专题12.6 函数与一次函数40道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年沪科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义围绕一次函数核心知识构建系统复习体系，通过思维导图梳理“函数概念—图像特征—实际应用”主线，用表格对比不同题型的解题策略，如分配方案问题与最大利润问题分别对应线性规划与分段函数建模，清晰呈现重难点分布与内在逻辑关联。 讲义亮点在于融合数学眼光、思维与语言三大素养，设计梯度训练题型，如行程问题中借助图像直观分析速度关系，培养几何直观和推理能力；在最大利润问题中引导学生建立分段函数模型，提升数据意识和应用能力。每类题型均配方法指导与易错警示，基础薄弱生可掌握通法，优等生能拓展思维，教师据此实现精准教学与分层辅导，助力学生自主建构知识网络。

专题12.6 函数与一次函数40道压轴题型专训（10大题型） 题型一 分配方案问题 题型二 最大利润问题 题型三 行程问题 题型四 梯度计价问题 题型五 其他问题 题型六 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型七 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型九 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型十 一次函数与几何综合 【经典例题一 分配方案问题】 1．（2023·四川眉山·一模）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 2．（24-25八年级下·吉林白山·期末）某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为张，购票总价为元）．方案一：购票总价由图中的折线所表示的函数关系确定；方案二：提供元赞助后，每张票的票价为元．则两种方案购票总价相同时，的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·自主招生）北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是 元． 终点 起点 深圳 广州 北京 500元 900元 上海 700元 1000元 4．（2023·天津西青·一模）A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t．设从A城调往C乡肥料xt． （1）根据题意，填写下表： （2）设调运肥料的总运费y（单位：元）是x的函数，求y与x的函数解析式； （3）请根据（2）给出完成调运任务总费用最少的调运方案，并说明理由． 【经典例题二 最大利润问题】 1．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图所示，反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，反映产品的销售成本与销售数量的关系，根据图象判断公司盈利时的销售量为（　　） A．小于4万件 B．大于4万件 C．等于4万件 D．大于或等于4万件 2．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图是某种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y(件)与时间t(天)的函数关系，图2是一件产品的利润z(元)与时间t(天)的函数关系．则下列结论中错误的是（    ） A．第24天销售量为300件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第27天的日销售利润是1250元 D．第15天与第30天的日销售量相等 3．（24-25八年级下·北京丰台·期末）某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为 ； （2）当安排 名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为 元． 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）某农机合作社共有70台农机，其中在城有30台，在城有40台，近期要将其全部运往两乡进行耕作，乡需要34台，乡需要36台，由两城运往两乡的运费如下表： C乡 乡 城 250元/台 200元/台 城 150元/台 240元/台 设城运往乡台，运送全部农机的总运费为元． (1)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)如何安排运送方案，使总运费最小？ (3)据悉某部门将对由城运农机到乡的合作社给予补贴，标准为元/台，目前只知不超过的具体值在研究后公布，该合作社将如何根据的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费总运费-补贴） 【经典例题三 行程问题】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）甲、乙两车从A地沿直路同向匀速行驶行往B地，现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，y与x的函数关系如图所示，则乙车在整个运动过程中行驶的路程是（   ） A．3500米 B．3200米 C．4375米 D．4000米 2．（2023·山东枣庄·一模）甲、乙两名自行车运动员同时从A地出发到B地，在直线公路上进行骑自行车训练．如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时乙在甲前10千米；④3小时时甲追上乙．其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·重庆九龙坡·期中）重庆实验外国语学校每年四月初都定期举办体育文化节，初届周华同学为了在本次活动中获得更好的成绩，他让父亲带自己进行了体能训练，他们找了条笔直的跑道，两人都从起点出发且一直保持匀速运动，父亲先出发两分钟后周华才出发，两人到达终点后均停止运动，周华与父亲之间的距离（米）与周华出发的时间（分）的关系如图所示，当周华到达终点时，父亲离终点的距离为 米． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留后沿原路以原速返回，设他们出发后经过时，小明与家之间的距离为，小明爸爸与家之间的距离为，图中折线、线段分别是表示，与之间的关系． 请问：小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？ 【经典例题四 梯度计价问题】 1．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·模拟预测）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·江西赣州·自主招生）某城区从2014年1月1日起，电价执行“阶梯式”计费，每月应交电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系如图所示．若某用户5月份交电费68元，则该用户5月份用电 度．    4．（2024·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【经典例题五 其他问题】 1．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，小明购买一种笔记本付款金额（元）与购买量（本）之间的函数图像由线段和射线组成．则一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省（    ） A．2元 B．4元 C．6元 D．8元 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习，同学们找到了许多生活中的函数．下面实例中，变量之间的关系不是一次函数的是（    ） A．家庭用水的价格为元/，每月的水费支出与用水量之间的关系 B．百米赛跑中，时间与速度之间的关系 C．相同规格的A4纸整齐叠放，纸的厚度与纸的张数之间的关系 D．普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系 3．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）将函数（为常数）的图像位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图像．若该图像在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为 ． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）小明需要寄送一批包裹，现了解到A、B两个快递公司的收费标准如下表： 首重费用 续重费用 A公司 包裹重量，收费12元 超过，每增加加收3元（不足按计算） B公司 统一收费 无论重量，均按5元计算，最低收费10元（即不足也按10元计算） 设小明需要寄送包裹的重量为（）． (1)若小明寄送包裹的重量为，A公司的收费为_______元，B公司的收费为_______元； (2)若小明寄送包裹的重量超过，则他去哪个公司寄送更划算？ 【经典例题六 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（24-25八年级下·河南商丘·期末）下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25八年级下·河北承德·期中）如图，在同一平面直角坐标坐标系中，一次函数与的图像分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．关于x的方程的解是一个负数 3．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【经典例题七 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（    ） A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1） 2．（2024九年级·湖北黄冈·竞赛）已知一次函数的图象过点（98，19），它与X轴的交点为（P，0），与y轴交点为（0，q），若p是质数，q是正整数，那么满足条件的所有一次函数的个数为（ ）． A．0 B．1 C．2 D．大于2的整数 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知点Р在直线l：y＝kx﹣3k（k≠0）上，点Q的坐标为(0，4)，则点Q到直线l的最大距离是 ． 4．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两个顶点坐标为． (1)求对角线所在直线对应的函数解析式； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【经典例题八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 1．（2023·吉林松原·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）关于的分式方程的解为非负整数，且一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的和为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，直线与、轴分别交于、两点，则不等式的解集为 ． 4．（24-25八年级下·甘肃甘南·期末）已知一次函数．请解答下列问题． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是______． 【经典例题九 根据两条直线的交点求不等式的解集】 1．（2024·浙江·模拟预测）我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知一次函数的图象与的图象交于点，则对于不等式，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当且时， D．当且时， 3．（25-26九年级上·重庆·开学考试）直线与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数为常数的图象分别与x轴、y轴交于点B、C，且与的图象交于点 (1)求m，b的值； (2)若，求x的取值范围． 【经典例题十 一次函数与几何综合】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期中）直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（   ） A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）点P是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点P的坐标为 ； （2）当为等腰直角三角形时，点P的坐标为 ． 4．（25-26八年级上·全国·周测）如图，在平面直角坐标系内，O为坐标原点．经过点的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，，直线AD交x轴负半轴于点． (1)求直线AB，AD的表达式． (2)横坐标为m的点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E．设PE的长为，求a关于m的函数表达式，并直接写出相应的m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.6 函数与一次函数40道压轴题型专训（10大题型） 题型一 分配方案问题 题型二 最大利润问题 题型三 行程问题 题型四 梯度计价问题 题型五 其他问题 题型六 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型七 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型九 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型十 一次函数与几何综合 【经典例题一 分配方案问题】 1．（2023·四川眉山·一模）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【答案】B 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 2．（24-25八年级下·吉林白山·期末）某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为张，购票总价为元）．方案一：购票总价由图中的折线所表示的函数关系确定；方案二：提供元赞助后，每张票的票价为元．则两种方案购票总价相同时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出方案一中的OA和AB表示的解析式以及方案二的解析式，再进行比较即可得到结论． 【详解】解：在方案一中，设OA表示的解析式为，且 解得， 表示的解析式为：； 设表示的解析式为， 又， 解得，， 表示的解析式为：； 方案二的解析式为：； 当时， 故的图象与的图象无交点， 当时，， 所以，当时，两种方案购票总价相同． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，运用待定系数法求一次函数关系式是解答本题的关键． 3．（24-25七年级下·重庆·自主招生）北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是 元． 终点 起点 深圳 广州 北京 500元 900元 上海 700元 1000元 【答案】10400 【分析】本题主要考查一次函数的应用和不等式组的解法，先根据题意列出不等式组，求出解集，再设总费用为列出一次函数，根据函数的性质得到最小值即可求解； 【详解】解:设从北京运往深圳台，北京运往广州为台，上海运往深圳为台，上海运往广州为台，运费为元，则 解得：， ， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，有最小值， ∴当时，（元） 故答案为：10400 4．（2023·天津西青·一模）A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t．设从A城调往C乡肥料xt． （1）根据题意，填写下表： （2）设调运肥料的总运费y（单位：元）是x的函数，求y与x的函数解析式； （3）请根据（2）给出完成调运任务总费用最少的调运方案，并说明理由． 【答案】（1）200﹣x，240﹣x，60+x；（2）y=4x+10040（0≤x≤200）；（3）从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元． 【分析】（1）A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200-x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240-x）吨和（60+x）吨，由此填表即可； （2）根据（1）中所求以及每吨运费从而可得出y与x大的函数关系； （3）x可取0至200之间的任何数，利用函数增减性求出即可． 【详解】解：（1）根据题意，填写下表如下： 调入地 水量/万吨 调出地 C D A x 200﹣x B 240﹣x 60+x 总计 240 260 ∵从B城运往C乡为（240-x）吨， ∴从B城运往D乡为：300-（240-x）=60+x（吨）； （2）设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200﹣x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240﹣x）吨和（60+x）吨． 由总运费与各运输量的关系可知， 反映y与x之间的函数关系为：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）， 化简得：y=4x+10040， ∵A城有200吨肥料，B城有300吨肥料，C乡需要240吨肥料， ∴从A城运往C乡的肥料量，最少为0吨，最多为200吨， ∴0≤x≤200， ∴y=4x+10040（0≤x≤200）； （3）由解析式可知： ∵4>0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=0时，y有最小值10040． 因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元． 【点睛】此题主要考查了一次函数应用，根据已知得出A城和B城运往各地的肥料吨数是解题关键． 【经典例题二 最大利润问题】 1．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图所示，反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，反映产品的销售成本与销售数量的关系，根据图象判断公司盈利时的销售量为（　　） A．小于4万件 B．大于4万件 C．等于4万件 D．大于或等于4万件 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，能够通过图象得到该公司盈利时的取值范围是本题的关键． 根据图象找出在的上方即收入大于成本时，x的取值范围即可． 【详解】解：根据图象分析可得：两条直线交点为，也就是销售收入与销售成本相等， 所以公司盈利需要大于4万件． 故选B． 2．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图是某种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y(件)与时间t(天)的函数关系，图2是一件产品的利润z(元)与时间t(天)的函数关系．则下列结论中错误的是（    ） A．第24天销售量为300件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第27天的日销售利润是1250元 D．第15天与第30天的日销售量相等 【答案】D 【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=-x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=t+100，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． 【详解】A、根据图①可得第24天的销售量为300件，故A正确； B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b， 把（0，25），（20，5）代入得： ， 解得：， ∴z=-x+25， 当x=10时，z=-10+25=15， 故B正确； C、当24≤t≤30时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1， 把（30，200），（24，300）代入得： ， 解得： ∴y=-+700， 当t=27时，y=250， ∴第27天的日销售利润为；250×5=1250（元），故C正确； D、当0＜t＜24时，可得y=t+100，t=15时，y≠200，故D错误， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 3．（24-25八年级下·北京丰台·期末）某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为 ； （2）当安排 名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为 元． 【答案】 74 5 56300 【分析】本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为人，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设加工C零件的工人为人，则C零件总数为件，A零件总数也为件，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人， （1）当时，人， 此时B零件总数，符合条件， ∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人； （2）利润分段计算：当 (即)时，A零件利润为； 当时，A零件利润为：； 设利润为P，则 当时，， ∵， ∴为增函数，最大值在时取得，； 当时， ， ∵， ∴为减函数，最大值在时取得，元； 综上所述，当，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元． 故答案为：74；5；56300． 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）某农机合作社共有70台农机，其中在城有30台，在城有40台，近期要将其全部运往两乡进行耕作，乡需要34台，乡需要36台，由两城运往两乡的运费如下表： C乡 乡 城 250元/台 200元/台 城 150元/台 240元/台 设城运往乡台，运送全部农机的总运费为元． (1)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)如何安排运送方案，使总运费最小？ (3)据悉某部门将对由城运农机到乡的合作社给予补贴，标准为元/台，目前只知不超过的具体值在研究后公布，该合作社将如何根据的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费总运费-补贴） 【答案】(1) (2)从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台 (3)①当时，从A城运往C乡台，运往D乡台，从B城运往C乡台，运往D乡台；②当时，各种方案费用一样多；③当时，从A城运往C乡台，运往D乡0台，从B城运往C乡4台，运往D乡台． 【分析】本题考查了一次函数的应用， 解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质． （1）根据总费用=城运往乡的费用+城运往乡的费用+城运往乡的费用+城运往乡的费用，即可求解； （2）根据一次函数的性质求解即可； （3）根据题意求出，分情况讨论：①当时，根据一次函数的性质求解即可；②当时，元，各种方案费用一样多，③当时，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设城运往乡台，则城运往乡台，城运往乡台，城运往乡台， ∴ =； （2）解：∵中， ∴随x的增大而增大， 又， ∴当时，取最小值， 此时从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台． （3）解： =， ①当时，， ∴随x的增大而增大， 又， 当时，取最小值，即总费用最小， 此时，从A城运往C乡台，运往D乡台，从B城运往C乡台，运往D乡台； ②当时，元， ∴各种方案费用一样多， ③当时，， ∴随x的增大而减小， 又， ∴ 当时，取最小值，即总费用最小， 此时从A城运往C乡台，运往D乡0台，从B城运往C乡4台，运往D乡台． 【经典例题三 行程问题】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）甲、乙两车从A地沿直路同向匀速行驶行往B地，现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，y与x的函数关系如图所示，则乙车在整个运动过程中行驶的路程是（   ） A．3500米 B．3200米 C．4375米 D．4000米 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的实际应用以及行程问题中速度、时间和路程的关系，解题关键是从图象中获取关键信息，明确甲、乙两车的运动时间和路程关系，进而计算出两车的速度． 主要解题思路：从图象得知 100 秒时乙追上甲，此时乙比甲多走 500 米，算出乙比甲快 5 米 / 秒；根据 100 到 160 秒的时间差，得这段乙比甲多走 300 米即 a 的值；由甲 160 到 175 秒走完 a 的路程，算出甲速，进而得乙速，最后求出乙行驶的总路程． 【详解】解：观察图象可知：从开始出发至第100秒，乙车追上甲车，说明在此段时间内乙车比甲车多走500米，因此乙车比甲车的速度快（米/秒）， ∴从第100秒至第160秒，乙车比甲车多走（米）， ∵至第160秒，乙走完全程；甲从第160秒至175秒也走完全程，此段时间经过的路程也是（米）． ∴甲车的行驶速度为（米/秒）， ∴乙车的行驶速度为（米/秒）， 因此乙车在整个运动过程中行驶的路程是：（米）． 故选：D． 2．（2023·山东枣庄·一模）甲、乙两名自行车运动员同时从A地出发到B地，在直线公路上进行骑自行车训练．如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时乙在甲前10千米；④3小时时甲追上乙．其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】由图象可得：甲的速度为120÷3=40千米/小时，故①正确； 乙的速度在0≤t≤1时，速度是50千米/小时，而在t＞1时，速度为÷（3-1）=35千米/小时，故②错误； 行驶1小时时，甲的距离为40千米，乙的距离为50千米，所以乙在甲前10千米，故③正确； 3小时甲与乙相遇，即3小时时甲追上乙，故④正确； 故选C． 3．（23-24七年级下·重庆九龙坡·期中）重庆实验外国语学校每年四月初都定期举办体育文化节，初届周华同学为了在本次活动中获得更好的成绩，他让父亲带自己进行了体能训练，他们找了条笔直的跑道，两人都从起点出发且一直保持匀速运动，父亲先出发两分钟后周华才出发，两人到达终点后均停止运动，周华与父亲之间的距离（米）与周华出发的时间（分）的关系如图所示，当周华到达终点时，父亲离终点的距离为 米． 【答案】180 【分析】与y轴交点（0，400）表示父亲提前走了2分钟，走了400米，所以父亲的速度为200米/分，周华出发8分钟时两人相遇，此时父亲走了10分钟，走了2000米，两人距离起点2000米，所以周华的速度为250米/分，再根据“路程=速度×时间”解答即可． 【详解】解：父亲的速度为：400÷2=200米/分； 周华的速度为：200×10÷8=250米/分； 当周华到达终点时，父亲离终点的距离为：200×14.5-200×（200×14.5÷250+2）=180（米）． 故答案为：180． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的能力题． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留后沿原路以原速返回，设他们出发后经过时，小明与家之间的距离为，小明爸爸与家之间的距离为，图中折线、线段分别是表示，与之间的关系． 请问：小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？ 【答案】小明从家出发，经过在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有 【分析】（1）首先根据题意可知B（12,240），D进而利用待定系数法求得直线BD的解析式，再由小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，求得小明的爸爸用的时间，即可得点F的坐标，然后由E（0，2400），F（25，0），利用待定系数法即可求得EF的解析式，然后求直线BC与EF的交点，即可求得答案． 【详解】解：由题意得，小明用了分钟到邮局， ∴   点的坐标为， 设直线即与之间的函数关系式为：， ∴    解得： ∴   与之间的函数关系式为： . ∵   小明的爸爸以速度从邮局同一条道路步行回家， ∴   小明的爸爸用的时间为：， 即， 设与之间的函数关系式为：， ∵   ，， ∴    解得： ∴   与之间的函数关系式为：. 当时，小明在返回途中追上爸爸， 即， 解得：， ∴   ， ∴   小明从家出发，经过在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用．解题的关键是数形结合与方程思想的应用．注意小明的是折线，小明爸爸的是直线，抓住每部分的含义是关键． 【经典例题四 梯度计价问题】 1．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了一次函数的应用，根据出租车收费标准，建立费用与行驶里程的函数关系式即可，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． 【分析】解：当行驶里程（为正整数）时，费用由起步价和超出部分费用组成： 起步价：以内，包含为元， 超出部分：超出部分每千米加收元，超出里程为，费用为元， ∴关于的函数关系式是， 故选：． 2．（2025·广西·模拟预测）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键． 根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得到解，在从给出的四个图像中判断出正确的图像即可． 【详解】解：当时，； 当时，， 故与的函数关系式为， 观察各选项，选项中的图象符合， 故选：． 3．（24-25九年级下·江西赣州·自主招生）某城区从2014年1月1日起，电价执行“阶梯式”计费，每月应交电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系如图所示．若某用户5月份交电费68元，则该用户5月份用电 度．    【答案】130 【分析】本题涉及分段函数的概念，即根据不同的用电量区间，电费的计算方式不同；需要根据给定的图像信息，确定电费与用电量之间的函数关系，并利用该关系求解特定电费对应的用电量，即可求解. 【详解】解：每月应交电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式分两种情况： ①当时，设， ∵图象过点， ∴， 解得， ∴ ； ②当时，设， ∵图象过点，， ∴ ， 解得 ， ∴； 综上所述，每月应交电费与用电量的函数关系式为， 将代入， 得，解得． 故若某用户5月份交电费68元，则该用户5月份用电130度． 故答案为：130． 4．（2024·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【答案】(1)8，100 (2) (3)400 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由题意得，再结合图象将代入，得，即可求出a的值；观察函数图象结合题意即可得出b 的值； （2）结合函数图象，可知在上方的部分所对应的x的值即为所求，先得出，当时，，令，解得x的值，再结合函数图象可得答案； （3）当时，，结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值，当时，令，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意知， 将代入，得， 解得， 由题图知， 故答案为：8，100； （2）解：由（1）知， 由题意知，当时，， 令， 解得，     结合题图知，当时，选择方案一购买更合算； （3）解：当时，，， ∴此时， 结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值， 当时，令， 解得， 答：当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，x的值为400． 【经典例题五 其他问题】 1．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，小明购买一种笔记本付款金额（元）与购买量（本）之间的函数图像由线段和射线组成．则一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省（    ） A．2元 B．4元 C．6元 D．8元 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．根据待定系数法求出当时对应的函数关系式，当时，求出对应的值；求出当时，每本笔记本的价格，从而求出分8次购买每次购买1本的付款金额，进而求出一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省多少钱即可． 【详解】解：当时，设对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 当时，设对应的函数关系式为， 当时，， 一次购买8本笔记本付款金额为36元， 当时，每本笔记本的价格为（元）， （元）， 分8次购买每次购买1本付款金额为40元， （元）， 一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省4元． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习，同学们找到了许多生活中的函数．下面实例中，变量之间的关系不是一次函数的是（    ） A．家庭用水的价格为元/，每月的水费支出与用水量之间的关系 B．百米赛跑中，时间与速度之间的关系 C．相同规格的A4纸整齐叠放，纸的厚度与纸的张数之间的关系 D．普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系 【答案】B 【分析】本题考查函数关系的识别，包括一次函数和反比例函数的概念，在实际问题中，理解变量之间的关系是解题的关键．判断变量之间的关系是否为一次函数关系，需要看是否满足一次函数的定义：（，均为常数，），据此逐个选项分析判断即可． 【详解】解：A、水费支出单价用水量，是一次函数，故本选项不符合题意； B、速度路程时间，跑完100米，所用时间与平均速度之间的关系不是一次函数，故本选项符合题意； C、A4纸叠放后的厚度每张纸的厚度纸的张数，是一次函数，故本选项不符合题意； D、普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系是一次函数的关系，因为指针每分钟转动的角度是固定的（例如，分针每分钟转动6度），这符合一次函数的定义，其中所用时间是自变量，指针转动的角度是因变量，故本选项不符合题意； 故选B． 3．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）将函数（为常数）的图像位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图像．若该图像在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先解不等式，得 ，再求出函数沿x轴翻折后的函数解析式，解不等式，得，根据满足，得出，，进而求出b的取值范围. 【详解】∵ ∴当时，，解得 ∵函数沿x轴翻折后的函数解析式， ∴当时， ，解得 ∴ ∵满足 ∴，解得 ，解得 ∴b的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数的性质和折叠的特点，解题的关键在于拿出折叠之后的函数解析式，通过题意列出不等式求x取值范围,从而求得b的取值范围. 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）小明需要寄送一批包裹，现了解到A、B两个快递公司的收费标准如下表： 首重费用 续重费用 A公司 包裹重量，收费12元 超过，每增加加收3元（不足按计算） B公司 统一收费 无论重量，均按5元计算，最低收费10元（即不足也按10元计算） 设小明需要寄送包裹的重量为（）． (1)若小明寄送包裹的重量为，A公司的收费为_______元，B公司的收费为_______元； (2)若小明寄送包裹的重量超过，则他去哪个公司寄送更划算？ 【答案】(1)12，10 (2)当小明寄送包裹重量在以上以下，或在以上以下，则选择B公司划算；当小明寄送包裹重量恰好为或时，则选择A公司，B公司费用一样；当小明寄送包裹重量在到之间时或超过时，则选择A公司划算 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，解题的关键是正确理解题意，利用数形结合的思想求解． （1）根据题意即可求解； （2）画出函数图象进行分析即可． 【详解】（1）解：A公司：，则收费12元； B公司：，则收费10元， 故答案为：12，10； （2）解：设公司收费为元，公司收费为元， ， 画出函数图象： 由函数图象可得： 时，或 或； 当时，或 当时，， ∴当小明寄送包裹重量在以上以下，或在以上以下，则选择B公司划算；当小明寄送包裹重量恰好为或时，则选择A公司，B公司费用一样；当小明寄送包裹重量在到之间时或超过时，则选择A公司划算． 【经典例题六 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（24-25八年级下·河南商丘·期末）下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解是， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河北承德·期中）如图，在同一平面直角坐标坐标系中，一次函数与的图像分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．关于x的方程的解是一个负数 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图象过一、二、三象限， ∴，， ∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴，， ∴，，故A、B选项错误； 交点左边，则C选项错误； 由于两直线的交点位于第三象限， ∴关于x的方程的解是一个负数，故D选项正确； 故选：D． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键． 利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 【经典例题七 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（    ） A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】A 【分析】作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，求出直线解析式，与y=x组成方程组，即可求出Q点的坐标． 【详解】解：作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，如下图所示． ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵且， ∴当值最小时，值最小． 根据两点之间线段最短，即三点共线时，值最小． ∵（0，1），（2，0），∴直线的解析式， ∴，即， ∴Q点的坐标为（，）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题． 2．（2024九年级·湖北黄冈·竞赛）已知一次函数的图象过点（98，19），它与X轴的交点为（P，0），与y轴交点为（0，q），若p是质数，q是正整数，那么满足条件的所有一次函数的个数为（ ）． A．0 B．1 C．2 D．大于2的整数 【答案】A 【详解】解：把点（98，19）代入y=ax+b，得98a+b=19；把（p，0），（0，q）也代入y=ax+b，得b=q，a=-．所以19p=-98q+pq，则q=，p是质数，q是正整数，再利用整除的性质讨论即可． 解：把点（98，19）代入y=ax+b，得98a+b=19； 把（p，0），（0，q）也代入y=ax+b，得b=q，a=-． 所以19p=-98q+pq， 则q=，p是质数，q是正整数，分子只有三个因数即1、19、p，则p-98只能等于1、19或p，解的p都不是质数． 所以满足条件的所有一次函数的个数为0． 故答案为A． 本题考查了一次函数的性质，点在图象上，则点的横纵坐标满足解析式．也考查了质数的概念和整数的整除性质． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知点Р在直线l：y＝kx﹣3k（k≠0）上，点Q的坐标为(0，4)，则点Q到直线l的最大距离是 ． 【答案】5 【分析】由题意得直线l一定过点（3，0），在过（3，0）的直线中，当点Q和（3，0）的连线垂直于直线l时，点P到直线l的距离最大，根据勾股定理求解即可． 【详解】∵直线l：y＝kx﹣3k=k（x-3） ∴当x=3时，y=0，故点（3，0）再直线l上 令点P（3，0） 连接PQ，当PQ垂直与直线l垂足为点P时，点Q到直线l的距离最大 PQ= 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了一次函数图像和点到直线的距离，过一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度是点到直线的距离；明确当PQ⊥直线l时，点Q到直线的距离最大是解题的关键． 4．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两个顶点坐标为． (1)求对角线所在直线对应的函数解析式； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元一次方程． （1）求出点C的坐标，设直线解析式为，将和代入计算即可； （2）设点的坐标为，求出，根据三角形面积公式列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 设直线解析式为， 因为的图象过点和， 所以， 解得． ∴对角线所在直线对应的函数解析式为； （2）解：设点的坐标为 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即或 ∴或， ∴或． 【经典例题八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 1．（2023·吉林松原·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先根据函数解析式求出点A、B的坐标，再根据题意得出，，解不等式组即可求得． 【详解】解：在函数中，令得，令得，则，， 点P在的内部， ∴， 解得：． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的特征及依据题意列出不等式是解题的关键. 2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）关于的分式方程的解为非负整数，且一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解分式方程可得 且，再根据一次函数的图象不经过第三象限，可得，结合可得，且，再根据是整数和是非负整数求出的所有值，即可求解． 【详解】 经检验，不是方程的解 ∴ ∵分式方程的解为非负整数 ∴ 解得 且 ∵一次函数的图象不经过第三象限 ∴ 解得 ∴，且 ∵是整数 ∴ ∵是非负整数 故答案为：A． 【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的问题，掌握解分式方程和解不等式组的方法是解题的关键． 3．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，直线与、轴分别交于、两点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，写出直线在轴上方所对的自变量的范围即可． 【详解】解：当时，， ∴的解集为 故答案为：． 4．（24-25八年级下·甘肃甘南·期末）已知一次函数．请解答下列问题． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数的平移，根据自变量的范围求函数的取值范围，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）分别求得直线与坐标轴的交点，进而画出函数图象； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：由，当时，， 当时，， 则一次函数经过点， 如图所示， （2）解：观察图象，当时，y取值范围是． 【经典例题九 根据两条直线的交点求不等式的解集】 1．（2024·浙江·模拟预测）我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【详解】解：分别作出函数，，的图象，根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，；②，解得，；③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最大值为， 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知一次函数的图象与的图象交于点，则对于不等式，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当且时， D．当且时， 【答案】D 【分析】先求出m的值，再求出和的图象的交点，最后根据k值的取值范围，分类讨论，结合图象解决问题． 【详解】解：由题知，点在的图象上， 则，． 故交点坐标为． 又得图象关于坐标原点中心对称， 且和的图象也关于坐标原点中心对称． ∴和的图象交点坐标为． 则将点代入得 ． ∴， （1）当时，如下图所示， 如图所示，图象在直线左侧部分满足不等关系． 则得出此时x的取值范围是：． （2）当，即时， 如图所示 图象在直线右侧部分满足不等关系． 则得出此时x的取值范围是：． （3）当时． 如图所示 图象在直线左侧部分满足不等关系． 则得出此时x的取值范围是：． 综上所述 x的取值范围是： 当且时，． 故答选：D． 【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式，以及用数形结合、分类的数学思想解决问题． 3．（25-26九年级上·重庆·开学考试）直线与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合思想通过图形观察得到答案． 根据图象可直接观察得到不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，两直线相交于点， 当时，， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数为常数的图象分别与x轴、y轴交于点B、C，且与的图象交于点 (1)求m，b的值； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了两条直线交点问题，利用图象求不等式的解集，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）将代入，可得m的值，将代入可得b的值； （2）先求出A点坐标，再利用数形结合思想求解． 【详解】（1）解：点在的图象上，将代入， 解得， 点坐标为， 将代入，得：， 解得； （2）解：令，解得， ， 由图可得，当时，； 当时，图象在图象的下方，即， 当时，． 【经典例题十 一次函数与几何综合】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期中）直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，先求得交点的坐标，即可求出点的轨迹，进而判断出直线与直线平行，即可求出的值．得出点的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】解：直线与直线（是常数，且）交于点， 解析式联立解得，， 解得， ， ，， ， 点在直线上， 点到直线的距离总是一个定值， 直线与直线平行， ， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（   ） A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先求出点A和点B的坐标，再求出的长，利用面积法求出边上的高，结合得出，过点D作的垂线，垂足为H，证，求出，设，则，列方程求出m值，进而求出点D坐标，即可解决问题． 【详解】解：将代入得，， 点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， ， 则， 令边长的高为， 则， 则， 点在线段上，且， ， ， 过点D作的垂线，垂足为H， ，平分， ， ， ， ， ， 设，则， 在中， ， 解得：， 即点的坐标为， ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）点P是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点P的坐标为 ； （2）当为等腰直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】 或或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线围成的三角形面积，全等三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键． （1）把B的坐标代入直线的解析式，即可求得k的值，进而求出点的坐标，根据的面积与的面积相等列方程即可得答案； （2）分三种情况：当，时，过点P作轴，，根据条件证明，根据对应边相等求解即可；当，时，过点P作轴，当，时，过点P作轴，同理可求． 【详解】解：（1）∵直线交y轴于点A，交x轴于点， ∴ 解得 ∴直线的解析式是； 将代入，解得， ， ， ， 点P是直线上一动点，D点在上，令，则， 则， 设， 的面积与的面积相等 解得或（不合题意，舍去） ； 故答案为：； （2）解：当，时，过点P作轴，，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 或或． 4．（25-26八年级上·全国·周测）如图，在平面直角坐标系内，O为坐标原点．经过点的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，，直线AD交x轴负半轴于点． (1)求直线AB，AD的表达式． (2)横坐标为m的点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E．设PE的长为，求a关于m的函数表达式，并直接写出相应的m的取值范围． 【答案】(1)直线的表达式为，直线的表达式为 (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，直线上点的坐标特点，解答本题时求出函数的解析式是关键． （1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）将点P的横坐标代入直线的解析式，求出P的纵坐标，将P的纵坐标代入直线的解析式就可以求出E的横坐标，求出线段的长解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以设直线的表达式为． 因为直线经过点， 所以，解得， 所以直线的表达式为． 设直线的表达式为． 将，代入， 得，解得， 所以直线的表达式为． （2）解：如图，因为点P在线段上，且横坐标为m， 所以． 因为轴，所以点E的纵坐标为， 代入直线，得， 解得， 所以， 所以， 即a关于m的函数表达式为． 学科网（北京）股份有限公司 $