为：16； （2）当运动时间时， ∵AB=5cm，点P的速度是1cm/s， ∴点P运动到了AD上， ， 则三角形的面积为：， 故答案为：30； （3）当P在上时，此时， 则三角形的面积为； 当P在上，且Q沿着点运动时， ∵BC=14cm，点Q的速度是2cm/s， 此时，即， 则三角形的面积为； 当P在上，且Q沿着点运动时， ∵AB=5cm，AD=8cm，点P的速度是1cm/s， 此时，即， 则三角形的面积为； 综上，当运动时间为时，三角形的面积． 【点睛】本题考查了列代数式，三角形的面积，数形结合、分类讨论是解题的关键． 【经典计算题二 求自变量的取值范围】 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】(1)880 (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； （2）解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时，解得， 关于的函数解析式为． （3）解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期末）数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是：______； (2)下列表格是y与x几组对应值． x … 0 2 3 4 5 … y … m … 直接写出m的值______． (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数随着x的值接近1，其图象越来越靠近直线而永不相交，该函数图象还与直线______越来越靠近而永不相交； ②请再写出该函数的一条性质． 【答案】(1) (2)1 (3)见解析 (4)①；②当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而减小 【分析】本题考查了函数的自变量、描点法画函数图象、从函数的图象获取信息，正确画出函数图象是解题的关键． （1）对于函数，自变量x应满足，即可求出自变量x的取值范围； （2）代入到函数，即可求出的值； （3）利用描点法画函数图象即可； （4）①结合函数图象即可得出答案；②结合函数图象即可写出该函数的性质． 【详解】（1）解：对于函数，自变量x应满足，解得， ∴自变量x的取值范围是． 故答案为：； （2）解：当时，， ∴的值为1． 故答案为：1； （3）解：函数的大致图象如图所示： （4）解：①该函数随着x的值接近1，其图象越来越靠近直线而永不相交，该函数图象还与直线越来越靠近而永不相交； 故答案为：； ②当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而减小． 3．（24-25八年级下·吉林·期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 【答案】(1)（） (2)升 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式和自变量的取值范围，掌握数量关系“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，是解题的关键． （1）根据“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，即可列出函数解析式和自变量的取值范围； （2）把代入函数解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，即， 解得， 与之间的函数表达式及自变量的取值范围为． （2）当时，． 答：当拖拉机工作时，油箱内还剩余油升． 4．（23-24八年级下·四川巴中·期末）已知等腰三角形的周长为， 底边长是腰长的函数． 写出这个函数关系式； 求自变量的取值范围； 画出这个函数的图象． 【答案】（1）；（2）；（3）见详解. 【分析】（1）根据等腰三角形的周长计算公式表示即可； （2）根据构成三角形三边的关系即可确定自变量的取值范围； （3）可取两个点，在平面直角坐标系中描点、连线即可. 【详解】解：（1）这个函数关系式为； （2）由题意得，即， 解得， 所以自变量的取值范围为； （3）当时，；当时，，函数关系式（）的图象如图所示， 【点睛】本题考查了一次函数关系式、函数自变量的取值范围及函数的图象，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系是解题的关键. 5．（24-25九年级上·北京·开学考试）【探究函数的图象与性质】 （1）函数的自变量x的取值范围是________； （2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是_______； （3）对于函数，求当x>0时，y的取值范围．请将下面求解此问题的过程补充完整： 解：因为x>0，所以_________． 因为，所以y________． 【拓展运用】 （4）若函数，则y的取值范围是_______________________． 【答案】（1）x≠0；（2）C；（3）6，y≥6；（4）y≤－11或y≥1. 【分析】（1）由中x≠0，即可得出函数y=x+的自变量x的取值范围； （2）由x≠0可排除A选项，再由y与x同号，可知函数y=x+的图象在第一、三象限，由此即可得出结论； （3）根据用配方法求y值的范围的过程补充完整解题过程，即可得出结论； （4）将变成y=x+-5，由（3）的结论可得出y=x+中y的取值范围为y≤-6或y≥6，在此基础上减去5即可得出结论． 【详解】解：（1）∵在y=x+中，x≠0， ∴x的取值范围是x≠0． 故答案为x≠0； （2）∵x≠0， ∴A中图象不符合题意； ∵当x＞0时，x+＞0， 当x＜0时，x+＜0， ∴函数y=x+的图象在第一、三象限， ∴B、D中图象不符合题意， 故选C． （3）解：∵x＞0， ∴y=x+， 6， ∵， ∴y≥6． 故答案为6；≥6． （4）=x+-5． 由（3）可知：当x＞0时，x+≥6； 当x＜0时，x+≤-6． ∴y=x+-5≥6-5=1，y=x+-5≤-6-5=-11． y的取值范围是y≤-11或y≥1． 故答案为（1）x≠0；（2）C；（3）6，y≥6；（4）y≤-11或y≥1． 【点睛】本题考查反比例函数的综合题以及分式的性质，解题的关键是：（1）根据分式的分母不为0得出x的取值范围；（2）组合函数的图象；（3）利用配方法求出y值取值范围；（4）不等式的运算．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用配方法求出y=x+中y的取值范围是关键． 6．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，用一根长为的铁丝折成由两个小矩形组成的大矩形，设大矩形的宽为． (1)求出大矩形的面积与之间的表达式和自变量x的取值范围，并指出y是x的什么函数． (2)当时，求大矩形的面积． 【答案】(1)，，y是x的二次函数 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题关键是根据矩形周长与边长的关系表示出长，再结合面积公式建立函数表达式，同时确定自变量取值范围． （1）先由铁丝总长和矩形宽x，算出大矩形长（用含x的式子表示），再根据矩形面积公式列函数式，整理成二次函数形式，最后依据边长为正列不等式组，确定自变量取值范围 ．   （2）把代入小问1所得二次函数表达式，直接计算出对应面积值 ． 【详解】（1）大矩形的宽为，则长为， 所以， 整理，得， ∴y是x的二次函数． 因为， 所以． （2）当时，． 7．（24-25八年级下·江西新余·期末）如图，在靠墙的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为米，墙的总长度为米，设养鸡场与墙垂直的一边长为，另一边长为 (1)求与函数关系式，并求自变量的取值范围； (2)画出这个函数的大致图象． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了考查了一次函数的应用，正确得出与之间的函数关系式是解题关键． （）直接利用矩形的长乘以宽得出其与之间的函数关系即可． （）由“两点确定一条直线”作出函数图象即可，同时注意自变量的取值范围． 【详解】（1）解：（）由题意可得：， ∵墙长为， ∴， 解得：， 故自变量的取值范围是：； ∴； （2）解：由（）知，与函数关系式是． 所以该直线与坐标轴的交点是，， 所以，该函数的大致图象为： ． 8．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，学校打算用材料围建一个面积为的矩形的小花园，用来种植一些花卉．其中矩形的一边靠墙，墙长为，设的长为，的长为． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若围成矩形的小花园的材料不超过，且和的长都是整米数，怎样围建材料最省？ 【答案】(1)，自变量的取值范围为 (2)当，时，围建矩形小花园所需材料最省 【分析】（）根据矩形的面积可得与之间的函数表达式，再根据墙长可得自变量的取值范围； （）根据与的函数表达式及的取值范围且，都为整数，可得可取值为，对应的取值为，进而根据得到有两种情况：，或，，据此解答即可求解； 本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，， 与之间的函数表达式为， ∵墙长为， ∴自变量的取值范围为； （2）解：由（）知，，且，都为整数， 可取值为，对应的取值为， ∵， ∴有两种情况：，或，， 当，时，需要材料：； 当，时，需要材料：； ， ∴当，时，围建矩形小花园所需材料最省． 9．（23-24八年级下·广东潮州·阶段练习）点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为． (1)当点的横坐标为时，试求的面积； (2)求关于的函数解析式及自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列函数关系式，坐标与图形； （1）直接运用面积公式即可求解； （2）运用面积公式，将，代入即可，运用第一象限上点的特征，求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ， （2）点在第一象限， ，， ， 综上，， 10．（23-24九年级上·天津·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个边上有一个宽为门的矩形场地，设，设矩形面积为， (1)____________ (2)求矩形面积与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)当取何值时面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（）根据题意和图形即可求解； （）根据矩形的面积公式可得与的函数关系式，再根据边的长度为正数列出不等式组可得的取值范围； （）把函数关系式转化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意，正确求出与的函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：， 即， ∵， ∴， ∴； （3）解：， ∵，， ∴当时，面积最大，最大值为． 【经典计算题三 求自变量的值或函数值】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）在学习一次函数时，我们经历了探究函数的图象与性质的过程，下面是小颖探究函数的图象与性质的过程，请结合学习函数的经验，将探究过程补充完整． 0 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4    (1)列表，填空：_______； (2)根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象；根据函数图象可得，该函数的最小值为______； (3)若点在该函数的图象上，且，观察图象并写出，的大小关系：______； (4)观察函数的图象，请写出该函数的两条性质． 【答案】(1)5 (2)图象见解析，2 (3) (4)①该函数图象的对称轴为直线；②当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大 【分析】本题考查了求函数值，画函数图象，根据函数图象获取信息，正确作出函数图象是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）根据描点，连线即可作图，即可从图象求解函数最小值； （3）根据函数图象即可求解； （4）根据函数图象即可获取信息． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：函数图象如图：    由图象可得该函数的最小值为2； （3）解：∵点在该函数的图象上，且， ∴从图象可得， 故答案为：； （4）解：从图象可得：①该函数图象的对称轴为直线；②当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大． 2．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）画分段函数的图象． (1)列下表，其中____________，____________； … 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 1 2 1 … (2)在直角坐标系中描点，连线，画出图象． 【答案】(1)4， (2)见解析 【分析】本题考查函数的图象，能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键． （1）把和分别代入解析式计算即可； （2）描点连线即可． 【详解】（1）解：把代入，得，， ∴， 把代入，得， ∴； 故答案为：4，； （2）解：如图所示： 3．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，根据程序计算函数值． (1)当输入的x的值是时，输出的结果y是多少？ (2)当输入的x的值是多少时，输出的结果y是？ 【答案】(1) (2)6或 【分析】本题考查了分段函数． （1）由将代入计算即可； （2）根据平方的非负性可知输入的x的取值范围不可能为，将代入其他两段函数计算即可． 【详解】（1）把代入，得； （2）∵输出值为， ∴输入的x的取值范围不可能为， ∴对于，当时，； 对于，当时，． ∴输入的x的值是6或． 4．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）声音在空气中的传播速度随着气温的变化而有规律的变化．某校科技小组查阅资料发现，当气温为时，声音在空气中的传播速度为，随着气温每上升，声音在空气中的传播速度就增加． (1)根据上述变化过程，请写出声音在空气中的传播速度与气温的关系表达式； (2)当声音在空气中的传播速度为时，求对应的气温； (3)某地在进行爆破作业，当天气温为，小远同学在爆破进行后听到声音，若爆破产生的烟尘会对周围1800米内的动植物造成影响，小远同学是否会受到该次爆破的影响？ 【答案】(1) (2) (3)小远同学不会受到该次爆破的影响 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的值，函数值，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据随着气温每上升，声音在空气中的传播速度就增加，列出函数关系式即可； （2）求出时的的值即可； （3）先求出时的值，根据路程等于速度乘以时间，求出小远同学与爆破作业地的距离，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）当时，解得； 故此时的气温为； （3）当时，， ∵， 故小远同学不会受到该次爆破的影响． 5．（24-25八年级上·全国·期末）今年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式在天安门正式举行．通常提到的“阅兵”，实际是分为“阅兵式”和“分列式”．阅兵式，就是士兵不动，军委主席坐车来检阅．分列式，就是所有方（梯）队，踏着统一的节奏，依次通过天安门前检阅区．在分列式中，受检阅的距离就是天安门前，东西的两个华表之间，两个华表相隔米．受检阅官兵迈着每步厘米，必需x步走完，若步速每分钟步，需要时间秒．求出与各是多少？若淮北籍东海舰队航空兵副司令员梁旭少将在受检阅时，他走过的路程步，行走的时间为秒写出与的函数关系（不需要写出自变量的取值范围) 【答案】，，与的函数关系为 【分析】此题考查的是函数的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．先统一单位，然后根据题意即可求出x和y的值，然后根据路程每秒的步数时间即可求出s与t的关系式． 【详解】解： 步/分步/秒 由题意可得 答：，，与的函数关系为． 6．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一个正方形的边长为，它的各边长都减少后，得到的新正方形的周长为． (1)求与之间的关系式； (2)若这个正方形的各边长都减少了，求得到的新正方形的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查函数关系式，掌握正方形周长计算公式是解题的关键． （1）根据正方形周长公式计算即可； （2）当时，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 与之间的关系式为． （2）当时，， 答：得到的新正方形的周长为． 7．（24-25六年级下·山东威海·期末）小明同学设计了如下程序，请完成下列问题： (1)当输入时，输出的结果___________；当输入时，输出的结果___________； (2)若输出的结果为，求输入的． 【答案】(1)5，4 (2)或或或 【分析】本题考查了分段函数的求值与求解，解题的关键是根据输入x的取值范围，准确选择对应的函数表达式进行计算． （1）根据程序中不同的取值范围，代入对应的函数解析式进行计算． （2）分三种情况讨论：依据的不同取值范围，对应不同函数表达式，结合列方程，求解方程得到的值． 【详解】（1）解：当时， 因为， 所以代入， 则． 当时， 因为， 所以代入， 则． 故答案为：5，4； （2）分三种情况讨论： 当时，，由可得，即或． 若，解得； 若，解得． 当时，， 由可得， 解得． 当时，， 由可得， 解得． ∴或或或． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低(特别是二氧化碳的)排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据信息，解决问题： 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 (1)若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为 ． (2)在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加 ；当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从 增加到 ． (3)小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【答案】(1) (2)2.7； 8.1； 21.6 (3)小明家这几项二氧化碳排放量的总和为 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）用耗油量乘以即可得到答案； （2）根据开私家车的二氧化碳排放量耗油量可得第一空答案；根据（1）所求函数关系式，分别求出时和时的函数值即可得到答案； （3）根据对应的二氧化碳排放量计算公式分别求出对应的二氧化碳排放量，再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：∵开私家车的二氧化碳排放量耗油量， ∴耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加； 在中，当时，；当时，； ∴当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从增加到． （3）解： ． 答：小明家这几项二氧化碳排放量的总和为． 9．（24-25八年级下·吉林松原·期末）如图，点在第一象限，且，点 A 的坐标为．设的面积为 S． (1)求 S 关于 x 的函数解析式； (2)若，求 P 点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质及三角形的面积，解答本题的关键是正确地求出S 与 x 的关系． （1）依据题意，由三角形的面积公式列式，即可用含 x 的解析式表示 S，进而可以得解； （2）依据题意，将代入求得的函数的解析式，然后求得 x、y 的值，从而求得点 P 的坐标． 【详解】（1）解：∵点在第一象限，且， ∴，， ∴， ∵A 点的坐标是， ∴， ∴的面积， 即， ∴S 关于 x 的函数解析式为； （2）解：∴当 时，， 解得：， 此时， ∴点 P 的坐标为． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我们知道：“距离地面越高，气温越低”，如表表示的是某地某时气温随距离地面高度变化而变化的情况： 距离地面高度 0 1 2 3 4 … 气温 20 14 8 2 … (1)请写出T与h之间的关系式： (2)距离地面的高度气温是多少？ (3)若当地某山顶当时的气温为，求山顶与地面的高度． 【答案】(1) (2)距离地面的高度气温是 (3)山顶与地面的高度为 【分析】本题考查了函数关系式及函数值． （1）根据表中的数据写出函数关系式； （2）把相关数据代入函数关系式求解即可； （3）把相关数据代入函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，距离地面高度增加，气温下降， 与h之间的关系式为； （2）解：当时，． 答：距离地面的高度气温是； （3）解：当时，，解得． 答：山顶与地面的高度为． 【经典计算题四 根据一次函数的定义求参数】 1．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知是一次函数， (1)求的值； (2)若点均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由． (3)将点向下平移3个单位长度，得到点，恰好点在该一次函数图象上，求一次函数的图象与线段有交点时的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据一次函数的定义，得1且，解答即可； （2）根据题意，得，根据一次函数的增减性，解答即可． （3）根据平移确定点代入，确定坐标，根据解析式解答即可． 本题考查了一次函数的定义，平移，一次函数的性质，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由于是一次函数， ∴且， ∴，且， 解得或且， 故． （2）解：根据题意，得， ， 故y随x的增大而减小， 又点均在该一次函数的图象上， 且， 故． （3）解：根据题意，得代入， 得， 解得， ∴，， 设与y轴的交点为E， ∵过定点，且与有交点， ∴，或， ∴或， ∵与有交点的范围是直线高于直线，低于直线 ∴． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 3．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）． (1)当自变量1对应的函数值为5时，求a的值； (2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查代入求值和整式中某项系数为0的条件等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据题意把自变量和函数值代入解析式，即可解决问题； （2）对于任意非零实数对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，其实就是保证右边的整式中不包含a，把所有含a的项合并在一起，令其系数为0即可； 【详解】（1）解：把代入（a为常数，且）得，， 解得； （2）解：∵， ∴当时，可有 ， ∴对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点， ∴． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）若函数是关于x的一次函数，试确定m的值，并求当时，y的值． 【答案】； 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的函数值，先根据定义可得，求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由函数是关于x的一次函数得， ， ∴， ∴； ∴， 把代入， ． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）根据二次函数的概念得，且，求解即可； （2）根据一次函数的概念得且，，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得，且， 解得 ∴时，该函数为二次函数； （2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时， 且， 解得， 当首项系数为零时，， 解得和， 综上，，和时，该函数为一次函数． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一次函数的图象如图所示． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一次函数的定义及函数图象上点的特征，解题关键是熟练掌握一次函数的定义，掌握点坐标与方程的关系． （1）根据一次函数的定义得，一次函数的图象过第一、三、四象限得，进而求解． （2）将点，代入一次函数解析式求解． 【详解】（1）解：∵关于的一次函数的图象过第一、三、四象限． ∴， 解得， ∴的值为； （2）解：由（1）可得一次函数表达式为， ∵，是图象上的两点， ∴，， ∴，． 7．（24-25九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个根为和，分别以、为横、纵坐标得到点，则称点为该方程的“两根点”． (1)求方程的“两根点”的坐标； (2)已知点是关于的一元二次方程的“两根点”，若点在直线上，求的值． 【答案】(1)“两根点” (2) 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）解方程的两根，即可得出结果； （2）解方程，求出“两根点P”，将点P的坐标代入即可求解． 【详解】（1）解：， 方程整理得： ， 解得，， “两根点”； （2）解：， ， ， ，， ， 点在直线上， ， ． 8．（23-24八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在该一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）将代入一次函数解析式求出a的值即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 这个一次函数的解析式为：； （2）解：点在该一次函数的图象上， ， 解得：． 9．（2023·云南昆明·二模）已知一次函数． (1)若函数与坐标轴的交点分别为和，且，满足，求一次函数解析式； (2)若函数过点，令，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据非负数的性质，列出方程组求解即可； （2）根据题意，将点代入一次函数中，写出有关的式子，将其代入中，化简即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 解得：， ， ， 解得：， 一次函数解析式为 ； （2）证明： 函数过点， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质和完全平方公式． 10．（2023九年级·全国·专题练习）若y与成正比例，且时，，求：y与x之间的函数关系式． 【答案】． 【分析】根据待定系数法求函数关系式． 【详解】解：∵y与成正比例， 设正比例函数的表达式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式． 【经典计算题五 求一次函数自变量或函数值】 1．（23-24九年级上·广东湛江·开学考试）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）由于与成正比例，则可设，然后把，代入可得到关于的方程，求出即可得到与之间的函数关系式； （2）把代入（1）的关系式中得到关于的方程，然后解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意，设， 把，代入得，解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）解：把代入得， 所以． 2．（23-24八年级下·吉林延边·期中）已知与x成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与成正比例，设出函数关系式，再代入已知、的值求出比例系数，进而得到与的函数关系式． （2）将代入（1）中所求函数关系式计算的值． 本题主要考查了正比例函数的定义及解析式的求解，熟练掌握正比例函数的定义和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：因为与成正比例， 所以设（为常数，）． 当，时，代入得： ， 所以，即． （2）解：把代入得 ． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）游泳是一项全身性的运动，能够增强体质、提高免疫力．为了保障安全，我们可以选择去干净、安全的游泳馆游泳．某游泳馆的泳池在一次换水前的存水量是，换水时打开排水孔，以每小时的速度排放水．设排水期间泳池的存水量为，排水时间为． (1)写出排水期间与之间的关系式； (2)当排水时间为5时，泳池的存水量为多少立方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据存水量等于初始存水量减去排水速度乘以排水时间来确定关系式． （2）将排水时间代入（1）中得到的关系式，计算出存水量． 本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据实际问题列一次函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵初始存水量为，排水速度为每小时，排水时间为小时，那么排水的量为， ∴存水量． （2）解：当时，（）， 答：泳池的存水量为立方米． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）拖拉机开始工作时，油箱中有油，已知该拖拉机每小时耗油，写出油箱中的剩余油量（Q）与工作时间之间的函数表达式，并计算工作后油箱中的剩余油量． 【答案】函数表达式为（），工作后剩余油量为． 【分析】先根据剩余油量的构成（初始油量减去消耗的油量）确定函数表达式，再将工作时间代入表达式计算剩余油量．本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，熟练掌握“根据实际数量关系列出函数表达式，并代入求值”是解题的关键． 【详解】解：初始油量为，每小时耗油，工作小时的耗油量为，则剩余油量（）． 把代入，得． ∴函数表达式为（），工作后剩余油量为． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)设点在这个函数图象上，求的值； (4)若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，当时，，求出的值即可； （）把代入即可求解； （）将代入即可求解； （）因为，，所以随的增大而增大，然后由即可求解． 【详解】（1）解：设， 当时，， 所以， 解得， 所以， 即； （2）解：当时，； （3）解：将代入， 得，解得； （4）解：因为，， 所以随的增大而增大， 当时，；当时，； 又因为， 所以． 6．（2025·甘肃张掖·三模）某同学家购买了一款加湿器，随着加湿器的运作，房间湿度随之发生变化．房间湿度为，其中y与运作时间t（单位：h）呈现一次函数关系．若加湿器在运作前，房间湿度为（房间初始湿度为），经过1小时40分钟后，房间湿度为． (1)求y与t之间的函数关系式． (2)加湿器一直在运作中，问再经过多长时间，房间湿度达到？ 【答案】(1) (2)再经过房间湿度达到 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）设y与t之间的函数关系式为，把代入建立方程组求解即可； （2）把代入，进一步求解即可. 【详解】（1）解：设y与t之间的函数关系式为， 根据题意可知在函数图象上． 解得 与之间的函数关系式为． （2）解：当房间湿度为时，， 解得，， 再经过房间湿度达到． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知与成正比例，且其图象过点，求m的值． 【答案】 【分析】根据题意设，将点代入求解得到再把代入即可得到答案． 题目主要考查待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【详解】解：与成正比例， 设， 把点代入函数解析式得，， 解得 ， 把点代入得，， 解得． 8．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知与成正比例，且时，． (1)试求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了运用待定系数法建立函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）由题意可设，把条件代入可求得y与x的函数关系式； （2）把代入函数解析式可求得答案． 【详解】（1）解：与成正比例， 可设， ∵当时，， ，解得：， ，即， 与x的函数关系式为． （2）当时，代入函数解析式可得：， 解得：． 9．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形面积公式，一次函数的性质． 分别求出，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当时，． 点的坐标为 ． 当时，．解得． 点的坐标为 ∴． ． 10．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在该函数的图形上，理由见解析 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，判定点是否在函数图象上． （1）先设与的函数表达式为：，把时，代入求出k的值，然后把结果变成的形式即可； （2）把代入（1）中求出的函数解析式，通过计算看左右两边是否相等，若相等，点在函数图象上，否则就不在函数图象上． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：， 当时，， ，即． 解得：， ，即． 与的函数解析式为：． （2）点在该函数的图形上，理由如下： 把点代入， 左边，右边， 左边右边， 点在该函数的图象上． 【经典计算题六 列一次函数解析式并求值】 1．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进，两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．品牌红富士苹果的价格为38元/箱，品牌红富士苹果的价格为30元/箱． (1)若品牌红富士苹果购进箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为元，尝试确定与的函数关系？ (2)若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进品牌红富士苹果多少箱？ 【答案】(1)且为整数 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出与的函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据总费用品牌红富士苹果的价格购进品牌红富士苹果的箱数品牌红富士苹果的价格购进品牌红富士苹果的箱数计算即可； （2）根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，从而得到的最大值即可． 【详解】（1）解：， 与的函数关系为且为整数． （2）根据题意，得，即， 解得． 答：最多可购进品牌红富士苹果箱． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）甲，乙两家商店出售品质相同的樱桃，甲商店的樱桃价格为元千克，无优惠；乙商店的樱桃价格为元千克，若一次购买千克以上，超过千克部分的樱桃价格打折． (1)设购买樱桃千克，(单位：元)分别表示顾客到甲，乙两家商店购买樱桃的付款金额，求关于的函数关系式； (2)甲、乙两家水果店均按以上销售方式推出售价为元的樱桃礼盒，若只考虑重量因素，选择在哪家水果店购买樱桃礼盒更合算？ 【答案】(1)， (2)选择在乙水果店购买樱桃礼盒更合算 【分析】本题考查一次函数的应用，分别根据两家商店的优惠情况写出函数关系式是解题的关键． （1）分别根据两家商店的优惠情况计算即可； （2）分别计算，时对应的的值并比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，关于的函数关系式为，关于的函数关系式为． （2）当时，得，解得， 当时，得时，解得， ， 选择在乙水果店购买樱桃礼盒更合算． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 4．（2024·湖南张家界·中考真题）阅读理解题 在平面直角坐标系中,点到直线的距离公式为:, 例如,求点到直线的距离. 解:由直线知： 所以到直线的距离为： 根据以上材料,解决下列问题： （1）求点到直线的距离. （2）若点到直线的距离为,求实数的值. 【答案】（1）1；（2）1或-3. 【分析】（1）根据点到直线的距离公式求解即可； （2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题． 【详解】解：由直线知：A=3，B=-4，C=-5， ∴点到直线的距离为： d=； （2）由点到直线的距离公式得： ∴|1+C|=2 解得：C=1或-3. 点睛：本题考查点到直线的距离公式的运用，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为Ax+By+C=0的形式，学会构建方程解决问题. 5．（2025·辽宁盘锦·三模）辽宁省博物馆素以藏品丰富、特色鲜明而享誉海内外，其文创产品也受到了广大群众的喜欢．文创馆的工作人员在整理销售数据时发现，某款冰箱贴4月份的售价y（元/个）和销量m（个）的部分数据如下表所示： 4月份第x天 1 2 3 4 售价y（元/个） 30 32 34 36 销量m（个） 200 190 180 170 (1)由上表可知销量m与x之间的关系式为______；售价y与x之间的关系式为______； (2)若每个冰箱贴需要2元包装费，且售价不高于38元/个，成本为8元/个，则4月份第几天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)第5天销售利润最大，最大利润为4480元 【分析】本题考查二次函数的应用，正确利用销量每件的利润利润得出函数关系式是解题关键． （1）根据表格信息得到关系式即可； （2）设利润为w元，根据销量每件的利润利润列函数关系式，配方为顶点式，然后根据自变量x的取值范围解答即可． 【详解】（1）解：由表格可知天数每增加天，售价增加元，销量减少个， ∴， ， 故答案为：，； （2）解：设利润为w元， ， ∵售价不高于38元/个， ∴， 解得， ∴当时，w最大，最大值为元， 即第5天销售利润最大，最大利润为4480元． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 【答案】(1) (2)方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 【分析】本题主要考查了列函数解析式、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式、不等式组成为解题的关键． （1）设购进A商品件，则购进B商品件，然后根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可； （2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组求得x的范围，然后确定进货方案即可． 【详解】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件， 由题意可得：总利润，即． （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵x为整数， ∴，， 所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 7．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 【答案】(1)A套餐：，B套餐： (2)选B套餐，理由见解析 【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系式即可； （2）将分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：A套餐，B套餐， 所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系分别为：，． （2）解：当时， A套餐：（元）， B套餐：（元）， 因为， 所以选B套餐更优惠． 8．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长）另外三边用木栏围成，木栏长． (1)设平行于墙的一边长为x，垂直于墙的一边y，求y与x的函数关系式． (2)若养鸡场面积为200平方米，求鸡场垂直于墙的一边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列一次函数解析式、一元二次方程的应用，（1）根据题意求解即可； （2）根据长方形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， 解得， ∴， 答：鸡场垂直于墙的一边长为． 9．（22-23八年级下·河南郑州·期中）在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元） 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式； (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？ 【答案】(1) (2)安排方案有4种，见解析 【分析】（1）先表示出装运生活用品的车辆数为，再结合表格中的数据解答即可； （2）先根据题意得出关于x的不等式组，求出解集后结合x为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，那么装运生活用品的车辆数为， 则有， 整理得，， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，，x， 由题意，得， 解这个不等式组，得， 因为x为整数，所以x的值为5，6，7，8． 所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆． 【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出函数关系式和不等式组是解题的关键． 10．（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证120元，只限本人当年使用，会员证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费15元．设小聪计划今年夏季游泳次数为（为正整数）． (1)根据题意，填写下表： 游泳次数 10 15 20 … 方式一的总费用（元） 220 270 ______ … ______ 方式二的总费用（元） 150 225 ______ … ______ (2)若小聪计划今年夏季游泳的总费用为300元，通过计算说明选择哪种付费方式，她游泳的次数比较多？ (3)张老师是游泳爱好者，他计划今年夏季在这个游泳馆游泳40次，通过计算说明，张老师选择哪种方式合算？ 【答案】(1)320，；300， (2)方式2的游泳的次数比较多 (3)张老师选择方式1合算 【分析】（1）根据题目要求列出代数式并计算； （2）根据第一问的代数式列出方程，分别求出两种情况下的未知数的值，在进行比较大小，最后得出结论； （3）设游泳的次数为x，列出不等式即可解答． 【详解】（1）解：设小聪计划今年夏季游泳次数为， 则方式一的总费用为：元， 方式一的总费用为：元， 当时，方式一的总费用为元， 当时，方式一的总费用为元元， 根据题意，填写下表： 游泳次数 10 15 20 … 方式一的总费用（元） 220 270 320 … 方式二的总费用（元） 150 225 300 … （2）解：设小聪计划今年夏季游泳次数为， 如果选择方式一：，解得； 如果选择方式二：，解得； ∵， ∴方式二的游泳的次数比较多； （3）解：设张老师游泳次数为， 当时，； 当时，； ．所以张老师选择方式一合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键． 【经典计算题七 两直线的交点与二元一次方程组的解】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点．    (1)求出关于的方程组的解； (2)直线能否也经过点？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线能经过点． 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组的关系： （1）把代入可求出的值；由直线与直线相交于点可得结论； （2）把分别代入和，然后联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得． ∴直线l和直线m的交点坐标为， 即方程组的解为； （2）解：直线也经过点P． 理由如下：将点代入直线，得 ， 将点代入直线，得 ， 联立解得 ∴当时，直线也经过点P． 2．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线：（为常数）、直线：（为常数）分别交轴于点、，点是两直线的交点． (1)求直线和直线的函数表达式及点的坐标； (2)在直线上是否存在点，连接，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)存在，点Q的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出：，：，然后联立方程组得，解得，从而求出点坐标； （）先求出的面积，然后分当点在轴上方时，当点在轴下方时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将代入：（为常数）中，得， 解得， ∴：， 将代入：（为常数）中，得， 解得， ∴：， 联立方程组，得，解得， ∴； （2）解：存在，理由： ∵、， ∴， ∴的面积， 当点在轴上方时，由知， ∴，即，解得， 在中，令，则，解得， ∴； 当点在轴下方时，由知， ∴，即，解得， 在中，令，则，解得， ∴， 综上，存在点，使得，点的坐标为或． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一次函数与相交于点，且与轴相交于点，交轴于点． (1)求k，b的值； (2)求点P的坐标； (3)若是垂直于x轴的直线交于点M，交点于点N，且的长度等于3，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次方程组的关系，掌握的长度等于，纵坐标之差的绝对值是解决问题的关键． （1）由图象可知一次函数的图象经过，，由待定系数法可求得和的值； （2）解方程组可得点的坐标； （3）由于是垂直于轴的直线交于点，交点于点，故设，，的长度等于，纵坐标之差的绝对值，解方程即可求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知， 一次函数的图象经过，， 把，点的坐标代入得：， 解得， 即，； （2）解：由（1）得，一次函数的解析式为， 解方程组， 解得： 点的坐标为； （3）解：是垂直于轴的直线交于点，交点于点， ，， 的长度等于3， ， 即， 解得：或． 4．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，已知直线经过点，，与直线：交于点C，且直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)求点C的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查两条直线相交问题，涉及待定系数法，三角形面积． （1）设直线的函数表达式为，把，代入求出k，b即可； （2）联立、得：，解方程即可得出点C的坐标； （3）求出点D坐标为，，过点C作于E，，再根据三角形的面积公式求的面积． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解： 联立、得：， 解得：， ∴点C坐标为； （3）解：∵直线：， ∴当时，， ∵直线交x轴于点D， ∴点D坐标为， ∵， ∴， 如图，过点C作于E，， ∴． 5．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知直线经过点，，与直线交于点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)根据图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)，点的坐标为 (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数关系式；由两个函数解析式得出关于的方程组即可解决问题． （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式及两直线相交问题，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）因为直线经过点，， 将点，分别代入该直线解析式，得 解得 则直线的解析式为 联立 解得 则点的坐标为． （2）由图象知：时的取值范围是． 6．（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是______；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式． (3)求甲、乙二人相遇的时间． 【答案】(1)4；9 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程与速度和时间的关系，函数图象表示的路程和时间的数据信息． （1）根据函数图象可知甲5小时匀速行驶了20千米，得到其速度为；根据乙以的速度匀速行驶1小时，得到其行驶的路程为2千米，根据乙从第2小时到第4小时行驶的路程从2千米到20千米，得到其速度为； （2）乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式为，由（1）可得：函数过，，再进一步求解即可； （3）根据函数图象，先求出甲离开A地的距离与时间函数关系式与乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式，然后求出它们的交点，即可求出相遇的时间． 【详解】（1）解：根据图象可知甲的运动速度为：， 乙以的速度匀速行驶1小时的路程为：， 乙在至之间的速度为：； 故答案为：4；9； （2）设乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：， 由（1）可得：函数过，， ∴，解得：， ∴乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：； （3）由（2）知乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：； 设甲离开A地的距离与时间函数关系式：， 由图象可知：函数关系式经过， ∴，解得, ∴甲离开A地的距离与时间函数关系式：， 联立：，解得：， ∴时，甲、乙二人相遇． 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）平面直角坐标系中，直线交轴于点，与直线交于点A． (1)求点A的横坐标； (2)若，求的最小值，并求此时的值； 【答案】(1)2 (2)最小值为5， 【分析】（1）联立两直线方程求出x的值，即可得出答案； （2）先求出点O关于直线的对称点的坐标，连接交直线于点A，此时最小，根据点和P点的坐标求出直线的解析式，再令，求出y的值，即可得出点A的坐标，再将点A的坐标代入中即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得． ∴A点横坐标为2， （2）解：如图，点关于直线的对称点为； 连接交直线于点A，此时最小， 其值为； 设直线的解析式为， 将和的坐标代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 即， ∴． 【点睛】本题考查的是一次函数的交点问题以及平面直角坐标系中求两条线段之和的最小值．熟练运用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 8．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点． (1)求，的值； (2)当时，的取值范围是______； (3)请求出当取何值时，满足不等式组． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． 依据题意，把点代入中得：，可得点的坐标为，然后把点代入中得：，可得的值，进而得解； （2）依据题意，由，则此时的图象在的下方，进而结合图象即可判断得解； （3）依据题意，由（1）可知：，则其与轴的交点坐标为，结合图象可得：当时，，又与轴的交点坐标为，又由图象可得：当时，，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，把点代入中得：， 点的坐标为． 把点代入中得：， ． 答：，； （2）解：由题意，， 此时的图象在的下方． 结合图象可得，． 故答案为：； （3）解：由（1）可知：， 其与轴的交点坐标为． 由图象可得：当时，． 与轴的交点坐标为， 由图象可得：当时，． 当时，满足不等式组． 9．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，已知函数和． (1)若两个函数的图象相交于点A，当时，求点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值也小于1，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围． （1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解． （2）先求得点，代入求得，根据题意画出草图，再结合函数的性质来确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数，． 联立方程组， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：当时，， ∵当，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值也小于1， ∴， 解得， ∴． 10．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线与、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． (1)求点的坐标； (2)点在直线上，若，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，联立方程组，则，可得点P的坐标； （2）依据题意，由直线与x轴交于点C，则，又直线与x于A点，可得，故，又M在直线上，则可设，结合，从而可分两种情形分析计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，联立方程组， 点的坐标为； （2）由题意，∵直线与x轴交于点C， ∴当时，， ∴． 又∵直线与x于A点， ∴当时，， ∴． ∴． ∵M在直线上， ∴可设． ∵， ∴M在P上方或在上． ①当M在P上方， ∴． ∴． ∴． ②当M在上， ∴． ∴． ∴． 综上，或． 【经典计算题八 求直线围成的图形面积】 1．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知：直线经过点．点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．求： (1)直线的函数表达式； (2)点的坐标； (3)的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式以及三角形的面积．用待定系数法求函数的解析式：先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解． （1）将A、B两点的坐标代入一次函数解析式，运用待定系数法求解； （2）利用（1）中的一次函数的解析式求点C、D的坐标； （3）求直线与坐标轴围成的三角形的面积，即求三角形的面积，然后根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线的图象经过点，点， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式是； （2）解：由（1）知，该一次函数的解析式是， ∴当时，；当时，， ∴，； （3）解：直线与坐标轴围成的三角形的面积，即为的面积， ∴，即的面积是． 2．（23-24八年级上·宁夏·期中） 已知如图直线与直线交于点． (1)求k的值． (2)求两直线与x轴围成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题、一次函数与坐标轴的交点求法及三角形面积计算，解题的关键是掌握“函数图象上的点满足函数解析式”和“三角形面积=底×高”的核心公式，并能通过求直线与x轴交点确定三角形的底边长． （1）已知点是两直线的交点，故点P在直线上，将点的坐标代入该直线解析式，即可列方程求解k的值； （2）先分别求出两条直线与x轴的交点坐标（令，解方程求x的值），得到点A、B的坐标；再确定线段的长度（即三角形的底），点P的纵坐标即为三角形的高；最后代入三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：∵点在直线上 ∴将代入得： 解得 （2）解：求直线与x轴交点A： 令，则，解得， ∴ 再求直线与x轴交点B： 令，则，解得， ∴ ∴． ∵点到x轴的距离（即的高）为3 ∴边上高． 答：两直线与x轴围成的的面积为． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）已知一次函数图象经过点， 两点． (1)求一次函数解析式； (2)求图象和坐标轴围成三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，求直线与坐标轴围成的三角形的面积： （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得函数与坐标轴的交点，即可求得三角形的面积． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式是． 根据题意得： ， 解得： 则直线的解析式是：． （2）解：在直线中， 令，解得； 令，得， 解得∶ 则求图象和坐标轴围成三角形面积为． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点，点为坐标原点． (1)求直线的解析式和的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能综合运用知识点进行求值是解此题的关键． （1）根据点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标即可求出值； （2）根据坐标和三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）解设直线的解析式为，把点，的坐标代入 得， 解得， 所以直线的解析式为， 把点代入，得； （2）把代入，得， 直线与轴的交点为， 即， ， ∴． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知一次函数的图象过点，，与正比例函数的图象交于点C．求： (1)一次函数的解析式； (2)的面积； (3)通过观察图象，当x取何范围时，一次函数的值大于正比例函数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两个解析式，求出点坐标，利用面积公式进行计算即可； （3）图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，， ∴设一次函数的解析式为， 把，代入，得：，解得：， ∴； （2）联立，解得：， ∴， ∵， ∴； （3）由图象可知：，一次函数的值大于正比例函数的值． 6．（24-25八年级上·全国·期末）正比例函数和一次函数的图像交于点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点． (1)求正比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，求关于的不等式的解集； (3)已知点在图像上，若，求的坐标． 【答案】(1)正比例函数表达式为；一次函数表达式为； (2)； (3)或． 【分析】（1）利用正比例函数过点，将点坐标代入可求即可求得正比例函数．利用一次函数过点和，代入两点坐标列方程组求解、即可求得一次函数； （2）不等式的解集，就是正比例函数图像在一次函数图像上方时的取值范围，结合两函数交点的横坐标判断； （3）先求出的面积，再根据求出的面积，设点坐标，利用三角形面积公式（为底，点纵坐标的绝对值为高）求出的值，再代入一次函数表达式求，得到点坐标． 本题主要考查了正比例函数与一次函数的表达式求解、利用函数图像解不等式以及三角形面积与函数坐标的综合应用，熟练掌握函数图像上点的坐标特征、一次函数与正比例函数的性质及三角形面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：正比例函数过点 ， 解得， 正比例函数表达式为； 一次函数过点， 解得，， 一次函数表达式为； （2）解：正比例函数和一次函数交于点，且不等式表示正比例函数图像在一次函数图像上方． ； （3）解：，点纵坐标为， ． ． 设， ， ，即， 解得或． 当时，， 解得，此时； 当时，， 解得，此时； 综上，的坐标为或． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知直线经过点且与坐标轴所围成的三角形的面积是，求这条直线的表达式． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式及三角形的面积公式．注意本题中直线与 y 轴的交点的坐标有两个． 根据三角形的面积公式先求出直线与y轴的交点的坐标，再用待定系数法求出函数的关系式． 【详解】解：把点代入中，得， ∴ 所以直线与x轴交点为，与y轴交点为， 所以，， 所以， 当时，， 当时，， 所以这条直线的表达式为或． 8．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，直线的解析式为，直线和直线相交于点A，直线与x轴相交于点B，与y轴相交于点D，直线与x轴相交于点，与y轴相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，同时考查了坐标与图形的面积，掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式； （2）首先根据两个函数解析式计算出A、B两点坐标，然后再利用三角形的面积公式计算出的面积即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵经过点， ∴ ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）∵直线的解析式为， 当时，， ∴， 解方程组 解得， ∴， ∵， ∴， 的面积． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象还过点． (1)求点的坐标及一次函数的表达式； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图象于点，连接，若，求的面积． 【答案】(1)， (2)28 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．注意数形结合思想的应用． （1）根据正比例函数可得A的坐标，再由A的坐标和点可得一次函数的解析式； （2）分别用含m的代数式表示出B和C的坐标，根据可得m的值，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把和代入可得， 解得， 所以一次函数的解析式为； （2）解：由题意可得， ∴， ∴，解得， 即， ∴． 10．（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，直线：与直线：交于点，点的坐标为， (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先根据直线的解析式求出点，再求出，然后利用待定系数法求解即可得； （2）根据点的坐标可得的边上的高，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入直线：得：， ∴， ∵点在轴的正半轴上，， ∴， 将点，代入直线：得：，解得， 所以直线的解析式为． （2）解：∵， ∴的边上的高为， ∵， ∴的面积为． 【经典计算题九 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图象分别与x轴交于点A、点B，两直线相交于点C．已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是___________；关于x的不等式的解集是___________； (2)直接写出：关于x的不等式组的解集是___________； (3)若点C坐标为， ①关于x的不等式的解集是___________； ②请求出的面积． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式（组）、三角形面积公式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）观察图象即可求解； （2）观察图象即可求解； （3）①观察图象即可求解；②利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：观察图象可得，当时，， 关于x的方程的解是； 观察图象可得，当时，， 关于x的不等式的解集是． 故答案为：；． （2）解：观察图象可得，当时，；当时，， 关于x的不等式组的解集为． 故答案为：． （3）解：①观察图象可得，当时，的图象在的图象上方，则有， 关于x的不等式的解集是． 故答案为：； ②， ， 的面积为． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知一次函数 和 （是常数，）， 我们称 是的迭代函数，如函数 的迭代函数是 ，即 ; 当 时，函数 的图象与它的迭代函数 的图象交于点 ， 我们称点 是这个函数的迭代点． (1)填空:函数 的迭代函数是_____，这个函数迭代点 的坐标为_____． (2)对于任意(，是常数，)的迭代函数，若、是其迭代函数图象上两个不重合的点，求证：当时，总有． (3)若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)，证明见详解 【分析】（1）根据题意即可写出函数的迭代函数，再与函数联列，求解即可得到迭代点的坐标； （2）根据题意写出的迭代函数，根据，即可证明y随x的增大而增大； （3）联列函数和它的迭代函数，即可求出点P，故若点P的坐标为时，则有． 本题考查了一次函数的性质，两条直线相交或平行问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得函数的迭代函数为， 即， 联列可得， 解得， ∴函数迭代点的坐标为； 故答案为：，； （2）证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，）， 即， ∵， ∴， ∴在函数中，y随x的增大而增大， ∵、是其迭代函数图象上两个不重合的点， ∴当时，总有； （3）解：．证明如下： 由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点P， 联列可得：， 解得：， 即点P坐标为， ∴若点P的坐标为时，则m，n的数量关系为． 3．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）如图，是经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系． (1)若三角形内任意一点的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为 ． (2)若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形，并求三角形的面积． (3)直接写出与y轴交点的坐标 ． 【答案】(1) (2)画图见解析； (3) 【分析】此题主要考查图形的中心对称和平移、求一次函数解析式，牢记图形中心对称的性质和图形平移的性质是解题的关键． （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． （2）由其三个顶点确定，根据图形平移的方向和距离，先确定三个顶点平移后的对应点，依次连接对应点即可求得答案． （3）采用待定系数法求得直线的解析式，进而可求得答案． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图所以，由其三个顶点确定，根据图形平移的方向和距离，三个顶点平移后的对应点分别为，，，依次连接，，，即为所求． ． （3）解：设直线的解析式为． 因为的图象经过点，，则 解得 ∴直线解析式为． 当时，，即与轴交点的坐标为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】 观察下列等式：，． （1）根据上述特征，计算： ． 【尝试类比】 （2）已知一次函数（为正整数）与轴、轴分别交于，两点，为坐标原点，设的面积为． ① ； ②求的值． 【类比迁移】 （3）计算： ． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）（或） 【分析】本题考查了分式的加减运算，直线与坐标轴的交点，将分式正确的进行拆分是解题的关键 （1）根据，计算求解即可； （2）当时，当时，可求，，则，①当时，，计算求解即可；②由，可得 ，计算求解即可． （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：当时，，则， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ①当时，， 故答案为：； ②解：∵， ∴， ∴的值为． （3）解： ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于 x 的 函数 的图象与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值． 【答案】1或3 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，根据关于 x 的 函数 的图象与 x 轴只有一个公共点， 利用分类讨论的方法可以求得m的值． 【详解】解∶当即时， ①时，原函数解析式为，此时图象与 x 轴只有一个公共点， ②时，原函数解析式为，此时图象与 x 轴没有交点，不符合题意，舍去； 当即时， ∵关于 x 的 函数 的图象与 x 轴只有一个公共点， ∴， 解得，（舍去）， 综上，m 的值1或3． 6．（2023·山东青岛·模拟预测）已知关于的函数： 为常数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． (1)求的取值范围； (2)为坐标原点，设的面积为，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）根据一次函数的图象与系数的关系求解； （2）根据三角形的面积列方程求解． 【详解】（1）解：函数可化为：， 函数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， ； （2）∵函数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， 当时，， 解得：，则 当时，，则 ∴， 解得： ， ∴直线l的函数解析式为：． 7．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B (1)求B点的坐标； (2)若直线l：与线段有公共点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入，求出m，得到点A的坐标，再根据向右平移，横坐标相加纵坐标不变求出点B的坐标； （2）分别求出直线l：过点、点时k的值，再结合函数图象即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点， ∴． ∴点A的坐标为． ∴点向右平移4个单位长度得到点B的坐标为． （2）当直线l：过点时， 得，解得． 当直线l：过点时， 得，解得． 如图，若直线l：与线段AB有公共点，则或．    【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求出点B的坐标是解题的关键． 8．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称，两点为同和点，下图中的，两点即为同和点． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的同和点的是 　　． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为 　　． (2)直线与轴、轴分别交于点，，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，求的取值范围． 【答案】(1)（1）①，；②； (2)①点坐标为；②． 【分析】（1）①由同和点的定义可求解；②由同和点的定义可求解； （2）①由同和点的定义，列出等式可求解；②由同和点的定义，列出等式可得，即可求解． 【详解】（1）解：①点的坐标为， ， 点，，， ，，， 点的同和点的是，， 故答案为：，； ②点在轴上，且，两点为同和点， 点， 故答案为：； （2）解：①直线与轴、轴分别交于点，， 点，点， 点与点为同和点， 设点， ， ， 点坐标为； ②设点坐标为， 点与点为同和点， ， ， 点为线段上一点， ， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点”的定义并运用是解题的关键． 9．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）如图，已知一次函数（k，b为常数，）的图像经过点，．      (1)由图可知，关于x的一元一次方程的解是___________； (2)求该一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程与一次函数图像的关系即可解答； （2）将，代入一次函数解关于k、b的二元一次方程组即可解答． 【详解】（1）解：∵由图可知一次函数的图像与x轴的交点， ∴一元一次方程的解是． （2）解：将、代入一次函数得： ，解得：． ∴该一次函数的表达式：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与一元一次方程的关系、求一次函数解析式等知识点，理解一次函数图像与一元一次方程的关系是解答本题的关键． 10．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）根据一次函数的图象，直接写出问题的答案： (1)关于的方程的解； (2)代数式的值； (3)关于的方程的解. 【答案】(1)x= -1 (2)4 (3)x=0.5 【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出x=1时对应的函数值即可 （3）利用函数图象写出函数值为-3时对应的自变量的值即可． 【详解】（1）当x=-1时，y=0， 所以方程kx+b=0的解为x=-1； （2）由图可以看出的图象过（-1，0），（0，2）两点， 可得，解得： 所以一次函数关系式为：y=2x+2， 当x=1时，y=4，即k+b=4， 所以代数式k+b的值为4； （3）因为一次函数关系式为：y=2x+2， 所以当y=3时，得2x+2=3，解得x=0.5， 所以方程kx+b=-3的解为x=0.5． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键． 【经典计算题十 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，直线与x轴交于点B，，直线经过点C，且与交于点． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与不等式，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求得两条直线的解析式． （1）先根据直线表达式，求出点B坐标，根据，即得点C坐标，结合点，即可求出直线的解析式； （2）根据图象，要找满足的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线的图象在的图象上方，且的图象在x轴的上方． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为， 当时，， ， ， ， 经过点C和点A， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由函数图象可知，的解集为． 2．（24-25八年级下·广东潮州·期末）如图，已知直线l1：y=2x+3，直线l2：y=﹣x+5，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A． （1）求A、B、C三点坐标；（2）求△ABC的面积． 【答案】（1）A（，），B（）,C(5,0)（2） 【详解】解：（1）由题意得，令直线l1、直线l2中的y为0，得：x1=-，x2=5， 由函数图象可知，点B的坐标为（-，0），点C的坐标为（5，0）， ∵l1、l2相交于点A， ∴解y=2x+3及y=-x+5得：x=，y= ∴点A的坐标为（，）； （2）由（1）题知：|BC|=， 又由函数图象可知S△ABC=×|BC|×|yA|=××= 3．（2024·福建福州·二模）探究： Ⅰ直线与x轴夹成的锐角为______度；直线与x轴夹成的锐角为______度；直线与x轴夹成的锐角为______度； Ⅱ设直线与x轴夹成的锐角为，试用的三角函数表示k，并给予证明． 【答案】(1) 45；60；30；(2)详见解析. 【分析】Ⅰ直接利用一次函数的性质与锐角三角函数关系分别得出各夹角度数； Ⅱ直接表示出图象与x、y轴的交点，进而表示出BO，AO的长即可得出答案． 【详解】解：Ⅰ直线与x轴夹成的锐角为：； 直线，当时，，则设直线与x轴夹成的锐角为：， 故，则； 直线，时，； 时，， 则设直线与x轴夹成的锐角为， 故， 则． 故答案为45；60；30； Ⅱ． 证明：如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，． 在直线中， 令，得． ， ， ． 令，得， ， ，， ． ． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及解直角三角形，正确表示出各线段长是解题关键． 4．（24-25八年级下·北京东城·期中）已知：直线与轴交于点，与轴交于点，坐标原点为． （）求点，点的坐标． （）求直线与轴、轴围成的三角形的面积． （）求原点到直线的距离． 【答案】（1）（2）4（3） 【详解】试题分析：（1）分别令x=0、y=0求解即可得到与坐标轴的交点坐标； （2）根据三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）先根据勾股定理求出AB的长，再利用面积法可求出原点到直线的距离． （）∵， 当时， ． ∴． 当时，， ∴． （）∵ ∴ ∴ （）作于点． ∵ , ∴, ∴ , ∴点到直线的距离为． 5．（2026·山东菏泽·一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限） （1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式； （2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE="90°" 时，求出点P的坐标； （3）当△PBC的面积为时，求点E的坐标． 【答案】（1）y=x2-2x-3；直线BC的函数表达式为y=x-3；（2）P的坐标为（1-，-2）；（3）E的坐标为（0，-）. 【详解】试题分析：（1）用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点C（0，-3），求出抛物线解析式即可；由抛物线的解析式可求出B的坐标，进而可求出线BC的函数表达式； （2）当∠CDE=90°时，则CE为斜边，则DG2=CGGE，即1=（OC-OG）（2-a），求出a的值，进而得出P点坐标； （3）当△PBC的面积为时，过P作PK∥x 轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2-2m-3，由已知条件可得：S△PBC=S△PKC+S△PKB=，进而可求出P的坐标，又因为点P在CE垂直平分线上，所以E的坐标可求出． 试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴-=1， ∴b=-2 ∵抛物线与y轴交于点C（0，-3）， ∴c=-3， ∴抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3； ∵抛物线与x轴交于A、B两点， 当y=0时，x2-2x-3=0． ∴x1=-1，x2=3． ∵A点在B点左侧， ∴A（-1，0），B（3，0） 设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m， 则， ∴ ∴直线BC的函数表达式为y=x-3； （2）∵Rt△CDE中∠CDE=90°，直线BC的解析式为y=x-3， ∴∠OCB=45°， ∵点D在对称轴x=1与直线y=x-3交点上， ∴D坐标为（1，-2 ） Rt△CDE为等腰直角三角形易得E的坐标（0，-1）， ∵点P在CE垂直平分线上， ∴点P纵坐标为-2， ∵点P在y=x2-2x-3上， ∴x2-2x-3=-2， 解得：x=1±， ∵P在第三象限， ∴P的坐标为（1-，-2）； （3）过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2-2m-3 ∵直线BC的解析式为y=x-3， ∴K的坐标为（n+3，n）， ∴PK=n+3-m=m2-3m， ∵S△PBC=S△PKC+S△PKB=， ∴×3KP= ∴m2-3m=， 解得：m=-或， ∵P在第三象限， ∴P的坐标为（-，-） ∵点P在CE垂直平分线上， ∴E的坐标为（0，-） 考点：二次函数的综合题. 6．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 【答案】(1)， (2)， (3)12 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）利用勾股定理求得，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线l的距离； （3）根据三角形面积公式即可得到结论． 【详解】（1）直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 设点O到直线l的距离为h，则， ∴， ∴， ∴点O到直线l的距离为；； （3）如图，过O作于C，反向延长交于D， 将直线l向下平移20个单位长度得到直线， ∴直线为，， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线l与之间的距离为12． 7．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，一次函数的图象与x轴交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)A点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键． （1）令纵坐标为0求解即可； （2）求出当时，，把代入，求得，然后借助图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点A是一次函数的图象与x轴交点， ∴A点的纵坐标为0，即， ∴解得， ∴A点坐标为； （2）解：如图， ∵一次函数， ∴一次函数过定点， 当时，， 把代入，得 解得， 由图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，k的取值范围是或． 8．（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数图象是由直线平移得到的，且经过点，交y轴于点B． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点P为此一次函数图象上一点，且的面积为10，求点P的坐标． 【答案】(1)y＝－x＋5． (2)或． 【分析】（1）由该一次函数是由直线平移得到的可是此一次函数的表达式为，再根据点A的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，将代入一次函数解析式中求出y值，由此即可得出的长度，再根据三角形的面积公式结合的面积为10即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m值，将其代入点P的坐标中即可得出结论． 【详解】（1）设此一次函数的表达式为， 将代入， ， 解得：． ∴此一次函数的表达式为． （2）设点P的坐标为， 当时，， ∴点， ∴． ∴， 解得：或． ∴点P的坐标为或．    【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据三角形的面积公式结合△POB的面积为10列出关于m的含绝对值符号的一元一次方程． 9．（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．    (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线BC于点Q．若的面积为2，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点Q的坐标为 【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，，表示出的长，再由的面积为2列方程，求出m的值后即可求M点坐标； 【详解】（1）解：对于， 令，得，则点B的坐标为， 令，得，则点C的坐标为， ∵点C与点A关于y轴对称，∴点A的坐标为 设直线的解析式为 将，代入得：，解得： ∴直线的解析式为 （2）解：设，其中，则， 由图象可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：（舍）， 把代入直线的解析式，得 ∴点Q的坐标为 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 10．（22-23八年级上·河南郑州·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)①列表填空； … 0 1 … … __ 1 2 ___ 0 … ②在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质； (3)进一步探究函数图象发现： ①方程有______个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是______． 【答案】(1)①0，1 ；②函数图象见解析 (2)①函数的最大值是2（或者函数图象最高点的坐标是；②函数图象关于直线成轴对称；③当时y的值随着x的增大而减少（或者当时y的值随着x 的增大而增大） (3)①2； ② 【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得； ②根据描点法画出函数图象即可； （2）根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质 （3）①根据图象即可得出结论； ②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴当时，； 当时，； ②函数图象如图， ； （2）解：①函数的最大值是2（或者函数图象最高点的坐标是； ②函数图象关于直线成轴对称； ③当时y的值随着x的增大而减少（或者当时y的值随着x 的增大而增大）； （3）解：①观察图形可知， 方程有2个解； ②关于x的方程无解， 则函数的图象与无交点， 观察图形可知，此时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.7 函数与一次函数集合100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 用关系式表示变量间的关系 题型二 求自变量的取值范围 题型三 求自变量的值或函数值 题型四 根据一次函数的定义求参数 题型五 求一次函数自变量或函数值 题型六 列一次函数解析式并求值 题型七 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型八 求直线围成的图形面积 题型九 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型十 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【经典计算题一 用关系式表示变量间的关系】 1．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图所示，梯形上底的长是，下底长，高． (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)当每增加时，如何变化？ (3)当时，等于什么？此时表示的是什么？ (4)当的值为多少时，梯形的面积为？ 2．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，请解答下列问题： 放水时间 0 1 2 3 4 …… 水池中的水量 50 48 46 44 42 …… (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)这个放水过程中，每分钟放水 ，放水 后，水池中的水全部放完； (3)根据上表反映的规律，试写出水池中的水量V与放水时间t的关系式 ． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是常量，哪些是变量． (1)《赣州晚报》每份元，购买《赣州晚报》所需钱数元与购买的份数份之间的关系式； (2)用总长为80m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积与一边长之间的关系式． 4．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在一个边长为的正方形的四个角上，都剪去大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积随之发生变化． (1)在这个变化中，自变量、因变量各是什么？ (2)写出阴影部分的面积与小正方形边长之间的关系式． (3)当小正方形边长由增加到时，阴影部分的面积是怎样变化的？ 5．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是_____；边的长度是_____； (2)边向左匀速平行移动时的速度是_____； (3)在变化过程中，长方形面积的最大值_____； (4)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为x（米），长方形的面积为y（平方米）． (1)求长方形的面积y与长方形的宽x之间的关系式； (2)当长方形的宽为20米时，则此时长方形的面积为多少平方米？ 7．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮想探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着叠放的碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的碗的总高度与碗的个数之间的一些数据： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 碗的总的高度/ 6 8.4 10.8 15.6 22.8 根据以上信息，回答： (1)把上述表格中的空格补全； (2)若碗的总高度为（单位：），碗的数量为（单位：个），请直接写出与之间的关系式． (3)求10个整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总的高度． 8．（24-25八年级下·河北沧州·期中）珍珍同学在学习函数的两个变量之间的关系后，设计了下面的与的关系图和表格． 输入 输出 (1)函数关系式中的值为______； (2)当输入的值为2时，求输出的值； (3)当输出的值为9时，输入的值为多少？ 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）将若干张长为，宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸条长度 30 80 105 … (1)根据图，将表格补充完整． (2)设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式是什么？ (3)你认为若干张白纸粘合起来总长度可能为吗？为什么？ 10．（23-24七年级上·广西南宁·期中）如图在直角梯形中，，，，，，点P，Q同时从点B出发，其中点P以的速度沿着点运动；点Q以的速度沿着点运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之停止运动． （1）当运动时间时，则三角形的面积为_____； （2）当运动时间时，则三角形的面积为_____； （3）当运动时间为时，请用含t的式子表示三角形的面积． 【经典计算题二 求自变量的取值范围】 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 2．（24-25八年级下·山东泰安·期末）数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是：______； (2)下列表格是y与x几组对应值． x … 0 2 3 4 5 … y … m … 直接写出m的值______． (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数随着x的值接近1，其图象越来越靠近直线而永不相交，该函数图象还与直线______越来越靠近而永不相交； ②请再写出该函数的一条性质． 3．（24-25八年级下·吉林·期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 4．（23-24八年级下·四川巴中·期末）已知等腰三角形的周长为， 底边长是腰长的函数． 写出这个函数关系式； 求自变量的取值范围； 画出这个函数的图象． 5．（24-25九年级上·北京·开学考试）【探究函数的图象与性质】 （1）函数的自变量x的取值范围是________； （2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是_______； （3）对于函数，求当x>0时，y的取值范围．请将下面求解此问题的过程补充完整： 解：因为x>0，所以_________． 因为，所以y________． 【拓展运用】 （4）若函数，则y的取值范围是_______________________． 6．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，用一根长为的铁丝折成由两个小矩形组成的大矩形，设大矩形的宽为． (1)求出大矩形的面积与之间的表达式和自变量x的取值范围，并指出y是x的什么函数． (2)当时，求大矩形的面积． 7．（24-25八年级下·江西新余·期末）如图，在靠墙的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为米，墙的总长度为米，设养鸡场与墙垂直的一边长为，另一边长为 (1)求与函数关系式，并求自变量的取值范围； (2)画出这个函数的大致图象． 8．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，学校打算用材料围建一个面积为的矩形的小花园，用来种植一些花卉．其中矩形的一边靠墙，墙长为，设的长为，的长为． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若围成矩形的小花园的材料不超过，且和的长都是整米数，怎样围建材料最省？ 9．（23-24八年级下·广东潮州·阶段练习）点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为． (1)当点的横坐标为时，试求的面积； (2)求关于的函数解析式及自变量的取值范围． 10．（23-24九年级上·天津·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个边上有一个宽为门的矩形场地，设，设矩形面积为， (1)____________ (2)求矩形面积与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)当取何值时面积最大，最大是多少？ 【经典计算题三 求自变量的值或函数值】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）在学习一次函数时，我们经历了探究函数的图象与性质的过程，下面是小颖探究函数的图象与性质的过程，请结合学习函数的经验，将探究过程补充完整． 0 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4    (1)列表，填空：_______； (2)根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象；根据函数图象可得，该函数的最小值为______； (3)若点在该函数的图象上，且，观察图象并写出，的大小关系：______； (4)观察函数的图象，请写出该函数的两条性质． 2．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）画分段函数的图象． (1)列下表，其中____________，____________； … 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 1 2 1 … (2)在直角坐标系中描点，连线，画出图象． 3．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，根据程序计算函数值． (1)当输入的x的值是时，输出的结果y是多少？ (2)当输入的x的值是多少时，输出的结果y是？ 4．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）声音在空气中的传播速度随着气温的变化而有规律的变化．某校科技小组查阅资料发现，当气温为时，声音在空气中的传播速度为，随着气温每上升，声音在空气中的传播速度就增加． (1)根据上述变化过程，请写出声音在空气中的传播速度与气温的关系表达式； (2)当声音在空气中的传播速度为时，求对应的气温； (3)某地在进行爆破作业，当天气温为，小远同学在爆破进行后听到声音，若爆破产生的烟尘会对周围1800米内的动植物造成影响，小远同学是否会受到该次爆破的影响？ 5．（24-25八年级上·全国·期末）今年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式在天安门正式举行．通常提到的“阅兵”，实际是分为“阅兵式”和“分列式”．阅兵式，就是士兵不动，军委主席坐车来检阅．分列式，就是所有方（梯）队，踏着统一的节奏，依次通过天安门前检阅区．在分列式中，受检阅的距离就是天安门前，东西的两个华表之间，两个华表相隔米．受检阅官兵迈着每步厘米，必需x步走完，若步速每分钟步，需要时间秒．求出与各是多少？若淮北籍东海舰队航空兵副司令员梁旭少将在受检阅时，他走过的路程步，行走的时间为秒写出与的函数关系（不需要写出自变量的取值范围) 6．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一个正方形的边长为，它的各边长都减少后，得到的新正方形的周长为． (1)求与之间的关系式； (2)若这个正方形的各边长都减少了，求得到的新正方形的周长． 7．（24-25六年级下·山东威海·期末）小明同学设计了如下程序，请完成下列问题： (1)当输入时，输出的结果___________；当输入时，输出的结果___________； (2)若输出的结果为，求输入的． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低(特别是二氧化碳的)排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据信息，解决问题： 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 (1)若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为 ． (2)在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加 ；当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从 增加到 ． (3)小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 9．（24-25八年级下·吉林松原·期末）如图，点在第一象限，且，点 A 的坐标为．设的面积为 S． (1)求 S 关于 x 的函数解析式； (2)若，求 P 点坐标． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我们知道：“距离地面越高，气温越低”，如表表示的是某地某时气温随距离地面高度变化而变化的情况： 距离地面高度 0 1 2 3 4 … 气温 20 14 8 2 … (1)请写出T与h之间的关系式： (2)距离地面的高度气温是多少？ (3)若当地某山顶当时的气温为，求山顶与地面的高度． 【经典计算题四 根据一次函数的定义求参数】 1．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知是一次函数， (1)求的值； (2)若点均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由． (3)将点向下平移3个单位长度，得到点，恰好点在该一次函数图象上，求一次函数的图象与线段有交点时的取值范围． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 3．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）． (1)当自变量1对应的函数值为5时，求a的值； (2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）若函数是关于x的一次函数，试确定m的值，并求当时，y的值． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一次函数的图象如图所示． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求，的值． 7．（24-25九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个根为和，分别以、为横、纵坐标得到点，则称点为该方程的“两根点”． (1)求方程的“两根点”的坐标； (2)已知点是关于的一元二次方程的“两根点”，若点在直线上，求的值． 8．（23-24八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在该一次函数的图象上，求的值． 9．（2023·云南昆明·二模）已知一次函数． (1)若函数与坐标轴的交点分别为和，且，满足，求一次函数解析式； (2)若函数过点，令，求证：． 10．（2023九年级·全国·专题练习）若y与成正比例，且时，，求：y与x之间的函数关系式． 【经典计算题五 求一次函数自变量或函数值】 1．（23-24九年级上·广东湛江·开学考试）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求的值． 2．（23-24八年级下·吉林延边·期中）已知与x成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）游泳是一项全身性的运动，能够增强体质、提高免疫力．为了保障安全，我们可以选择去干净、安全的游泳馆游泳．某游泳馆的泳池在一次换水前的存水量是，换水时打开排水孔，以每小时的速度排放水．设排水期间泳池的存水量为，排水时间为． (1)写出排水期间与之间的关系式； (2)当排水时间为5时，泳池的存水量为多少立方米？ 4．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）拖拉机开始工作时，油箱中有油，已知该拖拉机每小时耗油，写出油箱中的剩余油量（Q）与工作时间之间的函数表达式，并计算工作后油箱中的剩余油量． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)设点在这个函数图象上，求的值； (4)若的取值范围是，求的取值范围． 6．（2025·甘肃张掖·三模）某同学家购买了一款加湿器，随着加湿器的运作，房间湿度随之发生变化．房间湿度为，其中y与运作时间t（单位：h）呈现一次函数关系．若加湿器在运作前，房间湿度为（房间初始湿度为），经过1小时40分钟后，房间湿度为． (1)求y与t之间的函数关系式． (2)加湿器一直在运作中，问再经过多长时间，房间湿度达到？ 7．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知与成正比例，且其图象过点，求m的值． 8．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知与成正比例，且时，． (1)试求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求x的值． 9．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 10．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【经典计算题六 列一次函数解析式并求值】 1．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进，两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．品牌红富士苹果的价格为38元/箱，品牌红富士苹果的价格为30元/箱． (1)若品牌红富士苹果购进箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为元，尝试确定与的函数关系？ (2)若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进品牌红富士苹果多少箱？ 2．（2025·陕西西安·模拟预测）甲，乙两家商店出售品质相同的樱桃，甲商店的樱桃价格为元千克，无优惠；乙商店的樱桃价格为元千克，若一次购买千克以上，超过千克部分的樱桃价格打折． (1)设购买樱桃千克，(单位：元)分别表示顾客到甲，乙两家商店购买樱桃的付款金额，求关于的函数关系式； (2)甲、乙两家水果店均按以上销售方式推出售价为元的樱桃礼盒，若只考虑重量因素，选择在哪家水果店购买樱桃礼盒更合算？ 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 4．（2024·湖南张家界·中考真题）阅读理解题 在平面直角坐标系中,点到直线的距离公式为:, 例如,求点到直线的距离. 解:由直线知： 所以到直线的距离为： 根据以上材料,解决下列问题： （1）求点到直线的距离. （2）若点到直线的距离为,求实数的值. 5．（2025·辽宁盘锦·三模）辽宁省博物馆素以藏品丰富、特色鲜明而享誉海内外，其文创产品也受到了广大群众的喜欢．文创馆的工作人员在整理销售数据时发现，某款冰箱贴4月份的售价y（元/个）和销量m（个）的部分数据如下表所示： 4月份第x天 1 2 3 4 售价y（元/个） 30 32 34 36 销量m（个） 200 190 180 170 (1)由上表可知销量m与x之间的关系式为______；售价y与x之间的关系式为______； (2)若每个冰箱贴需要2元包装费，且售价不高于38元/个，成本为8元/个，则4月份第几天销售利润最大？最大利润是多少？ 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 7．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 8．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长）另外三边用木栏围成，木栏长． (1)设平行于墙的一边长为x，垂直于墙的一边y，求y与x的函数关系式． (2)若养鸡场面积为200平方米，求鸡场垂直于墙的一边长． 9．（22-23八年级下·河南郑州·期中）在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元） 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式； (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？ 10．（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证120元，只限本人当年使用，会员证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费15元．设小聪计划今年夏季游泳次数为（为正整数）． (1)根据题意，填写下表： 游泳次数 10 15 20 … 方式一的总费用（元） 220 270 ______ … ______ 方式二的总费用（元） 150 225 ______ … ______ (2)若小聪计划今年夏季游泳的总费用为300元，通过计算说明选择哪种付费方式，她游泳的次数比较多？ (3)张老师是游泳爱好者，他计划今年夏季在这个游泳馆游泳40次，通过计算说明，张老师选择哪种方式合算？ 【经典计算题七 两直线的交点与二元一次方程组的解】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点．    (1)求出关于的方程组的解； (2)直线能否也经过点？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 2．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线：（为常数）、直线：（为常数）分别交轴于点、，点是两直线的交点． (1)求直线和直线的函数表达式及点的坐标； (2)在直线上是否存在点，连接，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一次函数与相交于点，且与轴相交于点，交轴于点． (1)求k，b的值； (2)求点P的坐标； (3)若是垂直于x轴的直线交于点M，交点于点N，且的长度等于3，求a的值． 4．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，已知直线经过点，，与直线：交于点C，且直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)求点C的坐标； (3)求的面积． 5．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知直线经过点，，与直线交于点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)根据图象，直接写出时的取值范围． 6．（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是______；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式． (3)求甲、乙二人相遇的时间． 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）平面直角坐标系中，直线交轴于点，与直线交于点A． (1)求点A的横坐标； (2)若，求的最小值，并求此时的值； 8．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点． (1)求，的值； (2)当时，的取值范围是______； (3)请求出当取何值时，满足不等式组． 9．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，已知函数和． (1)若两个函数的图象相交于点A，当时，求点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值也小于1，直接写出m的取值范围． 10．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线与、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． (1)求点的坐标； (2)点在直线上，若，求点的坐标． 【经典计算题八 求直线围成的图形面积】 1．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知：直线经过点．点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．求： (1)直线的函数表达式； (2)点的坐标； (3)的面积． 2．（23-24八年级上·宁夏·期中） 已知如图直线与直线交于点． (1)求k的值． (2)求两直线与x轴围成的的面积． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）已知一次函数图象经过点， 两点． (1)求一次函数解析式； (2)求图象和坐标轴围成三角形面积． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点，点为坐标原点． (1)求直线的解析式和的值； (2)求的面积． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知一次函数的图象过点，，与正比例函数的图象交于点C．求： (1)一次函数的解析式； (2)的面积； (3)通过观察图象，当x取何范围时，一次函数的值大于正比例函数的值． 6．（24-25八年级上·全国·期末）正比例函数和一次函数的图像交于点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点． (1)求正比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，求关于的不等式的解集； (3)已知点在图像上，若，求的坐标． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知直线经过点且与坐标轴所围成的三角形的面积是，求这条直线的表达式． 8．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，直线的解析式为，直线和直线相交于点A，直线与x轴相交于点B，与y轴相交于点D，直线与x轴相交于点，与y轴相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象还过点． (1)求点的坐标及一次函数的表达式； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图象于点，连接，若，求的面积． 10．（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，直线：与直线：交于点，点的坐标为， (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【经典计算题九 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图象分别与x轴交于点A、点B，两直线相交于点C．已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是___________；关于x的不等式的解集是___________； (2)直接写出：关于x的不等式组的解集是___________； (3)若点C坐标为， ①关于x的不等式的解集是___________； ②请求出的面积． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知一次函数 和 （是常数，）， 我们称 是的迭代函数，如函数 的迭代函数是 ，即 ; 当 时，函数 的图象与它的迭代函数 的图象交于点 ， 我们称点 是这个函数的迭代点． (1)填空:函数 的迭代函数是_____，这个函数迭代点 的坐标为_____． (2)对于任意(，是常数，)的迭代函数，若、是其迭代函数图象上两个不重合的点，求证：当时，总有． (3)若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 3．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）如图，是经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系． (1)若三角形内任意一点的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为 ． (2)若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形，并求三角形的面积． (3)直接写出与y轴交点的坐标 ． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】 观察下列等式：，． （1）根据上述特征，计算： ． 【尝试类比】 （2）已知一次函数（为正整数）与轴、轴分别交于，两点，为坐标原点，设的面积为． ① ； ②求的值． 【类比迁移】 （3）计算： ． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于 x 的 函数 的图象与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值． 6．（2023·山东青岛·模拟预测）已知关于的函数： 为常数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． (1)求的取值范围； (2)为坐标原点，设的面积为，求直线的函数解析式． 7．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B (1)求B点的坐标； (2)若直线l：与线段有公共点，直接写出k的取值范围． 8．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称，两点为同和点，下图中的，两点即为同和点． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的同和点的是 　　． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为 　　． (2)直线与轴、轴分别交于点，，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，求的取值范围． 9．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）如图，已知一次函数（k，b为常数，）的图像经过点，．      (1)由图可知，关于x的一元一次方程的解是___________； (2)求该一次函数的表达式． 10．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）根据一次函数的图象，直接写出问题的答案： (1)关于的方程的解； (2)代数式的值； (3)关于的方程的解. 【经典计算题十 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，直线与x轴交于点B，，直线经过点C，且与交于点． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，直接写出的解集． 2．（24-25八年级下·广东潮州·期末）如图，已知直线l1：y=2x+3，直线l2：y=﹣x+5，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A． （1） 求A、B、C三点坐标；（2）求△ABC的面积． 3．（2024·福建福州·二模）探究： Ⅰ直线与x轴夹成的锐角为______度；直线与x轴夹成的锐角为______度；直线与x轴夹成的锐角为______度； Ⅱ设直线与x轴夹成的锐角为，试用的三角函数表示k，并给予证明． 4．（24-25八年级下·北京东城·期中）已知：直线与轴交于点，与轴交于点，坐标原点为． （）求点，点的坐标． （）求直线与轴、轴围成的三角形的面积． （）求原点到直线的距离． 5．（2026·山东菏泽·一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限） （1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式； （2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE="90°" 时，求出点P的坐标； （3）当△PBC的面积为时，求点E的坐标． 6．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 7．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，一次函数的图象与x轴交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围． 8．（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数图象是由直线平移得到的，且经过点，交y轴于点B． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点P为此一次函数图象上一点，且的面积为10，求点P的坐标． 9．（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．    (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线BC于点Q．若的面积为2，求点Q的坐标． 10．（22-23八年级上·河南郑州·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)①列表填空； … 0 1 … … __ 1 2 ___ 0 … ②在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质； (3)进一步探究函数图象发现： ①方程有______个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是______． 学科网（北京）股份有限公司 $