专题12.3 一次函数的图象与性质重难点题型专训（4个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题12.3 一次函数的图象与性质重难点题型专训 （4个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 识别一次函数 题型二 根据一次函数的定义求参数 题型三 求一次函数自变量或函数 题型四 列一次函数解析式并求值 题型五 判断一次函数的图象 题型六 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型七 已知函数经过的象限求参数范围 题型八 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型九 画一次函数图象 题型十 一次函数图象平移问题 题型十一 判断一次函数的增减性 题型十二 根据一次函数增减性求参数 题型十三 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型十四 比较一次函数值的大小 题型十五 一次函数的规律探究问题 题型十六 求一次函数解析式 拓展训练一 一次函数的求参相关问题 拓展训练二 一次函数的图象及其应用 拓展训练三 一次函数增减性的综合问题 知识点一：一次函数的定义 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数. 【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 一次函数的一般形式：. 特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 【即时训练】 1．（2025·江苏盐城·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于（     ） A． B． C．3 D．5 2．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）若函数是一次函数，则的值为 ． 知识点二：一次函数的图像 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线. 一次函数的图像画法（两点法）：为了方便，画一次函数的图像，只需过图像上两点作直线即可，一般取(0，b)，两点.（依据：两点确定一条直线）. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西长治·期中）一次函数的图象向上平移3个单位长度后，与轴的交点坐标为 ． 知识点三：一次函数的性质 一次函数 k、b 的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 正比例函数与一次函数图像的关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移） 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y） 【即时训练】 1．（2025·安徽亳州·三模）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．3 2．（24-25八年级下·北京昌平·期中）若点，在一次函数图象上，则 （填，或）． 知识点四：待定系数法求一次函数解析式 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 【即时训练】 1．（2025·安徽阜阳·三模）无为板鸭是安徽的一道传统特色美食，制作无为板鸭需要经过木屑熏烤，某板鸭店的熏烤时间与鸭子的质量对应的部分数据如表： 鸭子的质量x/千克 … 1 2 … 熏烤时间t/分钟 … 10 18 26 … 已知熏烤鸭子的时间t是鸭子质量x的一次函数，则当时，t的值为（    ） A． B． C．58 D．60 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知直线与直线平行，且与轴交点的纵坐标为，则直线的解析式为 ． 【经典例题一 识别一次函数】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列函数中，不是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）已知与成正比例，当时，．请写出与之间的函数关系式，并判断是的什么函数？ 1．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）下列关于变量x、y的关系式中，y关于x是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）下列函数为一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有 ．（请填写序号） 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【经典例题二 根据一次函数的定义求参数】 【例1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）若是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A．1 B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如果函数是一次函数，那么m的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如果是一次函数，那么m的值是 ． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）当k为何值时，y=（k2+2k）是正比例函数． 【经典例题三 求一次函数自变量或函数】 【例1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·期中）已知与成正比例，当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当时，求x的值； (3)若点在该函数图象上，求m的值． 1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）下列的点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西·阶段练习）已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知一次函数，当时， ． 4．（2023八年级上·浙江嘉兴·竞赛）已知一次函数（k，b为常数，且）． (1)若此一次函数的图象经过，两点，求该一次函数的表达式； (2)若，点在该一次函数图象上，求证： 【经典例题四 列一次函数解析式并求值】 【例1】（24-25八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【例2】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 1．（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 3.（23-24七年级下·全国·单元测试）随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少．下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势 年  份 2006 2007 2008 … 入学儿童人数 2520 2330 2140 … （1）上表中 是自变量， 是因变量． （2）你预计该地区从 年起入学儿童的人数不超过1 000人． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过、两点． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【经典例题五 判断一次函数的图象】 【例1】（25-26八年级上·全国·期末）关于一次函数的图象，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列图象中，表示一次函数的有哪些？ 1．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）一次函数（a为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各点在一次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津北辰·一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，则这个函数的图象不经过的象限是 . 4．（22-23八年级下·新疆阿克苏·阶段练习）设一次函数（k，b为常数，且），图象过． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该一次函数图象上． 【经典例题六 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·湖北·期末）已知一次函数，它的图象经过点和． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)一次函数的图象不经过第 象限，y随x的增大而 ； (3)当时，直接写出自变量x的取值范围． 1．（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）一次函数函数值随的增大而增大，它的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·开学考试）已知一次函数，随的增大而增大，则该函数的图象一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）已知一次函数经过第一、二、四象限，则一定不经过第 象限． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知y关于x的函数y＝（1﹣3k）x＋2k﹣2，试回答： （1）k为何值时，图象过原点？ （2）当k＝0时，写出该函数图象经过的象限． 【经典例题七 已知函数经过的象限求参数范围】 【例1】（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则下列结论一定正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）已知一次函数． (1)m为何值时，直线经过原点？ (2)m为何值时，直线经过第一、二、三象限？ (3)m为何值时，直线不经过第三象限？ 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象不经过第四象限，那么一定满足（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）如果直线经过第二、三、四象限，那么常数b的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． (1)求m的值． (2)当时，求y的取值范围． 【经典例题八 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）下列一次函数图象中，每个点的坐标均可以看作是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·吉林·期末）已知一次函数的图象过点和． (1)求这个函数的解析式； (2)求该一次函数的图象与轴的交点坐标． 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（   ） A． B． C．2 D．4 2．（22-23八年级上·全国·期中）若一次函数的图象经过点，且与x轴和y轴的交点到原点的距离相等，那么它的解析式不可能是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东惠州·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ． 4．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 【经典例题九 画一次函数图象】 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 9 5 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（   ） A．9 B．5 C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）把下面画函数的图象的过程补充完整． 解：（1）列表如下： x … 0 1 2 3 …      … 4 … （2）画出的函数图象如下图所示． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）用描点法画一次函数图象时，某同学列了如下表格，有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） x 1 2 y 3 1 A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·福建漳州·期中）土地沙漠化是人类生存的大敌，某地原有绿地a万公顷，由于人们环保意识不强，植被遭到严重破坏，经观察前段时间土地沙化速度为0.1万公顷年，当人们意识到环境恶化的危害性之后，决定改变环境，以每年0.3万公顷的速度进行绿化，那么年以后该地的绿地面积与时间的关系可用下图中的哪一个来近似地刻画（   ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24八年级上·广东梅州·期中）若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过 象限． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出一次函数和的图象． 【经典例题十 一次函数图象平移问题】 【例1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）直线沿轴向右平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数，且）的图象经过点. (1)求一次函数的表达式； (2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式. 1．（2024·甘肃定西·模拟预测）一次函数的图像向下平移个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·开学考试）两直线与平行，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东惠州·开学考试）直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是 ． 4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数图象平行于直线，求的值． 【经典例题十一 判断一次函数的增减性】 【例1】（2023八年级上·全国·竞赛）下列函数中，y的值随着x值的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组、的对应值； 0 1 2 3 4 2 1 0 0 1 a 表中___________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究： ①观察图象，当___________时，函数有最小值为___________； ②除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质． 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北承德·期末）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知函数，当时，y的最大值是 ． 4．（23-24八年级下·吉林延边·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若，求的取值范围． 【经典例题十二 根据一次函数增减性求参数】 【例1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若是一次函数图象上不同的两点，且，则a 的取值范围为  （     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课前预习）一次函数，若y的值随着x的增大而增大，求k的取值范围． 1．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）如果一次函数的函数值y随x的增大而减小，那么实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）若一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·吉林延边·期末）已知函数． （1）若函数的图象平行于直线，求m的值； （2）若此函数y值随x值的增大而增大，且图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【经典例题十三 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知直线经过点，．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ___ … (2)当时，求y的取值范围． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知正比例函数随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若点在一次函数（m是常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东佛山·三模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为 ． 4．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知一次函数，求: (1)当为何值时，y的值随x的增加而增加； (2)当、n为何值时，此一次函数也是正比例函数； (3)若求直线与x轴和y轴的交点坐标． 【经典例题十四 比较一次函数值的大小】 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）若，为一次函数图象上的两点，比较a与b的大小关系． 1．（25-26八年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知点和点都在一次函数的图象上，则与 的大小是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点在一次函数的图象上，且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）已知点和是一次函数图象上的两点，且，则与的大小关系为 ．（填“、”或“”） 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求出与之间的函数关系式； (2)点，在（1）中函数的图象上，比较与的大小． 【经典例题十五 一次函数的规律探究问题】 【例1】（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）在同一直角坐标系内画出函数，的图象，这两个图象有怎样的位置关系？ （2）函数，的图象又有怎样的位置关系？一般地，你有怎样的猜想？ 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 2．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，依次在x轴上排列的正方形都有一个顶点在直线上，从左到右分别记作，，，，已知顶点的坐标是，则的纵坐标为（    ） A． B． C． D．2022 3．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【经典例题十六 求一次函数解析式】 【例1】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（22-23八年级下·四川乐山·期中）如图，直线l经过点、，将该直线向上平移个单位得到直线． (1)在图中画出直线的图象； (2)求直线的解析式． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位，则此函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）正比例函数，当时，，则此正比例函数的关系式为（  ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东茂名·期末）一次函数图象经过点和，则函数解析式为 ． 4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数图象与轴交点的纵坐标为，求的值． 【拓展训练一 一次函数的求参相关问题】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【例2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知关于的一次函数． (1)如果函数图像经过原点，求的值； (2)如果的值随的值的增大而增大，求的取值范围． 1．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）当时，一次函数满足，则常数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）已知一次函数，当时，自变量的取值中恰有2个正整数，则的取值范围是 ． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的最大值． 【拓展训练二 一次函数的图象及其应用】 【例1】（2025·陕西咸阳·二模）一个正比例函数的图象经过点和，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 （   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级下·北京顺义·开学考试）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称两点为同和点．下图中的两点即为同和点． (1)已知点的坐标为． ①在点中，为点的同和点的是_____． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为_____． (2)直线与轴、轴分别交于点，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，直接写出的取值范围． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随x的增大而减小 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象一定交于y轴的正半轴 2．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）已知将正比例函数的图象向上平移5个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（   ） A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 3．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）在平面直角坐标系中，将直线向上平移1个单位长度后得到的直线与y轴的交点坐标为 ． 4．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A， (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)①若点，在该一次函数的图象上，且，则______（用“>”或“<”填空）； ②当时，y的取值范围是______ (3)将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若，求m的值． 【拓展训练三 一次函数增减性的综合问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【例2】（24-25八年级下·山西大同·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．当时，该一次函数的最小值为0，求k的值． 1．（24-25八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点，若，则k，b的值有可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）点A（x1，y1），点B（x2，y2）是一次函数y=﹣2x﹣4图象上的两点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ） A．y1＞y2 B．y1＞y2＞0 C．y1＜y2 D．y1=y2 3．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是 ． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)若点在线段上，点在直线上． 求： ①的范围； ②的最大值． 1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的函数是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）若点在直线上，则（    ） A．15 B．9 C．5 D． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·云南·开学考试）一次函数经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 5．（24-25八年级上·江苏·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．它的图象过点 B．它的图象与直线平行 C．随的增大而增大 D．当时，总有 6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）已知为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图像不经过第三象限 B．点在直线上 C．图像与直线平行 D．若点，在该函数图像上，则 9．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．点A按上述规则连续平移3次的过程如图所示，当点首次位于y轴上时，停止移动．关于甲、乙、丙三位同学的说法，下列判断甲：点的坐标为；乙：点A，，，，在同一条直线上，函数表达式为；丙：若直线两侧点点A，，，⋯，的个数相等，则正确的是（      ） A．三人都对 B．只有乙对 C．只有甲、丙对 D．只有丙不对 10．（2023八年级上·浙江·竞赛）非负数，，满足，，的最大值为，最小值，则（    ） A．14 B．19 C． D． 11．（24-25八年级下·江西宜春·期中）若是关于x的一次函数，则k的值为 ． 12．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点是直线上一点，则a的值是 ． 13．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 14．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）某个一次函数的图像与直线平行，并且经过点，则这个一次函数解析式为 ； 15．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）定义：若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点，也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为 ． 16．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）已知一次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)画出该一次函数的图象． 17．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知点，在正比例函数的图象上，求该正比例函数的解析式和的值． 18．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知一次函数的图象过点，且与轴，轴分别交于点，，求，两点的坐标． 19．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知是关于x的一次函数． (1)求m的值． (2)当时，求函数值y的取值范围． 20．（24-25八年级下·江西新余·期末）获取新知：几何中证明三点共线的方法很多，解析式法就是其中之一：利用一次函数模型解决三点共线问题方法，若三点均在直线的图像上，则三点共线；若三点中有一点不在的图象上，则三点不共线． 感悟新知： （1）已知平面上三点，试判断三点 （共线或不共线），若不共线请求出的面积． 拓展应用： （2）平面直角坐标系中，三点共线，试求出的关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.3 一次函数的图象与性质重难点题型专训 （4个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 识别一次函数 题型二 根据一次函数的定义求参数 题型三 求一次函数自变量或函数 题型四 列一次函数解析式并求值 题型五 判断一次函数的图象 题型六 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型七 已知函数经过的象限求参数范围 题型八 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型九 画一次函数图象 题型十 一次函数图象平移问题 题型十一 判断一次函数的增减性 题型十二 根据一次函数增减性求参数 题型十三 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型十四 比较一次函数值的大小 题型十五 一次函数的规律探究问题 题型十六 求一次函数解析式 拓展训练一 一次函数的求参相关问题 拓展训练二 一次函数的图象及其应用 拓展训练三 一次函数增减性的综合问题 知识点一：一次函数的定义 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数. 【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 一次函数的一般形式：. 特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 【即时训练】 1．（2025·江苏盐城·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键． 把点P的坐标代入一次函数解析式，得出，代入即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，即， 则， 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）若函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一次函数的定义． 根据一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为，可得答案． 【详解】解；由是一次函数，得 解得， 故答案为：1． 知识点二：一次函数的图像 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线. 一次函数的图像画法（两点法）：为了方便，画一次函数的图像，只需过图像上两点作直线即可，一般取(0，b)，两点.（依据：两点确定一条直线）. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限即可． 【详解】解：A、正比例函数与一次函数的自变量系数k互为相反数．故该选项不符合题意； B、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故该选项不符合题意； C、正比例函数图象经过第一、三象限，则，那么一次函数应经过二、三、四象限，故该选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第二、三象限，则，那么一次函数经过一、二、三象限，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山西长治·期中）一次函数的图象向上平移3个单位长度后，与轴的交点坐标为 ． 【答案】(0,4) 【分析】本题主要考查函数的平移以及与坐标轴的交点，熟练掌握“上加下减”是解题的关键． 根据“上加下减”得到平移后解析式，令即可求出与轴的交点坐标． 【详解】解：一次函数的图象向上平移3个单位长度后得到， 当时，， 故与轴的交点坐标为． 故答案为：(0,4) 知识点三：一次函数的性质 一次函数 k、b 的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 正比例函数与一次函数图像的关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移） 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y） 【即时训练】 1．（2025·安徽亳州·三模）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握在一次函数中，当时y随x的增大而减小成为解题的关键． 根据一次项系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着x的增大而减小， ∴，解得，即A选项符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·北京昌平·期中）若点，在一次函数图象上，则 （填，或）． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．点，代入，比较大小比较即可． 【详解】解：∵点，在正比例函数图象上， ∴将点，代入得：， ∴， 故答案为：． 知识点四：待定系数法求一次函数解析式 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 【即时训练】 1．（2025·安徽阜阳·三模）无为板鸭是安徽的一道传统特色美食，制作无为板鸭需要经过木屑熏烤，某板鸭店的熏烤时间与鸭子的质量对应的部分数据如表： 鸭子的质量x/千克 … 1 2 … 熏烤时间t/分钟 … 10 18 26 … 已知熏烤鸭子的时间t是鸭子质量x的一次函数，则当时，t的值为（    ） A． B． C．58 D．60 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，观察表格可知，烤鸭的质量为千克，与的一次函数关系式为，取，代入，运用待定系数法求出函数关系式，再将千克代入即可求出烤制时间． 【详解】解：根据题意，设一次函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴一次函数表达式为， 当时，， ∴t的值为． 故选：A． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知直线与直线平行，且与轴交点的纵坐标为，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，由已知可设直线的解析式为，再把代入计算即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵直线与轴交点的纵坐标为， ∴点在直线上， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 【经典例题一 识别一次函数】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列函数中，不是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、满足一次函数的定义，故该选项不符合题意； B、满足一次函数的定义，故该选项不符合题意； C、满足一次函数的定义，故该选项不符合题意； D、不满足一次函数的定义，故该选项符合题意； 故选：D 【例2】（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）已知与成正比例，当时，．请写出与之间的函数关系式，并判断是的什么函数？ 【答案】，y是x的一次函数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、待定系数法求函数解析式等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． 设函数关系式为，把时，代入求得k，然后求得函数解析式，最后根据函数解析式判定即可． 【详解】解：设函数关系式为：， 把时，代入可得：，解得：， 所以， 所以与之间的函数关系式为，即y是x的一次函数． 1．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）下列关于变量x、y的关系式中，y关于x是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了一次函数的定义，形如为常数)的函数，叫一次函数．根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是常数函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； B.，不是一次函数，故本选项不符合题意； C.，不是一次函数，故本选项不符合题意； D.是一次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）下列函数为一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如（是常数，且）的函数是一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一次函数，符合题意； ②，即，则是一次函数，符合题意； ③不是一次函数，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ∴一次函数的有①②④， 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有 ．（请填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 根据一次函数的定义：形如的函数叫做一次函数，进行逐一判断即可． 【详解】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③是一次函数； ④不是一次函数； ⑤是一次函数； 故答案为：①③⑤． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【答案】（1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数． 【分析】根据一次函数和正比例函数的定义，即可求解． 【详解】解：（1）是正比例函数，也是一次函数； （2）自变量在分母中，不是一次函数，也不是正比例函数； （3）自变量的次数是2，不是一次函数，也不是正比例函数； （4）是一次函数，不是正比例函数． 所以（1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握形如 （k、b为常数，且 ）的形式的函数是一次函数，当 时，一次函数 （k、b为常数，且 ）变为 ，此时的函数称为正比例函数是解题的关键． 【经典例题二 根据一次函数的定义求参数】 【例1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）若是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，函数表达式中的未知数的最高次数为1，且该项系数不为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴且， 解得， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解答的关键是熟知：形如的函数是一次函数，形如的函数是正比例函数． （1）根据一次函数的定义即可解答； （2）根据正比例函数的定义即可解答． 【详解】（1）解：当函数是一次函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是一次函数． （2）解：当函数是正比例函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是正比例函数． 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质． 直接将点代入计算即可． 【详解】解：将点代入一次函数中，得： 解得： 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如果函数是一次函数，那么m的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义“一次函数的一般形式为，其中是常数，”，熟练掌握一次函数的定义是解题关键．根据一次函数的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，且， 解得，且， 综上，的值为2， 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如果是一次函数，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键； 形如的函数叫做一次函数．据此进行解答即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴ ， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）当k为何值时，y=（k2+2k）是正比例函数． 【答案】当k=2时，函数y=（k2+2k）是正比例函数． 【分析】根据正比例函数的系数不等于0，且自变量的次数为1，列方程式求解即可． 【详解】根据题意得：k2﹣3=1①，k2+2k≠0②． 由①得：k=±2． 当k=﹣2时，k2+2k=0，y不是正比例函数； 当k=2时，k2+2k=8，即y=8x是正比例函数， ∴当k=2时，函数y=（k2+2k）是正比例函数． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义条件，即系数不为0，自变量的次数为1是关键． 【经典例题三 求一次函数自变量或函数】 【例1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数，代入选项中点的坐标，满足左右两边相等的即可得出结论． 【详解】解：A、当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意； B．当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意； C．当时，，故一次函数的图象经过这个点；此选项符合题意； D．当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意； 故选C． 【例2】（25-26八年级上·全国·期中）已知与成正比例，当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当时，求x的值； (3)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，函数关系式， 图象及性质； （1）设函数关系式为，把 ，代入求出，即可求出结果； （2）把代入，计算求解即可； （3）将点代入，计算求解即可． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 因为当时，， 所以， 所以， 把代入得， ， 故函数关系式为． （2）解：把代入， 得， 解得． （3）解：将点代入， 得， 解得． 1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）下列的点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．依据题意，分别代入各选项中点的横坐标，求出值，再对照各点的纵坐标，即可得出结论． 【详解】解：A．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意； B．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意； C．当时，，点在函数的图象上，选项符合题意； D．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·江西·阶段练习）已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，理解一次函数图象上点的坐标满足一次函数的表达式，及“姐妹点”的定义是解决问题的关键． 先设直线上的“姐妹点”的坐标是，再根据“姐妹点”定义得，然后将点M代入之中求出m即可得出答案． 【详解】解：设直线上的“姐妹点”的坐标是， 则， ∴， ∴， ∵点M是直线上的“姐妹点”， ， ∴， ∴点， 故答案为：D． 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知一次函数，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数的函数值，解决本题的关键是理解自变量和因变量之间的关系，确定函数值．将代入函数表达式即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 4．（2023八年级上·浙江嘉兴·竞赛）已知一次函数（k，b为常数，且）． (1)若此一次函数的图象经过，两点，求该一次函数的表达式； (2)若，点在该一次函数图象上，求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数表达式的方法与技巧，理解一次函数的性质，一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键． （1）将，代入之中可求出、b的值，即可得出一次函数解析式； （2）将点代入之中得，根据得，再结合得，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：此一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴该一次函数的表达式为； （2）证明：一次函数，为常数，且的图象经过点， ， ， ， ， ， ． 【经典例题四 列一次函数解析式并求值】 【例1】（24-25八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【答案】B 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 【例2】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)7 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求自变量的值，求函数值， 对于（1），用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将，分别代入关系式，求出答案； 对于（3），将代入关系式，求出结果即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边都除以2，得； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，， 解得． 1．（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：一次函数图象经过点， 解得： 故选：C 3.（23-24七年级下·全国·单元测试）随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少．下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势 年  份 2006 2007 2008 … 入学儿童人数 2520 2330 2140 … （1）上表中 是自变量， 是因变量． （2）你预计该地区从 年起入学儿童的人数不超过1 000人． 【答案】 年份 入学儿童人数 2014 【分析】(1)根据题意，每一年的递减人数相等判断出y与x是一次函数关系，设y=kx+b，再取两组数据代入得到二元一次方程组，求出k、b即可得到答案； (2)根据不超过1000人列出不等式，然后求解即可得到答案． 【详解】解：(1)从上表可以得到信息，入学儿童的人数随着年份的变化而变化，所以年份是自变量，入学儿童人数是因变量， 故答案为：年份 ；入学儿童人数； (2)：①设y=kx+b， 将x=2006，y=2520和x=2007，y=2330代入得到二元一次方程组， ， ， 所以，y=-190x+383660； ∴根据题意得，-190x+383660≤1000， 解得x≥2014， 所以，该地区从2014年起入学儿童人数不超过1000人． 故答案为： 2014． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，观察出y与x是一次函数关系、灵活运用所学知识是解题的关键． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过、两点． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点在直线上 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，列一次函数解析式并求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把、代入进行计算，即可作答． （2）把代入，算出，即可作答． 【详解】（1）解：设所求的一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象经过、两点 ∴， 解得， 所求的解析式为； （2）解： 依题意，当时，， 点在直线上． 【经典例题五 判断一次函数的图象】 【例1】（25-26八年级上·全国·期末）关于一次函数的图象，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象，根据一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线，据此即可解答． 【详解】解：一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线， 则只有选项C符合题意． 故选：C． 【例2】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列图象中，表示一次函数的有哪些？ 【答案】（2） 【分析】根据一次函数的图象是直线即可求解． 【详解】解：表示y是x的一次函数的图象是一条直线，观察选项，只有（2）符合题意． 故表示一次函数的为（2）． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，一次函数和正比例函数的图象都是直线． 1．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）一次函数（a为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一次函数的解析式判断其图象是解题的关键．根据一次函数的性质可得，一次函数经过点，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴一次函数经过点， 只有C符合题意 故选：C． 2．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各点在一次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把点的横坐标代入解析式求出纵坐标，如相等则点在一次函数的图象上，据此判断即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴点不在一次函数的图象上； 、当时，， ∴点不在一次函数的图象上； 、当时，， ∴点不在一次函数的图象上； 、当时，， ∴点在一次函数的图象上； 故选：． 3．（2024·天津北辰·一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，则这个函数的图象不经过的象限是 . 【答案】第三象限 【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，已知一次函数的图象经过点和点，利用待定系数法即可求出函数解析式，求出直线与x轴、y轴交点坐标，画出一次函数草图即可求解． 【详解】设一次函数解析式为y=kx+b ∵一次函数的图象经过点和点 ∴ 解得 ∴ 令x=0，y= 令y=0，x= 绘制一次函数草图 ∴一次函数图象不经过第三象限 故答案为：第三象限 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式的方法，已知一次函数图象可求得直线与x轴、y轴交点坐标，可判断一次函数的图象特点． 4．（22-23八年级下·新疆阿克苏·阶段练习）设一次函数（k，b为常数，且），图象过． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该一次函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】（1）把分别代入，利用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式，求得，即可判断． 【详解】（1）把分别代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）当时，， ∴点不在该一次函数图象上． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式及一次函数图象上的点，熟练掌握知识点是解题的关键． 【经典例题六 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题． 分为当时，和当时，分别判断即可得到答案． 【详解】解：当时，， 该函数图象可能经过第一、三、四象限或第一、二、三象限或第一、三象限，所以选项不符合题意， 当时，，该函数图象经过第一、二、四象限，所以 A 选项不符合题意，B选项符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·湖北·期末）已知一次函数，它的图象经过点和． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)一次函数的图象不经过第 象限，y随x的增大而 ； (3)当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为： (2)四，增大 (3)自变量x的取值范围为 【分析】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握待定系数法，函数增减性，函数值或自变量值的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数解析式得到函数图象即可求解； （3）根据函数值的范围求自变量的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数，它的图象经过点和， ∴， 解得，， ∴y与x之间的函数表达式为：； （2）解：一次函数解析式为， ∵， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，y随x的增大而增大， 故答案为：四，增大； （3）解：当时，，则，当时，，则， ∴当时，自变量x的取值范围为． 1．（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）一次函数函数值随的增大而增大，它的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意判断出函数的图象所经过的象限即可得出结论． 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，，时，函数图象经过一、二、三象限是解答此题的关键． 【详解】解：一次函数，随增大而增大， ， 此函数的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 2．（25-26九年级上·北京·开学考试）已知一次函数，随的增大而增大，则该函数的图象一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】先根据一次函数中y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数中y随x的增大而增大， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选C． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）已知一次函数经过第一、二、四象限，则一定不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，根据一次函数经过第一、二、四象限，得出，再结合一次函数进行分析，得出一次函数经过的象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴， ∴经过第一、三、四象限， 故一定不经过第二象限． 故答案为：二 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知y关于x的函数y＝（1﹣3k）x＋2k﹣2，试回答： （1）k为何值时，图象过原点？ （2）当k＝0时，写出该函数图象经过的象限． 【答案】（1）1；（2）第一、三、四象限 【分析】（1）令，代入解出即可得出答案； （2）令，求出一次函数表达式，根据一次函数的性质判断图像经过的象限． 【详解】（1）∵经过原点（0，0）， ∴， 解得：， 即当时，图象过原点； （2）当时，关于的函数是， ，， 函数的图象经过第一、三、四象限． 【点睛】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数相关性质是解题的关键． 【经典例题七 已知函数经过的象限求参数范围】 【例1】（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则下列结论一定正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系； 根据一次函数的增减性和与y轴交于负半轴可得，． 【详解】解：由所给函数图象可知， 因为y随x的增大而减小， 所以， 因为一次函数的图象与y轴交于负半轴， 所以， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）已知一次函数． (1)m为何值时，直线经过原点？ (2)m为何值时，直线经过第一、二、三象限？ (3)m为何值时，直线不经过第三象限？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的定义以及一次函数图象与系数的关系． （1）由一次函数的图象经过原点，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的定义可得出关于m的一元一次方程及一元一次不等式，解之即可得出m的值； （2）由一次函数的图象经过第一、二、三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； （3）由直线不经过第三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数经过坐标原点， ∴且， 解得：． 故m为时，函数的图象经过坐标原点． （2）解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得：． 故时，直线经过第一、二、三象限． （3）解：∵直线不经过第三象限， ∴， 解得， 故时，直线不经过第三象限． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象不经过第四象限，那么一定满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质解答即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图形不经过第四象限， ∴， 当此函数图象经过原点时，， 当此函数图象不经过原点时，， ∴， 故选：． 2．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 3．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）如果直线经过第二、三、四象限，那么常数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 由一次函数图象经过第二、三、四象限得到图象与y轴交于负半轴，即可得到． 【详解】∵直线经过第二、三、四象限， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． (1)求m的值． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据一次函数的图象及性质可得，解不等式组得，再取整数解即可． （2）由（1）得：，当时，，当时，，根据y随x的增大而减小，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 又为整数， ． （2）由（1）得：， ， 当时，， 当时，， y随x的增大而减小， 当时，求y的取值范围为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质． 【经典例题八 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）下列一次函数图象中，每个点的坐标均可以看作是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系，分别求出以二元一次方程为解析式的一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，即可确定对应的图象． 【详解】解：∵二元一次方程， 当时，， 当时，， 以二元一次方程为解析式的一次函数图象经过点和， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·吉林·期末）已知一次函数的图象过点和． (1)求这个函数的解析式； (2)求该一次函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，求函数值，能够熟练掌握待定系数法是解答此题的关键． （1）设一次函数解析式为，把、代入解析式，求得，即可求解； （2）令一次函数解析式中的，求得的值，即可求解． 【详解】（1）设一次函数解析式为， 把、分别代入得， 解得， 一次函数解析式为； （2）当时，， 解得， 该一次函数的图象与轴的交点坐标为． 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．结合一次函数的图象可以求出图象与轴的交点以及轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】解：∵在中，令，则， 解得：， 令，则， ∴一次函数的图象与轴的交点，与轴的交点为， ， 故选：B． 2．（22-23八年级上·全国·期中）若一次函数的图象经过点，且与x轴和y轴的交点到原点的距离相等，那么它的解析式不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，分别求出一次函数图象与x轴和y轴的交点即可得到答案． 【详解】解：当时，，，，， 即选项中的函数图象都经过点， A.当时，， 当时，，解得， ∴与x轴和y轴的交点分别为，，与x轴和y轴的交点到原点的距离都为，不符合题意； B. 当时，， 当时，，解得， ∴与x轴和y轴的交点分别为，，与x轴和y轴的交点到原点的距离不相等，符合题意； C. 当时，， 当时，，解得， ∴过原点，与x轴和y轴的交点到原点的距离相等，不符合题意； D.当时，， 当时，，解得， ∴与x轴和y轴的交点分别为，，与x轴和y轴的交点到原点的距离都为，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·广东惠州·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了依次函数的图象与坐标轴交点问题，由于解析式已知为所以分别令直线解析式中和，即可得出直线与轴和轴的交点坐标． 【详解】解：由题意可知直线方程为， 令，代入方程可知， 令，代入方程可知， 直线与轴的交点坐标为，轴的交点坐标为． 故答案为：，． 4．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）利用三角形面积公式列式计算求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ； （2）解：点在轴上，若的面积为6， ， ， ， ∵当点在点上方时， ∴． 【经典例题九 画一次函数图象】 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 9 5 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（   ） A．9 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象进行判断即可． 【详解】解：描点，连线，画出函数图象如图： 由图可知：点与其它点不在同一条直线上； 故这个错误的函数值是； 故选C． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）把下面画函数的图象的过程补充完整． 解：（1）列表如下： x … 0 1 2 3 …      … 4 … （2）画出的函数图象如下图所示． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的画法是解题的关键． （1）将的值代入函数解析式求出的值即可； （2）描点、连线即可作出一次函数的图象． 【详解】解：（1）列表如下： x … 0 1 2 3 …      … 4 3 2 1 0 … （2）画出的函数图象如图所示． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）用描点法画一次函数图象时，某同学列了如下表格，有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） x 1 2 y 3 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， 则点，，在同一直线上，点没在这条直线上， 故选：A． 2．（22-23七年级下·福建漳州·期中）土地沙漠化是人类生存的大敌，某地原有绿地a万公顷，由于人们环保意识不强，植被遭到严重破坏，经观察前段时间土地沙化速度为0.1万公顷年，当人们意识到环境恶化的危害性之后，决定改变环境，以每年0.3万公顷的速度进行绿化，那么年以后该地的绿地面积与时间的关系可用下图中的哪一个来近似地刻画（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意确定出前段时间沙漠化后的绿地面积不断减少，改变环境后绿地面积在增大，并判断出图象，然后选择答案即可． 【详解】解：原有绿地万公顷，前段时间土地沙化速度为0.1万公顷年， 绿地面积， 为随着时间增大而减小的一条线段， 环境恶化后，以每年0.3万公顷的速度进行绿化， 所以，绿地面积每年以万公顷的速度增加， 为随着的增大而增大的射线， 纵观各选项，只有D选项图形符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，理清土地沙漠化的变化过程，分决定改变环境前后两段确定函数图象是解题的关键． 3．（23-24八年级上·广东梅州·期中）若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数的图象．在函数中运用数形结合的思想是解题的关键． 根据一次函数图象过、，在平面直角坐标系中作一次函数图象，然后作答即可． 【详解】解：如图， ∵一次函数的图象经过利点， ∴函数的图象不经过第四象限， 故答案为：四． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出一次函数和的图象． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画函数的图象，考查的是用描点法画函数的图象，解答此题的关键是描出各点，画出函数图象． 根据描点法，分别取几组对应值，连接各点，可得函数图象. 【详解】解：对于列表： x … 0 1 … y … 3 … 对于列表： x … 0 1 … y … 1 … 描点、连线，函数图象如图所示 【经典例题十 一次函数图象平移问题】 【例1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）直线沿轴向右平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将直线沿x轴向右平移2个单位长度所得的直线的解析式是，即． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数，且）的图象经过点. (1)求一次函数的表达式； (2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数图象的平移规律，熟练掌握求一次函数的解析式及一次函数图象的平移规律是解题的关键． （1）将点的坐标代入计算即可； （2）根据一次函数图象的上下平移规律计算即可． 【详解】（1）解：一次函数（k为常数，且）的图象经过点， ∴， 解得， 即该一次函数的表达式为； （2）解：一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后所得图象对应的函数表达式为． 1．（2024·甘肃定西·模拟预测）一次函数的图像向下平移个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是函数图像的平移规律．先明确一次函数图像平移的规律，再根据题目中向下平移个单位的要求，调整原函数表达式中的常数项，从而得到平移后的函数表达式，最后结合选项判断正确答案． 【详解】解：将函数的图像向下平移个单位长度，根据一次函数图像平移“上加下减”的规律(向下平移时在常数项上减平移单位)， 可得平移后的函数表达式为， 一次函数的图像向下平移2个单位长度，图像对应的函数表达式是． 故选：B． 2．（25-26八年级上·重庆·开学考试）两直线与平行，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，当两条直线平行时，它们的比例系数的值相等，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵两直线与平行， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·广东惠州·开学考试）直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系，根据平移规律直接得出结论即可． 【详解】解：直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数图象平行于直线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握两直线平行，则比例系数相等的知识是解题的关键． （1）一次函数经过原点，把代入，由此即可求解； （2）两条直线，则比例系数相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：因为函数图象经过原点， 把代入得， 解得：． （2）解：因为函数图象平行于直线， ∴， 解得：． 【经典例题十一 判断一次函数的增减性】 【例1】（2023八年级上·全国·竞赛）下列函数中，y的值随着x值的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据，时，y的值随着x值的增大而减小，，y的值随着x值的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：，，的值均小于0，y的值随着x值的增大而减小， 的值大于0，故y的值随着x值的增大而增大； 故选D． 【例2】（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组、的对应值； 0 1 2 3 4 2 1 0 0 1 a 表中___________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究： ①观察图象，当___________时，函数有最小值为___________； ②除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质． 【答案】(1) (2)图见详解 (3)①0，；②当时，随着的增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格可代值进行求解即可； （2）根据描点连线可作函数图象； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由表格可得： ； 故答案为2； （2）解：根据表格可得图象如下： （3）解：由（2）中图象可得： ①当时，函数有最小值为； ②除了上述性质外，该函数当时，随着的增大而增大． 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，判断k的属性解答即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：A.中，，符合题意； B.中，，不符合题意； C.中，，不符合题意；     D.中，，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·河北承德·期末）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性，对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，据此即可求解． 【详解】解：选项A：可整理为，此时，故随的增大而减小，符合题意； 选项B：中，故随的增大而增大，不符合题意； 选项C：中，故随的增大而增大，不符合题意； 选项D：中，故随的增大而增大，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知函数，当时，y的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的增减性，利用增减性即可求出最大值． 【详解】一次函数中，，y随x增大而减小． 故当时，． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·吉林延边·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数解析式、由一次函数增减性求函数值范围等知识，熟记一次函数图象与性质、待定系数法求函数解析式的方法是解决问题的关键． （1）由待定系数法列二元一次方程组求解即可得到直线解析式； （2）由（1）中所求直线的解析式，结合一次函数增减性求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设直线， 将、代入得 ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：由（1）知，直线的解析式为， ， 函数值随着的增大而减小， 当时，；当时，； 则若，的取值范围是． 【经典例题十二 根据一次函数增减性求参数】 【例1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若是一次函数图象上不同的两点，且，则a 的取值范围为  （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握“当时，随的增大而减小”是解题的关键． 根据可得出与异号，进而得出，解之即可得出结论． 【详解】解：， 与异号， ∴当时，，当时，， ∴y随增大而减小， ∵， ∴，解得：． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课前预习）一次函数，若y的值随着x的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据y的值随着x的增大而增大可得到，解不等式即可． 【详解】解：依题意，得， 所以． 1．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）如果一次函数的函数值y随x的增大而减小，那么实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数，当时y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）若一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数经过的点求出的值，再依据随增大而增大确定的取值范围，从而筛选出符合条件的函数表达式．本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数（，为常数，）中决定函数的增减性，是函数与轴交点的纵坐标是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴把，代入，得，即． ∵随的增大而增大， ∴． 在选项中，且的函数只有． 故选：B． 3．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，对一次函数，根据当时，随的增大而增大，得出，计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·吉林延边·期末）已知函数． （1）若函数的图象平行于直线，求m的值； （2）若此函数y值随x值的增大而增大，且图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1）m=1；（2）＜ 【分析】（1）由题意可知，求解即可； （2）根据函数y值随x值的增大而增大，可得＞，再根据图象不经过第二象限，可得，求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得m=1； （2）因为这个函数是一次函数，且随的增大而增大， ＞， ＞， 又因为图象不经过第二象限， 所以， 即， 所以的取值范围是＜． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数图象与性质是解题的关键． 【经典例题十三 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知直线经过点，．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ___ … (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)4，5；见解析 (2) 【分析】本题考查了画函数图象，并利用图象求函数值取值范围；会利用图象求解是解题的关键． （1）分别将，代入解析式求解，描点、连线，画出图象即可； （2）当时，；当时，， 根据图象求解即可． 【详解】（1）解：表格中第一行横线处为4，第二行横线处为5； 故答案为：4，5； 如图； （2）解：当时，． 当时，． 综合图象可得y的取值范围是． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知正比例函数随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正比例函数图象的性质．理解直线所在的位置与的符号有直接的关系是解题的关键．当时，直线必经过一、三象限，随的增大而增大；时，直线必经过二、四象限，随的增大而减小． 根据正比例函数图象与系数的关系列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵正比例函数中，的值随自变量的值增大而减小， ∴，解得． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若点在一次函数（m是常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握其增减性是解题的关键． 一次函数，当时，函数值随的增大而减小，利用此性质比较大小即可． 【详解】解：由知，，函数值随的增大而减小， ， ， 故选：B． 3．（2025·广东佛山·三模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据所给一次函数解析式，得出y随x的增大而减小，再结合A，B两点纵坐标的大小关系，得出横坐标的大小关系即可解决问题． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：因为一次函数的解析式为， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以 故答案为： 4．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知一次函数，求: (1)当为何值时，y的值随x的增加而增加； (2)当、n为何值时，此一次函数也是正比例函数； (3)若求直线与x轴和y轴的交点坐标． 【答案】(1)当时，y的值随x的增加而增加 (2)当时，此一次函数也是正比例函数 (3) 【分析】本题考查了一次函数图象的性质与解析式的系数的关系，图象的画法及性质． （1）的值随的增加而增加时，，求解即可； （2）一次函数为正比例函数时，，求解即可； （3）若，时，可确定一次函数解析式，再求函数图象与轴、轴的交点． 【详解】（1）由题意得：，解得，   当时，y的值随x的增加而增加； （2）由题意得：且， 解得 当时，此一次函数也是正比例函数； （3） 若，，一次函数解析式为：， 令，得，令，得， 故函数图象与轴、轴的交点为； 【经典例题十四 比较一次函数值的大小】 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的增减性即可解决问题． 【详解】解： 随的增大而增大， 点在正比例函数的图象上，且 ． 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）若，为一次函数图象上的两点，比较a与b的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，能够根据函数解析式判断出增减性是解题的关键． 根据函数解析式判断出增减性，根据增减性可得答案． 【详解】解：∵ ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 1．（25-26八年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知点和点都在一次函数的图象上，则与 的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“随的增大而增大；随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，可得出． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， 又 ∵点和点都在一次函数的图象上，且， ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点在一次函数的图象上，且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了比较一次函数的函数值大小问题，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴ 故选：C ． 3．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）已知点和是一次函数图象上的两点，且，则与的大小关系为 ．（填“、”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求出与之间的函数关系式； (2)点，在（1）中函数的图象上，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据待定系数法求出与之间的函数关系式即可； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】（1）解：设，当时，， ， 解得． ， ． （2）一次函数的， 随的增大而减小， 而， ． 【经典例题十五 一次函数的规律探究问题】 【例1】（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为1， ∵，，在直线的图象上， ∴纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴的纵坐标为的纵坐标为， ……， ∴点的纵坐标为． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）在同一直角坐标系内画出函数，的图象，这两个图象有怎样的位置关系？ （2）函数，的图象又有怎样的位置关系？一般地，你有怎样的猜想？ 【答案】（1）图见解析，这两个图象关于轴对称；（2））这两个图象关于轴对称；一般地，函数和的图象关于轴对称． 【分析】画出函数图像，即可求解． 【详解】解：（1）如图画出函数图像如下，观察图象可知这两个图象关于轴对称； （2）如图画出函数图像如下，观察图象可知这两个图象关于轴对称；一般地，函数和的图象关于轴对称． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，函数与系数之间的关系，熟知一次函数图象的画法是解答此题的关键． 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数规律探索问题，涉及的知识有：一次函数的性质，以及坐标与图形性质，对于直线，令求出y的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出B2的横坐标，即可求出的长，同理求出，，…，归纳总结即可得到的长．弄清题中的规律是解本题的关键． 【详解】解：对于直线，令，求出， ， 轴， 的纵坐标为2， 将代入中得：， ， ， 轴， 的横坐标为2， 将代入直线中得：， ， 与的纵坐标为4， 将代入中得：， ， ， 同理，…，， 则的长为． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，依次在x轴上排列的正方形都有一个顶点在直线上，从左到右分别记作，，，，已知顶点的坐标是，则的纵坐标为（    ） A． B． C． D．2022 【答案】B 【分析】求出P1、P2、P3、P4的坐标即可总结出规律即可解答． 【详解】解：∵P1坐标为（1，1），P2（2，2），P3（4，4），P4（8，8）， ， ∴点P2022的纵坐标为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图像上点的坐标特点，可用取特殊值的方法求定点坐标寻找规律解答． 3．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 【经典例题十六 求一次函数解析式】 【例1】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，只需把所给的点的坐标代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（22-23八年级下·四川乐山·期中）如图，直线l经过点、，将该直线向上平移个单位得到直线． (1)在图中画出直线的图象； (2)求直线的解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移与性质，点的坐标平移，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据网格特点和平移的性质画出、两点的对应点，过这两个对应点作直线即可； （2）根据直线经过点，设直线的解析式为，再根据直线经过点，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：画出直线的图象如下： （2）解：∵点，向上平移个单位后坐标分别为，， ∴设直线的解析式为，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位，则此函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，理解题意是解题的关键． 根据题意得出一次函数经过点，进而求出即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位， ∴一次函数的图象经过点，即点， 把点，点代入得： ， 解得：， ∴此函数表达式是． 故选：B 2．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）正比例函数，当时，，则此正比例函数的关系式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式，把，代入，求出的值即可． 【详解】正比例函数，当时，，∴， 解得， 与的函数关系式为， 故选：A． 3．（23-24八年级上·广东茂名·期末）一次函数图象经过点和，则函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，设一次函数的解析式为，利用待定系数法解答即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设一次函数的解析式为，把点和代入得， ， 解得， ∴函数解析式为， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数图象与轴交点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键； （1）将代入一次函数解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：因为函数图象经过原点， 把代入，得， 解得． （2）因为函数图象与轴交点的纵坐标为， 即当时，，把代入 得， 解得． 【拓展训练一 一次函数的求参相关问题】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知关于的一次函数． (1)如果函数图像经过原点，求的值； (2)如果的值随的值的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】此题考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据函数图像过原点得到，即可求出m的值； （2）根据函数图像的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数图像经过原点， ∴ 可得； （2）∵的值随的值的增大而增大， ∴ 可得． 1．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提，列不等式（组）是解题的关键． 由一次函数的图象不经过第二象限，可得，，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴ 解得：， 故选：D． 2．（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）当时，一次函数满足，则常数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据题意得到当时，一次函数最大值满足，然后根据和分情况讨论分别求出最大值即可． 【详解】解：∵当时，一次函数满足， ∴当时，一次函数最大值满足， 当时，一次函数随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值 解得：， 故此时：； 当时，一次函数随的增大而增大， 当，有最大值， 解得； 故此时：， 综上所述，且． 故选：C． 3．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）已知一次函数，当时，自变量的取值中恰有2个正整数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组等知识．由随着的增大而增大，得出当时，，由自变量的取值中恰有2个正整数，正整数值只能是，结合不等式组进行解答即可． 【详解】解：∵中，， ∴随着的增大而增大， ∴当时，可得， 解得， ∵自变量的取值中恰有2个正整数， ∵时，， ∴正整数值只能是， 则， 解得， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把原点坐标代入解析式解答即可； （2）根据y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，得，解答即可； （3）当时，确定，判定y随x的增大而增大，结合，当时，y取得最大值，结合解析式解答即可． 本题考查了图象过原点，不等式的解法，一次函数的性质，熟练掌握解不等式组和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， ， 解得， 图象交y轴于正半轴， ， 解得， 故． （3）解：当时，函数的解析式为， ， y随x的增大而增大， 当时，时，y取得最大值， 故y的最大值为． 【拓展训练二 一次函数的图象及其应用】 【例1】（2025·陕西咸阳·二模）一个正比例函数的图象经过点和，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数，一次函数与坐标轴的交点问题，设正比例函数解析式为，根据和得出，代入即可求解． 【详解】解：设正比例函数解析式为， 正比例函数的图象经过点和， ，， ， ， 一次函数， 令，解得， 一次函数的图象与x轴的交点坐标为， 故选A． 【例2】（23-24九年级下·北京顺义·开学考试）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称两点为同和点．下图中的两点即为同和点． (1)已知点的坐标为． ①在点中，为点的同和点的是_____． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为_____． (2)直线与轴、轴分别交于点，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①R，T；② (2)①；② 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点”的定义并运用是解题的关键． （1）①由同和点的定义可求解；②由同和点的定义可求解； （2）①由同和点的定义，列出等式可求解；②由同和点的定义，列出等式可得，即可求解． 【详解】（1）解：①点的坐标为， ， 点，，， ，，， 点的同和点的是R，T， 故答案为：R，T； ②点在轴上，且，两点为同和点， 点， 故答案为：； （2）解：①直线与轴、轴分别交于点，， 当时，；当时，，解得， 点，点， 点与点为同和点， 设点， ， ， 点坐标为； ②设点坐标为， 点与点为同和点， ， ， 点为线段上一点， ， ， ． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随x的增大而减小 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象一定交于y轴的正半轴 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，逐一分析即可得出答案，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：A、当时，， ， 当时，，图象经过一、三象限， 当时，，图象经过一、二、三象限， 当时，，图象经过一、三、四象限，故A不符合题意； B、当时，，函数随的增大而增大，故B不符合题意； C、将代入函数，得，即函数图象经过点，故C不符合题意； D、当时，，即图象与轴交于正半轴，故D符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）已知将正比例函数的图象向上平移5个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（   ） A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律（上加下减）及一次函数的性质（图象上点的坐标特征、函数的增减性），解题的关键是熟练掌握一次函数图象平移规律和增减性，准确验证各选项． 先根据“上加下减”的平移规律确定m的值，得到一次函数解析式；再验证选项A的m值是否正确，选项B中代入点的横坐标看纵坐标是否匹配，选项C中结合和函数增减性判断y的范围，选项D中根据k值判断增减性，再通过横坐标大小比较函数值大小，找出错误结论． 【详解】解：根据一次函数图象“上加下减”的平移规律，正比例函数向上平移5个单位得，故． A、由平移规律计算得，此选项不符合题意； B、将代入，得，故图象经过点，此选项不符合题意； C、∵中，随增大而减小，当时，， ∴时，，此选项不符合题意； D、∵，随增大而减小，又， ∴，此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）在平面直角坐标系中，将直线向上平移1个单位长度后得到的直线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数与轴的交点，先根据一次函数的平移规律，得出新直线的函数解析式，再求出当时的函数值，即可解答，解题的关键是掌握一次函数的平移规律． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度后的解析式为， 当时，， ∴该新直线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A， (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)①若点，在该一次函数的图象上，且，则______（用“>”或“<”填空）； ②当时，y的取值范围是______ (3)将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若，求m的值． 【答案】(1)见解答图 (2)①>；② (3)m的值为 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键． （1）根据直线与坐标轴的交点即可求得A、B的坐标，根据两点确定一条直线，作出一次函数的图象即可； （2）①根据图象即可判断；②根据图象即可求得； （3）求得平移后的函数解析式，进一步求得E点的坐标，利用即可求得m的值． 【详解】（1）解：已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， 当时，， ， 当时，解得， ， 函数图象如图． （2）解：①由图象可知，一次函数随x的增大而减小， 点，在该一次函数的图象上，且， ， 故答案为：>； ②由图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，得到， 令，则求得， ， ， ， ， 的值为 【拓展训练三 一次函数增减性的综合问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质得到随的增大而减小，即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵点，点是一次函数图象上的两个点，且， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·山西大同·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．当时，该一次函数的最小值为0，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据题意和一次函数的性质，可以计算出k的值． 【详解】解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， 随x的增大而减小，， ， 当时，该一次函数的最小值为0， 当时，， ， 解得：． 1．（24-25八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点，若，则k，b的值有可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】本题考查一次函数的性质，关键在于根据判断的符号． 根据一次函数的增减性，结合点坐标的大小关系确定k的符号，进而筛选符合条件的选项． 【详解】∵函数的图象经过点和点， ∴，． ∵： ∴， 化简得，即． A．，代入函数得，，，满足，故本选项符合题意； B．，此时，不满足，故本选项不符合题意； C．，代入得，，，不满足，故本选项不符合题意； D．，代入得，，，满足，故本选项符合题意； 故选：AD． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）点A（x1，y1），点B（x2，y2）是一次函数y=﹣2x﹣4图象上的两点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ） A．y1＞y2 B．y1＞y2＞0 C．y1＜y2 D．y1=y2 【答案】A 【详解】试题分析：由一次函数y=﹣2x﹣4可知，k=﹣2＜0，y随x的增大而减小． 解：由y=﹣2x﹣4可知，k=﹣2＜0，y随x的增大而减小， 又∵x1＜x2， ∴y1＞y2． 故选A． 考点：一次函数图象上点的坐标特征． 3．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键． 根据题意判断出函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)若点在线段上，点在直线上． 求： ①的范围； ②的最大值． 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）待定系数法解答即可； （2）①根据A，B的横坐标，解答即可． ②用含t的代数式表示出，根据一次函数的增减性确定最值即可． 本题考查了待定系数法，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法， 性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得． 设直线的函数表达式为，把，代入，得 解得 直线的函数表达式为． （2）解：①点在线段上， ． 故的范围； ②解：点在直线上， ， ． ， 随t的增大而减小， 当，的最大值为． 1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的函数是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据一次函数的一般形式：，为常数且，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．是一次函数，故符合题意； B．在中，因为没有指明、为常数，且，所以不一定是一次函数，故不符合题意； C．不是一次函数，故不符合题意； D．不是一次函数，故不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）若点在直线上，则（    ） A．15 B．9 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，将点代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得：， 故选：C． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查一次函数的图象，解题的关键是根据程序得到函数解析式． 根据程序得到函数关系式，即可判断图象． 【详解】解：根据程序框图可得， 的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为． 故选A． 4．（25-26九年级上·云南·开学考试）一次函数经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由于，，根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数的图象经过第一、二、三象限． 【详解】解：∵， ∴图象经过第一、三象限， ∵， ∴图象与y轴的交点在x轴上方， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A． 5．（24-25八年级上·江苏·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．它的图象过点 B．它的图象与直线平行 C．随的增大而增大 D．当时，总有 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，逐项判断即可，熟知一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴它的图象不过点，原选项说法错误，不符合题意； 、的图象与直线不平行，原选项说法错误，不符合题意； 、∵， ∴随的增大而减小，原选项说法错误，不符合题意； 、当时，， ∵随的增大而减小， ∴当时，总有，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性得到，然后分别把四个选项的点的坐标代入解析式求得的值，即可判断． 【详解】解：和是一次函数图象上的两点，且， 随的增大而减小， ， 、将代入得，， ，符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 、将代入得，不成立， ∴该一次函数的图象不经过点，故不符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 故选： 7．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）已知为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键． 根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答． 【详解】解：在直线中，，故随增大而减小．由，得． A．若，则、同号．当两者均为正时，，此时可能为负，导致，故A错误，不符合题意； B．若，则，．若，则可能为负，导致，故B错误，不符合题意； C．若，则、同号．当两者均为正时，可能为负，此时而，导致，故C错误，不符合题意； D．若，则，．由，得，故，，因此，D正确，符合题意． 故选D． 8．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图像不经过第三象限 B．点在直线上 C．图像与直线平行 D．若点，在该函数图像上，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的关系，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可． 【详解】解：A．∵，， ∴一次函数的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项正确，不符合题意； B．∵时，， ∴函数图像必经过点，故本选项正确，不符合题意； C．∵与的k均为， ∴的图像与直线平行，故本选项正确，不符合题意； D．∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图像上，且， ∴，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 9．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．点A按上述规则连续平移3次的过程如图所示，当点首次位于y轴上时，停止移动．关于甲、乙、丙三位同学的说法，下列判断甲：点的坐标为；乙：点A，，，，在同一条直线上，函数表达式为；丙：若直线两侧点点A，，，⋯，的个数相等，则正确的是（      ） A．三人都对 B．只有乙对 C．只有甲、丙对 D．只有丙不对 【答案】D 【分析】本题考查了坐标的平移变化、一次函数表达式的求解以及正比例函数比例系数的求解，其中找出符合规律的所有点并且理解直线两侧点个数相等的意义是解题的关键． 甲：根据题中信息，把横纵相加再除以3，所得的余数如果是为1时，向上平移；如果余数为2时，向左平移，先从坐标开始算，依次计算即可； 乙：由前面计算得出A，，，，的坐标，取其中两个点用待定系数法求出函数表达式，最后把剩下的点代入表达式验证即可判断是否在同一条直线上； 丙：根据规则满足条件的总共有13个坐标，由此得出直线两侧点个数相等经过的坐标，再把坐标代入即可求出k，从而得出k的范围． 【详解】解：甲：点横纵坐标之后为5， ， 第一次向左平移1个单位，即， 横纵坐标之和为4， ，即第二次向上平移1个单位， ，而的横纵坐标之后为5， ，即第三次向左平移1个单位，即， 的横纵坐标之后为4， 第四次向上平移1个单位，即， 横纵坐标之后为5， 第五次向左平移1个单位，即， 的横纵坐标之后为4， 第六次向上平移1个单位，即， 的横纵坐标之和为5， 第七次向左平移1个单位，即， 的横纵坐标之后为4， 第八次向上平移1个单位，即， 甲同学说法正确，符合题意； 乙：由前面计算得出，，，，， 设直线表达式为，把，代入得， 解得：， 直线表达式为， 经检验，，坐标都在直线上， 乙同学说法正确，符合题意； 丙：按照平移规则依次计算可得点A，，，，共有13个点， 当直线两侧点的个数相等时，直线过点和之间， 设直线过点时，即，解得， 设直线过点时，即，解得， 当时，直线两侧点点A，，，⋯，的个数相等， 丙同学说法错误，不符合题意， 故选：D． 10．（2023八年级上·浙江·竞赛）非负数，，满足，，的最大值为，最小值，则（    ） A．14 B．19 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，求一元一次不等式组的解集．设，用k表示出，，，根据，，为非负数，求出k的取值范围，再将转化为关于k的一次函数，求其最值之和即可． 【详解】解：设， 则，，， ，，是非负数， ，，， ，，， ． ， ， 随k的增大而增大， 当时，取最小值，， 当时，取最大值，， ， 故选D． 11．（24-25八年级下·江西宜春·期中）若是关于x的一次函数，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一次函数的定义求出参数的值，根据一次函数的定义，得到，，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； 故答案为：． 12．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点是直线上一点，则a的值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，依据题意，将点坐标代入直线解析式即可计算得解． 【详解】解：由题意，∵点是直线上一点， ∴． 故答案为：10． 13．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数增减性求参数，因为函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，故，解出m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限， ∴ 解得， 故答案为： 14．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）某个一次函数的图像与直线平行，并且经过点，则这个一次函数解析式为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，掌握两条直线是平行的关系，则他们的自变量系数相同是解答本题的关键． 设直线的解析式为，根据两直线平行的问题得到，然后把点代入可计算出即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵一次函数的图像与的图像平行， ∴， ∴， 把代入得， 解得， 故直线的解析式为． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）定义：若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点，也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】根据“和一点”的定义可以得出，进而可以得出由所有“和一点”所构成的函数及其图象，又通过过点的图象l上存在“和一点得到一次函数与“和一点”构成的函数存在交点，然后运用待定系数法求得k的最小值和最大值，即可确定k的取值范围． 【详解】解：设“和一点”为，则．直线过点，所以，即，直线方程为．联立， 分情况讨论： 当，时，，代入得，即，有解则，，解得或，结合得（矛盾，舍去）． 当，时，，代入得，即，，解得或，结合得． 当，时，，代入得，即，，解得，结合得（矛盾，舍去）． 当，时，，代入得，即，，解得，结合得（矛盾，舍去）． 综上，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、函数图象的运用等知识点，正确分类讨论是解题的关键． 16．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）已知一次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)画出该一次函数的图象． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)见解析 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）令，求出点的坐标，代入，求出的值． （2）根据两点确定一条直线画出图象． 【详解】（1）解：令，则，则点的坐标为， 该一次函数图象过点， ， 解得：； （2）解：一次函数的图象如图所示． 17．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知点，在正比例函数的图象上，求该正比例函数的解析式和的值． 【答案】该正比例函数的解析式为，的值为 【分析】本题考查待定系数法确定函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，将点代入求得的值，可得函数的解析式，然后将代入该函数的解析式中，即可求得的值．利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴正比例函数的解析式为， ∵在正比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴该正比例函数的解析式为，的值为． 18．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知一次函数的图象过点，且与轴，轴分别交于点，，求，两点的坐标． 【答案】 【分析】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，先将点代入解析式求得，再分别令，即可求解． 【详解】解：将点代入得 解得： ∴一次函数解析式为： 当时，，当时，， ∴ 19．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知是关于x的一次函数． (1)求m的值． (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的定义以及一次函数的性质，需准确理解一次函数定义，由一次函数增减性求解函数值是解决本题的关键． （1）根据一次函数的定义来确定m的值，一次函数的一般式为，在给定的函数中，x的次数应为1，且x的系数不为0，据此求解即可． （2）先根据第一小问求出的m值得到具体的一次函数表达式，然后将x的取值范围代入函数，求出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：因为是关于x的一次函数， 所以x的次数，即，解得， 又因为一次函数中x的系数，即， 所以． （2）解：由第一小问可知， 则函数表达式为， 当时，， 当时，， 因为一次函数中，， y随x的增大而增大，且， 所以． 20．（24-25八年级下·江西新余·期末）获取新知：几何中证明三点共线的方法很多，解析式法就是其中之一：利用一次函数模型解决三点共线问题方法，若三点均在直线的图像上，则三点共线；若三点中有一点不在的图象上，则三点不共线． 感悟新知： （1）已知平面上三点，试判断三点 （共线或不共线），若不共线请求出的面积． 拓展应用： （2）平面直角坐标系中，三点共线，试求出的关系式． 【答案】（1）不共线，1； （2） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象性质和平面直角坐标系中三角形面积的求法，解题的关键是合理的利用值与点坐标的关系； （1）根据，选任意两点算出值，如果两个值一样则共线，反之不共线；再根据三点不共线在平面直角坐标系中的位置关系运用割补法求出面积可； （2）任意选两点让一样，列出关于的关系式，算出结果即可； 【详解】解：（1）根据的公式，选两点 则， 选两点， 则， ∴， ∴三点不共线， 故答案为：不共线； 如图所示，作轴，轴交于，连接， ∴， ∴的面积为1. （2）由公式可得：， 化简：， 化为整式为：， 故的关系式为. 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