专题12.4 一次函数与方程、不等式重难点题型专训（5个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题12.4 一次函数与方程、不等式重难点题型专训 （5个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 题型九 一次函数与几何综合 题型十 分配方案问题 题型十一 最大利润问题 题型十二 行程问题 题型十三 梯度计价问题 题型十四 其他问题 拓展训练一 一次函数与方程、不等式的交点相关问题 拓展训练二 图象法在一次方程中的综合应用 拓展训练三 一次函数的实际应用 知识点一：一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程的解⇔函数中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程的解⇔函数的图像与x轴交点的横坐标. 【即时训练】 1．（2025·甘肃陇南·一模）若直线经过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数与轴交点的横坐标即为其所对应的一元一次方程的解是解题的关键．利用一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：由直线经过点，即与轴交点坐标为， 则直线对应的一元一次方程的解是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据图象可直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：关于的方程的解为； 故答案为． 知识点二：一次函数与一元一次不等式 思路：任何一个一元一次不等式都能写成的形式. 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，先求出点A坐标，再找到直线的函数图象在直线的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵不等式的解集即为不等式的解集， ∴由函数图象可知，不等式的解集为， 故选：C． 2.（2025·湖北省武汉市模拟题）如图，一次函数y=kx+b（k0）的图像与x轴交于点(2,0)，且函数值y随x的增大而减小，则不等式kx+b>0的解集为______。 【答案】x<2 【分析】本题考查一次函数图像与一元一次不等式的关系，需结合函数增减性和与x轴的交点坐标确定不等式的解集。 【详解】解：一次函数y=kx+b与x轴交于点(2,0)，说明当x=2时，y=0。 又因函数值y随x的增大而减小，即当x<2时，函数图像在x轴上方（y>0）；当x>2时，函数图像在x轴下方（y<0）。 因此，不等式kx+b>0的解集为x<2。 故答案为：x<2。 知识点三：一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程都能写成的形式，因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于、的方程组的解是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意是解题的关键． 先根据图象得出点的坐标为，，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可． 【详解】解：点的坐标由图象可得，， 关于，的方程组的解是． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知关于，的方程组的解是，则函数和的图象交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两个一次函数的交点坐标为方程组的解是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数的交点坐标为方程组的解，即可得出答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴函数和的图象交点坐标为， 故答案为：． 知识点四：一次函数与实际问题 1.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 3.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图是某超市叠放的购物车、小艺同学尝试探究购物车的车身总长单位：米与购物车数量单位：辆之间的关系，她测得几组数据如下表所示： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 6 … 车身总长y米 … 下列结论正确的是（ ） A．y是x的正比例函数 B． C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格的数据以及利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：由表格可知：x每增加1，y增加， 是x的一次函数，且， 选项A不正确； 设， 把代入中得：， 解得， 所以y关于x的函数解析式为：， 选项B正确； 当时，， 当时，， 选项C，D不正确； 故选：B． 2．（2024·江苏淮安·中考真题）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出时的的值即可． 【详解】解：由题意，当时，解得：； ∴轿车从A地到达B地所用时间是小时； 故答案为：． 知识点五：求最值的本质为求最优方案，解法有两种 1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； 2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【即时训练】 1．（2025·陕西延安·二模）某非遗传承人出售手工刺绣手帕，每条15元，若一次性购买超过8条，超出部分每条按10元出售．小悦有150元准备购买这种刺绣手帕，她最多能购买的手帕条数为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用——调价购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，分段计费，是解题的关键． 设购买刺绣手帕x条，需付款y元，当时，，当时，，根据小悦有150元钱，可得，解得． 【详解】解：设购买刺绣手帕x条，需付款y元， 当时， ；　 当时， ． 小悦有150元钱， ∴． ∴当时，． 解得，不合题意； 当时，， 解得，符合． 则她最多能购买11条手帕． 故选：A． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】把当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出的范围即可． 【详解】解：方程， 解得：， ∵关于的方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键． 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图像如图所示，已知A，B两点的坐标分别为，，观察图像回答下列问题： (1)关于x的一元一次方程的解是____________； (2)若C点的坐标为，则关于x的不等式的解集是____________； (3)关于x的不等式组的解集是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）利用直线与x轴的交点即为时，对应的x的值为方程的解，据此即可解答； （2）利用两直线与x轴的交点坐标，结合图象即可即可解答； （3）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴的交点为， ∴关于x的方程的解是， 故答案为： （2）解：∵一次函数和一次函数的交点， ∴根据图象可得关于x的不等式解集为． 故答案为： （3）解：∵一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，， ∴关于的不等式组的解集是． 故答案为： 1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数是常数且中，x与y的部分对应值如表： x 0 1 2 3 y 3 2 1 则关于x的方程的解是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 根据图表即可得出此方程的解． 【详解】解：根据图表可得：当时，， 因而方程的解是． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）一次函数的图象如图所示，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于x的方程的解， 故选：D． 3．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知一次函数(，是常数且)，与的部分对应值如表；那么方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系；根据表格中的数据可知：当时，，然后根据方程，从而可以求得的值． 【详解】解：∵当时，， ∴ ∵ ∴ 解得：， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知一次函数的图像如图所示，直线与x轴的交点坐标是，利用函数图像回答： (1)当取何值时，？ (2)当取何值时，？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数图像与x轴交点的横坐标即为对应方程的解； （2）直接根据函数图像写出对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴的交点坐标是 ∴当取何值时，． （2）解：∵ ∴ ∴由函数图像可得：当时，． 【点睛】本题主要考查了运用一次函数图像求方程的根、一次函数图像求不等式解集等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点和点． (1)求出该一次函数的解析式； (2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法是解决本题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，得到，令得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， 则有， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于直线，令，得到，令得到， ∴； 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 2．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）一次函数的图象经过点和两点． (1)求出该一次函数的表达式； (2)若直线AB与x轴交于点C，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）设一次函数解析式为， ∵图象经过，两点， ∴     解得：，     ∴一次函数解析式为； （2）当时，， ∴， ∴     ∴， 答：的面积为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据图象可得，一次函数的图象经过点， 即当时，自变量的值就是对应的一元一次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， ∴方程的解是， 故选：． 【例2】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： (1)关于x的方程的解是 ； (2)关于x的方程的解是 ； (3)当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质， （1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出时对应的自变量的值即可 （3）利用函数图象写出时对应的函数值范围即可． 【详解】（1）利用函数图象可知函数值为0时，， 故答案为：； （2）利用函数图象可知时对应的自变量的值为， 故答案为：； （3）根据图象可知：当时，， 故答案为：． 1．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据交点坐标为，分别代入两个解析式，构造等式，变形计算即可． 本题考查了直线的交点坐标，熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， 故， 故， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 由的函数图象与函数的图象相交交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与函数的图象相交的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 故选：A． 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键．先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：把代入得， 解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【答案】（1）x＝2；（2）﹣1；（3）x＝﹣1． 【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可 （3）利用函数图象写出函数值为−3时对应的自变量的值即可． 【详解】解：（1）当x＝2时，y＝0， 所以方程kx+b＝0的解为x＝2； （2）当x＝1时，y＝﹣1， 所以代数式k+b的值为﹣1； （3）当x＝﹣1时，y＝﹣3， 所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例1】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）一次函数的图象如图，则当时，函数值的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象，利用数形结合思想是解题的关键．根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标，再结合函数图象即可求解． 【详解】解：观察图象可得，当时，函数值的范围是． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象：当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一次函数的性质，求函数值， （1）令得；令得，即可得到A，B两点的坐标； （2）根据一次函数的性质解答． 【详解】（1）解：令中，则，解得； 令得， ∴； （2）由图象得当时，． 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象过点，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合是解题关键．利用图象得出答案即可． 【详解】解：如图所示：不等式的解集为：． 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图函数、为常数，的图象如图，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题关键．直接利用图象得出答案． 【详解】解：如图所示：不等式的解集为：． 故选：C． 3．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）一次函数（k，b为常数，）的图像如图所示，那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据直线与x轴的交点求不等式的解集， 先确定直线与x轴的交点坐标，再根据直线在x轴下方时函数值小于0可得答案. 【详解】解：一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， ∴当时，. 所以不等式的解集是. 故答案为：. 4．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知一次函数解答下列问题： (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图像； (2)观察图像，当时，写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画一次函数图像，根据函数的取值范围求自变量的范围，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）分别求得直线与坐标轴的交点，进而画出函数图像； （2）观察图像即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， 解得， 则一次函数经过点，， 如图所示， （2）解：观察图像，当时，x的取值范围为． 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例1】（2025·湖北孝感·三模）如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：根据两条直线的交点求不等式的解集，运用数形结合思想，且结合一次函数与的图象交于点，且经过点，即可得出的解集． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点，且经过点， ∴当时，则， 故选：B 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线分别交轴、轴于点．直线分别交轴、轴于点，与直线相交于点．已知． (1)直接写出直线的表达式：_________． (2)求时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解以及一次函数与不等式的关系．解题的关键是利用待定系数法求出函数表达式，结合线段长度关系确定参数值，再通过函数交点求解不等式的取值范围． （1）将点A的坐标代入直线的表达式，求出k的值，得到直线的表达式； （2）先根据直线求出的长度，结合得到的长度，确定点C的坐标后代入直线的表达式求出b的值，联立两条直线的表达式求出交点E的横坐标，进而确定时x的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：∵直线交y轴于点B， ∴当时，即， ∴． ∵， ∴． 又∵直线交x轴于点C，且点C在x轴上， ∴点C的坐标为 将代入得：，解得， ∴直线的表达式为． 解不等式得， 即时，的取值范围为． 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知一次函数与的图象相交于一点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，两直线的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出这个交点的横坐标，再运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于一点， ∴ ∴ 解得 即这个交点的横坐标为， 观察函数图象得当时，则， 故选：C 2．（24-25八年级下·全国·期末）若一次函数的图象如图所示，点在函数图象上，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系；利用函数图象，写出函数值不小于所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：观察函数图象，可知：当时，． 即关于的不等式的解集是． 故选：D． 3．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，若直线与直线交于A点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系以及数形结合思想的应用，仔细观察图形，利用好交点是解题关键．由直线的图象落在直线图象上方的部分对应的x的取值即为所求解集． 【详解】解：由直线与直线交于A点， 不等式的解集为： 故答案为： 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数（为常数，且）与的图象交于点，点的横坐标为2． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集． （1）先利用确定点坐标为，然后把点坐标代入求出的值； （2）利用函数图象，写出直线不在直线的下方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 把代入得， 解得； （2）当时，， 不等式的解集为． 【经典例题六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若一次函数和的图象的交点坐标是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，直接得出结论． 【详解】解：因为一次函数和的图象的交点坐标是，而方程组可变形为， 所以方程组的解为． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）在平面直角坐标系中，两条直线，交于点A． (1)求A点坐标； (2)在如图所示的坐标系中画出这两条直线的大致图象，根据图象写出的解集． 【答案】(1) (2)图象见解析； 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点坐标求法，利用数形结合是解题的关键． （1）解方程组，即可求出点A的交点坐标； （2）观察两函数图象，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标即可找出不等式的解集． 【详解】（1）解：联立得：， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：对于， 当时，， ∴直线过点， 对于， 当时，，当时，， ∴直线过点， 画出函数图象，如下： 观察图象得：当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知直线与直线交点的坐标为，则方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点坐标与方程组解的关系，熟练掌握两者关系是解决本题的关键． 根据两直线交点坐标与方程组解的关系来求解即可． 【详解】解：已知直线，移项可得； 直线，移项可得，可整理为， ∴直线与直线的交点坐标就是方程组的解， 即． 故选：B． 2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，首先把代入，求出b的值，进而得到M点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数的解析式组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题的关键．先将点代入求出的值，再根据一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系得出方程组的解． 【详解】解：把代入，得，解得， 所以点的坐标为． 因为一次函数与的图象相交于点， 所以方程组的解是． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）已知两直线，，在同一平面直角坐标系中，且经过两点． (1)求直线的表达式； (2)求两直线的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）联立两个直线的解析式，解方程组即可得． 【详解】（1）解：将点代入直线得：， 解得， 所以直线的表达式为． （2）解：联立， 解得， 所以两直线的交点坐标为． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例1】（22-23八年级下·四川眉山·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【例2】（22-23八年级下·全国·假期作业）利用函数图象解方程组． 【答案】． 【分析】直接利用两函数图象的交点横纵坐标即为x，y的值进而得出答案． 【详解】解：方程组对应的两个一次函数为：与， 画出这两条直线，如图所示： 由图像知两直线交点坐标为（-1，1）． 所以原方程组的解为． 【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，正确利用数形结合分析是解题关键． 1．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象， 则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答． 【详解】解：由题图可知：一次函数与的图象交于(1，2)， 所以方程组的解是：； 故选：D． 【点睛】函数与的交点坐标就是方程组的解，明确此知识点是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 3．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）利用一次函数的图象解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点． 先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：如图， 两个一次函数y与的交点坐标为； 因此方程组的解． 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例1】（2025·湖南长沙·一模）如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴围城的三角形的面积，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据一次函数的图象经过，两点，可以求得该函数的解析式； （2）根据点A和点B的坐标，从而可以求得的面积． 【详解】（1）解：设这个一次函数解析式为， ∵的图象过点，， ， 解得：， ∴这个一次函数解析式为； （2）解：，， ， ． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．根据方程或方程组得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，    在中，令，得， 解得，， ∴，， ∴的面积， 故选：B． 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，把代入函数关系即可得出的值，进而得出的值． 【详解】解：已知和， ． ， ， ， 当时，， 解得． ， ， 即； 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积，根据即可求解． 【详解】解：，， ，． 直线与坐标轴围成的三角形面积为6， ，即 ． 解得． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与轴交于点． (1)求该函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、求一次函数解析式，准确求出一次函数解析式是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出点，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，，    解得 ∴该一次函数的表达式为， （2）如图所示， 令，则， ， ， ， ． 【经典例题九 一次函数与几何综合】 【例1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，点A、D分别在直线和上，轴，B、C都在x轴上，且四边形是长方形，已知点B的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征． 根据函数解析式求出点D坐标即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴点D的纵坐标为3， 在中，当时，， ∴． 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、． (1)求点A、B的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数的性质及三角形面积，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0求解即可； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在轴上的点，其纵坐标． 把代入，可得， 解得， 所以． 在轴上的点，其横坐标． 把代入，可得， 所以． 所以； （2）设点的坐标为， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或 ． 1．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，在长方形中，，点P是边上的动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点D出发以的速度向点C运动，则的面积与点P的运动时间间的函数关系式为（   ） A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 【答案】C 【分析】本题考查动点问题、求自变量与因变量的关系式，根据，用含t的代数式表示出的底边的长即可得到答案． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 根据可得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ，即， ， ， ， 故选：B． 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点 在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，若直线与线段有公共点，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据直线可得，当时，，直线与轴交点为，从而可求出的取值范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由直线可得，当时，， ∴直线与轴交点为， ∵点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，直线与线段有公共点， ∴的取值范围是， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，是原点，已知点．直线是一次函数的图象． (1)当时，求直线与轴的交点坐标； (2)当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，与坐标轴的交点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，令则，得直线与轴的交点坐标为，即可作答． （2）先分别把代入得出的值，再结合直线与线段有交点，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵直线是一次函数的图象，且 ∴， 令，则， 解得， ∴直线与轴的交点坐标为； （2）解：依题意，把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 解得， ∴当直线与线段有交点时，则． 【经典例题十 分配方案问题】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·四川广安·期末）某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分．现积分超市推出以下两种活动： 活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分： 活动二：兑换一本笔记本送两枚书签． 李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签x枚（）． (1)请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分y，y与书签x（枚）之间的函数关系式； (2)若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选择哪种活动更优惠． 【答案】(1)活动一：；活动二： (2)当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）分别根据两种活动情况计算即可； （2）比较两个函数值的大小即可． 【详解】（1）解：活动一：y与x之间的函数关系数式为， 活动二：y与x之间的函数关系数式为． （2）解：当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠． 1．（23-24八年级·全国·假期作业）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 【答案】A 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 2．（23-24八年级下·湖北黄冈·期末）某公司手机话费收费有 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）和 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）两种．当月通话时间为（    ）时，， 两种套餐收费一样． A． 分钟 B． 分钟 C． 分钟 D． 分钟 【答案】C 【分析】根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式，再根据两种收费相同列出方程，求解即可． 【详解】A套餐的收费方式：y1＝0.1x＋15； B套餐的收费方式：y2＝0.15x； 由0.1x＋15＝0.15x，得到x＝300， 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，是典型的电话收费问题，求出两种收费相同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键． 3．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期末）2019年1月18日，重庆经开区新时代文明实践“五进企业”系列活动----2019年新春游园会成功矩形，这次新春游园会的门票分为个人票和团体票两大类其中个人票设置有三种，票得种类 夜票(A) 平日普通票（B）指定日普通票（C）某社区居委会欲购买个人票100张,其中B种票的张数是A种票的3倍还多8张，设购买A种票的张数为x，C种票张数为y，则化简后y与x之间的关系式为： （不必写出x的取值范围） 【答案】 【分析】根据题意，A种票的张数为x张，则B种票（3x+8）张，C种为y张，由总数为100张，列出等式即可. 【详解】解：由题可知，， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了函数关系式，根据数量关系，找准函数关系式是解题的关键． 4．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）新能源汽车不仅能缓解城市空气污染，还能优化电网负荷．某新能源汽车充电站白天时段（）每度电元，为增加人气，该充电站提供两种优惠方案． 方案一：白天时段每度电享受九折优惠． 方案二：先花元购买一次性充电优惠卡（充电费额外计算），然后白天时段每度电享受七五折优惠． (1)请分别写出方案一的充电费用（元）、方案二的充电费用（元）与充电数量（度）之间的函数表达式． (2)小张的爸爸某天白天来到该充电站给新能源汽车充电，请你帮小张的爸爸想想选择哪种方案更划算． 【答案】(1) (2)若小张的爸爸计划充电小于20度，选择方案一更划算；若小张的爸爸计划充电等于20度，两种方案都一样；若小张的爸爸计划充电大于20度，选择方案二更划算 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的应用——方案问题，结合临界点分析，明确了不同充电量下的最优选择．关键在于正确理解方案的费用结构，并通过方程求解临界值． （1）根据方案一为直接折扣，方案二含固定费用加折扣直接写出答案即可； （2）分情况讨论：通过建立一次函数关系式，并求解临界点，确定不同充电量时的最优方案即可． 【详解】（1）解： 方案一白天时段每度电享受九折优惠， . 方案二先花元，然后白天时段每度电享受七五折优惠， . （2）分情况讨论： ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上所述，若小张的爸爸计划充电小于20度，选择方案一更划算；若小张的爸爸计划充电等于20度，两种方案都一样；若小张的爸爸计划充电大于20度，选择方案二更划算． 【经典例题十一 最大利润问题】 【例1】（23-24七年级下·山东济南·期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【答案】D 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 【例2】（24-25九年级上·广东韶关·期中）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克，设每千克涨价元，销售量为千克． (1)求出与的函数关系； (2)当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当涨价7.5元时，该商场每天获得的利润最大，最大利润为1562.5元 【分析】本题主要考查了一次函数实际应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）根据题意，列出函数关系式，即可求解； （2）设商场每天获得的利润为w元，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意： ； （2）解：设商场每天获得的利润为w元，根据题意得： ∴当涨价7.5元时，该商场每天获得的利润最大，最大利润为1562.5元 ． 1．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 2．（2023·北京丰台·二模）某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 【答案】C 【分析】从图1和图2中可知，当时，日销售量达到最大，所以根据日销售利润=日销售量每件产品的销售利润即可求解． 【详解】由图1知，当天数时，市场日销售量达到60件：从图2知，当天数时，每件产品销售利润达到最大30元．销售总利润为：（元）． A：从图1，可以看出当时，市场日销售量最大，选项正确，不符合题意； B：从图2，可以看出第20天至30天该产品单件销售利润相同，都达到最大值30元，选项正确，不符合题意； C：当时，日销售量低于时的日销售量，但单件销售利润相同，所以当天数为30时，销售利润最大，选项错误，符合题意； D：从图2中可以看出，第20天至30天该产品单件销售利润相同，从图一看出，日销售量逐日增加，成正比例函数关系，所以日销售利润逐日增加，选项正确，不符合题意； 故答案为：C 【点睛】本题考查的一次函数变量之间的实际应用，通过观察图形，结合相关数据处理实际问题，利用数形结合是解决问题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需 元． 【答案】70 【分析】根据表格可以求出y与x的关系式，将代入求出x的值，进一步计算即可． 【详解】设买入价x与利润y之间的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解得：， 故：， 当代入得： ， 解得：， 即：1吨水的买入价为7元， 则买入10吨水共需元． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了一次函数，根据表格求出一次函数的关系式是解题的关键． 4．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 【答案】(1)方案1：；方案2： (2)工厂采用方案1时利润最大，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用和方案设计问题． （1）每件产品出厂价为50，共x件，则总收入为：，成本费为，产生的污水总量为，按方案一处理污水应花费：，按方案二处理应花费：．根据利润=总收入-总支出即可得到y与x的关系； （2）根据（1）中得到的x与y的关系，将代入，比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润最多． （3）根据（1）中得到的x与y的关系，列不等式即可求解. 【详解】（1）按方案1处理污水时，． 按方案2处理污水时，； （2）当时，； ． 因为， 所以工厂采用方案1时所获利润更大． （3）当时，解得，即当每月生产量超过5000件时，工厂采用方案1时利润更多； 当时，解得，即当每月生产量等于5000件时，工厂采用任意一种方案的利润相同； 当时，解得，即当每月生产量小于5000件时，工厂采用方案2时利润更多． 【经典例题十二 行程问题】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）在劳动节期间，甲、乙两人相约一起去爬山，爬山过程中，甲先爬了100米后，乙才开始追赶甲，乙爬了2分后，速度变成甲爬山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙爬山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息有下列说法：①甲的爬山速度为10米/分；②；③当乙爬了分后，甲、乙相遇；④甲、乙相遇后，甲再经过1分与乙相距20米，其中正确的有（   ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式． ①根据图象可知道山的高度和所用时间，即可求出甲爬山的速度；②当时，根据高度初始高度速度时间，即可得出关于的函数关系，令可求出相应的值，即可得到的值；③先求出甲、乙距离底面函数解析式，再根据路程之间的关系列出方程求解即可；④求出两个解析式后，分别根据时间计算出相应的函数值，作差即可求解． 【详解】解：①甲的爬山高度是 米，用时 20 分钟，故速度是米／分，故①正确； ②当时，， 当时，，故，故②正确； ③乙提速后距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为： ， 甲爬山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为： ， 当时， 解得：；故③正确； ④令， ， 甲乙相遇后，甲再经过 1 分钟与乙相距 20 米，故④正确； 综上，①②③④均正确， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）周六，小峰去博物馆参观学习．他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系．根据图象完成下列各题 (1)在这个过程中，自变量是__________，因变量是__________； (2)点A表示的是什么？小峰在博物馆参观了多少分钟？ (3)小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)小峰离家时间，小峰离家的距离； (2)点A表示17分钟时小峰到达博物馆，此时离家3000米；小峰在博物馆参观了50分钟 (3)． 【分析】本题考查了从函数图像中获取信息，解题的关键是找出变化过程中的自变量和因变量． （1）根据图象作答即可； （2）根据图象作答即可 （3）根据图象得出作从博物馆到家的距离和回家的时间，再作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是小峰离家时间，因变量是小峰离家的距离； 故答案为：小峰离家时间，小峰离家的距离； （2）由图知：点A表示17分钟时小峰到达博物馆，此时离家3000米；小峰在博物馆参观了50分钟； （3）由图知：小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度为： ． 1．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）甲、乙两车沿同一条路同时出发前往B地，甲车到达B地后立即以原速沿原路返回，乙车到达B地后停止运动．两车距B地的距离，与甲车行驶时间的函数图象如图所示，下列正确的是（      ） A． B． C．返程时 D．两次相遇的时间间隔为 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据甲车往返时的速度和路程相同可以求出a即可判断A；求出乙车速度，然后根据题意求出解析式即可判断B；用待定系数法求出甲车返回时的解析式即可判断C；求出两次相遇的时间即可判断D． 【详解】解：由题意可知，，故A错误； 乙车的速度为：， ，故B错误； 设甲在返程时的函数解析式为， 把和代入解析式得：， 解得， ，故C错误； 甲车的速度为， 甲车前往B地时，， 两车第一次相遇：， 解得； 两车第二次相遇：， 解得：， 两车两次相遇的时间间隔为：，故D正确． 故选：D 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）为了参加2025“奔跑江淮”和美乡村健康跑（庐江冶父山站），大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．如图中的折线表示前两次相遇，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系的图象，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A．分别根据速度路程时间求出两人的速度，当时，计算两人的路程之差即可； B．当时，小磊刚好到达乙地，此时大龙已在返回的途中，求出此时大龙离开乙地的距离即可； C．二人第一次相遇时路程之和等于甲、乙两地之间距离的2倍，据此列关于c的一元一次方程并求解即可； D．当时，小磊在返回甲地途中与大龙相遇，此时大龙第二次从甲地出发前往乙地途中，此时二人的路程之和等于甲、乙两地之间距离的4倍，据此列关于d的一元一次方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，弄清二人跑步的过程，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：大龙的速度为（米/分），小磊的速度为（米/分）， （米）， ∴， ∴A正确，不符合题意； （米）， ∴， ∴B正确，不符合题意； 根据题意，得， 解得， ∴C错误，符合题意； 根据题意，得， 解得， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）周末，小光一家人准备去体育中心，爸爸为了锻炼身体骑自行车以15的速度先从家出发，15后妈妈开车带着小光从家出发沿同一路线追赶，爸爸到达3后，妈妈带着小光赶到，如图是小光一家所走路程与爸爸的出发时间的函数关系图象，则在第25时，小光和爸爸相距 ． 【答案】 【分析】本题考查了追及问题，用到路程、速度、时间的关系以及一次函数的相关知识．先根据爸爸的速度和路线长度求出爸爸到达体育中心的时间，进而得到点A、B的坐标，再根据妈妈到达的时间求出妈妈的速度，设出段函数表达式，代入点坐标求出表达式，最后将代入表达式求出此时小光的位置，从而得出小光和爸爸的距离． 【详解】解：根据图象可知该路线长为6， ∵爸爸的速度为， ∴爸爸到达体育中心的时间为（）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴妈妈开车的速度为， 设段的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴段的函数表达式为， 当时，， 此时爸爸已经到达体育中心，（）， ∴小光和爸爸相距1． 故答案为：1． 4．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）汽车由南京驶往相距的上海，它的平均速度为． (1)写出汽车距上海的路程s（单位：）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式； (2)指出自变量t的取值范围； (3)当汽车行驶时，汽车距离上海多远？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出s与t的函数关系式． （1）根据汽车与上海的距离南京与上海的距离汽车的行驶时间速度列出函数关系式即可； （2）根据南京与上海的距离以及汽车行驶速度求出汽车到达上海所需的时间，结合实际意义进一步确定t的取值范围即可； （3）将代入（1）的函数关系式中进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴t的取值范围是：． （3）解：当时，． 答：当汽车行驶时，汽车距离上海． 【经典例题十三 梯度计价问题】 【例1】（2025·山西临汾·二模）某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 【答案】D 【分析】本题考查了数的混合运算的应用，分级收费问题，需明确分成的级数和每级的收费标准．根据题意计算即可得出答案． 【详解】A．当行驶里程为时，，与原选项相符，正确； B．当时，，即，与原选项相符，正确； C．当时，代入，解得，即实际里程，与原选项相符，正确； D．当行驶里程为时，，与原选项不符，不正确． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·期中）某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【答案】(1)（）； (2)21元． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同的路程段确定车费的计算方式． （1）根据出租车收费标准，当（为整数）时，计算车费与行驶路程的函数关系式； （2）先根据不足一公里按一公里计算的规则确定行驶路程，再代入（1）中函数关系式计算车费． 【详解】（1）解：当（为整数）时，起步价9元，超过2公里的部分为公里，这部分每公里2元． 所以车费，化简可得， 答：车费与行驶路程的函数关系式（）； （2）解：因为不足一公里按照一公里计算，7.2公里按照8公里计算， 把代入中，可得（元）． 答：应付给司机21元． 1．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）某市规定每户每月用水量不超过吨，每吨价格元；用水量超过吨时，超过部分每吨水价为元．下图中能表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像，根据选项依次判断即可． 【详解】A、图像表示每吨的价格不变，不符合题意； B、图像表示用水到一定量后，每吨的价格下降，不符合题意； C、图像表示用水到一定量后，每吨的价格上升，符合题意； D、图像表示用水量在一定量以前，总价不变，用水到一定量后，每吨的价格上升，不符合题意． 故选：C． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【答案】C 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过千克收费元，超过千克的部分每千克收费元，设快递物品的重量为千克，那么从大连发快递到北京的快递费（元）与物品重量（千克）的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，依据题意得，从而可以判断得解．解题时要能读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 4．（2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 【答案】(1) (2)14.5吨 【分析】本题考查了一次函数的实际应用， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）根据题意，得当时，设该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． 将点和点的坐标代入 得， 解得 当时，该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． （2）当时，得． 解得． 答：该用户5月用了14.5吨水． 【经典例题十四 其他问题】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知一款商务签字笔购买数量x（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（    ） 购买数量（支） 1 2 3 4 … 应付钱数（元） 15 30 45 60 … 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A．只有小明的对 B．只有小亮的对 C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的理解，函数的图表表示和解析式表示，熟练掌握定义，正确表示是解题的关键．根据表格数据，判断应付钱数是否为自变量的函数，并验证函数解析式的正确性． 【详解】解：由表格可知，每有一个确定的购买数量（支），对应唯一的应付钱数（元）．例如，时，时，依此类推．根据函数的定义，因变量是自变量的函数，因此小明的结论正确． 小亮给出的解析式为． 当时，代入得，但实际表格中，矛盾． 观察表格数据，与的比值恒为15，说明与成正比例关系，正确解析式应为．因此小亮的结论错误． 综上，只有小明的结论正确， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡每张480元． 方案一的租金（元），方案二的租金（元）与租用件数x（件）之间的函数关系如图所示． (1)长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是多少元？ (2)若该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种优惠方式更合算？ 【答案】(1)长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是120元 (2)若该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择方案二更合算 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）根据方案一、方案二两店的租用方式即可用x式表示和的函数解析式，再根据当时，求出即可解答； （2）根据（1）中关系式将分别代入即可求解． 【详解】（1）解：设长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是元， 由题意，得， 因为当时，， 所以，解得， 所以长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是120元． （2）解：由（1）可得，方案一所需的总费用与之间的函数关系式为； 方案二所需的总费用与之间的函数关系式为， 将代入，解得； 将代入，解得． 因为， 所以若该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择方案二更合算． 1．（24-25八年级下·四川广元·期末）购买一些笔记本，单价为5元，总价y（元）与购买笔记本的数量x（本）的函数关系式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列函数关系式，根据总价单价数量的基本关系，直接建立函数关系式． 【详解】解：由题意，单价为5元/本，购买x本的总价y（元）应为单价乘以数量，即． 故选：A． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，当时，的值为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．理解题意是关键．依据题意，先求出时的函数关系式，然后将代入计算可以得解． 【详解】解：设当时的直线解析式为：， 由条件可得． 解得． ∴直线解析式为． 令， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）某水库的水位在一个时间段内持续上涨，初始水位高度为，水位以每小时的速度匀速上升，则水库的水位与上涨时间之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数关系式，根据题中水位以每小时的速度匀速上升列出关系式为解题的关键． 根据“高度等于速度乘以时间加上初始高度”列出关系式即可． 【详解】解：根据题意可得：． 故答案为：． 4．（2025·陕西咸阳·二模）某旅游景区的票价为160元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织（）人去该景区旅游，购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中与之间的函数关系式； (2)某单位共30人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)； (2)选择方案二更优惠，见解析 【分析】（1）费用等于单价乘以人数，只需确定各自方案中的单价，然后列式解答即可； （2）根据解析式，分别计算两种方案的费用，比较解答即可． 本题考查了函数的表达式，函数值的计算与比较，熟练掌握函数的表达式，求函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：票价为160元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元， 故； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为， 总费用为：． （2）解：当时，，． ， 选择方案二更优惠． 【拓展训练一 一次函数与方程、不等式的交点相关问题】 【例1】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数（是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．方程的解是 D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； 、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； 、由函数图象可知，当时，，所以方程的解是，该选项说法正确，符合题意； 、由函数图象可知，当时，，所以不等式的解集是，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象分别交轴和轴于点和，另一个一次函数的图象分别交轴和轴于点和，且两个函数的图象交于点． (1)当为何值时，和的图象重合？ (2)当且时，成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，和的图象重合； (2)． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正解题意是解题的关键． （1）把代入求得，得到，于是得到结论； （2）根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴， ∴． ∵和的图象重合， ∴， ∴． ∴时，和的图象重合； （2）解：∴， ∴， ∴， 如图： ∵，即且时，成立， ∴由图象，得， ∴． 1．（24-25八年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数（为常数）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质及一次函数与一元一次方程，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据函数的图象直接进行解答即可． 【详解】解：由函数的图象可知， A、当时，，原说法错误，不符合题意； B、方程的解是，原说法错误，不符合题意； C、当时，，正确，符合题意； D、不等式的解集是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，若一次函数与的图象交于点，根据图象回答，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据一次函数的图象特征，结合交点坐标和函数与ⅹ轴的交点，确定不等式的解集．根据一次函数图象交点的意义，交点是两函数值相等的点；结合、的性质，判断当或时两函数的大小关系；找到函数与x轴的交点，确定其函数值大于0时x的范围；综合两者得出不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点 ∴当时，． ∵观察图像增减性可知 ∴当时，当时，（根据一次函数增减性：时y随x增大而减小，时y随x增大而增大）． 由图象可知，函数与x轴的交点横坐标为4，即当时，． 要满足不等式需同时满足和即 与的交集，即． 故选：D． 3．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了一次函数图象，先根据直线与y轴的交点位置可对①选项进行判断；根据一次函数的性质对②选项进行判断；根据交点坐标的意义可对③进行判断；结合函数图象写出一次函数的图象在的图象上方的取值范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数与的图象分别交y轴于点，， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第二、四象限， ， 一次函数的图象经过第一、三象限， ， ，所以②错误； 一次函数与的图象的交点P的横坐标为1， ，所以③正确； 当时，，所以④选项符合题意． 故答案为：①③④． 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，直线与直线相交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的交点问题等知识点，灵活利用数形结合的思想解答问题是解题的关键． （1）将代入可求得，即；将代入即可求得k的值； （2）当时得到一元一次方程，求得点B的横坐标即可； （3）根据函数图象可以直接写出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：将代入可求得，即； 将代入可得，解得：． （2）解：由（1）可得， 当时，有，解得： ∴点B的坐标为； （3）解：如图：直线与直线相交于点， 则由图象可知：的解集是． 【拓展训练二 图象法在一次方程中的综合应用】 【例1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝﹣x﹣2的图象，并利用图象解决下列问题： （1）求方程﹣x﹣2＝0的解； （2）求不等式﹣x﹣2＜0的解集； （3）若﹣4≤y≤2，求x的取值范围． 【答案】（1）x＝﹣3；（2）x＞﹣3；（3）3≥x≥﹣6． 【分析】利用描点法画出一次函数y＝﹣x﹣2的图象， （1）由直线与x轴的交点坐标确定方程﹣x﹣2＝0的解； （2）由x轴下方所对应的自变量的范围确定不等式的解集； （3）由图象确定y＝2和y＝﹣4对应的自变量的值，从而得到对应的x的取值范围． 【详解】解：如图，过点（−3，0），（0，−2）画出函数y＝﹣x﹣2的图象， （1）∵直线y＝﹣x﹣2与x轴的交点坐标为（−3，0）， ∴方程﹣x﹣2＝0的解为x＝﹣3； （2）如图，∵x＞﹣3时，y＜0， ∴﹣x﹣2＜0的解集为x＞﹣3； （3）如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象过点（−6，2），（3，−4）， ∴当﹣4≤y≤2时，3≥x≥﹣6． 【点睛】本题属于一次函数的综合问题，考查了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图形发现它们之间的关系． 1．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，现有以下结论： ①当x＝﹣2时，两函数值相等； ②直线y＝﹣x+m与坐标轴围成的是等腰直角三角形； ③直线y＝nx+4n（n≠0）与x轴的交点为定点； ④x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集； 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据两直线的交点坐标判断两函数值是否相等；根据直线与坐标轴的交点坐标，判断三角形的形状；根据直线与x轴的交点坐标，判断交点是否为定点；根据直线的上、下位置关系，判断不等式的解集是否正确． 【详解】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2， ∴当x＝﹣2时，两函数值相等，故①正确； ∵在直线y＝﹣x+m中，当x＝0时，y＝m，当y＝0时，x＝m， ∴直线与坐标轴的交点离原点的距离都等于m， 即直线y＝﹣x+m与坐标轴的围成等腰直角三角形，故②正确； ∵直线y＝nx+4n（n≠0）中，当y＝0时，x＝﹣4， ∴直线与x轴交于定点（﹣4，0），故③正确； ∵由图象可得，当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方， ∴x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＜nx+4n的解集，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了一次函数的性，两直线的交点问题，直线与坐标轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)无数解 (2)无解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图象交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． （1）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解； （2）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解． 【详解】（1）解：画出图象如图①所示． 两条直线重合，有无数个交点，故方程组有无数组解． （2）解：新画出图象如图②所示． 两条直线平行，没有交点，故方程组无解． 【拓展训练三 一次函数的实际应用】 【例1】（2024九年级下·江西九江·专题练习）华氏温度规定：在一个标准大气压下，纯净的冰水混合物的温度为，（，读作华氏度），将（，读作摄氏度）之间划分为180等份，每一等份就是，已知与的换算公式为：．根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．相当于 B．每增加，相当于增加 C．华氏度与摄氏度是一次函数关系 D．小明的体温为，他的体温约为 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据与的换算公式为，结合一次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故相当于，此选项正确； B、由与的换算公式可得，每增加，相当于增加，此选项错误； C、由与的换算公式可得，华氏度与摄氏度是一次函数关系，此选项正确； D、当时，，解得，故小明的体温为，他的体温约为，此选项正确； 故选：B． 【例2】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）在今年的全国两会上，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，目的就是在全社会形成重视体重、管好体重，健康饮食、积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯．已知在一定范围内，标准体重y（单位：）与身高x（单位：）之间符合一次函数关系，其部分对应值如表（粗略估计标准体重）： 身高 160 161 162 … 标准体重 54 54.9 55.8 … (1)求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)在（1）的条件下，已知小军和小明的身高相差，求他们的标准体重相差多少？ 【答案】(1)； (2)他们的标准体重相差． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）根据表格中的数据，可以计算出y和x之间的函数关系式； （2）根据小军和小明的身高相差，设小军的身高为，则小明的身高为，然后根据一次函数表达式分别表示出小军和小明的标准体重，再表示出他们的标准体重差，最后化简即可获解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，）， 由表格可知：，在该函数图象上， 解得 y与x之间的函数关系式为． （2）解：不妨设小军的身高为，则小明的身高为， 小军的标准体重， 小明的标准体重， ． 他们的标准体重相差． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数表达式，解题关键是掌握找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数表达式． 【详解】解：设边的长为，边的长为， ∵菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 又， ∴，解得：， ∴， ∴，且， 故选：B． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，将“一个圆柱形的空玻璃杯固定在一个与其形状相同的无水鱼缸内”看作一个容器．现对准玻璃杯杯口匀速注水，直到容器注满为止，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部中央．则能刻画容器最高水位h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握函数的图象是解题关键．设圆柱形的空玻璃杯的高度为厘米，注入水的速度为厘米/分，分三种情况：①在将水匀速注满圆柱形的空玻璃杯前、②在水注满圆柱形的玻璃杯后，且水位未超过圆柱形的玻璃杯的高度前、③当水位超过圆柱形的玻璃杯的高度后，据此求解即可得． 【详解】解：设圆柱形的空玻璃杯的高度为厘米，注入水的速度为厘米/分， 由题意可知，①在将水匀速注满圆柱形的空玻璃杯前，，是一条经过原点的直线的一部分； ②在水注满圆柱形的玻璃杯后，且水位未超过圆柱形的玻璃杯的高度前，，是平行于轴的直线的一段； ③当水位超过圆柱形的玻璃杯的高度后，容器最高水位开始匀速上升，但由于鱼缸的底面大于玻璃杯的底面，所以此时水位匀速上升的速度比开始慢，与的函数图象是直线的一部分； 故选：A． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如下表： 鞋号（码） … 33 34 35 36 37 … 脚长（毫米） … … 若小华的脚长为259毫米，则他的鞋号（码）是 ． 【答案】42 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，从表格中的数据可得脚长鞋码，如果设脚长为，鞋码为x码，则，将代入之中求出x即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴脚长鞋码， 如果设脚长为，鞋码为x码； 则， 将代入，得：， 解得：， ∴由表格得他的鞋号（码）是42． 故答案为：42． 4．（2025·浙江·模拟预测）某校安装了直饮水器，课间学生到直饮水器打水，先同时打开全部水龙头，后关闭若干个水龙头．假设每人水杯接水升，前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量升与接水时间分的函数图象如图． (1)当时，求y与x之间的函数关系式； (2)要使40名学生接水完毕，请问10分钟是否够用？请说明理由． 【答案】(1)； (2)分钟够用，见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据函数图象中的数据，可以计算出当时，y与x之间的函数关系式； 将代入中的关系式，求出相应的y的值，然后用30减此时y的值，再与40名学学生的用数量比较大小即可． 【详解】（1）设当时，y与x之间的函数关系式为， 点，在该函数图象上， ，解得， 即当时，y与x之间的函数关系式为； （2）分钟够用， 理由：将代入，得：， ，， ， 分钟够用． 1．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． 【详解】解：根据函数图象可得与轴交于点 ∴关于x的方程的解， 故选：B． 2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）“这么近那么美，周末到河北”，河北某文旅公司推出野外宿营活动，有以下两种优惠方案．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） 方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠； 方案二：所有人都按六折优惠． A． B．原票价为480元/人 C．方案二中y关于x的函数解析式为 D．当时，方案一比方案二优惠 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中获取有效的信息，求出函数图象解析式是解题关键．本题求出两种方案的解析式，选项逐一进行判断即可． 【详解】A、由图象可知：会员卡的费用为400元，，故本选项不符合题意； B、方案二：2人花费480元，单人票价为240元， 原票价为：元，故本选项不符合题意； C、方案二单人票价为240元 方案二的解析式为：，故本选项不符合题意； D、由题意得：方案一单人票价为：元 方案一的解析式为：， 当，即：时，方案一比方案二更优惠，故本选项符合题意 故选D． 3．（23-24八年级下·四川攀枝花·期末）如图，某游客为爬上千米的山顶看日出，先用小时爬了千米，休息小时后，再用小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解题意，图示中函数图形的横坐标、纵坐标表示的含义分析即可求解． 【详解】解：先用小时爬了千米，休息小时后，再用小时爬上山顶， ∴符合题意的函数图象是D选项， 故选：D ． 4．（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程之间的关系，解题的关键是正确理解直线上的点与方程解的对应关系． 根据直线上的点与方程解的对应关系即可求解． 【详解】∵直线经过点， ∴时，， ∴方程的解为， 故选：． 5．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解此题的关键． 根据函数图象得出两函数的交点坐标，再得出不等式的解集即可． 【详解】解：∵两函数图象的交点坐标是， ∴从图象可知：关于x的不等式的解集是． 故选：A． 6．（24-25八年级下·河北衡水·期末）在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（   ） A．300 B．400 C．360 D．320 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，先分别分析三条边上的整数点数目并求和即可．解题的关键是注意避免重复计算顶点． 【详解】解：令， 解得：， 把代入得：， ∴两条直线的交点为， 把分别代入，得：，， ∴直线与直线与y轴的交点坐标分别为：，， ∴y轴上的“美点”有； 对于，当x为偶数时，为整数，当时，最大偶数为，因此在上有“美点”的个数为：（个）， 对于，当x整数时，为整数，当时，最大整数为，因此在上有“美点”的个数为：个， ∴“美点”的个数为：（个）． 故选：B． 7．（2023·陕西西安·模拟预测）若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（　　） A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3） 【答案】A 【分析】根据对称的性质得出两个点关于直线x＝1对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出交点坐标即可． 【详解】解：∵直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），关于直线x＝1对称， ∴点（﹣1，0）关于直线x＝1对称点为（3，0）， 点（2，2）关于直线x＝1对称点为（0，2）， ∴直线l1经过点（﹣1，0），（0，2），l2经过点（2，2），（3，0）， ∴直线l1的解析式为：y＝2x+2，直线l2的解析式为：y＝﹣2x+6， 解方程组得， ∴l1和l2的交点坐标为（1，4）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与y轴的交点是解题关键． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一次函数的基本性质及交点和三角形面积问题，根据题意得出，，结合图形计算面积即可，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点方法是解题关键 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∵一次函数, ∴当时，， 解得： ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 边上的高即为点A的纵坐标1， ∴的面积为：， 故选：B 9．（江西省赣州市2023-2024学年初中数学教师基本功比赛试卷）从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q（），构成函数和，使两个函数图象的交点在直线的左侧，则这样的有序数组共有（   ）组． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一元一次不等式的解集，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 联立解析式表示出交点的横坐标，然后根据交点的位置列出不等式，分析不等式的解集即可得出答案． 【详解】解：联立解析式和， 解得， ∵两个函数图象的交点在直线的左侧， ∴， 根据可取值为：2,3,4,5， ∴， ∴， 整理得， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，可取2，3； 当时，，可取2，3，4； ∴这样的有序数组共有5组， 故选：C． 10．（24-25八年级下·福建莆田·期末）在一条沿山而建的游览路线上依次有三处观景台，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，到达处后休息1分钟，然后立即折返（折返时间忽略不计）按原路原速前往处，结果小圆比小方早2分钟到达处，两人均匀速运动，如图是两人距处路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象．根据上述信息，下列说法错误的是（   ） A．小方的速度为米/分钟 B．小圆的速度为300米/分钟 C．线段所在直线函数解析式为 D．出发分钟或分钟后，两人之间路程相距200米 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用、路程速度时间的关系等知识，利用速度路程时间，找准小方、小圆的路程和时间，可求出小方、小圆的速度；得出点G的坐标，设直线的解析式为：，将F，G的坐标代入，求解方程组即可得线段所在直线函数解析式；两人之间路程相距200米，根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴小圆的速度为：（米/分钟）， 故选项B正确； ∴小圆从B地到C地用时：（分钟）， ∴， ∴， ∴小方的速度为（米/分钟）， 故选项A正确； 设线段所在直线函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴线段所在直线函数解析式为， 故选项C正确； 由题意可知，相距300米，相距900米， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 当时，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，即小方、小圆朝相反方向走， ∴令， 解得， ∵当时，小方从处徒步前往处，小圆从处往处骑行， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∵当时，小方从继续徒步前往处，小圆从处往处骑行， ∴或， 解得或． 综上，出发分钟或分钟或分钟后，两人之间的路程相距200米， 故选项D错误． 故选：D． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生长情况，得到该植物高度y（单位：cm）与观察时间x（单位：天）的函数关系如图所示．已知，轴，则第6天该植物的高度为 cm． 【答案】10 【分析】该题主要考查了一次函数的应用．求出植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数解析式，再求出时，对应的的值即可； 【详解】解：根据题意设线段的函数解析式为， 将代入得， ， ∴线段的函数解析式为， ∵，轴， ∴， 设的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴的解析式为， 当时，， ∴第天该植物的高度为厘米． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的图象与x轴的交点的横坐标为的解，由此可解． 【详解】解：关于x的方程的解为， 一次函数的图象与x轴的交点坐标为． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·广西柳州·开学考试）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据函数图象求不等式的解集． 由图可知，一次函数经过，且，则，可知，进而可得，计算即可． 【详解】解：由图可知，一次函数经过，且 ∴， 即， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）图中两直线与的交点P的坐标可以看成是方程组 的解． 【答案】 【分析】 考查一次函数与二元一次方程组的关系；用到的知识点为：两条直线的交点，可看作是两直线解析式组成的二元一次方程组的解．用待定系数法求得两条直线的解析式，组成方程组即可． 【详解】 解：设的解析式为， ， 解得， ∴． 设的解析式为， ， 解得， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②一次函数的图象与线段有公共点； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质即可判断． 【详解】解：①当代入，得到， 一次函数的图象交轴于点， ， 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 那么当时，一次函数的图象与线段有公共点，其交点在线段上（不含，）， 如图所示： 故①说法正确； ②当代入，得到，当代入，得到，如图所示： 所以一次函数的图象与线段没有公共点，故②错误； ③当时，一次函数 当时，；当时，； 那么一次函数一定过，， ， 那么当时，，当代入，得到，此时交线段于点， 当时，，代入，得到，此时交线段于点， 画出图象，如下图所示： 可知当时，一次函数的图象与线段有公共点； 故③正确； ④当时， 不妨设，那么一次函数． 当时，； 当时，，如图所示： 那么一次函数的图象与线段没有公共点． 故④错误； 故答案为：①③； 16．（23-24八年级下·四川德阳·期末）在平面直角坐标系中画出函数y＝2x－4的图象，并确定当x取何值时y＞0. 【答案】见解析 【详解】【分析】令x=0，y=0分别求出y＝2x－4与坐标轴的交点，过这两点画直线即可得得函数的图象，然后利用函数图象即可得出当x取何值时y＞0. 【详解】如图， 观察图象可知，当x＞2时，y＞0. 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，主要利用了一次函数图象与坐标轴的交点的求法，以及两点法作一次函数图象． 17．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和不等式，数形结合分析问题是解题关键； 根据图象可知，当 时， 的图象在 函数的图象下方； 【详解】解：∵函数的图象与函数的图象交于点， 当 时， 的图象在 函数的图象下方，则； ∴不等式的解集为. 故答案为：. 18．（24-25八年级上·全国·期中）如果一次函数的图象与正比例函数的图象交点在第一象限，求b的取值范围． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数图象的交点问题和解一元一次不等式组．联立一次函数解析式求出交点坐标，再根据交点在第一象限列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：解关于x、y的方程组得， 交点为， ∵一次函数和的图象的交点在第一象限， ∴， ∴， 解得． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线l交于点E，且三角形的面积为3． (1)求直线的函数表达式． (2)求直线l的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，求解一次函数的解析式； （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）由的面积可得E的纵坐标，再代入直线解析式可得E点的横坐标，再利用待定系数法求直线的解析式． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 则有，解得， 所以直线的函数表达式为． （2）因为， 所以，所以，解得． 将代入，得， 解得，所以． 设直线的函数表达式为， 则有解得 所以直线的函数表达式为． 20．（22-23九年级下·湖北荆门·自主招生）为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨． 接收地 出发地 地 地 甲厂 乙厂 (1)直接写出的取值范围： ． (2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？ (3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值． 【答案】(1) (2)从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防 疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元 (3)百元 【分析】（）由题意可得从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，进而列出不等式组解答即可求解； （）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解； （）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，再分、和三种情况，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵从甲厂运往地防疫物资吨， ∴从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往 地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物 资吨， 则， 解得， 故答案为：； （2）解：设总费用为百元， 根据题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最小，最小值为百元， ∴从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元； （3）解：设总费用为百元， 根据题意得，， 当，即时，随的增大而减小， ∵， ∴时，的值最小，最小值为百元； 当，即时，百元； 当，即时，随的增大而增 大， ∴当时，的值最小，最小值为， 当时，， 此时的最小值为百元； 综上所述，总运费可以达到的最小值是百元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.4 一次函数与方程、不等式重难点题型专训 （5个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 题型九 一次函数与几何综合 题型十 分配方案问题 题型十一 最大利润问题 题型十二 行程问题 题型十三 梯度计价问题 题型十四 其他问题 拓展训练一 一次函数与方程、不等式的交点相关问题 拓展训练二 图象法在一次方程中的综合应用 拓展训练三 一次函数的实际应用 知识点一：一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程的解⇔函数中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程的解⇔函数的图像与x轴交点的横坐标. 【即时训练】 1．（2025·甘肃陇南·一模）若直线经过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 知识点二：一次函数与一元一次不等式 思路：任何一个一元一次不等式都能写成的形式. 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2.（2025·湖北省武汉市模拟题）如图，一次函数y=kx+b（k0）的图像与x轴交于点(2,0)，且函数值y随x的增大而减小，则不等式kx+b>0的解集为______。 知识点三：一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程都能写成的形式，因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于、的方程组的解是(　　) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知关于，的方程组的解是，则函数和的图象交点坐标为 ． 知识点四：一次函数与实际问题 1.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 3.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图是某超市叠放的购物车、小艺同学尝试探究购物车的车身总长单位：米与购物车数量单位：辆之间的关系，她测得几组数据如下表所示： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 6 … 车身总长y米 … 下列结论正确的是（ ） A．y是x的正比例函数 B． C．当时， D．当时， 2．（2024·江苏淮安·中考真题）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 知识点五：求最值的本质为求最优方案，解法有两种 1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； 2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【即时训练】 1．（2025·陕西延安·二模）某非遗传承人出售手工刺绣手帕，每条15元，若一次性购买超过8条，超出部分每条按10元出售．小悦有150元准备购买这种刺绣手帕，她最多能购买的手帕条数为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ． 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图像如图所示，已知A，B两点的坐标分别为，，观察图像回答下列问题： (1)关于x的一元一次方程的解是____________； (2)若C点的坐标为，则关于x的不等式的解集是____________； (3)关于x的不等式组的解集是____________． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数是常数且中，x与y的部分对应值如表： x 0 1 2 3 y 3 2 1 则关于x的方程的解是(   ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）一次函数的图象如图所示，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C．2 D．0 3．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知一次函数(，是常数且)，与的部分对应值如表；那么方程的解是 ． 4．（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知一次函数的图像如图所示，直线与x轴的交点坐标是，利用函数图像回答： (1)当取何值时，？ (2)当取何值时，？ 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点和点． (1)求出该一次函数的解析式； (2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 4．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）一次函数的图象经过点和两点． (1)求出该一次函数的表达式； (2)若直线AB与x轴交于点C，求的面积． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： (1)关于x的方程的解是 ； (2)关于x的方程的解是 ； (3)当时，y的取值范围是 ． 1．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是 ． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例1】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）一次函数的图象如图，则当时，函数值的范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象：当时，写出x的取值范围． 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象过点，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图函数、为常数，的图象如图，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）一次函数（k，b为常数，）的图像如图所示，那么关于x的不等式的解集是 ． 4．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知一次函数解答下列问题： (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图像； (2)观察图像，当时，写出x的取值范围． 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例1】（2025·湖北孝感·三模）如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线分别交轴、轴于点．直线分别交轴、轴于点，与直线相交于点．已知． (1)直接写出直线的表达式：_________． (2)求时，x的取值范围． 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知一次函数与的图象相交于一点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）若一次函数的图象如图所示，点在函数图象上，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，若直线与直线交于A点，则不等式的解集为 ． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数（为常数，且）与的图象交于点，点的横坐标为2． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【经典例题六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若一次函数和的图象的交点坐标是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）在平面直角坐标系中，两条直线，交于点A． (1)求A点坐标； (2)在如图所示的坐标系中画出这两条直线的大致图象，根据图象写出的解集． 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知直线与直线交点的坐标为，则方程组（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 4．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）已知两直线，，在同一平面直角坐标系中，且经过两点． (1)求直线的表达式； (2)求两直线的交点坐标． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例1】（22-23八年级下·四川眉山·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·全国·假期作业）利用函数图象解方程组． 1．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象， 则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）利用一次函数的图象解二元一次方程组：． 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例1】（2025·湖南长沙·一模）如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求的面积． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为 ． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与轴交于点． (1)求该函数解析式； (2)求的面积． 【经典例题九 一次函数与几何综合】 【例1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，点A、D分别在直线和上，轴，B、C都在x轴上，且四边形是长方形，已知点B的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、． (1)求点A、B的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 1．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，在长方形中，，点P是边上的动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点D出发以的速度向点C运动，则的面积与点P的运动时间间的函数关系式为（   ） A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点 在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，若直线与线段有公共点，则 的取值范围是 ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，是原点，已知点．直线是一次函数的图象． (1)当时，求直线与轴的交点坐标； (2)当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围． 【经典例题十 分配方案问题】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【例2】（24-25八年级下·四川广安·期末）某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分．现积分超市推出以下两种活动： 活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分： 活动二：兑换一本笔记本送两枚书签． 李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签x枚（）． (1)请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分y，y与书签x（枚）之间的函数关系式； (2)若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选择哪种活动更优惠． 1．（23-24八年级·全国·假期作业）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 2．（23-24八年级下·湖北黄冈·期末）某公司手机话费收费有 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）和 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）两种．当月通话时间为（    ）时，， 两种套餐收费一样． A． 分钟 B． 分钟 C． 分钟 D． 分钟 3．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期末）2019年1月18日，重庆经开区新时代文明实践“五进企业”系列活动----2019年新春游园会成功矩形，这次新春游园会的门票分为个人票和团体票两大类其中个人票设置有三种，票得种类 夜票(A) 平日普通票（B）指定日普通票（C）某社区居委会欲购买个人票100张,其中B种票的张数是A种票的3倍还多8张，设购买A种票的张数为x，C种票张数为y，则化简后y与x之间的关系式为： （不必写出x的取值范围） 4．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）新能源汽车不仅能缓解城市空气污染，还能优化电网负荷．某新能源汽车充电站白天时段（）每度电元，为增加人气，该充电站提供两种优惠方案． 方案一：白天时段每度电享受九折优惠． 方案二：先花元购买一次性充电优惠卡（充电费额外计算），然后白天时段每度电享受七五折优惠． (1)请分别写出方案一的充电费用（元）、方案二的充电费用（元）与充电数量（度）之间的函数表达式． (2)小张的爸爸某天白天来到该充电站给新能源汽车充电，请你帮小张的爸爸想想选择哪种方案更划算． 【经典例题十一 最大利润问题】 【例1】（23-24七年级下·山东济南·期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【例2】（24-25九年级上·广东韶关·期中）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克，设每千克涨价元，销售量为千克． (1)求出与的函数关系； (2)当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 1．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京丰台·二模）某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需 元． 4．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 【经典例题十二 行程问题】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）在劳动节期间，甲、乙两人相约一起去爬山，爬山过程中，甲先爬了100米后，乙才开始追赶甲，乙爬了2分后，速度变成甲爬山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙爬山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息有下列说法：①甲的爬山速度为10米/分；②；③当乙爬了分后，甲、乙相遇；④甲、乙相遇后，甲再经过1分与乙相距20米，其中正确的有（   ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）周六，小峰去博物馆参观学习．他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系．根据图象完成下列各题 (1)在这个过程中，自变量是__________，因变量是__________； (2)点A表示的是什么？小峰在博物馆参观了多少分钟？ (3)小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？ 1．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）甲、乙两车沿同一条路同时出发前往B地，甲车到达B地后立即以原速沿原路返回，乙车到达B地后停止运动．两车距B地的距离，与甲车行驶时间的函数图象如图所示，下列正确的是（      ） A． B． C．返程时 D．两次相遇的时间间隔为 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）为了参加2025“奔跑江淮”和美乡村健康跑（庐江冶父山站），大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．如图中的折线表示前两次相遇，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系的图象，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）周末，小光一家人准备去体育中心，爸爸为了锻炼身体骑自行车以15的速度先从家出发，15后妈妈开车带着小光从家出发沿同一路线追赶，爸爸到达3后，妈妈带着小光赶到，如图是小光一家所走路程与爸爸的出发时间的函数关系图象，则在第25时，小光和爸爸相距 ． 4．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）汽车由南京驶往相距的上海，它的平均速度为． (1)写出汽车距上海的路程s（单位：）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式； (2)指出自变量t的取值范围； (3)当汽车行驶时，汽车距离上海多远？ 【经典例题十三 梯度计价问题】 【例1】（2025·山西临汾·二模）某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 【例2】（25-26八年级上·全国·期中）某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 1．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）某市规定每户每月用水量不超过吨，每吨价格元；用水量超过吨时，超过部分每吨水价为元．下图中能表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过千克收费元，超过千克的部分每千克收费元，设快递物品的重量为千克，那么从大连发快递到北京的快递费（元）与物品重量（千克）的函数表达式为 ． 4．（2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 【经典例题十四 其他问题】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知一款商务签字笔购买数量x（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（    ） 购买数量（支） 1 2 3 4 … 应付钱数（元） 15 30 45 60 … 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A．只有小明的对 B．只有小亮的对 C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡每张480元． 方案一的租金（元），方案二的租金（元）与租用件数x（件）之间的函数关系如图所示． (1)长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是多少元？ (2)若该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种优惠方式更合算？ 1．（24-25八年级下·四川广元·期末）购买一些笔记本，单价为5元，总价y（元）与购买笔记本的数量x（本）的函数关系式可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，当时，的值为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 3．（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）某水库的水位在一个时间段内持续上涨，初始水位高度为，水位以每小时的速度匀速上升，则水库的水位与上涨时间之间的函数关系式是 ． 4．（2025·陕西咸阳·二模）某旅游景区的票价为160元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织（）人去该景区旅游，购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中与之间的函数关系式； (2)某单位共30人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【拓展训练一 一次函数与方程、不等式的交点相关问题】 【例1】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数（是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．方程的解是 D．不等式的解集是 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象分别交轴和轴于点和，另一个一次函数的图象分别交轴和轴于点和，且两个函数的图象交于点． (1)当为何值时，和的图象重合？ (2)当且时，成立，求的取值范围． 1．（24-25八年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数（为常数）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，若一次函数与的图象交于点，根据图象回答，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有 ． 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，直线与直线相交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【拓展训练二 图象法在一次方程中的综合应用】 【例1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【例2】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝﹣x﹣2的图象，并利用图象解决下列问题： （1）求方程﹣x﹣2＝0的解； （2）求不等式﹣x﹣2＜0的解集； （3）若﹣4≤y≤2，求x的取值范围． 1．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，现有以下结论： ①当x＝﹣2时，两函数值相等； ②直线y＝﹣x+m与坐标轴围成的是等腰直角三角形； ③直线y＝nx+4n（n≠0）与x轴的交点为定点； ④x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集； 其中正确的是 （填写序号）． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【拓展训练三 一次函数的实际应用】 【例1】（2024九年级下·江西九江·专题练习）华氏温度规定：在一个标准大气压下，纯净的冰水混合物的温度为，（，读作华氏度），将（，读作摄氏度）之间划分为180等份，每一等份就是，已知与的换算公式为：．根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．相当于 B．每增加，相当于增加 C．华氏度与摄氏度是一次函数关系 D．小明的体温为，他的体温约为 【例2】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）在今年的全国两会上，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，目的就是在全社会形成重视体重、管好体重，健康饮食、积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯．已知在一定范围内，标准体重y（单位：）与身高x（单位：）之间符合一次函数关系，其部分对应值如表（粗略估计标准体重）： 身高 160 161 162 … 标准体重 54 54.9 55.8 … (1)求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)在（1）的条件下，已知小军和小明的身高相差，求他们的标准体重相差多少？ 1．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，将“一个圆柱形的空玻璃杯固定在一个与其形状相同的无水鱼缸内”看作一个容器．现对准玻璃杯杯口匀速注水，直到容器注满为止，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部中央．则能刻画容器最高水位h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如下表： 鞋号（码） … 33 34 35 36 37 … 脚长（毫米） … … 若小华的脚长为259毫米，则他的鞋号（码）是 ． 4．（2025·浙江·模拟预测）某校安装了直饮水器，课间学生到直饮水器打水，先同时打开全部水龙头，后关闭若干个水龙头．假设每人水杯接水升，前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量升与接水时间分的函数图象如图． (1)当时，求y与x之间的函数关系式； (2)要使40名学生接水完毕，请问10分钟是否够用？请说明理由． 1．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）“这么近那么美，周末到河北”，河北某文旅公司推出野外宿营活动，有以下两种优惠方案．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） 方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠； 方案二：所有人都按六折优惠． A． B．原票价为480元/人 C．方案二中y关于x的函数解析式为 D．当时，方案一比方案二优惠 3．（23-24八年级下·四川攀枝花·期末）如图，某游客为爬上千米的山顶看日出，先用小时爬了千米，休息小时后，再用小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·河北衡水·期末）在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（   ） A．300 B．400 C．360 D．320 7．（2023·陕西西安·模拟预测）若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（　　） A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3） 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 9．（江西省赣州市2023-2024学年初中数学教师基本功比赛试卷）从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q（），构成函数和，使两个函数图象的交点在直线的左侧，则这样的有序数组共有（   ）组． A．3 B．4 C．5 D．6 10．（24-25八年级下·福建莆田·期末）在一条沿山而建的游览路线上依次有三处观景台，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，到达处后休息1分钟，然后立即折返（折返时间忽略不计）按原路原速前往处，结果小圆比小方早2分钟到达处，两人均匀速运动，如图是两人距处路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象．根据上述信息，下列说法错误的是（   ） A．小方的速度为米/分钟 B．小圆的速度为300米/分钟 C．线段所在直线函数解析式为 D．出发分钟或分钟后，两人之间路程相距200米 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生长情况，得到该植物高度y（单位：cm）与观察时间x（单位：天）的函数关系如图所示．已知，轴，则第6天该植物的高度为 cm． 12．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 13．（24-25九年级上·广西柳州·开学考试）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 14．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）图中两直线与的交点P的坐标可以看成是方程组 的解． 15．（25-26九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②一次函数的图象与线段有公共点； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是 （填序号）． 16．（23-24八年级下·四川德阳·期末）在平面直角坐标系中画出函数y＝2x－4的图象，并确定当x取何值时y＞0. 17．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为________． 18．（24-25八年级上·全国·期中）如果一次函数的图象与正比例函数的图象交点在第一象限，求b的取值范围． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线l交于点E，且三角形的面积为3． (1)求直线的函数表达式． (2)求直线l的函数表达式． 20．（22-23九年级下·湖北荆门·自主招生）为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨． 接收地 出发地 地 地 甲厂 乙厂 (1)直接写出的取值范围： ． (2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？ (3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $