第06讲 三角形中的边角关系 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪科版2024）

第06讲 三角形中的边角关系 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1三角形的相关元素 2三角形按边分类 3三角形的三边关系 4三角形的内角和定理 5三角形按角分类 6三角形的高 7三角形的角平分线 8三角形的中线 题型巩固 一、三角形的识别与有关概念 二、三角形的个数问题 三、三角形的分类 四、等腰三角形的定义 五、构成三角形的条件 六、确定第三边的取值范围 七、三角形三边关系的应用 八、与平行线有关的三角形内角和问题 九、与角平分线有关的三角形内角和问题 十、三角形折叠中的角度问题 十一、三角形内角和定理的应用 十二、画三角形的高 十三、与三角形的高有关的计算问题 十四、三角形角平分线的定义 十五、根据三角形中线求长度 十六、根据三角形中线求面积 十七、重心的概念 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（4） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1三角形的相关元素 1. 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 特别解读 1.三角形的“三要素”： (1)三条线段； (2)三个顶点不在同一条直线上； (3)三条线段首尾依次相接. 三角形的表示：用符号“△”表示三角形，如图13.1.1-1，顶点为A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由安排 2. 三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 如图13.1.1-1，点A，B，C是△ABC的三个顶点. (2)边：组成三角形的线段叫作三角形的边. 如图13 .1.1-1，线段AB，BC，AC是△ABC的三条边. 2.三角形的边是线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示，如在△ ABC中，顶点A所对的边BC可用a表示. (3)内角：在三角形中，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. 如图13 .1.1-1，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个角. 知识点2三角形按边分类 1. 不等边三角形  三角形中，三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形 . 2. 等腰三角形  三角形中，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 . 其中相等的两边叫作腰，剩余的一边叫作底边 . 两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角 . 3. 等边三角形  三角形中，三条边都相等的三角形叫作等边三角形，又叫作正三角形 . 4.三角形按边长关系分类 用图形表示如图 13.1.1-3. 知识点3三角形的三边关系 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形中任何两边的和大于第三边 两点之间 线段最短 三角形中任何两边的差小于第三边 知识点4三角形的内角和定理 1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 2. 说明三角形的内角和定理的思路 我们用折叠(图13.1.2-1)、剪拼(图13.1.2-2)的方法，将三角形的三个角拼在一起，得到三角形的内角和，这体现了数学中的转化思想. 知识点5三角形按角分类 1. 各类三角形的概念 (1) 锐角三角形：三角形中，三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形. (2) 直角三角形：三角形中，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形. (3) 钝角三角形：三角形中，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. 2. 直角三角形的表示 直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”，如图13.1.2-3所示. 3. 三角形按角的大小分类 知识点6三角形的高 1. 三角形的高的定义、性质和判定 定义 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高 图形 性质 因为AD是△ABC的边BC上的高(已知)， 所以AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 判定 因为AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°) (已知)， 所以线段AD是△ABC的边BC上的高(高的定义) 2. 三角形三条高的位置 高的位置 所在直线交点位置 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三角形内一点 直角三角形 一条高在三角形内部，两条高恰好是直角边 直角顶点 钝角三角形 一条高在三角形内部，两条高在三角形外部 三角形外一点 知识点7三角形的角平分线 定义 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 知识点8三角形的中线 1. 定义 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线. 几何语言：如图13.1.3 -5， (1)AD是△ABC中BC边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD＝DC，BD＝BC，DC＝BC(或BD＝DC＝BC). 2. 三角形的重心 三角形的三条中线相交于一点，这个交点就是三角形的重心(如图13.1.3 - 6中的点O).重心在三角形内部. 题型巩固 题型一、三角形的识别与有关概念 1．学习完三角形的概念后，小强同学用火柴拼成的图形如下，其中符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，图中有 个三角形；其中以AB为边的三角形有 ；含的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 题型二、三角形的个数问题 3．如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，以为边的三角形有 个． 题型三、三角形的分类 5．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）三角形的三个角的度数分别是，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 题型四、等腰三角形的定义 7．等腰三角形的周长为15，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 8．等腰三角形一边等于4，另一边等于2，则周长是 9．用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形．能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ 题型五、构成三角形的条件 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 个不同的三角形． 题型六、确定第三边的取值范围 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）的两边长分别是3和4，则第三边长不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 ． 14．已知△ABC三边长分别为4，2a+1，7，求a的取值范围． 题型七、三角形三边关系的应用 15．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．2、3、5 B．5、15、8 C．10、16、8 D．3、6、9 16．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）若的边长均为整数，且最长边等于5，最短边等于3，则第三条边长等于 ． 17．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，，． (1)求的取值范围； (2)若的长度是奇数，求的周长． 题型八、与平行线有关的三角形内角和问题 18．如图所示，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=650, 那么∠BDC等于（      ） A．122.50 B．187.50 C．178.50 D．1150 19．如图，中，，∥，则等于 ． 题型九、与角平分线有关的三角形内角和问题 20．如图，在△ABC中，∠A=50°，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，则∠BOC的度数为（   ） A．65° B．70° C．115° D．125° 21．如图，在中，于点D，平分．若，，则的度数为 ． 22．如图，在中，和的平分线相交于点，根据下列条件，求的度数． （1）若，，则______； （2）若，则______； （3）若，则______； （4）从以上的计算中，你能发现已知，求的公式是：______（提示：用表示）． 题型十、三角形折叠中的角度问题 23．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 24．如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 25．如图，将三角形纸片的一个角折叠，折痕为，若． （1）求的度数； （2）求的度数．    题型十一、三角形内角和定理的应用 26．如图，在中，，若点在内，且，则的度数为（    ） A．110° B．115° C．120° D．125° 27．如图， 度． 题型十二、画三角形的高 28．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）下列各图中，是边上的高的是（   ） A． B． C． D． 29．判断下列各图中，是不是中边上的高？如果不是，请你画出中边上的高． 题型十三、与三角形的高有关的计算问题 30．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（   ） A．60 B．120 C．90 D．100 31．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，于点E，于点D，交于点B．若，，则 ． 32．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，和是的两条高线且相交于点O． (1)已知，求的度数； (2)若，，求的值． 题型十四、三角形角平分线的定义 33．如图，在三角形ABC中，∠B=40°，∠C=70°，∠A的平分线与BC边的垂线EF交于点E，AD是BC边上的高，则∠E=　　　　 度． A．15° B．20° C．10° D．12° 34．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= ． 题型十五、根据三角形中线求长度 35．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（   ） A．2 B．13 C．3或13 D．2或12 36．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的周长为 ． 37．（23-24八年级上·安徽六安·期末）在中，，是中线，若周长与的周长相差，求． 题型十六、根据三角形中线求面积 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 40．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∵， ∴． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 题型十七、重心的概念 41．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 42．三角形三条 （填写“高”、“中线”或“角平分线”）的交点叫做三角形的重心． 43．如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 分层强化 一、单选题 1．如图，在中，，．若中线，且，则的面积为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．如图，在中，若，点E是BC边上一点，且不与点B，C，D重合，则以AD为高的三角形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，的面积为3，点分别为的中点，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 4．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 7．在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（  ） A． B． C． D． 8．如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（    ） A．3 B．2 C． D．4 二、填空题 9．若三角形一边长为，并且这边上的高为，则这个三角形的面积为 ． 10．一个三角形的两个内角分别为和，那么这个三角形的第三个内角度数为 ． 11．三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 12．如图，在中，、的平分线BE、CD相交于点F，，，则 ． 三、解答题 13．在中，，，若是偶数，求的长． 14．如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 15．已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 16．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 17．如图，在ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．计算： （1）若∠A 60°，求∠BOC的度数； （2）若∠A 100°, 则∠BOC的度数是多少？ （3）若∠A 120°, 则∠BOC的度数又是多少？ （4）由（1）、（2）、（3），你发现了什么规律？请用一个等式将这个规律表示出来. 18．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 三角形中的边角关系 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1三角形的相关元素 2三角形按边分类 3三角形的三边关系 4三角形的内角和定理 5三角形按角分类 6三角形的高 7三角形的角平分线 8三角形的中线 题型巩固 一、三角形的识别与有关概念 二、三角形的个数问题 三、三角形的分类 四、等腰三角形的定义 五、构成三角形的条件 六、确定第三边的取值范围 七、三角形三边关系的应用 八、与平行线有关的三角形内角和问题 九、与角平分线有关的三角形内角和问题 十、三角形折叠中的角度问题 十一、三角形内角和定理的应用 十二、画三角形的高 十三、与三角形的高有关的计算问题 十四、三角形角平分线的定义 十五、根据三角形中线求长度 十六、根据三角形中线求面积 十七、重心的概念 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（4） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1三角形的相关元素 1. 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 特别解读 1.三角形的“三要素”： (1)三条线段； (2)三个顶点不在同一条直线上； (3)三条线段首尾依次相接. 三角形的表示：用符号“△”表示三角形，如图13.1.1-1，顶点为A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由安排 2. 三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 如图13.1.1-1，点A，B，C是△ABC的三个顶点. (2)边：组成三角形的线段叫作三角形的边. 如图13 .1.1-1，线段AB，BC，AC是△ABC的三条边. 2.三角形的边是线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示，如在△ ABC中，顶点A所对的边BC可用a表示. (3)内角：在三角形中，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. 如图13 .1.1-1，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个角. 知识点2三角形按边分类 1. 不等边三角形  三角形中，三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形 . 2. 等腰三角形  三角形中，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 . 其中相等的两边叫作腰，剩余的一边叫作底边 . 两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角 . 3. 等边三角形  三角形中，三条边都相等的三角形叫作等边三角形，又叫作正三角形 . 4.三角形按边长关系分类 用图形表示如图 13.1.1-3. 知识点3三角形的三边关系 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形中任何两边的和大于第三边 两点之间 线段最短 三角形中任何两边的差小于第三边 知识点4三角形的内角和定理 1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 2. 说明三角形的内角和定理的思路 我们用折叠(图13.1.2-1)、剪拼(图13.1.2-2)的方法，将三角形的三个角拼在一起，得到三角形的内角和，这体现了数学中的转化思想. 知识点5三角形按角分类 1. 各类三角形的概念 (1) 锐角三角形：三角形中，三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形. (2) 直角三角形：三角形中，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形. (3) 钝角三角形：三角形中，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. 2. 直角三角形的表示 直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”，如图13.1.2-3所示. 3. 三角形按角的大小分类 知识点6三角形的高 1. 三角形的高的定义、性质和判定 定义 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高 图形 性质 因为AD是△ABC的边BC上的高(已知)， 所以AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 判定 因为AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°) (已知)， 所以线段AD是△ABC的边BC上的高(高的定义) 2. 三角形三条高的位置 高的位置 所在直线交点位置 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三角形内一点 直角三角形 一条高在三角形内部，两条高恰好是直角边 直角顶点 钝角三角形 一条高在三角形内部，两条高在三角形外部 三角形外一点 知识点7三角形的角平分线 定义 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 知识点8三角形的中线 1. 定义 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线. 几何语言：如图13.1.3 -5， (1)AD是△ABC中BC边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD＝DC，BD＝BC，DC＝BC(或BD＝DC＝BC). 2. 三角形的重心 三角形的三条中线相交于一点，这个交点就是三角形的重心(如图13.1.3 - 6中的点O).重心在三角形内部. 题型巩固 题型一、三角形的识别与有关概念 1．学习完三角形的概念后，小强同学用火柴拼成的图形如下，其中符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】根据三角形的概念一一辨析可得正确解答． 【详解】解：三角形指的是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，而A、B、D图形的三根火柴都全部没有或者部分没有首尾相接，所以A、B、D都不符合题意，只有C图形是由三根火柴首尾顺次相接而成的，所以C符合三角形概念． 故选C． 【点睛】本题考查三角形的定义，正确理解三角形是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形是解题关键． 2．如图所示，图中有 个三角形；其中以AB为边的三角形有 ；含的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 【答案】 8 OB 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】根据三角形的定义和角的定义判断即可； 【详解】由题可得，图中的三角形有△AOD，△AOB，△BOC，△DOC，△BAD，△ABC，△BCD，△ADC，共8个； 以AB为边三角形有； 含的三角形有； 在中，的对角是，的对边是OB； 故答案是：8；；；OB； 【点睛】本题主要考查了三角形的概念应用，准确理解是解题的关键． 题型二、三角形的个数问题 3．如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】三角形的个数问题 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有，，，， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：B． 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 4．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，以为边的三角形有 个． 【答案】2 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查的是三角形的认识．根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：以为边的三角形的有，，一共有2个． 故答案为：2． 题型三、三角形的分类 5．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）三角形的三个角的度数分别是，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了直角三角形的特征，根据有一个角度为的三角形为直角三角形判断可得，熟悉直角三角形的意义是解题的关键． 【详解】解：三角形的三个角的度数分别是， 因为有最大的角为直角，另外两个角互余， 所以这个三角形为直角三角形， 故选：B． 6．说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【答案】锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有： 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类进行求解即可． 【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键． 题型四、等腰三角形的定义 7．等腰三角形的周长为15，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】由于长为3的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】由题意知，应分两种情况： （1）当腰长为3时，则另一腰也为3，底边为15﹣2×3=9． ∵3+3＜9，∴不能构成三角形； （2）当底边长为3时，腰的长=（15﹣3）÷2=6，边长为3，6，6，能构成三角形． 故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 8．等腰三角形一边等于4，另一边等于2，则周长是 【答案】10 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】因为等腰三角形的两边分别为4和2，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当4为底时，其它两边都为2，2、2、4不可以构成三角形； 当4为腰时，其它两边为4和2，4、4、2可以构成三角形，周长为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 9．用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形．能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】能，理由见解析 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】由用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为4cm，可以分别从①若4cm为底边长，②若4cm为腰长时，去分析，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形，继而可求得答案． 【详解】解：当4cm为底时，腰长为（18-4）÷2=7cm； 当4cm为腰时，底边为18-4-4=10cm， ∵4+4＜10， ∴不能构成三角形，故舍去； ∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，解题的关键是注意分类讨论思想的应用． 题型五、构成三角形的条件 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 11．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 个不同的三角形． 【答案】3 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可获得答案． 【详解】解：（1）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形； （2）当取、、三条线段时，∵，故不能构成三角形； （3）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形； （4）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形． 综上所述，可作3个不同的三角形． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系解题的关键． 题型六、确定第三边的取值范围 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）的两边长分别是3和4，则第三边长不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围是解题的关键．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：设第三边长为x， 的两边长分别是3和4， ， 故选：． 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】设第三边长为m，根据题意，得即，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为m，根据题意，得即， 故答案为：． 14．已知△ABC三边长分别为4，2a+1，7，求a的取值范围． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可列不等式求第三边长的范围，从而求a的取值范围． 【详解】解：由三角形三边关系定理得，即． ∴a的取值范围是． 【点睛】本题考查的是三角形第三边的范围，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式． 题型七、三角形三边关系的应用 15．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．2、3、5 B．5、15、8 C．10、16、8 D．3、6、9 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了能够成三角形三边的条件，“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得： A、，2、3、5不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、，5、15、8不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、，10、16、8能组成三角形，故此选项符合题意； D、，3、6、9不能组成三角形，故此选项不合题意； 故选：C． 16．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）若的边长均为整数，且最长边等于5，最短边等于3，则第三条边长等于 ． 【答案】3或或5 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，由题意根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而由的边长均为整数，最长边等于5，最短边等于3，确定第三边的长度． 【详解】解：设第三边长是c，则 即 ∵最长边等于5，最短边等于3， ∴ 又为整数 ∴或4或5 故答案为：3或或5． 17．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，，． (1)求的取值范围； (2)若的长度是奇数，求的周长． 【答案】(1)； (2)12 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边的关系的应用． （1）利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边结合即可求解； （2）根据结合的长度是奇数，求得，据此即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， 即， 又∵， ∴； （2）解：∵，是奇数， ∴， ∴的周长为：． 题型八、与平行线有关的三角形内角和问题 18．如图所示，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=650, 那么∠BDC等于（      ） A．122.50 B．187.50 C．178.50 D．1150 【答案】A 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形的角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）， =180°-（∠ABC+∠ACB）， =180°-（180°-∠A）， =90°+∠A， =122.5°． 故答案选A． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和定理及角平分线的定义，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理及角平分线的定义. 19．如图，中，，∥，则等于 ． 【答案】/62度． 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A，再根据两直线平行，同位角相等可得 ，从而得解． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型九、与角平分线有关的三角形内角和问题 20．如图，在△ABC中，∠A=50°，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，则∠BOC的度数为（   ） A．65° B．70° C．115° D．125° 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，由角平分线的定义得出∠OBC+∠OCB=65°，再由三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数． 【详解】解：， ， 、分别平分、， ，， ， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 21．如图，在中，于点D，平分．若，，则的度数为 ． 【答案】12 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的定义，先求解，，，再进一步求解即可. 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： 22．如图，在中，和的平分线相交于点，根据下列条件，求的度数． （1）若，，则______； （2）若，则______； （3）若，则______； （4）从以上的计算中，你能发现已知，求的公式是：______（提示：用表示）． 【答案】（1）130°；（2）125°；（3）135°；（4）． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数； （2）依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数； （3）依据∠A=90°，可得∠ABC+∠ACB的度数，依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数； （4）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB的度数，依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC=90°+∠A． 【详解】解：如下图所示， （1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠2+∠4=20°+30°=50°， ∴△BCP中，∠P=180°-50°=130°， 故答案为：130°； （2）∵∠ABC+∠ACB=110°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠2+∠4=×110°=55°， ∴△BCP中，∠P=180°-55°=125°， 故答案为：125°； （3）∵∠A=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°， ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠2+∠4=×90°=45°， ∴△BCP中，∠P=180°-45°=135°， 故答案为：135°； （4）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴， ∴△BCP中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°． 题型十、三角形折叠中的角度问题 23．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理得到的度数，进而得到的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 24．如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查三角形的内角和定理，轴对称的性质． 由三角形的内角和求出，再由折叠得到，进而平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠得到， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 25．如图，将三角形纸片的一个角折叠，折痕为，若． （1）求的度数； （2）求的度数．    【答案】（1）70°；（2）70° 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据∠CFE＝75°即可得出结论； （2）由折叠可得∠BFC=180°-2∠CFE，∠AEC=180°-2∠CEF，先求出∠CFE+∠CEF=145°，然后即可求出答案． 【详解】（1）解：∵△ABC中，∠A＝80°，∠B＝65°， ∴∠C＝180°−80°−65°＝35°， ∵△AEF中，∠C＝35°，∠CFE＝75°， ∴∠CEF＝180°−35°−75°＝70°； （2）由折叠可得∠BFC=180°-2∠CFE，∠AEC=180°-2∠CEF， ∵∠C+∠CFE+∠CEF=180°，∠C=35°， ∴∠CFE+∠CEF=145°， ∴∠AEC+∠BFC=180°-2∠CEF+180°-2∠CFE=360°-2（∠CEF+∠CFE）=70°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 题型十一、三角形内角和定理的应用 26．如图，在中，，若点在内，且，则的度数为（    ） A．110° B．115° C．120° D．125° 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】在△BPC中，利用三角形内角和得到∠BPC＝180°－∠2－∠PCB，再利用等量代换即可求得∠BPC． 【详解】在△BPC中，∠BPC＝180°－∠2－∠PCB， 而∠PCB＝∠ACB－∠1， ∴∠BPC＝180°－∠2－（∠ACB－∠1）＝180°－∠2－∠ACB＋∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠BPC＝180°－∠ACB＝180°－65°＝115°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角的和差关系，属于基础题型． 27．如图， 度． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 题型十二、画三角形的高 28．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）下列各图中，是边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形的高的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是边上的高，符合题意； B、不是边上的高，不符合题意； C、不是边上的高，不符合题意； D、不是边上的高，不符合题意； 故选：A． 29．判断下列各图中，是不是中边上的高？如果不是，请你画出中边上的高． 【答案】不是，图详见解析 【知识点】画三角形的高 【分析】（1）钝角三角形中，BC上的高应为过点A垂直于BC所在的直线的线段，所以过点A作BC的延长线的垂线交于点E，AE即为BC边上的高； （2）锐角三角形中，BC上的高应为过点A垂直于BC的线段，所以过点A作BC垂线交于点E，AE即为BC边上的高. 【详解】解：（1）和（2）中AD都不是中边上的高． 如图所示：即为中边上的高．        如图所示：即为中边上的高 【点睛】本题考查了三角形高线的定义及尺规作图，灵活掌握过直线外一点作直线的垂线是作出三角形高的关键. 题型十三、与三角形的高有关的计算问题 30．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（   ） A．60 B．120 C．90 D．100 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查图形的拼剪，长方形的性质，三角形的面积等知识，根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∴的边上的高为12， ∴， 故选：B． 31．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，于点E，于点D，交于点B．若，，则 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形面积公式，熟知三角形面积公式是解题的关键．根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，和是的两条高线且相交于点O． (1)已知，求的度数； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，三角形的高的定义． （1）利用三角形内角和定理求出，即可求解； （2）利用等面积法得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是的两条高线， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：由三角形的面积公式，得． ∵，， ∴． ∴． 题型十四、三角形角平分线的定义 33．如图，在三角形ABC中，∠B=40°，∠C=70°，∠A的平分线与BC边的垂线EF交于点E，AD是BC边上的高，则∠E=　　　　 度． A．15° B．20° C．10° D．12° 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】利用，，和内角和为，求出 ，根据BC平分∠A，得，进一步可得，利用则有. 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵BC平分∠BAC， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴ ∴ 故选A． 【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相应的知识点． 34．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= ． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】根据角平分线的性质，可知∠ACD，进而根据三角形外角定理，即可求得∠A. 【详解】∵CE是角∠ACD的平分线，∠ACE=60° ∴∠ACD=120° 又∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠A=∠ACD-∠B=85° 故答案为85°. 【点睛】本题主要考查角平分线的性质和三角形外角定理，熟知上述知识点是解答本题的关键. 题型十五、根据三角形中线求长度 35．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（   ） A．2 B．13 C．3或13 D．2或12 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，分类讨论：①当的周长大于的周长时，②当的周长比的周长大时，根据三角形中线的性质及与的周长差即可求解，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：①当的周长大于的周长时， 为边的中线， ， 与的周长差， 与的周长差为5，， ， 解得； ②当的周长比的周长大时， 为边的中线， ， 与的周长差， 与的周长差为5，， ， 解得， 综上或13， 故选：C． 36．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的周长为 ． 【答案】17 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形中线的特点进行解答即可． 【详解】解：∵为的边上的中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴的周长为， 故答案为：17． 37．（23-24八年级上·安徽六安·期末）在中，，是中线，若周长与的周长相差，求． 【答案】或 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差是解题关键． 根据三角形的中线的定义可得，然后依据周长与的周长相差，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图， 是中线， ， 周长的周长， 周长与的周长相差， ， ∵ 或． 题型十六、根据三角形中线求面积 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线平分三角形的面积是正确解答此题的关键． 根据三角形中线平分三角形面积得到，进而得到，同理可得． 【详解】解：∵点是的中点， 的面积为， ∴， ∵点是的中点， ∴，同理可得， 同理可得，． 故选B． 39．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【答案】 4 / 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 40．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∵， ∴． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）见解析． 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质：三角形中线平分三角形的面积； （1）根据即可求解； （2）取中点E，连接，则，从而得，由此可求得结果； （3）连接，取中点E，连接，则，从而均分了四边形． 【详解】解：（1）∵点D是边上的中点， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）取中点E，连接，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，取中点E，连接， 则， ∴， 即， ∴四边形被平均分． 题型十七、重心的概念 41．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，据此判断即可，熟记三角形的重心是三角形中线的交点是解题的关键． 【详解】解：由图可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点， ∴点是重心， 故选：． 42．三角形三条 （填写“高”、“中线”或“角平分线”）的交点叫做三角形的重心． 【答案】中线 【知识点】重心的概念 【分析】此题考查三角形重心的定义，熟记定义是解题的关键． 根据三角形重心的定义解答． 【详解】解：三角形的三条中线的交点叫三角形的重心． 故答案为：中线． 43．如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】(1) (2)6 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 分层强化 一、单选题 1．如图，在中，，．若中线，且，则的面积为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线将三角形面积分成相等的两部分，根据已知求出，由是中线可得． 【详解】解：∵，． ， ∴， ∵是中线， ∴， ∴ 故选：C． 2．如图，在中，若，点E是BC边上一点，且不与点B，C，D重合，则以AD为高的三角形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义即可求解． 【详解】解：∵在中，，点E是BC边上一点，且不与点B，C，D重合， ∴AD是，的高，共6个， 故选C． 【点睛】此题主要考查三角形的高，解题的关键是熟知三角形高的定义． 3．如图，的面积为3，点分别为的中点，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查中点定义、与中线有关的三角形面积问题，点分别为的中点，在不同三角形中由等底同高找准相关三角形面积的关系，数形结合即可得到答案．数形结合，由在不同三角形中由等底同高找准相关三角形面积的关系是解决问题的关键． 【详解】解：是边中点， 以上的边为底，和等底同高，即， ， 是边中点， 以上的边为底，和等底同高，即， 是边中点， 以上的边为底，和等底同高，即， ， 是边中点， 以上的边为底，和等底同高，即， ， 故选：D． 4．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 5．如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出，进而求出，再根据角平分线定义得及，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 6．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 7．在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的度数可以求出与的和，由角平分线的性质可以得出，，即可得出与的和，即可得出的度数． 【详解】 ∵， ∴+=110°， ∵为与的平分线， ∴，， ∴+=110÷2=55°， ∴=180°－55°=125°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟记相关概念是解题关键． 8．如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形的中线等知识点，能灵活运用三角形的中线以及等分线求面积成为解题的关键． 由、、可以求出的面积和的面积，再结合图形可得即可解答． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ∵， ∴，， ， ． 故选：D． 二、填空题 9．若三角形一边长为，并且这边上的高为，则这个三角形的面积为 ． 【答案】ah 【分析】根据三角形的面积公式，即可求得． 【详解】解：∵S△=×底×高， ∴此三角形面积应为ah， 故答案为：ah． 【点睛】本题考查了三角形面积公式：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高． 10．一个三角形的两个内角分别为和，那么这个三角形的第三个内角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和为． 利用三角形内角和定理，用减去已知的两个内角的度数，即可求出第三个内角的度数． 【详解】第三个内角， 故答案为：． 11．三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 12．如图，在中，、的平分线BE、CD相交于点F，，，则 ． 【答案】120° 【详解】解：∵∠ABC=42°，∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180° ∴∠ACB=180°−42°−60°=78° 又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD ∴∠FBC=∠ABC=21°，∠FCB=∠ACB=39° 又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180° ∴∠BFC=180°−21°−39°=120° 故答案为120°． 【点睛】本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，综合运用三角形内角和定理和角平分线的性质是解答此题的关键． 三、解答题 13．在中，，，若是偶数，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形三条边的关系．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系得： ， 即， ∵为偶数， ∴． 14．如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线有关的面积，由边之间的关系得，，阴影部分的面积转化成的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ，， ，，， ， ， ， 解得∶， 故阴影部分的面积为． 15．已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】(1)该三角形最短边的最小值4； (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （2）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （2）解：设， 由题意可得：， 解得：． 16．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． （1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论； （2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形内角和等于即可求解． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， ； （2）解：， ， 、是角平分线， ， ． 17．如图，在ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．计算： （1）若∠A 60°，求∠BOC的度数； （2）若∠A 100°, 则∠BOC的度数是多少？ （3）若∠A 120°, 则∠BOC的度数又是多少？ （4）由（1）、（2）、（3），你发现了什么规律？请用一个等式将这个规律表示出来. 【答案】（1）∠BOC120°；（2）∠BOC140°；（3）∠BOC=150°；（4）∠BOC=90°+∠A 【分析】(1)根据BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB可得: ∠CBO+∠BCO的值,再根据三角形内角和得出∠BOC; (2)、(3)同理(1)可求得; (4)根据(1)-(3)规律可得. 【详解】（1）∵BO，CO分别平分和，∴，，∵. ∴， ∴. （2）由（1）可知，若，则. （3）由（1）可知，若，则. （4）由（1）（2）（3），发现：. 【点睛】考查了三角形内角和定理．第一，第二问是解决第三问发现规律的基础，因而总结前两问中的基本解题思路是解题的关键． 18．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 【答案】（1）见解析  （2）30°   （3） 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，利用类比的思想解答是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，对顶角相等，即可求证； （2），得，再由角平分线的定义，得到 ，即可求解； （3）利用（1）的结论及（2）的思路得、；结合、，推出、；代入得到含、、的两个等式①②；对①式乘后与②式相加，消去、，整理得 。 【详解】解：（1）和， ，． ， （2）分别平分， ， 由（1）可知： 由①+②可得， ，即， ，， ． （3）直接写出结论：． 由（1）可知：， ， ，， ，， ①， ②， 由①②得： ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$