专题07 四边形常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题07 四边形常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 平行四边形中的旋转模型 题型二 平行四边形中的翻折模型 题型三 平行四边形中的轴对称模型 题型四 平行四边形中的平移问题 题型五 平行四边形中的最值问题 题型六 平行四边形中的动点问题 题型七 平行四边形中的新定义问题 题型八 平行四边形综合 【经典例题一 平行四边形中的旋转模型】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）【问题情境】 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点A，并绕点A旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点F，连接、． 【操作发现】 （1）如图1，若，则________，________． 【拓展应用】 （2）如图2，当直线在正方形的外部时 ①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． ②求证：． 1．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请完成下列问题： (1)连接，若，，则_____，_____； (2)如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，请探究线段，，之间的等量关系，并证明； (3)如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，F，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 2．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）综合与实践 问题情境：在中，，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 猜想证明： (1)如图①，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决： (2)在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； (3)在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 3．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在和中，，，． (1)如图①，当点D在内部时，求证：． (2)将绕点A旋转，当点D落在线段上时，若． ①如图②，连接，若，求线段的长； ②如图③，M，N分别为，的中点，连接，判断线段与的关系并说明理由． 【经典例题二 平行四边形中的翻折模型】 【例2】（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，．将沿翻折，点落到点处，过点作，交的延长线于点H，，垂足为点，点在线段上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若． ①求证：； ②求的长度． 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图1，矩形中，，点E是上一点，连接，过点E作射线，交于点． (1)若．则的长为________； (2)如图2，将沿翻折得到．连接． ①若点在同一直线上，求的长度． ②若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将沿直线翻拆点刚好落在线段的中点处，延长与的延长线相交于点，并且和交于点，试求线段、、之间的数量关系； (3)如图3，将沿直线翻折，点刚好落在线段上的点处，若，，且，求的面积． 3．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时，的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接，. ①的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 【经典例题三 平行四边形中的轴对称模型】 【例3】（23-24八年级下·河南许昌·期中）如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，则______． 1．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以线段为边画一个平行四边形，使其面积为2． (2)在图②中以线段为边画一个轴对称三角形，使其面积为5． (3)在图③中以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为6． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图1， 点O为矩形对角线的中点，， 点E为边上一点， 连结并延长， 交于点 F．四边形与四边形关于所在直线成轴对称，线段交边于点 H，连结．    (1)求证：． (2)若，求的长． (3)如图2，连结，若，求的长． 3．（2024·广东广州·一模）数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积． 【经典例题四 平行四边形中的平移问题】 【例4】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图1，和都是边长为4的等边三角形． (1)将沿方向平移得到，如图2、图3所示，则四边形是平行四边形吗？证明你的结论； (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 1．（24-25八年级下·江苏常州·期中）正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为． (1)在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ． (2)在这段时间内，求与的函数关系式． (3)当，求的值． 2．（2025·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，长方形的顶点，，点在第二象限． (1)点的坐标为______；长方形的面积为______； (2)将长方形沿轴向右平移，得到长方形，点，，，的对应点分别为，，，.长方形与重叠部分的面积为． 小王同学猜想：当点恰好落在边上时如图2）S最大； 小张同学猜想：当长方形恰好平移到等腰直角的中央位置如图3），即的中点与的中点恰好重合时S最大． 请你探究一下这两种位置中，哪一种位置的S比较大，并说明理由（提示：设与长方形的边、分别交于、两点，可令图中的） 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，点坐标为，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．      (1)点的坐标为_____；点的坐标为_____； (2)求，的值； (3)在平移过程中，当直线扫过矩形部分的面积为4时，求的值． 【经典例题五 平行四边形中的最值问题】 【例5】（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，将面积为8的正方形和面积为2的正方形拼在一起，点E在边的延长线上，点G 在边上，连接． (1)求的长． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点P，使最小？若存在，请作出点P，并直接写出最小值． 1．（23-24八年级下·天津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，为对角线，其中． (1)求点B，C的坐标； (2)求所在直线的解析式； (3)已知点，问：在直线AC上是否存在一点P，使得最小？若存在，求点P的坐标与的最小值；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级上·重庆南岸·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，的值最小，求出这个最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式的最小值． 3．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，和，2的两个直角三角形，当点，，在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5． 根据以上解题思路，解决以下问题： (1)求的最小值． (2)求（，，为正数，）的最小值． (3)如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设，两条小路，点在上．要使最小，设米．求最小值是多少？ 【经典例题六 平行四边形中的动点问题】 【例6】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．已知点，同时出发，运动时间为． (1)当取何值时，四边形为平行四边形？ (2)当取何值时，四边形为矩形？ 1．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且，满足．一动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动；动点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为（秒）．      (1)求、两点的坐标； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时、两点的坐标； (3)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？直接写出的值． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为，运动时间为（且）． (1)若、分别是、的中点，则以、、、为顶点的四边形是______． (2)在（1）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为矩形？ (3)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为菱形？请直接写出的值． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，矩形中，，．一动点从点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时另一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间为秒．过点作于点，连接，． (1)有怎样的数量关系？并说明理由； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． 【经典例题七 平行四边形中的新定义问题】 【例7】（2025·山西忻州·一模）阅读与思考 下面是小宇数学小论文的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 浅谈数学概念的学习 数学概念是构成数学定理、法则、公式的基础，正确掌握数学概念对于学习数学至关重要．同时，要结合具体的实例来加深对数学概念的理解． 下面以“等分积周线”概念学习为例，体会学习方法． 定义：如果一条直线把一个平面图形的面积和周长都分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条“等分积周线”． 实例：如图1，正方形的一条对角线所在的直线是正方形的一条“等分积周线”；如图2，经过圆心的任意一条直线都是圆的“等分积周线”． 特殊几何图形的“等分积周线”探索： 1．等腰三角形 …… 任务： (1)请再写出两个几何图形，每个图形至少有一条“等分积周线”． (2)如图3，在中，，且，请你在图3中作出的一条“等分积周线”．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)如图4，在四边形中，，，，，垂直平分，垂足为N，交于点M，求证：直线为四边形的“等分积周线”． 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）综合与实践： 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧，定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图1．将纸片按所示折叠成完美矩形EFGH，若的面积为12，，则此完美矩形的边长__________，面积为__________． (2)类比探究： 如图2，将纸片按所示折叠成完美矩形AEFG，若的面积为40，，求完美矩形AEFG的周长． (3)拓展延伸： 如图3．将纸片按所示折叠成完美矩形EFGH，若，，求此完美矩形EFGH的周长与面积． 2．（24-25八年级上·河南安阳·期末）分小华在研究三角形的中线时发现：三角形任意一边上的中线把三角形分割成两个面积相等的小三角形，如图1，是的中线，面积符号记为，则． 定义：点是内部的一点，若经过点和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点P是关于这个顶点的均分点，例如图2中，点P是关于顶点A的均分点： (1)概念理解：下列图形中，点D一定是关于顶点B的均分点的是：______（序号）                                                                    (2)概念应用：如图3，在中，，且，点P是关于顶点A的均分点，直线与交于点D，若点P是线段的三等分点，则的面积为______； (3)拓展应用：如图4，在中，，，，点P是关于顶点A的均分点，直线与交于点D，且点P是关于顶点B的均分点． 结合条件画出图形； 求的度数． 3．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”，如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（点不与点，重合），交于点 ，过点 作交于点． (1)试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由． (2)如图，连接，，求出的周长（用含的字母表示）． (3)当时，求证：点是的中点． 【经典例题八 平行四边形综合】 【例8】（24-25八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，为轴正半轴上一点，以为斜边在第一象限内作等腰直角三角形． (1)如图1，当时，求点的坐标； (2)如图2，当时，连接，过点作于，过点作轴于，交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，当时，点、分别为四边形的边、延长线上的两点．连接、、．若，点的纵坐标为，求点的横坐标（用含、的代数式表示）． 1．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 2．（24-25八年级下·江苏南通·期中）实践操作  矩形纸片中，，，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为（点M，N是折痕与矩形的边的交点），再将纸片展平． 初步思考  （1）如图1，当点N在上，点M和点P在上，与交于点O．求证：四边形为菱形； 继续探究  （2）如图2，在（1）的条件下，当点P与点C重合时，求的长； 拓展延伸  （3）如图3，当点N和点B重合，点M在上运动时（点M不与点A重合），作的平分线，与的延长线交于点Q．求出点Q到的距离，并直接写出在点M运动过程中，点Q到直线的最大距离． 3．（2025·江西赣州·一模）（1）如图，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接，……请你顺着小明的思路完成解答； 【深入探究】 （2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为___________； 【应用提升】 （3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形． ①求证：四边形为菱形； ②如图5，连接，过点E作的垂线，垂足为M，若，求四边形的面积． 1．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，连接，将沿直线翻折，使得点落在上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，，点为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的处，则的长是（   ） A． B． C．3 D． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B． C．4 D．5 4．（安徽省芜湖市市区2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试卷　）如图，中，周长为，将沿对角线折叠，使点落在平面上处． （1）边长为 ； （2）若，则长为 ． 5．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，B点坐标为，矩形与y轴正半轴交于点H，若沿着翻折后点D 的对应点恰好落在对角线上，则点 C 的坐标为 ． 6．（2025·辽宁朝阳·一模）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 7．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图所示，在中，，，，点D从点C出发沿方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)用t的代数式表示：______，______； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，点分别在边上．连接． (1)如图1，当四边形为正方形时，连接，且 ①求证：； ②已知，，求的长； (2)如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长． 9．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点P．试猜想与的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】（1）同学们发现，取的中点F，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题； 【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点； 如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长c的取值范围．当时，请你求出周长c的取值范围． 10．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图，在正方形中，，E是的中点，F是上一点，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 11．（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点H、K． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 12．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，在矩形中，，，，分别在，上，且，，分别是，上的两个动点，点从向移动，点从向移动，它们同时以每秒1个单位长度的速度移动，运动时间为秒，其中． (1)四边形一定是______； A．平行四边形  B．矩形   C．菱形   D．正方形 (2)若四边形为菱形，求的值； (3)若四边形为矩形，求的值． 13．（24-25九年级下·山东泰安·期中）问题背景： 某数学兴趣小组进行一次数学探究活动：已知两边及一边的对角求作三角形．作出了如下图所示的两个三角形，其中．很明显这两个三角形不全等． 探索发现： 探究1：如图、在上截取，连接．可证得（_____①_____）．得出，得出___________②___________． 探究2：如图，分别过点作于点于点，可证出，得出，又，证得，得出的值． 活动总结： 小组成员感觉本次活动既动手又动脑，收获很大． 探索应用： (1)①处应填写___________． ②处填___________． (2)如图，菱形中，点为对角线上一点，，求证：． (3)如图，矩形中，分别为上的点，连接，且，若，求． 14．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，分别是，的中点，，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当________时，四边形为菱形． 15．（2025·宁夏银川·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务. 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果.但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将和分别作为的两条直角边，如图1所示，，，，，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则，将与如图3所示放置，使点与点重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长依据： . 任务： (1)直接写出材料中的依据为： ； (2)写出求解长的解答过程； (3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 四边形常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 平行四边形中的旋转模型 题型二 平行四边形中的翻折模型 题型三 平行四边形中的轴对称模型 题型四 平行四边形中的平移问题 题型五 平行四边形中的最值问题 题型六 平行四边形中的动点问题 题型七 平行四边形中的新定义问题 题型八 平行四边形综合 【经典例题一 平行四边形中的旋转模型】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）【问题情境】 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点A，并绕点A旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点F，连接、． 【操作发现】 （1）如图1，若，则________，________． 【拓展应用】 （2）如图2，当直线在正方形的外部时 ①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． ②求证：． 【答案】（1）；45（2）①的度数是定值，；②证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形和轴对称的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，由此即可得； （2）①设，先根据正方形的性质可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，由此即可得； ②连接，先根据正方形的性质和勾股定理可得，再证出，，然后根据勾股定理和等量代换即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：；45． （2）①解：设， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 所以的度数是一个定值，这个定值为． ②证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴， 由（2）①已证：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 1．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请完成下列问题： (1)连接，若，，则_____，_____； (2)如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，请探究线段，，之间的等量关系，并证明； (3)如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，F，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用正方形的性质，证明，由全等三角形的性质得到，则，再利用勾股定理即可解答； （2）连接，延长，交于点，连接，证明，得到，推出，得到，即可得出结论； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点， ， ， ， 连接， ∵正方形， ， ， ， ， 在中，， ． （2）解：，理由如下： 连接， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点， ， 延长，交于点，连接， ∵， ， 又 ∵， ， ， ， ∴是的中垂线， ， ， ． （3）解：设， 当点在线段上时： ， ， ， 由（2）可知：， ， 解得：， ； ②当点在线段的延长线上时：如图， 此时， 过点作，延长交于点，连接， 同（2）法可证：， ， 又， ， 解得：， ； 综上：线段的长度为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理．解题的关键是熟练掌握相关性质，构造全等三角形． 2．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）综合与实践 问题情境：在中，，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 猜想证明： (1)如图①，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决： (2)在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； (3)在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形是矩形，证明见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，可证，即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由勾股定理列式可求解； （3）延长到点G，使得，推出，得到，设，在中，利用勾股定理列式，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 理由：∵点D是的中点，点M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图2，过点N作于G， ∵，，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 由勾股定理得，即， 解得， ∴； （3）解：延长到点G，使得，连接，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握其性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在和中，，，． (1)如图①，当点D在内部时，求证：． (2)将绕点A旋转，当点D落在线段上时，若． ①如图②，连接，若，求线段的长； ②如图③，M，N分别为，的中点，连接，判断线段与的关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②， 【分析】（1）证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论； （2）①同理证明得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，进而得到，结合已知可得，然后再利用等腰直角三角形的性质证得，在中，利用勾股定理求得即可求解； ②连接，取中点F，连接、，根据三角形的中位线的性质得到，，证明四边形为平行四边形得到，，再根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形，得到，，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①同（1），证明， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 解得，则； ②连接，取中点F，连接、， ∵M，N分别为，的中点， ∴为的中位线，， ∴，，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由①知，，， ∵点F是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【经典例题二 平行四边形中的翻折模型】 【例2】（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，．将沿翻折，点落到点处，过点作，交的延长线于点H，，垂足为点，点在线段上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若． ①求证：； ②求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）结合翻折的性质证明，利用全等三角形性质求解，即可解题； （2）①根据题意证明，进而得到，再进行等量代换，并结合等腰三角形性质，即可证明； ②过点作于点，结合叠的性质推出，利用等腰三角形性质得到，再证明四边形为矩形，得到，设，得到，结合勾股定理得到，据此建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）证明：，沿翻折，点落到点处， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ； （2）①证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； ②过点作于点， 由折叠的性质可知，， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了翻折的性质，全等三角形性质和判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质，矩形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用． 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图1，矩形中，，点E是上一点，连接，过点E作射线，交于点． (1)若．则的长为________； (2)如图2，将沿翻折得到．连接． ①若点在同一直线上，求的长度． ②若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 【答案】(1)； (2)①的长度为；②的长度为或． 【分析】（1）根据矩形的性质，证明，得到，，即可求解； （2）①根据矩形的性质和翻折的性质证明，设，则，根据勾股定理即可求解； ②分两种情况讨论：当时， 当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①由（1）知，，，， 由翻折可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长度为； ②设，则， 由翻折可得：， 当时，， 在中，， ∴， 解得：， 当时， 如图，于点， ∵， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将沿直线翻拆点刚好落在线段的中点处，延长与的延长线相交于点，并且和交于点，试求线段、、之间的数量关系； (3)如图3，将沿直线翻折，点刚好落在线段上的点处，若，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据平行四边形性质可得，进而得到，再根据四边形是平行四边形，和翻折性质可得，即可求解 （3）根据平行四边形的性质证明，可得，过点D作，可求，根据，可得，根据条件证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵延长至点，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折性质可得： ， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， 由翻折性质可得：， ∴， 由（2）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了几何问题，涉及到平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是关键． 3．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时，的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接，. ①的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 【答案】（1）4；（2）；（3）①；②或6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，再根据勾股定理求出，即可求出答案； （2）连接，设，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，再利用勾股定理得到，即可求出答案； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时，的值最小，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，即可得到答案； ②分当时，当时，两种情况进行讨论． 【详解】解：（1）是由沿翻折所得到的图形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）连接，设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得， ； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时，的值最小， 设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ； ②当时， 是由沿翻折所得到的图形， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得， ； 当时，点在上时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或6． 【经典例题三 平行四边形中的轴对称模型】 【例3】（23-24八年级下·河南许昌·期中）如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，则______． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理： （1）根据题意得，，得，，根据得，根据得，则，，可得四边形是矩形，根据得，即可得； （2）设，则，进而求出，，则，在中，根据勾股定理得 ，解方程即可得到． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：设，则 ∵，，四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：3． 1．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以线段为边画一个平行四边形，使其面积为2． (2)在图②中以线段为边画一个轴对称三角形，使其面积为5． (3)在图③中以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为6． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）是一个的正方形对角线，再结合平行四边形对边平行且相等，面积为2画图即可； （2），所以做一个以为直角边的等腰直角三角形即可； （3）作一个面积为6的等腰梯形． 【详解】（1）解：如图所示，平行四边形即为所求； 由网格可知，， ∴四边形是平行四边形，面积为， ∴四边形即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 由网格可知，， ， ∴是等腰直角三角形，面积为， ∴即为所求． （3）解：如图所示，等腰梯形即为所求． 由网格可知，， ∴四边形是等腰梯形，面积为， ∴四边形即为所求； 【点睛】本题考查网格中的尺柜作图-作三角形和四边形，勾股定理、平行四边形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、等腰梯形的性质和判定、轴对称的性质、二次根式的混合运算等知识点．利用网格中线段长度可求结合网格作图特点是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图1， 点O为矩形对角线的中点，， 点E为边上一点， 连结并延长， 交于点 F．四边形与四边形关于所在直线成轴对称，线段交边于点 H，连结．    (1)求证：． (2)若，求的长． (3)如图2，连结，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)，； (3)． 【分析】（1）由矩形的性质得出，由已知条件得出，由对顶角相等得出，即可证明，由全等三角形的性质得出 则O为的中点，由轴对称的性质得出，等量代换可得出，由等角对等边得再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （2）由（1）得由全等三角形的性质可得出，由矩形的性质和线段的和差关系即可得出，设则，过点F作垂直则四边形为矩形，由矩形的性质得出，再求出，最后根据勾股定理可得解； （3）由对称得，根据题意得，若，则，当点C，H，重合满足条件，连结，可证得，有，，可判定点A、点E和点三点共线，进一步证得，有，设，则，在中利用勾股定理即可求得y即可． 【详解】（1）解：∵是矩形， ∴ ∴． ∵点O为矩形对角线的中点， ∴， 又， ∴．   ∴ ∴O为的中点． ∵四边形与四边形关于所在直线成轴对称， ∴ ∴． ∴ 又O为的中点． ∴． （2）解：由（1）得 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设则． 过点F作 垂直 则四边形为矩形， ∴， ∴． ∴在中， ， 即，   解得 ． （3）解：由对称得， ∵点O为矩形对角线的中点， ∴， 若，则， 当点C，H，重合满足条件， 连结，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵与共线， ∴点A、点E和点三点共线， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴在中． 即 ， 解得， 即． 【点睛】本题考查了轴对称变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形以及判定满足题意的点的位置． 3．（2024·广东广州·一模）数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）分别以点A、C为圆心，为半径画弧，两弧相交于点D，连接、即可； （2）先根据轴对称的性质，得，，则可求得，再根据（1）知四边形为菱形，根据菱形的周长可求得，由勾股定理，可求出，从而求得，然后由菱形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由作图可知：， ∵ ∴ ∴四边形为菱形， ∴与关于直线对称． （2）解：如图， ∵与关于直线对称． ∴，， ∴， 由（1）知四边形为菱形， ∴， ∵四边形周长为， ∴， 由勾股定理，得， ∴． ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查尺规作三角形，轴对称的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题四 平行四边形中的平移问题】 【例4】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图1，和都是边长为4的等边三角形． (1)将沿方向平移得到，如图2、图3所示，则四边形是平行四边形吗？证明你的结论； (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的性质和等边三角形的性质和平行四边形的判定以及平移的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键． （1）根据平移的性质，得到，根据等边三角形的性质，得到，，从而得到，则，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据等边三角形的性质与矩形的性质，进一步解答即可． 【详解】（1）解：根据平移的性质，得到， 根据等边三角形的性质，得到，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接，， ∵，都是边长为的等边三角形，四边形为矩形， ∴，此时重合， ∴． 1．（24-25八年级下·江苏常州·期中）正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为． (1)在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ． (2)在这段时间内，求与的函数关系式． (3)当，求的值． 【答案】(1)4，0 (2) (3)或 【分析】本题考查平移性质、分段函数，正方形的性质，分类讨论及数形结合是解答的关键． （1）利用平移性质，结合分别求解即可； （2）先求得临界点，再分三情况讨论，利用正方形或矩形面积公式即可求解； （3）由（2）中关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 当秒时，，此时点D与点E重合，则； 当秒时，，此时点E与点A重合，则， 故答案为：4，0； （2）解：当时，，此时点F与点A重合； 分三种情况讨论： 在这段时间内，如图，， ∴； 当时，小正方形在大正方形内部， ； 在这段时间内，如图： 则，则， ∴； 综上，； （3）当时，由或解得：或， 故t的值为或． 2．（2025·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，长方形的顶点，，点在第二象限． (1)点的坐标为______；长方形的面积为______； (2)将长方形沿轴向右平移，得到长方形，点，，，的对应点分别为，，，.长方形与重叠部分的面积为． 小王同学猜想：当点恰好落在边上时如图2）S最大； 小张同学猜想：当长方形恰好平移到等腰直角的中央位置如图3），即的中点与的中点恰好重合时S最大． 请你探究一下这两种位置中，哪一种位置的S比较大，并说明理由（提示：设与长方形的边、分别交于、两点，可令图中的） 【答案】(1)， (2)小张同学猜想的位置的S比较大，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质，解题关键是利用等腰直角三角形和长方形的性质，通过合理设未知数来计算重叠部分面积并比较大小 ． （1）由，，，及四边形是矩形即可得出答案； （2）分别求出两种情况的面积，再比较即可，具体减详解． 【详解】（1）解：，，， ，， 四边形是矩形， ，，， 点的坐标为；长方形的面积为， 故答案为：，； （2）小王同学猜想：当点恰好落在边上时如图， 是等腰直角三角形， ， 将长方形沿轴向右平移，得到长方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的面积， 长方形与重叠部分的面积为长方形的面积； 小张同学猜想：当长方形恰好平移到等腰直角的中央位置如图， 此时的， 的面积， 长方形与重叠部分的面积为长方形的面积长方形的面积， ， 小张同学的方法使得重叠部分的面积更大． 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，点坐标为，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．      (1)点的坐标为_____；点的坐标为_____； (2)求，的值； (3)在平移过程中，当直线扫过矩形部分的面积为4时，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移，矩形的性质，坐标与图形，函数解析式的确定等，理解题意，根据题意作出相应图象求解是解题关键． （1）根据的坐标即可求得的坐标，根据函数图象可知：当时，直线经过点，将平移个单位后得到，令，即可得出的坐标，进而求得的坐标，即可求解． （2）先求得的坐标为，则，即可得出，当直线经过点时，直线交轴于点，进而求得平移后的直线的解析式为，得出点的坐标为，即可得出 （3）过点作，过点作．得直线的解析式为，进而求得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点坐标为，四边形是矩形，边在轴上， ∴，则， 由函数图象可知：当时，直线经过点， 沿轴的负方向平移个单位后与矩形相交于点， ∵沿x轴的负方向平移个单位后直线的解析式是：， ∴当时，， ∴点的坐标为． ∵， ∴； 故答案为：，． （2）解：令得：， 解得：， ∴点的坐标为． ∵点的坐标为． ∴， ∴当直线经过点时，； 如图所示，当直线经过点时，直线交轴于点． ∵点的坐标为，点的坐标为． 设平移后的的解析式为， 将代入得：，解得． ∴平移后的直线的解析式为． 当时，得，解得． ∴点的坐标为． ∴； （3）∵矩形的面积； ∴当直线扫过矩形部分的面积为时，， 如图，过点作． 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， ∴， ∴直线的解析式为． 将代入得：，解得， ∴点的坐标为． ∴， ∴； 即， 解得：． 【经典例题五 平行四边形中的最值问题】 【例5】（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，将面积为8的正方形和面积为2的正方形拼在一起，点E在边的延长线上，点G 在边上，连接． (1)求的长． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点P，使最小？若存在，请作出点P，并直接写出最小值． 【答案】(1) (2)4 (3)作图见解析，的最小值为4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、轴对称、勾股定理等知识点，掌握运用轴对称的性质求最值成为解题的关键． （1）由正方形的性质以及已知条件可得，再根据线段的和差即可解答； （2）根据求解即可； （3）先说明直线是的垂直平分线，如图：连接，延长交于，然后说明当三点共线时，最小，最后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】（1）解：∵面积为8的正方形和面积为2的正方形， ∴， ∴ （2）解∶ ∵，，， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴直线是的垂直平分线， 如图：连接，延长交于， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，且最小值为． 1．（23-24八年级下·天津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，为对角线，其中． (1)求点B，C的坐标； (2)求所在直线的解析式； (3)已知点，问：在直线AC上是否存在一点P，使得最小？若存在，求点P的坐标与的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)B点坐标为，C点坐标为； (2) (3)存在，，的最小值为 【分析】本题主要考查了正方形的性质，运用待定系数法求一次函数解析式以及线段最值问题，正确运用待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键． （1）由正方形的性质得，从而可求出点B，C的坐标； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）连接，直线与直线的交点即为点P，运用待定系数法求出的解析式，联立方程组可求出点P的坐标，再运用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，轴， ∴B点坐标为，C点坐标为； （2）解：∵， ∴． 又． 设直线的解析式为， 把A，C两点代入解析式得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：． （3）解：连接，直线与直线的交点即为点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与O关于直线对称， ∴的长即为的最小值． ∴直线与直线的交点即为点P． 设直线的解析式为：， 把点代入解析式得：， 解得，， ∴直线的解析式为：． 联立方程组，解得，， ∴点P的坐标． 过点E作轴，垂足为F， ∴． 所以的最小值为． 2．（23-24八年级上·重庆南岸·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，的值最小，求出这个最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)点C满足、、三点共线时，的值最小，最小值为 (3)构图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，矩形的性质和判定等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． （1）由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得，即可解题； （2）根据两点之间线段最短可得点C满足、、三点共线时，的值最小，过点作的延长线于点，得到四边形为矩形，利用矩形性质和勾股定理可得的最小值； （3）由（1）（2）的结果可作C为线段上一动点，分别过点B、D作，，，，，设，由（2）同理可求代数式的最小值． 【详解】（1）解：，， ， ，，，， ， ， ； （2）解：点C满足、、三点共线时，的值最小， 过点作的延长线于点， 则四边形为矩形， ，， ， ； （3）解：如图： C为线段上一动点，分别过点B、D作，，，，，设， 由（2）同理可得的最小值为． 3．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，和，2的两个直角三角形，当点，，在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5． 根据以上解题思路，解决以下问题： (1)求的最小值． (2)求（，，为正数，）的最小值． (3)如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设，两条小路，点在上．要使最小，设米．求最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，求最短距离，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）类比题干给出的方法，进行求解即可； （2）类比题干给出的方法，进行求解即可； （3）利用矩形的性质可得，再直接利用结论求解即可； 【详解】（1）解：如图：作线段，分别构造直角边为2，x和，3的两个直角三角形， ∴，， 当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中， 由勾股定理，得， 即， ∴的最小值为13． （2）解：如图，同法（1）可得：    ∴的最小值为：； （3）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得：， ∴ 由（2）中结论可得：的最小值为：米； 【经典例题六 平行四边形中的动点问题】 【例6】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．已知点，同时出发，运动时间为． (1)当取何值时，四边形为平行四边形？ (2)当取何值时，四边形为矩形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）当时，四边形为平行四边形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图，， 当时，四边形为平行四边形． 根据题意，，， ， 解得， 当时，四边形为平行四边形． （2）解：如图，，， 当时，四边形为矩形． 根据题意，，， ， 解得， 当时，四边形为矩形． 1．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且，满足．一动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动；动点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为（秒）．      (1)求、两点的坐标； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时、两点的坐标； (3)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？直接写出的值． 【答案】(1)， (2)，， (3)或 【分析】（1）根据二次根式的性质得出，的值进而得出答案； （2）由题意得：，，根据平行四边形性质可得，进而得到关于的方程，解方程即可得出答案； （3）分两种情况：①当时，过作于，可得四边形是矩形，推出，，得到，根据勾股定理可得：，由可得，解方程得到的值；②当时，过作轴于，得到，由题意得：，，进而得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， ，，， ， ，； （2）由题意得：，， ，，， ，， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：， 当时，四边形是平行四边形，此时，； （3）是以为腰的等腰三角形， 分两种情况：或． ①当时，如图，过作于， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ，即， 解得：； ②当时，过作轴于， ， 由题意得：，， 则， 解得：， 综上所述，当或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了二次根式性质、解不等式组、平行四边形的判定，矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是注意分类讨论． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为，运动时间为（且）． (1)若、分别是、的中点，则以、、、为顶点的四边形是______． (2)在（1）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为矩形？ (3)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为菱形？请直接写出的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)或 (3) 【分析】本题考查了特殊四边形的判定、性质及综合应用，勾股定理，，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质、判定． （1）由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定； （2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”判定四边形为矩形时的取值； （3）首先，当四边形为菱形时，则，利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： ∵四边形是矩形， ，，，， ，， 、分别是、的中点， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 （2）解：如图所示，连接，由（1）可知四边形是平行四边形， ∵点、分别是矩形的边、的中点， ， ∴当时，四边形是矩形，分两种情况： 第一种情况：，， 解得：； 第二种情况：， 解得： 综上所述：当为秒或秒时，四边形为矩形； （3）如图所示，连接、， ∵如果四边形是菱形时， ， ， 则，，， 又在中，，， ， 根据可得：， 解得： 当秒时，四边形为菱形； 3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，矩形中，，．一动点从点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时另一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间为秒．过点作于点，连接，． (1)有怎样的数量关系？并说明理由； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)四边形能够成为菱形，此时的值为 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质和菱形的判定是解题关键． （1）先求出，，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得； （2）先求出，，，从而可得，再证出四边形是平行四边形，根据菱形的判定可得要使平行四边形能够成为菱形，则需，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：由题意得：，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴点从点运动到点所需时间为秒，点从点运动到点所需时间为秒， ∴， ∵，， ∴， 由（1）已证：， ∴四边形是平行四边形， ∴要使平行四边形能够成为菱形，则需， ∴，即， 解得，符合题意， 所以四边形能够成为菱形，此时的值为． 【经典例题七 平行四边形中的新定义问题】 【例7】（2025·山西忻州·一模）阅读与思考 下面是小宇数学小论文的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 浅谈数学概念的学习 数学概念是构成数学定理、法则、公式的基础，正确掌握数学概念对于学习数学至关重要．同时，要结合具体的实例来加深对数学概念的理解． 下面以“等分积周线”概念学习为例，体会学习方法． 定义：如果一条直线把一个平面图形的面积和周长都分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条“等分积周线”． 实例：如图1，正方形的一条对角线所在的直线是正方形的一条“等分积周线”；如图2，经过圆心的任意一条直线都是圆的“等分积周线”． 特殊几何图形的“等分积周线”探索： 1．等腰三角形 …… 任务： (1)请再写出两个几何图形，每个图形至少有一条“等分积周线”． (2)如图3，在中，，且，请你在图3中作出的一条“等分积周线”．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)如图4，在四边形中，，，，，垂直平分，垂足为N，交于点M，求证：直线为四边形的“等分积周线”． 【答案】(1)菱形，矩形（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）菱形和矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，即可得到符合题意； （2）由为等腰三角形可知是轴对称图形，故底边上的中线，顶角的平分线和底边上的高所在的直线均是“等分积周线”，尺规作出顶角平分线即可； （3）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，设，则，由勾股定理得，即可建立方程，解得，即可计算周长和面积． 【详解】（1）解：由题意得，菱形和矩形符合题意， ∵菱形和矩形既是轴对称图形也是中心对称图形， ∴菱形和矩形两条对角线所在的直线为“等分积周线”； （2）解：如图，直线即为所作： （3）证明：连接， ∵垂直平分， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴ ∴， 解得：， ∴四边形的周长为：， 四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长与四边形的周长相等； ∵垂直平分， ∴， ∴， 而，， ∴， ∵四边形的面积为：，四边形的面积为， ∴四边形的面积与四边形的面积相等， 故直线为四边形的“等分积周线”． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，菱形和矩形的性质等知识点，理解新定义是解题的关键． 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）综合与实践： 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧，定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图1．将纸片按所示折叠成完美矩形EFGH，若的面积为12，，则此完美矩形的边长__________，面积为__________． (2)类比探究： 如图2，将纸片按所示折叠成完美矩形AEFG，若的面积为40，，求完美矩形AEFG的周长． (3)拓展延伸： 如图3．将纸片按所示折叠成完美矩形EFGH，若，，求此完美矩形EFGH的周长与面积． 【答案】(1)3；6 (2) (3)周长为．面积是 【分析】（1）根据折叠得到是中点，过点作于，根据△的面积求出的长，推出是的中位线，得到，即可求出完美长方形的面积； （2）根据折叠可知，，从而求出的长，根据平行四边形的面积求出的长，即可求出周长； （3）根据折叠可证点、分别是、的中点，判定四边形是平行四边形，推出，推出矩形的对角线长后根据、之间的数量关系，利用勾股定理求出、的长后即可求出此完美矩形的周长． 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， ，点是中点， ， 如图，过点作于，交于点， ， ， 由折叠可知：， ， 完美矩形的面积为：． 故答案为：3；6； （2）解：由折叠可知：，， ， 同理可知：，， 矩形的面积为：， ， 矩形的周长； （3）解：连接EG 由折叠可知：点、分别是、的中点， ，， 由题意可知：，， ，， 四边形是平行四边形， ， 在中，设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ，， 此完美矩形的周长为．面积是． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查新定义问题，平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·河南安阳·期末）分小华在研究三角形的中线时发现：三角形任意一边上的中线把三角形分割成两个面积相等的小三角形，如图1，是的中线，面积符号记为，则． 定义：点是内部的一点，若经过点和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点P是关于这个顶点的均分点，例如图2中，点P是关于顶点A的均分点： (1)概念理解：下列图形中，点D一定是关于顶点B的均分点的是：______（序号）                                                                    (2)概念应用：如图3，在中，，且，点P是关于顶点A的均分点，直线与交于点D，若点P是线段的三等分点，则的面积为______； (3)拓展应用：如图4，在中，，，，点P是关于顶点A的均分点，直线与交于点D，且点P是关于顶点B的均分点． 结合条件画出图形； 求的度数． 【答案】(1)； (2)或； (3)见解析；． 【分析】本题考查了三角形中线的性质、三角形均分点的定义、勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的定理，解题关键是理解题意，熟练运用三角形均分点的定义和三角形中线的性质定理． （1）根据三角形均分点的定义，判断经过顶点和点的直线能否将平分成两个面积相等的图形，关键在于看是否为中点； （2）先根据勾股定理和三角形面积定理得出的长，因为点P是线段的三等分点， 所以分为两种情况讨论，即可得解； （3）根据题意画出图形即可； 通过三角形均分点的性质得到线段关系，进而推出角度关系来求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，经过点P和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点P是关于这个顶点的均分点，也就是为中点； ，只能说明是的角平分线，不能得出为中点，所以点不一定是关于顶点的均分点； ，说明是中点，是关于顶点的均分点，不是关于关于顶点的均分点； ，只能说明是的角平分线，不能得出是中点，所以点不一定是关于顶点的均分点； ，说明是中点，当与重合时，是的中线，所以点一定是关于顶点的均分点； 故答案为：； （2）解：，且， ， ， 即， ， 点P是线段的三等分点， 分两种情况：或，， 若，则， 那么； 若，则， 那么； 故答案为：或； （3）解：如图所示， ；点P是关于顶点A的均分点， 是的中线， 为中点， ， 又， 是等边三角形，， 点是关于顶点的均分点， 是的中线，也是的角平分线， ． 3．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”，如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（点不与点，重合），交于点 ，过点 作交于点． (1)试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由． (2)如图，连接，，求出的周长（用含的字母表示）． (3)当时，求证：点是的中点． 【答案】(1)四边形是“等补四边形”，理由见解析； (2)的周长为； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． （）连接，证明，则有，，由，则，所以，由，从而有，则，根据等边对等角和全等三角形的性质即可得出，从而判断； （）过作，交延长线于点，则，证明，，根据性质得出，则有的周长； （）过作，交延长线于点，则，证明，，则，设，则，，然后由勾股定理得，求出即可． 【详解】（1）解：四边形是“等补四边形”，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“等补四边形”； （2）解：过作，交延长线于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长； （3）解：如图，过作，交延长线于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点是的中点． 【经典例题八 平行四边形综合】 【例8】（24-25八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，为轴正半轴上一点，以为斜边在第一象限内作等腰直角三角形． (1)如图1，当时，求点的坐标； (2)如图2，当时，连接，过点作于，过点作轴于，交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，当时，点、分别为四边形的边、延长线上的两点．连接、、．若，点的纵坐标为，求点的横坐标（用含、的代数式表示）． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，理由见解析 (3)点的横坐标为 【分析】（1）过点作轴，轴，根据等量代换求，然后证明，得到，，根据得出，根据，进而根据得出，进而求得的坐标； （2）同（1）可得，进而得出是等腰直角三角形，可得四边形是矩形则，进而证明四边形为矩形； （3）首先在上截取，即可得到，进而根据等量代换，然后证明，得到，进而根据勾股定理表示出，根据点的坐标表示出，设的横坐标为，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图 过点作轴，轴， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， （）， ，， 到坐标轴，轴的距离相等， ， 当时，， 设 ∵， 解得： （2）如图过点作轴，轴，交于， 轴， 四边形是矩形， ， 同（）可得 ， 是等腰直角三角形， ， ，即 ， ， 是等腰直角三角形 ， 又， 又轴 四边形是矩形 四边形为矩形； （3）如图，在上截取 ， 是等腰直角三角形， 又是等腰直角三角形， ， 同理可得 四边形是矩形， 四边形是正方形 又， ， ， ， ，， 和为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， （）， ， ，则 点的纵坐标为， 设的横坐标为，则， 在中， ， 解得： 即点的横坐标为 【点睛】本题考查了坐标与图形，正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为， (2) (3)当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标及，的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，由取的中点，连接，可得是等边三角形，进而求出的度数； （2）过点作轴，垂足为点，由，的长度可得出，由，，可得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式； （3）分，及三种情况考虑：①当时，点与点重合或点与点重合，进而可得出点的坐标；②当时，由可求出的长度，结合是等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标；③当时，过点作直线，垂足为点，通过解直角三角形可求出的长度，由等腰三角形的性质及的长度可求出的长度，结合为等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标．综上，此题得解． 【详解】（1）解：当时， ，点的坐标为； 当时， 解得： 点的坐标为， 在中，， 如图，取的中点，连接， 是等边三角形， （2）在图中，过点作轴，垂足为点． ，， ， ，， 为等边三角形， （3）∵以、、、为顶点的四边形为菱形， 分三种情况考虑，如图所示． ①当时，点与点重合， 点的坐标为； ②当时， 是等边三角形， ③当时，过点作直线，垂足为点， 在中，，， ， ， ． 为等边三角形， ， ， 点的坐标为． 综上所述：当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏南通·期中）实践操作  矩形纸片中，，，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为（点M，N是折痕与矩形的边的交点），再将纸片展平． 初步思考  （1）如图1，当点N在上，点M和点P在上，与交于点O．求证：四边形为菱形； 继续探究  （2）如图2，在（1）的条件下，当点P与点C重合时，求的长； 拓展延伸  （3）如图3，当点N和点B重合，点M在上运动时（点M不与点A重合），作的平分线，与的延长线交于点Q．求出点Q到的距离，并直接写出在点M运动过程中，点Q到直线的最大距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠得到，证明，则，而，继而得到四边形是平行四边形，由即可证明菱形； （2）设菱形的边长为，则，，然后对运用勾股定理建立方程求解； （3） ①过点Q作，交的延长线于点G，延长交的延长线于点H，可得四边形均为矩形，则6，证明，则，而，那么，故点Q到的距离等于，即点Q在上运动； ②在延长线上截取，连接，则，可得，再证明，则，由于，Q在上运动，故当点重合时，最大，设，则，则，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：当点在上，点N在上时， 由折叠知：是的中垂线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴.四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：设菱形的边长为，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①如图，过点Q作，交的延长线于点G，延长交的延长线于点H， ∵四边形为矩形，， ∴四边形均为矩形， ∴6， 由折叠知， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点Q到的距离等于，即点Q在上运动； ②如图：在延长线上截取，连接，则 ∵， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，Q在上运动， ∴当点重合时，最大，如图： 设，则， ∴， ∵四边形均为矩形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q到直线的最大距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，难度较大，解题的关键是熟练掌握各知识点，正确添加辅助线． 3．（2025·江西赣州·一模）（1）如图，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接，……请你顺着小明的思路完成解答； 【深入探究】 （2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为___________； 【应用提升】 （3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形． ①求证：四边形为菱形； ②如图5，连接，过点E作的垂线，垂足为M，若，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）①证明见解答；②． 【分析】（1）如图 2 ，作辅助线构建平行四边形，根据，可得矩形，所以，即可解答； （2）如图3，由（1）同理得，根据等边对等角和三角形外角的性质可得，同理得：，即可解答； （ 3 ）①如图 4 ，连接，根据证明，可得，根据菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论； ②如图5，连接并延长交于，作直线，交于，交于，由（2）可得：，根据，得，证明，列比例式可得和的长，设，则，由勾股定理列方程可得的长，计算的长，根据菱形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图 2 ，延长到，使，连接， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图3，∵， ， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案为：； （3）①证明：如图4，连接， ∵四边形是正方形， ， ∵是的中点， ， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴为菱形； ②解：如图5，连接并延长交于，作直线，交于，交于， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵是的中点， ∴（2）可得：， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：（舍），， ， ， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 1．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，连接，将沿直线翻折，使得点落在上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用性质解决问题是解题的关键． 由折叠的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∵将沿直线翻折， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，，点为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的处，则的长是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与矩形有关的折叠问题、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键． 设，则，由折叠性质可知，，由勾股定理可得，则，然后在中，由勾股定理得，解得x的值即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由折叠性质可知，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得：． ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查正方形性质，勾股定理等．根据题意连接交于，连接，即为所求的点，则的长即为的最小值，根据正方形性质得是线段的垂直平分线，求出，后利用勾股定理得，即为本题答案． 【详解】解：∵正方形， ∴与关于直线对称， 连接交于，连接，即为所求的点，则的长即为的最小值， ∴是线段的垂直平分线， ∵， ∴， ∴的最小值为5， 故选：D． 4．（安徽省芜湖市市区2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试卷　）如图，中，周长为，将沿对角线折叠，使点落在平面上处． （1）边长为 ； （2）若，则长为 ． 【答案】 5 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，进行计算，即可作答． （2）由平行四边形和折叠得到，，，过作于，过作于，再证明，得到，，即可得到，四边形是矩形，，设，则，，再在和中，利用勾股定理得到，代入列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，周长为， ∴，， 故答案为：； （2）过作于，过作于，则， ∵中，，， ∴，，， ∴， ∵将沿对角线折叠， ∴，，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 5．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，B点坐标为，矩形与y轴正半轴交于点H，若沿着翻折后点D 的对应点恰好落在对角线上，则点 C 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，矩形与折叠问题，勾股定理，连接，翻折得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出的值，进而得到点 C 的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵矩形，点A的坐标为，B点坐标为， ∴，，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∵点落在对角线上， ∴ 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（2025·辽宁朝阳·一模）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，分两种情况进行讨论：当时，当，分别画出图形，根据折叠的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 当时，如图所示， ∵， ∴点在上， 由折叠得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴； 当，如图所示， 由折叠得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 7．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图所示，在中，，，，点D从点C出发沿方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)用t的代数式表示：______，______； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)能， 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质和平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先由题意得到，，根据，即可求出； （2）先证明为平行四边形，当，平行四边形为菱形，由此建立方程求出的值即可得到结论． 【详解】（1）由题意得：，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 故答案为：，; （2）四边形能够成为菱形，理由是： 由（1）得：， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，点分别在边上．连接． (1)如图1，当四边形为正方形时，连接，且 ①求证：； ②已知，，求的长； (2)如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题主要考查正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握正方形，矩形的性质证明三角形全等，合理作出辅助线是关键． （1）①如图，延长至点，使，连接，根据正方形的性质可证，得到，再证，则有，即可求解； ②设，由题意和①得，，，，，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可； （2）如图，延长交于点,可证，得到，则，，设，则由勾股定理得到，列式求解即可． 【详解】（1）解：①如图，延长至点，使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． ②设， 由题意和①得，，，，， 在中，， ， 解得， ∴． （2）解：如图，延长交于点, ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ∴， 解得， ． 9．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点P．试猜想与的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】（1）同学们发现，取的中点F，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题； 【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点； 如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长c的取值范围．当时，请你求出周长c的取值范围． 【答案】（1）图形见解析，，理由见解析；（2）；（3）的周长c的取值范围是． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称求最短线段等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）取的中点F，连接．利用“”证明出，即可得解； （2）在上截取，连接EF．由（1）同理可得．证明出，得到，即可得解； （3）连接，过D作交的延长线于点H，连接、．由（2）知，则点P在与成的直线上运动，当A、P、H三点共线时，即最短，此时的周长c有最小值；当与相等时，即A、D、P三点共线，此时的周长c有最大值，即可求解． 【详解】解：（1）． 理由如下：如图，取的中点F，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵F、E分别为、的中点， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，在上截取，连接EF． 是等腰直角三角形， ，， 由（1）同理可得． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在正方形中，， ∴； （3）如图3，连接，过D作交的延长线于点H，连接、． 由（2）知：， ∴点P在与成的直线上运动， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称，， ∴， ∴， 当A、P、H三点共线时，即最短， 此时，， 在中，由勾股定理得：， 此时的周长c的最小值为． 当与相等时，即A、D、P三点共线， 此时，则， ∴的周长c的取值范围是． 10．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图，在正方形中，，E是的中点，F是上一点，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质，利用勾股定理分别求出、、的值，通过，可判定是直角三角形，，进而可以解决问题； （2）结合（1）根据，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， ∵E是BC的中点， ∴， ∴， 同理， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （2）解：， ． ， ． 11．（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点H、K． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定条件、线段垂直的判定、勾股定理的使用，解题关键是全等之后对应角度和对应边灵活转化． （1）利用正方形四边相等，四角为直角，找到对应边与、与，两线点的夹角相等，判定全等； （2）利用第一问的全等条件，得到与相等，进而得到与的夹角是直角，垂直关系． （3）利用正方形的性质，求得对角线长，得到的长，证明是正方形，借助求解． 【详解】（1）证明：∵四边形、四边形是正方形， ，， ， 在和中， （2）解：，理由如下： ， ． ， ． ， ． ． （3）解：连接 ∵四边形是正方形， ，，，． ． ． 四边形是正方形， ，． 且． ∴四边形是正方形． ． ． ，，， ． ． 在中，． 12．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，在矩形中，，，，分别在，上，且，，分别是，上的两个动点，点从向移动，点从向移动，它们同时以每秒1个单位长度的速度移动，运动时间为秒，其中． (1)四边形一定是______； A．平行四边形  B．矩形   C．菱形   D．正方形 (2)若四边形为菱形，求的值； (3)若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)A (2) (3)或 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质证明和，即可得到结论； （2）根据菱形的性质定理以及勾股定理得到，，即，求出答案即可； （3）过点作，垂足为点，连接，过点作，垂足为点，连接，分两种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 如图1，由题意得：，， 四边形是矩形， ， ， ， 同理可证， ， 四边形是平行四边形； 故选：A； （2）解：如图2，四边形为菱形， ， ， ， 由勾股定理可得：，， ， 即：， 解得：， 当时，四边形为菱形． （3）解：如图3，过点作，垂足为点，连接， 过点作，垂足为点，连接， 四边形，四边形是矩形， ，， ，， ，， ， 在中， ， 当四边形是矩形时， ， 在中， ， ， ， 如图4，在中， ， ， ， ， 四边形为矩形时或． 13．（24-25九年级下·山东泰安·期中）问题背景： 某数学兴趣小组进行一次数学探究活动：已知两边及一边的对角求作三角形．作出了如下图所示的两个三角形，其中．很明显这两个三角形不全等． 探索发现： 探究1：如图、在上截取，连接．可证得（_____①_____）．得出，得出___________②___________． 探究2：如图，分别过点作于点于点，可证出，得出，又，证得，得出的值． 活动总结： 小组成员感觉本次活动既动手又动脑，收获很大． 探索应用： (1)①处应填写___________． ②处填___________． (2)如图，菱形中，点为对角线上一点，，求证：． (3)如图，矩形中，分别为上的点，连接，且，若，求． 【答案】(1)①；② (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①利用证明三角形全等即可解答； ②根据，得到，即可解答； （2）过点作于于，证明即可解答； （3）在上截取，证明即可解答． 【详解】（1）解：①， ； ②， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，过点作于于， 则， 四边形是菱形 ， ， ， ， ， ； （3）解：在上截取， 四边形为矩形 ， ，， ， ， ， ． 14．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，分别是，的中点，，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当________时，四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的性质，菱形的判定，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由题意可知为的中位线，得，结合，即可证明四边形为平行四边形； （2）由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得，再结合四边形为平行四边形可知四边形为菱形． 【详解】（1）证明：∵，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）当时，四边形为菱形； 理由如下：∵，是的中点， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 故答案为：． 15．（2025·宁夏银川·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务. 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果.但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将和分别作为的两条直角边，如图1所示，，，，，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则，将与如图3所示放置，使点与点重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长依据： . 任务： (1)直接写出材料中的依据为： ； (2)写出求解长的解答过程； (3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为 . 【答案】(1)两点之间线段最短 (2) (3) 【分析】本题考查了两点之间线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理，二次根式的运算；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点之间线段最短即可得解； （2）作交的延长线于，则四边形为矩形，得出，，求出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）仿照材料给出的方法计算即可得解． 【详解】（1）解：材料中的依据为：两点之间线段最短； （2）解：如图：作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：，将和分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长， 作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$