11.2.1 棱锥与圆锥（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

11.2.1 棱锥与圆锥 题型一 椎体、台体的结构特征 1．关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【分析】根据正棱锥的性质，即可判断选项. 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形． 故选：C 2．正三棱锥的面的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三棱锥的几何结构特征，即可求解. 【详解】根据三棱锥的几何结构特征，可得三棱锥共有4个面，其中三个侧面和一个底面. 故选：B. 3．已知由五个面围成多面体，有且只有四个面是三角形，则这个几何体为（   ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】B 【分析】根据棱锥的定义判断即可． 【详解】有一个面是多边形，其余四个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥， 故根据棱锥的定义可知该几何体有四条侧棱，该几何体是四棱锥． 故选：B. 4．下列说法正确的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是圆台 C．棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点 D．平行于同一平面的两条直线平行 【答案】C 【分析】根据几何体性质和线面的位置关系分析即可. 【详解】底面是正方形但是侧棱不相等的棱锥不是正四棱锥，故A错误； 要用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是圆台，故B错误； 因为棱台是由棱锥截得的，所以棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点，故C正确； 平行于同一平面的两条直线，可能平行、相交、异面，故D错误， 故选：C. 5．下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【答案】C 【分析】根据常见几何体的基本特征判断各选项即可. 【详解】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误. 故选：C. 6．下列命题中，正确的是（    ） A．底面是正方形的四棱柱是正方体 B．棱锥的高线可能在几何体之外 C．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 【答案】B 【分析】举反例否定选项A；举例验证判断选项B；依据棱柱定义判断选项C；依据棱锥定义判断选项D 【详解】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方体，故A错误； 斜棱锥的高线有可能在几何体之外，故B正确； 根据棱柱的定义可得，有两个面互相平行， 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.而满足选项C条件的几何体可能是组合体.故C错误； 有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D错误． 故选：B． 7．下列命题中正确的是（   ） A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱 B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】D 【分析】利用棱柱、棱锥、圆锥的结构特征逐项判断即可. 【详解】对于A，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，A错误； 对于B，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱，B错误； 对于C，沿直角三角形的斜边所在直线旋转一周，得到是共底面的两个圆锥组成的组合体，C错误； 对于D，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，D正确. 故选：D 8．下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据棱锥和棱台的定义、结构特征依次判断命题即可求解. 【详解】①：若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥， 棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，故①错误； ②：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故②正确； ③：由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，故③正确； ④：由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，故④正确； ⑤：如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故⑤错误； 故答案为：②③④. 9．给出下列命题： ①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个； ②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆； ③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交； ④用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面. 其中正确的为 （填序号）. 【答案】① 【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的定义性质和截面情况,可以判断正误. 【详解】①正确,因为圆柱轴截面矩形的长是底面圆的直径,所以此时截面面积最大;②错误,因为截面可能是一个三角形; ③错误,圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点;④错误,有可能截面为矩形. 故答案为：① 10．如图是空间几何体的展开图，请问各是什么空间几何体？    【答案】（1）是正六棱柱；（2）是正五棱锥. 【分析】根据棱柱和棱锥的几何特征即可求解. 【详解】如图所示.    （1）是正六棱柱；（2）是正五棱锥. 11．指出下图中的几何体分别由哪些简单几何体组成． 【答案】答案见解析. 【分析】结合常见空间几何体的结构特征依次说明组合体即可. 【详解】第一个几何体是由一个长方体割去一个四棱台而成； 第二个几何体是由一个长方体挖去一个小的长方体而成的； 第三个几何体是由一个小圆柱穿过一个圆锥而成的； 第四个几何体是由一个三棱柱和2个不同的长方体拼接而成的. 题型一 简单几何体的判断 1．在正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若为中点，连接，直线和夹角即是直线和夹角，为或其补角，若正四面体的棱长为4，求出相关线段长，应用余弦定理求夹角余弦值. 【详解】若为中点，如下图，连接，则且， 所以直线和夹角，即直线和夹角，为或其补角， 若正四面体的棱长为4，则，，，， 所以， 综上，直线和夹角的余弦值为. 故选：D 2．下列说法正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．正四面体的高为其棱长的倍 C．用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 D．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 【答案】C 【分析】由长方体的结构特征判断A；根据正四面体的定义求解判断B；由正方体的结构特征，作出截面即可判断C； 根据圆锥的结构特征，即可判断D. 【详解】对于A，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不正确； 对于B，设棱长为a，正四面体的高是从一个顶点垂直于对面的高度， 所以底面的等边三角形的高为， 底面的重心将高分为， 又正四面体的高h与侧棱a和底面重心到顶点的距离构成直角三角形： 所以，故B不正确； 对于C，用一个平面去截一个正方体，分别是所在棱的中点，所得截面形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形， 如图所示： ， 故C正确； 对于D，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为， 显然当，面积最大， 故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故D错误. 故选：C. 3．已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 【答案】C 【分析】取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，可求得P在以H为圆心，为半径的圆上，进而计算即可得答案. 【详解】如图1，取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，由， 知，所以，又， 所以，所以点P在以H为圆心，为半径的圆上. 如图2，由，得， 解得（结合图形舍去），所以四边形BGHF是菱形，， 所以点P的轨迹的长度为. 故选：C. 4．如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（   ）    A．直线与直线所成角为45° B．平面 C．直线与平面所成角的为 D．是线段的中点 【答案】B 【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断A；利用线面垂直的性质判定推理判断B；求出线面角判断C；利用正三棱锥的定义判断D. 【详解】对于A，连接，四边形是正方体的对角面， 则四边形为矩形，， 是直线与直线所成角或其补角， 而，因此，A错误； 对于B，平面，平面， 则，又， 平面， 则平面，又平面， 于是，同理，又， 因此平面，B正确； 对于C，连接，设，连接， 由选项B，同理得平面， 则为直线与平面所成的角， 在中，， 因此，，C错误； 对于D，是正三棱锥顶点在底面正上的射影， 因此是正的重心， 而是中点，则，D错误. 故选：B    5．下列说法正确的是（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】C 【分析】根据空间几何体的结构特征，即可求解ABD,根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断C. 【详解】对于A，如图1所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形， 此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为， 显然当，面积最大， 故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故B错误； 对于C，棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面， 所以该棱锥为四棱锥，故C正确； 对于D，棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点． 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误． 反例1：如图2所示的几何体中，四边形和四边形均为矩形，且，，且平面平面，且，则该几何体满足D，但不是棱台； 反例2：如图3所示，由两个棱台组合而成的几何体满足D，但这个几何体不是棱台． 故选：C. 6．给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分类讨论，确定平面的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断，即可求解. 【详解】当平面与四面体的一条棱的中点相交时， 不妨设平面过棱的中点，此时点到平面的距离相等， 且平面平面，如图（1）所示 此时到平面的距离可能与到平面的距离相同，此时有1不同的值； 不妨设平面过棱的中点，且过分别为的三等分点时， 如图（2）所示，此时点到平面的距离相等，且到平面的距离相等， 且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2不同的值； 不妨设平面过棱的中点，且过分别为的三等分点时， 如图（3）所示，此时点到平面的距离相等， 其中到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2不同的值； 不妨设平面过棱的中点，过的靠近的三等分点，过靠近点的三等分点，此时到平面的距离不同，到平面的距离不同， 且到平面的距离两两之间都可能不同，此时有3个不同的值； 又因为四个点均不在平面上，也不在平面的同侧， 所以不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面的同侧）， 所以的所有不同值的个数组成的集合为. 故选：B. 7．在正三棱台中，分别为棱的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，，根据正棱台可判断三棱锥为正三棱锥，根据棱长进而判断为正四面体，由正四面体的性质即可结合长度以及线面角的定义求解. 【详解】由题意可知，延长必交于一点， 由可知，分别是的中点， 又点为线段的中点，所以， 因分别为棱的中点，则， 又四边形为正方形，所以，所以， 由于三棱锥为正三棱锥，因此三棱锥为正四面体， 因此直线与平面所成的角即为直线与平面所成角， 取的中心为，连接，则平面， 所以为直线与平面所成角， 设正四面体的棱长为 ， 在中，，， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 8．如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离点5m的点处，若女孩沿方向前行5m到达点，此时为的中点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹围成图形的面积为 .    【答案】18 【分析】根据题意可知，女孩头顶的影子轨迹所围成的图形是一个正方形，由此可求得女孩头顶的影子轨迹所围成的图形面积. 【详解】把路灯看作一个点光源，女孩走一圈时头顶影子的轨迹与点光源构成一个四棱锥，    头顶轨迹为截面，与底面距离为，截面是正方形， 底面即女孩走一圈时头顶影子的轨迹也是正方形，相似比为， 截面面积与底面面积之比为相似比的平方，截面边长为， 设底面面积为，则，解得. 故答案为：18. 9．有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径 . 【答案】 【分析】连接，由题设条件结合余弦定理依次求出和，再由弧长公式结合圆的周长公式即可计算求解. 【详解】由题可得，所以为正三角形， 连接，则由题， 所以O为的外心也是内心， 所以， 所以， 所以， 所以由. 故答案为： 10．若一个正四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为，则侧棱长为 ． 【答案】4 【分析】根据题意，求出对角线的长度，构造直角三角形，求出侧棱长. 【详解】如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，则， 高 所以侧棱长． 故答案为：4. 11．已知梯形中，为上的一点且，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接，F为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)当时，求直线和平面所成角的大小． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 (3) 【分析】（1）取PE的中点G，证明是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）由，得到，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （3）由（2）得到为二面角的平面角，过点F作，由面面垂直的性质定理可得平面，从而是直线和平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）如图所示： 取PE的中点G，连接， 因为F为棱的中点，则， 因为在梯形中，，所以， 又，所以， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）在梯形中，因为， 所以将沿翻折后，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （3）由（2）知， 所以为二面角的平面角， 过点F作，因为平面平面， 又平面，平面平面， 所以平面， 所以是直线和平面所成的角， 因为，所以， 在中，， 由（1）知四边形是平行四边形， 所以， 在中，， 则， 所以直线和平面所成的角为. 12．正四面体ABCD中，AD的中点为E，在DC的延长线上取一点G，连结EG交AC于F，若截面BEF将四面体分成自上而下的两部分的体积之比为λ. (1)作出截面BEF； (2)判断λ能不能等于1，请说明理由； (3)求出λ的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】 （1）设，过C作AD的平行线交EG于H，则，结合体积公式根据体积比列式即可确定点的位置，从而作出截面； （2）根据及判断即可； （3）根据求解即可. 【详解】（1）如图，设，过C作AD的平行线交EG于H， 则，所以，又， 所以，根据已知条件， 所以，解得，此式中λ为已知数， 所以可根据此式来确定的值，从而找到点G的位置，截面BEF即可作出. （2）因为，所以，否则，即截面BEF不可能平分正四面体的体积. （3）因为，解得，所以λ的取值范围为. 题型二 椎体的表面展开图的最短距离问题 1．已知两圆锥的底面积分别为，，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】设圆锥（底面积较小）的底面半径为，母线长为，圆锥（底面积较大）的底面半径为，母线长为， 依题意， 所以， 所以 ，当且仅当时等号成立. 故选：B 2．已知母线长为a的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意求得圆锥的底面半径与高，从而利用比例关系得到圆柱底面半径与高的关系，再利用基本不等式求得圆柱的侧面积最大时圆柱底面半径与高的取值，从而得解. 【详解】依题意，设圆锥底面半径为，高为，圆柱底面半径为，高为，    则，则，故， 所以由，得， 所以圆柱的侧面积， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，圆柱的体积为. 故选：B. 3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据题意，由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列出方程，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则， 解得， 故选：D. 4．如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【分析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 【详解】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 5．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内，求解三角形，即可求解. 【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内． 由题意可知，， 设，则， 所以，所以． 由余弦定理可得， 则，即细绳的最短长度为． 故选：C. 6．已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】 【分析】利用侧面展开图与原几何体的轴截面之间的数量关系求解即可. 【详解】如图所示， 设圆锥底面圆的半径为，高为2，母线长为， 由题意得，， 故，解得． 故答案为：. 7．暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹．已知某座山高耸入云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的．如图，已知该座山的底面半径，高，则盘山步道的长度为 ，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为 .    【答案】 【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用余弦定理求两点间的距离，结合作图，求出上山路段及下山路段的长即可得解. 【详解】设入口为点，古寺位置为，则由题意，为母线的中点， 由底面圆半径为2km，山高为，则母线, 底面圆周长，所以展开图的圆心角， 作圆锥侧面展开图，如图，    由余弦定理可得， 由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值， 即点为公路的最高点，段为上坡路，段为下坡路段， 由可得，， 所以，， 所以上山和下山路段的长度之比为. 故答案为：； 8．已知侧棱长为2的正三棱锥如图所示，其侧面是顶角为的等腰三角形，一只蚂蚁从点出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】 【详解】试题分析：由题意，利用侧面展开图两次，则顶角为，利用余弦定理可得蚂蚁爬行的最短路程为． 考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题 9．（1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）；    （2）如图，在长方体中，，，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线长.    【答案】（1）答案见解析（2） 【分析】（1）依题意画出即可； （2）借助勾股定理，分别计算以为轴展开、以为轴展开、以为轴展开所得矩形的对角线的长度，取其中最小即可. 【详解】（1）平面展开图如图所示：    （2）沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法： ①如图（1），以为轴展开，； ②如图（2），以为轴展开，； ③如图（3），以为轴展开，；    综合以上，蚂蚁爬行的最短路线长：. 10．球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离．    (1)在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离． (2)如图1，在直角梯形中，，，，．现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上． ①求点到底面的距离； ②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离． 参考数据：，． 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）求出线段所对的正四棱柱外接球截面大圆的圆心角，再求出弧长. （2）①根据给定条件可得平面，再在直角三角形中求出；②利用球的截面性质确定球心，求出球半径，进而求出球面距离. 【详解】（1）正四棱柱的外接球直径，球半径， 因此球心与点构成正三角形，弦所对球过的大圆圆心角为，弧长为， 所以顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离为. （2）①在直角梯形中，，，，， ，，则为正三角形， 在棱锥中，平面，而平面，则， 又，平面，则平面， 而平面，因此，， 在中，，，， 所以点到底面的距离为. ②取中点，则为外接圆圆心，令正的外接圆圆心为， 连接，则，平面，平面， 于是，， 在中，，因此棱锥的外接球半径， 有，球的弦所对大圆的圆心角为， ，即是钝角，而， 则，在大圆中所对劣弧长为， 所以，两点在球上的球面距离为.    题型三 椎体的截面图 一、单选题 1．已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面垂直作出截面，然后利用余弦定理、三角形的面积公式等知识求得截面面积. 【详解】依题意，在正四棱锥中，， 且， 所以，所以三角形是等边三角形， 设是的中点，则，所以，且， 设平面与分别相交于点，    则由得， ， 所以，故， 所以， 所以， 在三角形中，由余弦定理得： ， 所以， 所以结合正四棱锥对称性得， 所以截面面积为. 故选：A. 2．在四棱锥中，，且，则（    ） A．不存在平行四边形截面 B．存在唯一的平行四边形截面 C．存在两个平行四边形截面 D．存在无穷多个平行四边形截面 【答案】D 【分析】根据四棱锥截面图形结合几何特征判断即可. 【详解】如图，过的截面交平面于，则因为，平面，平面， 所以平面， 因为，且，则存在，所以为平行四边形， 同时在四棱锥中，作底面的平行平面截四棱锥截面都是平行四边形， 所以存在存在无穷多个平行四边形截面， 即四棱锥中存在无穷多个平行四边形截面； 故选：D. 3．已知圆锥的底面积为，高为，过圆锥的顶点作截面，则截面三角形面积最大为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】截面三角形为等腰直角三角形时，截面面积最大，进而计算面积即可． 【详解】由题知，过圆锥顶点的截面中，截面为等腰直角三角形时，截面面积最大． 圆锥的底面积为，则底面半径为，高为，求得母线为. 截面三角形面积最大为：． 故选：C. 4．圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【答案】B 【分析】作出过圆锥顶点的截面，两条母线的夹角是时，截面三角形的最大面积，结合母线长为6，代入可得截面面积的最大值． 【详解】解：如图，过圆锥顶点认作一截面，交底面圆与， 圆锥轴截面的顶角为， 则时，截面面积取最大值， 过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为， 故选：B． 5．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.沙漏由两个完全一样的圆锥和一个狭窄的连接管道组成，通过充满了沙子的玻璃圆锥从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃圆锥所需要的时间来对时间进行测量西方发现最早的沙漏大约在公元1100年，比我国的沙漏出现要晚．时钟问世之后，沙漏完成了它的历史使命.现代沙漏可以用来助眠．经科学认证，人类的健康入睡时间是15分钟，沙漏式伴睡灯便是一个15分钟的计时器．它将古老的计时沙漏与现代夜灯巧妙结合，随着沙粒从缝隙中滑下，下部的灯光逐渐被沙子掩埋，直到15分钟后沙粒全部流光，柔和的灯光完全覆盖．就这样，宁静的夜晚，听着沙粒窸窸窣窣的声音，仿佛一首缓缓流动的安眠曲如图，一件沙漏工艺品，上下两部分可近似看成完全一样的圆锥，测得圆锥底面圆的直径为，沙漏的高（下底面圆心的距离）为，通过圆锥的顶点作沙漏截面，则截面面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一，根据条件得到，再利用基本不等式，即可求出结果； 法二，设，根据条件得到，即可求出结果. 【详解】由沙漏的对称性，通过圆锥顶点作沙漏的截面，上下两部分截面为全等的三角形，只需要讨论通过顶点作圆锥的截面的最大值， 如图，在圆锥中，过顶点作截面为，作于，延长交底面圆交于点，连接， 设，， ， 当且仅当时，“=”号成立，解得，所以沙漏截面面积最大值为， 故选：B． 方法二：设， 所以， 当为底面圆直径时，取得最大，此时，最大为钝角， 所以当时，，沙漏截面面积最大值为， 故选：B． 6．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．2 B．48 C．50 D．96 【答案】C 【分析】由题可求圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时，顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则， 当截面过中心轴时，所以， 所以， 由三角形面积公式得当时，截面面积最大，最大为. 故选：C. 7．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 8．在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直角三角形即可求得答案. 【详解】根据题意，在平面VAC内，过点F作，交VC于点E； 在平面VBC内，过点E作，交BC于点Q； 在平面VAB内，过点F作，交AB于点D，连接DQ，如图所示， 因为，则∽，设其相似比为k，即， 则； 又因为，，， 由余弦定理得，，则，即． 又平面，平面，所以，． 又，则，． 因为，则∽，则， 因为，所以，即, 同理可得，即， 因为，，则， 故四边形为平行四边形；而平面，平面， 故平面，同理平面， 即四边形为截面图形； 又平面，平面，则， 又，所以． 故平行四边形为矩形，则， 所以当时，有最大值，则， 在中，, 故选：B 二、填空题 9．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是 ． 【答案】8 【分析】由已知得、，进而可得，最后由及，即可得最大值. 【详解】由，即，故， 令且，则，即，所以， 由，而， 所以时，最大. 故答案为：8 10．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径及高，再判断轴截面三角形形状并求出最大面积. 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，该圆锥底面圆半径，而圆锥母线， 该圆锥轴的高，其轴截面顶角为，， ，，因此该圆锥轴截面是锐角三角形，是经过顶点的截面中的最大截面， 所以最大截面面积等于. 故答案为： 11．如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    【答案】①③ 【分析】设，由正四棱锥的性质，易知平面，过M作//分别交棱、于点T、L，则平面，由题意，只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案. 【详解】设，显然为正四棱锥，易知平面平面，又 ，平面平面，平面，所以平面， 过M作分别交棱、于点T、L，则平面，由题意， 只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可， 又是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过M作分别交棱 、于点E、Q，所以，即，所以， 如图1，则平面为满足题意的平面，显然四边形为正方形，对角线， 所以四边形的面积为，①正确； 如图2，过T作，过L作，易知平面为满足题意的平面， 且为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以， 所以五边形的面积， 故③正确.当与是完全相同的，所以，综上选①③. 故答案为：①③ 三、解答题 12．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助轴截面面积可得其高，即可得其母线长； （2）借助面积公式可得夹角为时，截面面积取最大值. 【详解】（1）轴截面的面积为，所以， 所以圆锥的母线长； （2）在轴截面中，，， ，， 的面积， 当时，截面面积有最大值，最大值为. 13．已知正三棱锥，高，底面边长为6，由点A向它所对的侧面作垂线，为垂足，作一个与底面平行的截面与交于P，若截面面积为，试作出此截面. 【答案】答案见解析 【分析】 在正三棱锥中，依题意有，从而求出，根据面面平行的性质定理得线线平行，从而得出点P的位置. 【详解】如图，由条件知，O为正的中心，连结与交于D，D为的中点， 连结，所以，且平分. 因为，所以点A在平面中的射影， 所以在平面SAD中，因为，所以， 即，因为，，所以， 又，∴，则. 设过P与底面平行的截面交于E，所以，所以， 又，平行截面的面积， 所以，则，即， 设，则，又， 所以，即，解得，即， 由此可作出截面，其将九等分，从A起第八个等分点为P，过P作底面的 平行截面的面积为. 一、单选题 1．如图，有一正三棱锥，已知它的底面边长为2，高为（点到平面的距离），保持在平面上，且三棱锥绕转动.若存在某个时刻，三棱锥在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分两类情况讨论，①当由点在平面内的射影与构成等腰直角三角形时，②当由点在平面内的射影与构成等腰直角三角形时；找到临界值，从而求出的取值范围. 【详解】要使得正三棱锥在平面上的射影是等腰直角三角形，包含以下两种情况： ①设点为正的中心，当顶点的投影落在右侧，正的投影为等腰时， 当点在平面上的投影恰在的中点时（如图1）， 由，则，故， 由，则，此时． 顶点可以从正的中心往上升，直至点在平面上的投影恰在的中点，所以.      ②当平面从垂直平面按逆时针方向旋转到在平面内时， 如图2，当平面垂直平面时，在平面上的投影为等腰， 此时最大，且， 如图3，当在平面内，且点在平面上的投影恰好是，此时，，有，此时最小，故.         如图4，由于此时点在平面上的投影恰好是，故可保持平面不动，让点沿运动，故有. 综上，可得. 故选：C. 2．已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定截面的顶角和母线的夹角，再利用三角形面积公式得到，结合轴截面的性质得到，进而建立不等式，求解的取值范围即可. 【详解】如图，设轴截面顶角为，两个母线的夹角为， 底面半径为，且， 由三角形面积公式得截面面积为， 若截面面积的最大值为，则，解得， 则，即，由轴截面的性质可得， 即，解得，故C正确. 故选：C 3．有两个棱长均为1的正四棱锥（木制实心玩具），底面中心分别为，另有一个棱长为1的正四面体（木制实心玩具），现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全重合并用胶水粘合（胶水厚度不计）从而拼接成一个新的玩具，对所有的拼接方式，线段长度的集合有（       ） A．1个元素 B．2个元素 C．3个元素 D．5个元素 【答案】A 【分析】根据正四棱锥的结构特征分析可知，利用补形法，将四面体补成正方体，分析点的可能位置，即可得结果. 【详解】如图所示： 在正四棱锥中，， 则，， 即全等，则， 将四面体补成正方体，如图所示： 可知点的可能位置为，且， 所以线段长度的集合有1个元素. 故选：A. 4．如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作，垂足为H，过点F作，交AB于点P，设，用表示，在中，求出的函数关系，可求t的取值范围. 【详解】如图，在平面内过点D作，垂足为H，连接HK．过点F作，交AB于点P． 设，，，所以． 设，则．因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又平面，所以． 又因为，，，平面，所以平面， 平面，所以，即． 在中，，， 因为和都是直角三角形，，， 所以，则有． 因为，所以，，， 所以，，得． 因为，所以． 故选：A. 5．半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将几何体展开为平面图形，利用两点之间线段最短求的最小值. 【详解】将该半正多面体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），如下图所示，      由半正多面体中，棱长为2，得，， 且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故选：D. 【点睛】方法点睛： 空间图形求表面上折线段之和最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系，解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决. 二、填空题 6．如图，有一正三棱锥放置在平面上，已知它的底面边长为2，高为（点到平面的距离），把靠在平面上转动，若某个时刻它在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据题意，分两类情况讨论，①当由点在平面内的射影与构成等腰直角三角形时，②当由点在平面内的射影与构成等腰直角三角形时；找到临界值，从而求出的取值范围. 【详解】要使得正三棱锥在平面上的射影是等腰直角三角形，包含以下两种情况： ①设点为正的中心，当顶点的投影落在右侧，正的投影为等腰时， 当点在平面上的投影恰在的中点时（如图1）， 由 ，则，故， 由，则，此时． 顶点可以从正的中心往上升，直至点在平面上的投影恰在的中点，所以.      ②当平面从垂直平面按逆时针方向旋转到在平面内时， 如图2，当平面垂直平面时，在平面上的投影为等腰， 此时最大，且， 如图3，当在平面内，且点在平面上的投影恰好是，此时，，有，此时最小，故.       如图4，由于此时点在平面上的投影恰好是，故可保持平面不动，让点沿运动，故有. 综上，可得. 故答案为：. 7．如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则 .    【答案】2 【分析】先作出截面，再由截面分析出各三角形的边长，利用相似三角形求解即可. 【详解】过作垂直于四棱锥底面的截面，如图所示，    由条件可知，为底面正方形的对角线，所以， 所以, 长度为正四棱柱底面正方形的对角线，所以， 长度为正四棱柱底面正方形的对角线的一半，所以， 由可得，解得， 由可得，所以， 故答案为：2 【点睛】关键点睛：作出截面把立体几何问题转化为平面几何问题，然后应用相似三角形求解. 三、解答题 8．如图，在平行四边形ABCD中，是BC的中点．将沿直线AE翻折成四棱锥是DP的中点． (1)求CF的长； (2)设二面角的大小为． （i）用表示直线PC与平面AECD所成角的正切值； （ii）求函数的值域． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）如图，取AP的中点，连接LF，LE，可证是等边三角形，四边形LECF是平行四边形，可解问题； （2）取AD的中点，连接BQ，与AE相交于点，连接DE，过作，垂足为，（i）可证可得，又证为直线PC与平面AECD所成的角，则，即可得解；（ii）由（i）得，设，有，则，利用对勾函数求值域. 【详解】（1）如图，取AP的中点，连接LF，LE， 是BC的中点，， 是等边三角形， ，且， ， ， 四边形LECF是平行四边形， ， 是等边三角形，， ； （2）取AD的中点，连接BQ，与AE相交于点，连接DE，过作，垂足为， （i），四边形ABCD是平行四边形，， ， ， ， ， 是等边三角形，， 为二面角的平面角，可得， 平面平面PGQ， 平面， 平面平面ABCD， 为直线PC与平面AECD所成的角， ， ， ， ； （ii）由 ， 设，有， ， ， ， 函数的值域为． 9．设四面体中，有k条棱长为a，其余条棱长为1． (1)时，求a的取值范围； (2)时，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不妨设，可折叠三角形，观察的长度即可； （2）分别讨论两边在一个三角形内和两边为四面体对棱这两种情况，结合等腰三角形性质和三角形两边之和大于第三边的性质求解的范围. 【详解】（1）设，固定，让绕转动， 当接近时，接近于0；当与接近于共面时，a接近于， 故；    （2）第一种情况，两边在一个三角形内时：    假设时，E为D在底面射影， 由题意得，假设中点为，连结，假设， 则，即， 解得，则且， 即，故，则， 综上，； 第二种情况，两边不在一个三角形内时： 假设， 发现当等腰三角形两腰的夹角接近时，在减小但总是存在的，故， 假设，取中点，连接， 则， 由两边之和大于第三边可知：，解得：，故，    综上，. 【点睛】关键点点睛：等腰三角形性质和三角形两边之和大于第三边的性质，是解决第二问的关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2.1 棱锥与圆锥 题型一 椎体、台体的结构特征 1．关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 2．正三棱锥的面的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知由五个面围成多面体，有且只有四个面是三角形，则这个几何体为（   ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 4．下列说法正确的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是圆台 C．棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点 D．平行于同一平面的两条直线平行 5．下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 6．下列命题中，正确的是（    ） A．底面是正方形的四棱柱是正方体 B．棱锥的高线可能在几何体之外 C．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 7．下列命题中正确的是（   ） A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱 B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 8．下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是 ． 9．给出下列命题： ①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个； ②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆； ③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交； ④用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面. 其中正确的为 （填序号）. 10．如图是空间几何体的展开图，请问各是什么空间几何体？    11．指出下图中的几何体分别由哪些简单几何体组成． 题型一 简单几何体的判断 1．在正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．正四面体的高为其棱长的倍 C．用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 D．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 3．已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 4．如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（   ）    A．直线与直线所成角为45° B．平面 C．直线与平面所成角的为 D．是线段的中点 5．下列说法正确的是（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 6．给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 7．在正三棱台中，分别为棱的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离点5m的点处，若女孩沿方向前行5m到达点，此时为的中点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹围成图形的面积为 .    9．有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径 . 10．若一个正四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为，则侧棱长为 ． 11．已知梯形中，为上的一点且，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接，F为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)当时，求直线和平面所成角的大小． 12．正四面体ABCD中，AD的中点为E，在DC的延长线上取一点G，连结EG交AC于F，若截面BEF将四面体分成自上而下的两部分的体积之比为λ. (1)作出截面BEF； (2)判断λ能不能等于1，请说明理由； (3)求出λ的取值范围. 题型二 椎体的表面展开图的最短距离问题 1．已知两圆锥的底面积分别为，，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 2．已知母线长为a的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 5．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． 6．已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 ． 7．暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹．已知某座山高耸入云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的．如图，已知该座山的底面半径，高，则盘山步道的长度为 ，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为 .    8．已知侧棱长为2的正三棱锥如图所示，其侧面是顶角为的等腰三角形，一只蚂蚁从点出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 9．（1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）；    （2）如图，在长方体中，，，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线长.    10．球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离．    (1)在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离． (2)如图1，在直角梯形中，，，，．现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上． ①求点到底面的距离； ②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离． 参考数据：，． 题型三 椎体的截面图 一、单选题 1．已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 2．在四棱锥中，，且，则（    ） A．不存在平行四边形截面 B．存在唯一的平行四边形截面 C．存在两个平行四边形截面 D．存在无穷多个平行四边形截面 3．已知圆锥的底面积为，高为，过圆锥的顶点作截面，则截面三角形面积最大为（    ） A． B． C．2 D．3 4．圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 5．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.沙漏由两个完全一样的圆锥和一个狭窄的连接管道组成，通过充满了沙子的玻璃圆锥从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃圆锥所需要的时间来对时间进行测量西方发现最早的沙漏大约在公元1100年，比我国的沙漏出现要晚．时钟问世之后，沙漏完成了它的历史使命.现代沙漏可以用来助眠．经科学认证，人类的健康入睡时间是15分钟，沙漏式伴睡灯便是一个15分钟的计时器．它将古老的计时沙漏与现代夜灯巧妙结合，随着沙粒从缝隙中滑下，下部的灯光逐渐被沙子掩埋，直到15分钟后沙粒全部流光，柔和的灯光完全覆盖．就这样，宁静的夜晚，听着沙粒窸窸窣窣的声音，仿佛一首缓缓流动的安眠曲如图，一件沙漏工艺品，上下两部分可近似看成完全一样的圆锥，测得圆锥底面圆的直径为，沙漏的高（下底面圆心的距离）为，通过圆锥的顶点作沙漏截面，则截面面积最大为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．2 B．48 C．50 D．96 7．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是 ． 10．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 11．如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    三、解答题 12．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 13．已知正三棱锥，高，底面边长为6，由点A向它所对的侧面作垂线，为垂足，作一个与底面平行的截面与交于P，若截面面积为，试作出此截面. 一、单选题 1．如图，有一正三棱锥，已知它的底面边长为2，高为（点到平面的距离），保持在平面上，且三棱锥绕转动.若存在某个时刻，三棱锥在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 2．已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．有两个棱长均为1的正四棱锥（木制实心玩具），底面中心分别为，另有一个棱长为1的正四面体（木制实心玩具），现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全重合并用胶水粘合（胶水厚度不计）从而拼接成一个新的玩具，对所有的拼接方式，线段长度的集合有（       ） A．1个元素 B．2个元素 C．3个元素 D．5个元素 4．如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，有一正三棱锥放置在平面上，已知它的底面边长为2，高为（点到平面的距离），把靠在平面上转动，若某个时刻它在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是 ．    7．如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则 .    三、解答题 8．如图，在平行四边形ABCD中，是BC的中点．将沿直线AE翻折成四棱锥是DP的中点． (1)求CF的长； (2)设二面角的大小为． （i）用表示直线PC与平面AECD所成角的正切值； （ii）求函数的值域． 9．设四面体中，有k条棱长为a，其余条棱长为1． (1)时，求a的取值范围； (2)时，求a的取值范围． 【点睛】关键点点睛：等腰三角形性质和三角形两边之和大于第三边的性质，是解决第二问的关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $