专题2.1柱体重难点题型专训（3个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第三册）

专题2.1柱体重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 棱柱的结构特征和分类 题型二 判断几何体是否为棱柱 题型三 正棱柱及其有关计算 题型四 棱柱的展开图及最短距离问题 题型五 判断正方体的截面形状 题型六 棱柱及其有关计算 题型七 圆柱的结构特征辨析 题型八 柱体体积的有关计算 题型九 圆柱轴截面的有关计算 题型十 棱柱表面积的有关计算 题型十一 圆柱表面积的有关计算 拓展训练一 有关棱柱的综合问题 拓展训练二 有关圆柱的综合问题 知识点一：棱柱与圆柱 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2.圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 【即时训练】 1．（25-26高二·上海·假期作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 2．（2025高三·全国·专题练习）已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，，则的取值范围为 . 知识点二：柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， 圆柱 V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 【即时训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）如图1，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点始终在桌面上，设直径所在直线与桌面所成的角为（图2）．要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，则角的最大值为（    ）      A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为 . 知识点三：柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 几何题 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 【即时训练】 1．（24-25高三下·湖南常德·开学考试）斯坦梅茨几何体是以数学家斯坦梅茨命名的几何体，是指由两个或两个以上的半径相等的圆柱（含底面）成直角相交而得到的几何体（公共部分）.如图，由两个底面半径为的圆柱（圆柱的高组成的斯坦梅茨几何体的表面积为.若两个底面半径为1，高为3的两个圆柱直角相交，挖去斯坦梅茨几何体，则斯坦梅茨几何体的表面积与四个剩余几何体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是4，则此圆柱的下底面面积为 . 【经典例题一 棱柱的结构特征和分类】 【例1】（24-25高一下·贵州·阶段练习）下列关于七棱柱的判断正确的是（   ） A．七棱柱共有七个顶点 B．七棱柱共有八个面 C．七棱柱共有十四条棱 D．七棱柱共有九个面 【例2】（22-23高一下·全国·课后作业）搬家公司想把长，宽，高的长方体家具从正方形窗口穿过，正方形窗口的边长为，则至少是多少？ 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在长方体中，下列说法正确的有（   ） A．长方体的顶点一共有8个 B．线段是长方体的一条棱 C．矩形所在的平面是长方体的一个面 D．长方体由六个平面围成 3．（2025·上海·模拟预测）图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在透明塑料制成的长方体容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图（1）（2）（3）三种形状．（阴影部分）请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面． 【经典例题二 判断几何体是否为棱柱】 【例1】（23-24高二上·四川内江·阶段练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 【例2】（2023高一·全国·专题练习）如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 1．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）下列图形中，不是棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．(多选）（23-24高一·全国·单元测试）有下列命题，其中错误的命题为（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．直四棱柱是直平行六面体 3．（22-23高一·全国·随堂练习）一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是 . 4．（23-24高一·江苏·课后作业）如图所示，长方体.    (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 【经典例题三 正棱柱及其有关计算】 【例1】（24-25高二上·北京海淀·期末）正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·湖南·课后作业）已知高为5，底面边长为2的正四棱柱中，点O，分别为上下两底面的中心，求与之间的距离． 1．（23-24高一下·吉林·期中）在正四棱柱中，，，，，平面与交于点G，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·内蒙古包头·期末）长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（    ） A． B． C．3 D． 3．（2023·陕西汉中·二模）如图所示，正方体的棱长为1，E､F分别是棱是，的F中点，过直线EF的平面分别与棱，交于M，N，设，使得四边形MENF的面积最小时的x的值为 . 4．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，正方体的棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面的交线以及与平面的交线； (2)设过三点的平面与交于，求的长． 【经典例题四 棱柱的展开图及最短距离问题】 【例1】（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【例2】（22-23高一下·全国·课后作业）已知正方体的棱长为3，M，N分别为，上的点，且，P，Q分别为，上的动点，求折线MPQN长度的最小值.    1．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A． 梦 B．就 C．成 D．想 2．（多选）（2024·云南·模拟预测）已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D． 3.（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，.    店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为 . 4．（22-23高一下·全国·课后作业）已知长方体中.    (1)若，，，试求在长方体表面上从到的最短路线； (2)若，，且，试求在长方体表面上从到的最短距离. 【经典例题五 判断正方体的截面形状】 【例1】（25-26高二上·北京·开学考试）用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（    ） A． 正三角形 B．梯形 C．直角三角形 D．矩形 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 1．（2025·江苏南通·模拟预测）过正方体的中心作与垂直的平面，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（多选）（2025·海南儋州·模拟预测）用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为 4． （2024高三·全国·专题练习）单位正方体中，过点作一个等腰三角形的截面，使它与底面成60°的角． 【经典例题六 棱柱及其有关计算】 【例1】（24-25高一下·河南·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，P为棱的中点，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 【例2】（22-23高一下·全国·课后作业）一个长方体全面积是，所有棱长的和是，求长方体的对角线长. 1．（22-23高三上·黑龙江绥化·期中）在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京·期中）已知一个长方体的长､宽､高分别为，则它的体对角线的长为 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，，，分别交于三点M，N，Q.若为直角三角形，求该直角三角形斜边长的最小值. 【经典例题七 圆柱的结构特征辨析】 【例1】（2024·江西新余·模拟预测）美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（     ）cm. A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 1.（2023·吉林·模拟预测）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（    ） ①矩形  ②圆  ③椭圆  ④部分抛物线  ⑤部分椭圆 A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 2．（多选）（24-25高二上·山东菏泽·期中）用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．圆 D．椭圆 3．（24-25高二上·上海·期中）已知圆柱底面半径为1，高为2，是上底面圆的一条直径，为下底面圆的一条动弦且与平行，设与的距离为，则的取值范围是 . 4．（2023高三·全国·专题练习）如图，是圆柱底面圆的直径，点、是的两个三等分点，、为圆柱的母线，求证：平面 【经典例题八 柱体体积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25高二上·上海·随堂练习）一座底是长方形、屋顶是正三棱柱的仓库，尺寸如图标注（单位：米），求这座仓库的容积（墙厚略去不计）．    1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作， 成书于公元一世纪左右， 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例，有如下问题:“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:（    ）立方丈. ”（注:一丈等于十尺） A．1265.5 B．1897.5 C．2846.5 D．3795.5 2．（2022·广东·模拟预测）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，渗透流失，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量，降雨量的等级划分如下： 等级 降雨量（） 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为，瓶口高度为）收集雨水，降雨结束后，容器内雨水的高度可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·浙江杭州·专题练习）如图，一个啤酒瓶的高度为，瓶中装有高度的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 .（瓶底的厚度不计） 4．（23-24高一·全国·课后作业）铁路路基是用碎石铺设的，其横断面为等腰梯形（如图）.已知南京到上海的铁路长约300km，试估计所用碎石的方数（精确到）. 【经典例题九 圆柱轴截面的有关计算】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知一个圆柱的体积为，轴截面面积为，求这个圆柱的半径和高． 1．（23-24高一·全国·课后作业）若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为，则它的一个底面面积是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·全国·专题练习）轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为 cm． 4．（22-23高一·全国·课后作业）如图，圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，已知上底面一条半径OA与下底面的一条半径成角，求： (1)直线与圆柱的轴所成的角的大小； (2)线段的长． 【经典例题十 棱柱表面积的有关计算】 【例1】（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023高二上·上海·专题练习）现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求：该直四棱柱的侧面积、表面积；【注：体对角线是连接棱柱上下底面、不在同一侧面的两顶点的连线】 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 2．（22-23高一下·浙江台州·期中）如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，D为棱的中点．若截面是面积为6的直角三角形，求此三棱柱的表面积． 【经典例题十一 圆柱表面积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·河北邢台·期中）已知某圆柱的轴截面是边长为的正方形，则该圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023高二上·上海·专题练习）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作个全等的矩形骨架，总计耗用铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）；当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到）． ， 1．（24-25高一下·福建福州·期中）以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为40cm，底面的半径长为10cm．    (1)求纸篓的容积； (2)求该纸篓的表面积． 【拓展训练一 有关棱柱的综合问题】 【例1】（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）棱长为2的正方体，点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·浙江·期中）如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） (1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； (2)若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 1．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 2．（多选）（2024·江西·模拟预测）在正方体中，，M为上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．与AB共面且与共面的棱有5条 B． C．的最小值为 D．若与平面ABCD交于点E，则的面积为2 3．（24-25高一下·浙江·期中）在直四棱柱中，四边形是矩形，，点为线段的中点，点是线段上的一点，点是底面内的一点，则的最小值为 . 4．（22-23高一下·安徽滁州·周测）已知长方体中，，，，E，F分别为，的中点，求过D，E，F三点截得长方体的截面的周长. 【拓展训练二 有关圆柱的综合问题】 【例1】（23-24高一下·河南新乡·期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【例2】（23-24高二下·甘肃武威·期末）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点，求： (1)直三棱柱的侧面积和圆柱的全面积； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 1．（23-24高二下·江西萍乡·期末）我市某中学高二学生到一工厂参加劳动实践，欲将一个底面直径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面上，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（22-23高二上·海南儋州·阶段练习）如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知，则下列说法正确的是（　　）    A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为 C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为 3．（23-24高三下·广西桂林·阶段练习）正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的内接圆柱的侧面积的最大值是 ； 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知圆柱的底面圆半径为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆．与母线所成角为． (1)已知，求圆柱的侧面积； (2)若圆柱体积为，求点到平面的距离． 1．（2025高三·全国·专题练习）在立方体中，沿挖出一个正三棱柱形的洞，进口是正三角形，在处的出口处洞口形状是（    ） A．三角形 B．平面六边形 C．空间六边形 D．空间四边形 2．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）轴截面为正方形的圆柱，侧面积为，体积为，若，则底面半径是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京海淀·一模）已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高一下·河南·期中）已知一种长方体礼物盒的长、宽、高之比为4:4:1，现有如图两种方式包装该礼物盒，方式①中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的四等分点，方式②中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的中点.不计打结处的额外消耗，则使用方式①与使用方式②所需的包装绳长之比为（   ）    A． B． C． D． 5．（2025·浙江宁波·三模）一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400毫升墨水.将墨水瓶倾斜，使其一条长边（10cm）置于水平地面，高边（15cm）所在直线与水平地面成45度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为（   ） A．180 B．220 C．260 D．300 6．(多选）（2024·湖北·模拟预测）平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 7．(多选）（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在正方体中，分别为的中点，为线段上的动点，则平面PMN截正方体形成的截面图形可能为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 8．(多选）（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，，则（   ） A． B．异面直线MN与AC所成的角为 C．四边形的面积为 D．沿正方体的表面从点到点的最短路线的长度为 9．(多选）（24-25高一下·内蒙古包头·期末）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，则下面命题中正确的序 A． 有水的部分始终呈棱柱形 B． B．没有水的部分始终呈棱柱形 C． 水面所在四边形的面积为定值 D． D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 10．(多选）（2025高三·全国·专题练习）如图，直四棱柱的底面ABCD是菱形，，点G是棱的中点，若动点P满足，点P的轨迹截该四棱柱所得形状为Ω，则（    ） A．Ω为平行四边形 B．Ω为梯形 C．的最小值为 D．的最小值为2 11．（24-25高二上·上海·期末）如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为 . 12．（24-25高一下·安徽六安·期末）我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺. 13．（22-23高一上·江西抚州·阶段练习）如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 ． 14．（2025·上海黄浦·二模）某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为 米．（结果精确到0.01米）    15．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 .    16．（24-25高一下·云南·期中）如图，这是一个六角螺帽，它可视作从一个正六棱柱中挖掉一个圆柱，且该圆柱底面圆的圆心与正六棱柱底面中心重合．正六棱柱底面六边形的边长为8毫米，圆柱底面圆的半径为5毫米，六角螺帽的高为10毫米． (1)求这个六角螺帽的体积； (2)求这个六角螺帽的表面积． 17．（2023高二上·上海·专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 18．（2025高三·全国·专题练习）如图40，在单位正方体中，分别为棱的中点，为中点，分别为上的动点，求证：. 19．（24-25高一下·河南·期中）（1）某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球．现有两种设计方案，一种是正方体礼盒（如图（1）），另一种是圆柱形礼盒（如图（2）），在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的1.6倍，问：工厂选择哪一种礼盒更经济实惠？    （2）设某长方体礼盒的长，宽，高分别为． （ⅰ）若用十字捆扎法（如图（3）），且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度；（不考虑接口处的彩带长度） （ⅱ）若用对角捆扎法（如图（4）），且2cm，不考虑接口处的彩带，结合（ⅰ），比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短，较短的约为多少厘米？（结果保留到整数） 参考数据：． 20．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）如图所示，直三棱柱的底面为正三角形，分别是的中点． (1)证明：平面平面； (2)若为中点，且，设三棱锥的体积为，三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1柱体重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 棱柱的结构特征和分类 题型二 判断几何体是否为棱柱 题型三 正棱柱及其有关计算 题型四 棱柱的展开图及最短距离问题 题型五 判断正方体的截面形状 题型六 棱柱及其有关计算 题型七 圆柱的结构特征辨析 题型八 柱体体积的有关计算 题型九 圆柱轴截面的有关计算 题型十 棱柱表面积的有关计算 题型十一 圆柱表面积的有关计算 拓展训练一 有关棱柱的综合问题 拓展训练二 有关圆柱的综合问题 知识点一：棱柱与圆柱 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2.圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 【即时训练】 1．（25-26高二·上海·假期作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D 【分析】根据母线的性质判断A，通过举反例判断B、C，通过圆柱的概念即可判断D. 【详解】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，，则的取值范围为 . 【答案】. 【分析】利用长方体对角线长度不能小于棱长的性质建立不等式组可得 【详解】如图5，设，则有， 所以 ，所以， 所以， 所以,即. 故答案为：. 知识点二：柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， 圆柱 V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 【即时训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）如图1，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点始终在桌面上，设直径所在直线与桌面所成的角为（图2）．要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，则角的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当水杯倾斜过程中，溶液恰好不溢出时，此时最大；在这个临界条件下，结合溶液的体积不变，可以得到关于的一个等式，即可求出的取值范围，得到最大值. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示，    过点作，交所在的直线于， 在直角中，，，， 且点在线段上，， 此时容器内能容纳的溶液量为 而容器内原有溶液量为， 令，解得， 所以，即的最大角为时，溶液不会溢出， 故选：B． 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为 . 【答案】4 【分析】设正三棱柱的底面积为，高为，利用等体积法求出即可. 【详解】设正三棱柱的底面积为，高为，则水的体积， 因为分别为所在棱的中点，所以，， 所以图（2）中水的体积为，又， ，解得. 所以该正三棱柱容器的高为4. 故答案为：4. 知识点三：柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 几何题 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 【即时训练】 1．（24-25高三下·湖南常德·开学考试）斯坦梅茨几何体是以数学家斯坦梅茨命名的几何体，是指由两个或两个以上的半径相等的圆柱（含底面）成直角相交而得到的几何体（公共部分）.如图，由两个底面半径为的圆柱（圆柱的高组成的斯坦梅茨几何体的表面积为.若两个底面半径为1，高为3的两个圆柱直角相交，挖去斯坦梅茨几何体，则斯坦梅茨几何体的表面积与四个剩余几何体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的表面积公式即可求解. 【详解】由题可知斯坦梅茨几何体的表面积为16，剩余四个几何体的表面积等于原两个圆柱表面积的和， 所以斯坦梅茨几何体的表面积与剩余四个几何体的表面积的比值为. 故选:A. 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是4，则此圆柱的下底面面积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱的几何性质，并设出底面半径与母线长，由题意建立方程，求得底面半径与母线长，利用圆柱底面面积公式，可得答案. 【详解】设圆柱底面半径为，母线长为，则圆柱的轴截面是边长为和的矩形， 由题设知，圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积为4，所以，解得， 所以圆柱的下底面积为. 故答案为：. 【经典例题一 棱柱的结构特征和分类】 【例1】（24-25高一下·贵州·阶段练习）下列关于七棱柱的判断正确的是（   ） A．七棱柱共有七个顶点 B．七棱柱共有八个面 C．七棱柱共有十四条棱 D．七棱柱共有九个面 【答案】D 【分析】根据七棱柱共有14个顶点，21条棱，9个面判断即可. 【详解】 如图，可知七棱柱共有14个顶点，21条棱，9个面. 故选：D. 【例2】（22-23高一下·全国·课后作业）搬家公司想把长，宽，高的长方体家具从正方形窗口穿过，正方形窗口的边长为，则至少是多少？ 【答案】 【分析】根据题意，画出示意图，设（其中），得到方程组，求得的值，进而得到正方形的边长的值. 【详解】如图所示，由于长方体各个面中宽和高所在的面的面积最小， 所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口的边长尽量地小， 设（其中）， 则有， 由题意得，解得， 所以，即正方形的边长至少为米.    1．（24-25高一下·河南·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【答案】B 【分析】利用棱柱的有关定义与性质逐项判断即可. 【详解】对于A，三棱柱的两底面是三角形，故A错误； 对于B，由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形，故B正确； 对于C，由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，由平行四边形的性质对边相等， 所以棱柱的侧棱全相等，故C错误； 对于D，各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱（如正六棱柱），但底面不一定是正方形， 故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体，故D错误. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在长方体中，下列说法正确的有（   ） A．长方体的顶点一共有8个 B．线段是长方体的一条棱 C．矩形所在的平面是长方体的一个面 D．长方体由六个平面围成 【答案】AB 【分析】根据组成长方体的各个元素的分析可得答案. 【详解】对于A，长方体的顶点一共有8个，A正确； 对于B，线段是长方体的一条棱，B正确； 对于C，长方体的面是围成长方体的各个矩形，不是平面，C错误； 对于D，长方体由6个矩形围成，不是六个平面围成，D错误. 故选：AB 3．（2025·上海·模拟预测）图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    【答案】41 【分析】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对，有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对，由最大可得答案． 【详解】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对， 有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对， 可得，， 要使能看见的13个正方形面上的数字和的最小， 最上面的一个正方体的有数字6的正方形面朝下，与中间的正方体面接触， 中间的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上下正方体接触， 最下面的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上面正方体和地面接触， 所以能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为. 故答案为：41. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在透明塑料制成的长方体容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图（1）（2）（3）三种形状．（阴影部分）请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面． 【答案】答案见解析 【分析】根据棱柱的定义和结构特征分析即可. 【详解】（1）是四棱柱，底面是四边形和四边形，底面也可以是四边形和四边形，底面还可以是四边形和四边形， （2）是四棱柱，底面是四边形和四边形； （3）是三棱柱，底面是和． 【经典例题二 判断几何体是否为棱柱】 【例1】（23-24高二上·四川内江·阶段练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 【答案】A 【分析】根据棱柱的定义分析判断即可. 【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体， 所以棱柱有（1）（3）（5）. 故选：A. 【例2】（2023高一·全国·专题练习）如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)是；三棱柱BB1M－CC1N；四棱柱ABMA1－DCND1 【分析】根据棱柱的定义及结构特征可解答. 【详解】（1）该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义． （2）各部分形成的几何体还是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 1．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）下列图形中，不是棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据棱柱的定义判断即可. 【详解】一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 故A为四棱柱，B为三棱柱，C为四棱柱， D中有两个面为梯形，两个面为三角形且三角形面不平行，故D不是棱柱. 故选：D 2．(多选）（23-24高一·全国·单元测试）有下列命题，其中错误的命题为（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．直四棱柱是直平行六面体 【答案】ABD 【分析】按照棱柱和直四棱柱、直平行六面体的定义判断即可. 【详解】A选项，它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，错， B选项，也是它的每相邻两个四边形的公共边不一定平行，错， C选项，它符合棱柱的定义，对， D选项，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，错， 故选：ABD. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是 . 【答案】直五棱柱 【分析】根据空间几何体的特征即可求解. 【详解】如图所示：    由题意一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形， 故此几何体是五棱柱，又其他各面都是全等的矩形， 故五棱柱的上下底面边长相等且侧棱与底面垂直， 根据直棱柱的定义可知该几何体是直五棱柱. 故答案为：直五棱柱. 4．（23-24高一·江苏·课后作业）如图所示，长方体.    (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)是棱柱，并且是四棱柱，理由见解析； (2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱，左下方部分是四棱柱. 【分析】（1）根据棱柱的定义判断即可； （2）根据棱柱的定义以及棱柱的表示方法求解即可. 【详解】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．因为底面是四边形，所以长方体是四棱柱； （2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面. 截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱， 其中四边形和是底面. 【经典例题三 正棱柱及其有关计算】 【例1】（24-25高二上·北京海淀·期末）正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点为，连接，结合勾股定理即可求解； 【详解】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 故选：A 【例2】（23-24高二·湖南·课后作业）已知高为5，底面边长为2的正四棱柱中，点O，分别为上下两底面的中心，求与之间的距离． 【答案】 【分析】连接，根据正四棱柱的几何性质可得、且5，进而求出；在中利用勾股定理求得，利用面积相等即可求出的距离. 【详解】连接，由正四棱柱的几何性质可知且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又分别为上、下底面的中心，即且， 所以四边形为平行四边形，所以， 且点C到的距离为5， 所以， 在中，， 设的距离为d， 则以为底边，以d为高的平行四边形的面积为， 解得，即的距离为.    1．（23-24高一下·吉林·期中）在正四棱柱中，，，，，平面与交于点G，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，连接，先证明，得，再求出即可求解. 【详解】如图所示，设，连接． 因为， 且几何体为正四棱柱， 所以． 因为平面与交于点， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 故选：C.    2．（22-23高二上·内蒙古包头·期末）长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，利用两次勾股定理求解. 【详解】连接， 在中，， 在中，. 故选：D.    3．（2023·陕西汉中·二模）如图所示，正方体的棱长为1，E､F分别是棱是，的F中点，过直线EF的平面分别与棱，交于M，N，设，使得四边形MENF的面积最小时的x的值为 . 【答案】/0.5 【分析】连结MN，由线面垂直的性质有，则，结合已知条件及正方体性质判断面积最小时的位置，即可得的长. 【详解】连结MN，因为面，面，所以， 所以，而四边形MENF的对角线EF为定值，要使最小只需MN的长度最小， 正方体中当M为中点即时 MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小. 故答案为： 4．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，正方体的棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面的交线以及与平面的交线； (2)设过三点的平面与交于，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）设 三点确定的平面为，则与平面交于，得出是与平面的交线，即可画出结论； （2）在中，根据，得出，在中，理由勾股定理，即可求解的长． 【详解】（1）设 三点确定的平面为，则与平面交于． 设，则是与平面的交线． 设，则是与平面的交线，如图所示： （2）因为正方体的棱长为，则，， 在中，，可得， 在中，可知， 则， 所以所求的长为． 【经典例题四 棱柱的展开图及最短距离问题】 【例1】（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【分析】将正四棱柱的侧面展开，由直线段最短求解. 【详解】如图所示： ， 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故选：A 【例2】（22-23高一下·全国·课后作业）已知正方体的棱长为3，M，N分别为，上的点，且，P，Q分别为，上的动点，求折线MPQN长度的最小值.    【答案】 【分析】根据题意，将正方体的面，，展开成平面图形，结合图形，得到在一条直线上时，折线的长度最小，利用平面图形的性质，即可求解. 【详解】如图所示，将正方体的面，，展开成如图所示的形状， 由图可得，当在一条直线上时，折线的长度最小. 作分别与正方形的边平行， 因为正方体的棱长为3，且，所以，， 所以，即折线长度的最小值为.    1．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A．梦 B．就 C．成 D．想 【答案】C 【分析】直接把正方体的展开面图复原为空间图，结合正方体的结构特征，即可求解． 【详解】根据正方体的表面展开图，翻折成正方体，如图所示： 其中“成”在最下面，“拼”在最上面，构成对面关系． 故选：C． 2．（多选）（2024·云南·模拟预测）已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据点所在的特殊位置，分别求出，可得答案. 【详解】如图，当点在顶点处时，，故B选项正确； 当点在线段的中点时，，，，故C选项正确； 把三角形沿展开，使点与在同一平面， 当点为与的交点时，， 在中，，， 所以， 所以的最小值为，故D选项正确； 因为，故A选项不正确. 故选：BCD. 3.（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，.    店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为 . 【答案】 【分析】计算出两种捆扎法中绳的长度后相减即得． 【详解】图A，沿彩绳展开正四棱柱，彩绳长度最小值为，    图B，彩绳长度最小值为， 则图A比图B最多节省的彩绳长度为. 故答案为：. 4．（22-23高一下·全国·课后作业）已知长方体中.    (1)若，，，试求在长方体表面上从到的最短路线； (2)若，，且，试求在长方体表面上从到的最短距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）将长方体的面展开到同一平面，求出线段的长，分三种情况，求出结果，比较大小，确定最短路线长. 【详解】（1）如图，    ①将长方形与平面展开到同一平面，如图1所示，      连接，此时， ②将长方形与长方形展开到同一平面，如图2，    连接，此时， ③将长方形与长方形展开到同一平面，如图3，    连接，此时， 因为， 所以从点A出发沿着表面运动到的最短路线长是. （2）当，，且，由上可得 或或， 由可得，即， 所以， 所以，即， 所以从点A出发沿着表面运动到的最短路线长是. 【经典例题五 判断正方体的截面形状】 【例1】（25-26高二上·北京·开学考试）用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（    ） A．正三角形 B．梯形 C．直角三角形 D．矩形 【答案】C 【分析】根据题意，结合正方体的几何结构特征，以及正方体截面的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，在正方体中，连接， 此时截面为等边三角形，所以A不符合题意； 对于B中，取的中点分别为，连接， 可得，且，所以， 所以截面为等腰梯形，所以B不符合题意； 对于D中，在正方体中，截面为矩形，所以D不符合题意； 对于C中，在分别取点，设， 可得， 则， 同理可得：，所以均为锐角， 所以截面为锐角三角形，所以C符合题意. 故选：C. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 【答案】作图见解析 【分析】利用平面的基本性质作出截面图形即可. 【详解】连接并延长交延长线于点， 连接并延长交于点，交延长线于点， 连接交于点，则截面即为所求. 1．（2025·江苏南通·模拟预测）过正方体的中心作与垂直的平面，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】证明线面垂直作出图判断截面图形即可. 【详解】 在正方体中，平面，平面，所以， 又在正方形中，，，所以平面， 平面，所以， 由于分别为的中点，所以， 故，同理，，所以平面， 且平面过正方体的中心， 故选：D 2．（多选）（2025·海南儋州·模拟预测）用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 【答案】ABC 【分析】画出正方体的相关截面判断A、B、C，结合平面的基本性质判断D. 【详解】如下图，正方体中均为中点， 所以四边形为平行四边形，也是菱形，四边形为梯形，A、B、C对； 用任意平面截正方体，所得截面为四边形，必有一对边在一对平行的侧面上， 所以四边形必有一对边平行，D错. 故选：ABC 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为 【答案】等腰梯形 【分析】根据两条平行线可以确定一个平行判断. 【详解】连接，，由于M，N分别是，的中点， 则,而，即四边形为平行四边形， 故，得，且, 结合正方体性质可知， 所以平面BMN截正方体所得截面为梯形，且为等腰梯形， 故答案为：等腰梯形. 4．（2024高三·全国·专题练习）单位正方体中，过点作一个等腰三角形的截面，使它与底面成60°的角． 【答案】答案见解析 【分析】首先分析题意，作出图像设截面为等腰三角形，利用几何原理进行下一步解答，过M作BD的平行线分别交BC，CD于E，F，则截面即是符合要求的截面． 【详解】如图，设截面为等腰三角形，，，，则，∴．设，连， 则，，∴，则． 由此可知，在AC上取，过M作BD的平行线分别交BC，CD于E，F， 则截面即是符合要求的截面． 【经典例题六 棱柱及其有关计算】 【例1】（24-25高一下·河南·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，P为棱的中点，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直三棱柱条件，可判断为等腰三角形，进而可求出点P到直线的距离 【详解】因为是等腰直角三角形，且， 又因为P为棱的中点， 所以， 所以，， 所以为等腰三角形. 设P到直线的距离为h， 因为， 可知． 故选：A． 【例2】（22-23高一下·全国·课后作业）一个长方体全面积是，所有棱长的和是，求长方体的对角线长. 【答案】 【分析】设长方体的长、宽、高分别为，结合，即可求解. 【详解】设长方体的长、宽、高分别为， 由题意得，可得， 则， 所以长方体的对角线长为. 1．（22-23高三上·黑龙江绥化·期中）在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求得正确答案. 【详解】在三角形中，由余弦定理得， 在三角形，由余弦定理得， 所以， 在三角形中，， 在三角形中，由余弦定理得， 所以， 在三角形中，. 故选：B 2．（2024·北京·高考真题）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况，分别计算三种情况的体对角线为或或，所以最长对角线的长为， 故选：C. 3．（24-25高二下·北京·期中）已知一个长方体的长､宽､高分别为，则它的体对角线的长为 . 【答案】 【分析】作出图形，利用勾股定理可求出长方体的体对角线长. 【详解】如图，在长方体中长､宽､高分别为， 在中，， 在中，. 设这个长方体的体对角线长为，则. 故答案为：. 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，，，分别交于三点M，N，Q.若为直角三角形，求该直角三角形斜边长的最小值. 【答案】. 【分析】依据题给条件构造不等式即可求得该直角三角形斜边长的最小值. 【详解】如图，不妨设点N在点B处，，， 则，，. 由，得，则，即. 所以该直角三角形斜边. 即该直角三角形斜边最小值为 【经典例题七 圆柱的结构特征辨析】 【例1】（2024·江西新余·模拟预测）美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（     ）cm. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将投影至底面为，是底面大圆的一条弦且与小圆相切（切点为）时最长，求出弦长后由勾股定理求得 【详解】将投影至底面为，是底面大圆的一条弦且与小圆相切（切点为）时最长， 所以， 所以， 故选：C. 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 【答案】答案见解析 【分析】水平放置的圆柱，水平截面形状为圆；如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形. 【详解】一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是圆，如图： 把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形，如图： 1.（2023·吉林·模拟预测）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（    ） ①矩形  ②圆  ③椭圆  ④部分抛物线  ⑤部分椭圆 A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 【答案】C 【分析】对不同的放置情况分别判断，得出结论 【详解】当圆柱桶竖直放置时，截口曲线为圆； 当圆柱桶水平放置时，截口曲线为矩形； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则截口曲线为椭圆的一部分； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面不经过底面，则截口曲线为椭圆； 故选：C 2．（多选）（24-25高二上·山东菏泽·期中）用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．圆 D．椭圆 【答案】CD 【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆. 【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆， 若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆. 故选：CD 3．（24-25高二上·上海·期中）已知圆柱底面半径为1，高为2，是上底面圆的一条直径，为下底面圆的一条动弦且与平行，设与的距离为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出辅助线，当与重合时，最小，此时，当越接近于时，越大，故的取值范围是. 【详解】如图所示，点为上底面的圆心，下底面的直径为，为下底面的圆心， 连接，则， 过点作⊥，交圆于点，则， 连接，由勾股定理得， 当与重合时，最小，此时， 当越接近于时，越大，故的取值范围是.    故答案为： 4．（2023高三·全国·专题练习）如图，是圆柱底面圆的直径，点、是的两个三等分点，、为圆柱的母线，求证：平面 【答案】证明见解析 【分析】连结BF，OF，证明，进而证得平面OCD和平面OCD，再经推理即可证得结论. 【详解】连结BF，OF，如图，因AB是圆O的直径，、是的两个三等分点，则，而OF=OB，即是正三角形， 于是得，则，平面OCD，平面OCD，因此有平面OCD， 又CD，BE均为圆柱的母线，则有，平面OCD，平面OCD，因此有平面OCD， 又，平面BEF，于是得平面平面OCD，而平面BEF， 所以平面OCD． 【经典例题八 柱体体积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据液体体积不变列方程求解可得. 【详解】记侧面水平放置时，液面与分别交于， 的中点为，连接交于点，的面积为， 由题可知，，则， 所以，则梯形的面积为， 所以直棱柱的体积为， 又底面水平放置时，液面高为3，所以液体体积为， 所以，解得. 故选：D. 【例2】（24-25高二上·上海·随堂练习）一座底是长方形、屋顶是正三棱柱的仓库，尺寸如图标注（单位：米），求这座仓库的容积（墙厚略去不计）．    【答案】立方米． 【分析】根据三棱柱和长方体的体积公式求解即可. 【详解】下部长方体的体积（立方米）， 上部正三棱柱的体积（立方米）， 仓库的容积（立方米）． 故答案为：立方米． 1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作， 成书于公元一世纪左右， 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例，有如下问题:“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:（    ）立方丈. ”（注:一丈等于十尺） A．1265.5 B．1897.5 C．2846.5 D．3795.5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用棱柱的体积公式计算得解. 【详解】依题意，“城”的形状是底面为等腰梯形的直四棱柱， 其中等腰梯形的两底分别为2丈、4丈，高为5丈，因此底面积（平方丈） 直四棱柱的高为126.5丈，所以体积（立方丈）. 故选：B 2．（2022·广东·模拟预测）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，渗透流失，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量，降雨量的等级划分如下： 等级 降雨量（） 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为，瓶口高度为）收集雨水，降雨结束后，容器内雨水的高度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设降雨量为，容器内雨水高度为，根据圆柱的体积公式得到，再根据的取值范围，得到的范围，即可得解； 【详解】解：设降雨量为，容器内雨水高度为，根据体积相等得， 解得，由，可得． 故选：CD 3．（2025高一上·浙江杭州·专题练习）如图，一个啤酒瓶的高度为，瓶中装有高度的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 .（瓶底的厚度不计） 【答案】 【分析】由于瓶子的容积不变，瓶中水的体积也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积，用右图上部分规则的空气体积来代替, 设瓶的底面积为，分别表示出，，即可求体积之比. 【详解】虽然啤酒瓶的形状不规则，但是瓶子的下部可视圆柱体，由于瓶子的容积不变， 瓶中水的体积也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积， 用右图上部分规则的空气体积来代替． 设瓶的底面积为，则，，， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一·全国·课后作业）铁路路基是用碎石铺设的，其横断面为等腰梯形（如图）.已知南京到上海的铁路长约300km，试估计所用碎石的方数（精确到）. 【答案】247500m3 【分析】求出横断面等腰梯形的面积，再利用柱体体积公式计算得解. 【详解】依题意，路基横断面等腰梯形的面积(m2)， 而铁路路基可视为横断面为等腰梯形，铁路长h为高的棱柱，又m， 其体积为(m3)， 所以估计所用碎石的方数为247500m3. 【经典例题九 圆柱轴截面的有关计算】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱的轴截面的面积求法求解. 【详解】当圆柱的高时，， 所以圆柱的轴截面的面积为； 当圆柱的高，， 所以圆柱的轴截面的面积为， 故选：B 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知一个圆柱的体积为，轴截面面积为，求这个圆柱的半径和高． 【答案】半径为2cm，高为1.5cm． 【分析】根据条件，由求解. 【详解】解：根据题意得， 解得. 所以这个圆柱的半径为2cm，高为1.5cm． 1．（23-24高一·全国·课后作业）若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为，则它的一个底面面积是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得底面直径等于圆柱母线，则得到，则底面积为. 【详解】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径， 则，得. 所以底面面积为. 故选：C. 2．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件探求出圆柱底面半径r与母线l的关系即可求解圆柱的侧面积. 【详解】设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，则该圆柱轴截面矩形的一组邻边长分别为2r，l， 依题意，，解得， 由圆柱侧面积公式得：， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：A 3．（2024高一下·全国·专题练习）轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为 cm． 【答案】 【分析】由等边圆柱的轴截面面积可计算圆柱的底面半径，从而求出底面周长. 【详解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面， 由题意知，四边形为正方形，设圆柱的底面半径为r，则． 轴截面的面积，解得． 故该等边圆柱的底面周长． 故答案为： 4．（22-23高一·全国·课后作业）如图，圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，已知上底面一条半径OA与下底面的一条半径成角，求： (1)直线与圆柱的轴所成的角的大小； (2)线段的长． 【答案】(1) (2)5cm 【分析】（1）由圆柱体的结构特征及线线角的定义确定异面直线夹角的平面角，进而求其大小； （2）结合（1）应用勾股定理求线段长度. 【详解】（1）由题设知：，则，且， 所以直线与圆柱的轴所成的角为，且底面圆， 而圆，故，且， 在Rt△中，则. （2）由（1）知：在Rt△中cm. 【经典例题十 棱柱表面积的有关计算】 【例1】（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 【例2】（2023高二上·上海·专题练习）现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求：该直四棱柱的侧面积、表面积；【注：体对角线是连接棱柱上下底面、不在同一侧面的两顶点的连线】 【答案】侧面积为，表面积为 【分析】根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合棱柱的侧面积和表面积公式进行求解即可. 【详解】如图，设底面对角线，交点为O， 体对角线， 所以， ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴， 因此直四棱柱的侧面积为， 底面积为， 因此直四棱柱的表面积为：. 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积. 【详解】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 2．（22-23高一下·浙江台州·期中）如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直四棱柱的结构特征及已知条件求相关棱长，进而求棱柱的侧面积. 【详解】如图，连接交点为O，    则对角线，，所以， 因为直四棱柱的底面是菱形，所以， 所以， ∴直四棱柱的侧面积. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为 . 【答案】 【分析】由题意得到和两个等式，将两边同时平方并将代入得到，即为长方体表面积. 【详解】如图，，， ， ∴， ∴， 该长方体的表面积为：13500 故答案为：13500 4．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，D为棱的中点．若截面是面积为6的直角三角形，求此三棱柱的表面积． 【答案】 【分析】设，根据是面积为6的直角三角形，由求解. 【详解】解：设， 则，． 由题意得 即 解得 从而． 【经典例题十一 圆柱表面积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·河北邢台·期中）已知某圆柱的轴截面是边长为的正方形，则该圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆柱的底面半径和高，结合圆柱的侧面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知该圆柱的底面半径，高，则该圆柱的侧面积是. 故选：B. 【例2】（2023高二上·上海·专题练习）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作个全等的矩形骨架，总计耗用铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）；当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到）． 【答案】当时，有最大值，约为 【分析】 根据题意，直接圆柱下底面面积和侧面积之和即可得到答案. 【详解】 由题意知矩形的高即圆柱的母线长为， 所以塑料片面积 ， 所以当m时，有最大值，约为. 1．（24-25高一下·福建福州·期中）以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高求出即可. 【详解】以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱， 其底面半径，高，故其侧面积为. 故选:C. 2．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据圆柱结构，利用表面积公式求解. 【详解】当圆柱底面半径为，高为时，表面积； 当圆柱底面半径为，高为时，表面积. 故选：CD 3．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 【答案】2 【分析】根据题意，由求解. 【详解】设圆柱的母线为l，底面半径为r=2，高为h， 因为底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的， 所以，解得，即， 故答案为：2 4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为40cm，底面的半径长为10cm．    (1)求纸篓的容积； (2)求该纸篓的表面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，结合圆柱的体积和表面积公式计算即得. 【详解】（1）依题意，纸篓的容积（）. （2）依题意，纸篓的表面积（）. 【拓展训练一 有关棱柱的综合问题】 【例1】（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）棱长为2的正方体，点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意对平面与平面展开成平面图像，由距离之和小于等于第三边即可求解. 【详解】如图，在棱长为2的正方体中， ，，， 所以和为全等的直角三角形，展开平面如下： ∵，∴， ， ， 故选：D. 【例2】（24-25高一下·浙江·期中）如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） (1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； (2)若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 【答案】(1)表面积为，容积为 (2)6 【分析】（1）根据棱柱的表面积和体积公式求解即可； （2）先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面水平放置时，液面高度. 【详解】（1）表面积， 体积； （2）设的面积为，底面水平放置时，液面高为， 则水的体积为， 当底面水平放置时，水的体积为，解得， 即液面高为. 1．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 【答案】B 【分析】取的中点，连接，得平面为平面截正方体的截面，由梯形的面积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    2．（多选）（2024·江西·模拟预测）在正方体中，，M为上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．与AB共面且与共面的棱有5条 B． C．的最小值为 D．若与平面ABCD交于点E，则的面积为2 【答案】ABD 【分析】对于A，考虑与AB平行且与相交，与AB相交且与平行，以及与AB相交且与相交的直线可得；对于B，证明平面，然后由线面垂直的性质可得；对于C，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，然后解三角形即可；对于D，证明平面与平面ABCD的交线平行于，然后由可解. 【详解】对于A，AB与不共面，因此没有同时与这两条直线平行的直线， 与AB平行且与相交的有CD，，与AB相交且与平行的有，， 与AB相交且与相交的有BC，所以共有5条，故A正确． 对于B，易知平面，，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故B正确． 对于C，如图，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面， 设点的新位置为，连接，则为的最小值， 所以A，M，三点共线． 因为，所以． 在中，根据正弦定理可得， 解得，故C错误． 对于D，设平面与平面ABCD的交线为l， 因为平面ABCD，所以，则， 又与平面ABCD交于点E，所以，则，故D正确． 故选：ABD 3．（24-25高一下·浙江·期中）在直四棱柱中，四边形是矩形，，点为线段的中点，点是线段上的一点，点是底面内的一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将平面沿翻折，使其与平面共面，结合解三角形知识即可列式求解. 【详解】如图， 显然当F是G在底面ABCD的射影时，才可能最小．将平面沿翻折，使其与平面共面，如图所示， 由于，则，则， 得，同理，，而， 显然当E，G，F三点共线且时，取得最小值， 此时，， 故答案为： 4．（22-23高一下·安徽滁州·周测）已知长方体中，，，，E，F分别为，的中点，求过D，E，F三点截得长方体的截面的周长. 【答案】 【分析】利用确定平面的公理，作延长以及平行，可得截面，根据中位线以及勾股定理，可得答案. 【详解】延长EF分别交，的延长线于点M，N，连接MD，ND，分别交，于点Q，P， 连接PF，EQ，则过D，E，F三点截得长方体的平面为五边形. 过F点作，过点作，所以是的中点，是的中点.    在中，，，所以. 在中，，所以，， 则，，. 同理在中，，在中，，， 所以，，所以截面周长为. 【拓展训练二 有关圆柱的综合问题】 【例1】（23-24高一下·河南新乡·期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解. 【详解】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 【例2】（23-24高二下·甘肃武威·期末）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点，求： (1)直三棱柱的侧面积和圆柱的全面积； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)，; (2) 【分析】（1）利用圆柱的表面积公式和棱柱的侧面积公式计算即可； （2）利用线面垂直，证明线面角，然后计算正弦值即可. 【详解】（1）由，，可得， 所以， 再由三角形的外接圆半径为， 所以 （2） 由为的中点，，可得， 又因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 即就是直线与平面所成角， 又因为，所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 1．（23-24高二下·江西萍乡·期末）我市某中学高二学生到一工厂参加劳动实践，欲将一个底面直径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面上，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，体积为，由几何关系得，再根据圆柱的侧面积公式可得圆柱侧面积关于的函数，最后根据二次函数的最值即可求解. 【详解】如图，设圆柱的底面半径为，高为，侧面积为， 由题意得，，，所以， 在中，因为， 所以，即，解得， 所以圆柱的侧面积为， 又，所以时，取得最大值为， 故圆柱的最大侧面积为， 故选：C. 2．（多选）（22-23高二上·海南儋州·阶段练习）如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知，则下列说法正确的是（　　）    A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为 C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为 【答案】AC 【分析】四边形是圆柱的轴截面，根据勾股定理可求得底面圆的半径，利用圆柱的侧面积公式和表面积公式求解. 【详解】因为四边形是圆柱的轴截面，，所以， 设底面圆的半径为，则解之可得，根据圆柱侧面积，故A正确； 圆柱的表面积，故C正确. 故选：AC 3．（23-24高三下·广西桂林·阶段练习）正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的内接圆柱的侧面积的最大值是 ； 【答案】 【分析】以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴，和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体，设内接圆柱的底面圆的半径为，高为，根据线段的比例关系，可得，，再结合圆柱侧面积的公式，求解即可. 【详解】由题意知，为等腰三角形，且，， 所以以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴， 和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体， 可得圆锥的底面半径为，    设内接圆柱的底面圆的半径为，高为，则，所以，， 所以内接圆柱的侧面积是关于的开口向下，对成轴为的二次函数，即当时，取得最大值， 故答案为： 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知圆柱的底面圆半径为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆．与母线所成角为． (1)已知，求圆柱的侧面积； (2)若圆柱体积为，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，与母线所成的角等于，求出的长，结合圆柱的侧面积公式可求得； （2）取的中点，连接，分析可得，利用圆柱的体积可求得的值，再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，如图所示： 由题意可知，与母线所成的角等于， 因为底面，平面，则， 所以，，则， 所以，该圆柱的侧面积为. （2）由（1）可知，， 所以，该圆柱的体积为，解得， 取的中点，连接， 由正六边形的几何性质可得，，， 所以，，故， ，，则， 所以，， ， 易知，因为为的中点，则， 且，， 设点到平面的距离为，则，解得. 1．（2025高三·全国·专题练习）在立方体中，沿挖出一个正三棱柱形的洞，进口是正三角形，在处的出口处洞口形状是（    ） A．三角形 B．平面六边形 C．空间六边形 D．空间四边形 【答案】C 【分析】画出图形从右上方正三角形顶点和正三角形边的中点分别作体对角线的平行线，得皇冠形空间六边形． 【详解】如图12，从右上方正三角形顶点和正三角形边的中点分别作体对角线的平行线， 分别交立方体面对角线于点，，和立方体棱于点， 依次连接六点，得皇冠形空间六边形． 故选：C 2．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）轴截面为正方形的圆柱，侧面积为，体积为，若，则底面半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据侧面积和体积公式即可求解. 【详解】由题意可知分别为圆锥的底面圆半径和高， 又，得，解得， 故选：D 3．（2025·北京海淀·一模）已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分析两种不同状态下圆柱的体积和轴截面面积，即可选择和判断. 【详解】不妨设纸的长宽分别为； 当圆柱的高等于纸的长时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得， 故， 此时矩形轴截面的两条边长分别为，故； 当圆柱的高等于纸的宽时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得， 故， 此时矩形轴截面的两条边长分别为，故； 综上所述，，. 故选：B. 4．（24-25高一下·河南·期中）已知一种长方体礼物盒的长、宽、高之比为4:4:1，现有如图两种方式包装该礼物盒，方式①中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的四等分点，方式②中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的中点.不计打结处的额外消耗，则使用方式①与使用方式②所需的包装绳长之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方式①与方式②分别计算绳长即可得解. 【详解】由题意，不防设长方体礼物盒的长、宽、高分别为， 则方式①中包装绳长为， 方式②中包装绳长为， 所以使用方式①与使用方式②所需的包装绳长之比为. 故选：A 5．（2025·浙江宁波·三模）一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400毫升墨水.将墨水瓶倾斜，使其一条长边（10cm）置于水平地面，高边（15cm）所在直线与水平地面成45度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为（   ） A．180 B．220 C．260 D．300 【答案】C 【分析】注意讨论截面的形状，根据已知及棱柱的体积公式求截面相关边长，进而求墨水与墨水瓶接触部分的面积； 【详解】如下图，若截面为等腰直角三角形，腰长为， 则，可得，不符， 如下图，若截面为直角梯形，上底长为， 则，可得，满足， 所以此时墨水与墨水瓶接触部分的面积. 故选：C 6．(多选）（2024·湖北·模拟预测）平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】ACD 【分析】根据平行六面体的性质考察矩形个数的可能情况即可. 【详解】平行六面体的六个面都是平行四边形，且相对的平行四边形全等， 所以六个平行四边形中的矩形个数可能为， 所以各个表面的直角个数之和可能为. 故选：ACD 7．(多选）（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在正方体中，分别为的中点，为线段上的动点，则平面PMN截正方体形成的截面图形可能为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】BCD 【分析】利用正方体的结构特征，结合给定的位置推理说明截面不可能的图形，再作图说明可能的图形即可得解. 【详解】在正方体中，由分别为的中点， 得截面与正方体的3个面必有交线，而点在线段上， 截面与正方形或正方形有交线，即截面至少与正方体4个面有交线， 因此截面不可能是三角形，即A不可能； 取与重合，此时截面为四边形，如图，B可能； 当截面与棱的交点在线段（不含点）上时，截面与正方体 除正方形外的另5个正方形都有交线，此时截面是五边形，如图，C可能； 当点为棱的中点时，截面为六边形，如图，D可能. 故选：BCD 8．(多选）（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，，则（   ） A． B．异面直线MN与AC所成的角为 C．四边形的面积为 D．沿正方体的表面从点到点的最短路线的长度为 【答案】BC 【分析】根据线线平行，异面直线所形成的夹角，梯形面积分别计算判断A、B、C选项，再将正方体的表面展开至面ABCD与面共面，求得点到点的最短路线. 【详解】对于A，取的中点，连接AE，如图（1），由正方体的性质可知， 若，则，显然这与AE，AM相交于点矛盾，故A错误； 对于B，连接，如图（1），可得， 所以为异面直线MN与AC所成的角，而， 所以异面直线MN与AC所成的角为，故B正确； 对于C，易知四边形为等腰梯形， 且， 则等腰梯形的高为， 因此，故C正确； 对于D，如图（2），若将正方体的表面展开至面与面共面， 则， 若将正方体的表面展开至面ABCD与面共面， 则，故D错误. 故选：BC. 9．(多选）（24-25高一下·内蒙古包头·期末）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，则下面命题中正确的序号是（    ） A． 有水的部分始终呈棱柱形 B． B．没有水的部分始终呈棱柱形 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 【答案】ABD 【分析】根据棱柱的定义判定A，B，利用线面垂直的性质定理可得水面是矩形判定C，利用等体积法判断D即可. 【详解】根据棱柱的定义：有两个面是相互平行且是全等的多边形，其余没相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形可知， 由于边固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面， 所以在倾斜的过程中有水的部分始终呈棱柱形，同理没有水的部分始终呈棱柱形，A，B正确； 在倾斜的过程中，长度不变，不断变化， 又因为，所以始终垂直于平面，又平面，所以水面是矩形， 所以水面所在四边形的面积不是定值，C说法错误； 因为水的体积是不变的，正三棱柱的高始终是也不变， 所以底面面积也不会变，即是定值，D说法正确； 故选：ABD 10．(多选）（2025高三·全国·专题练习）如图，直四棱柱的底面ABCD是菱形，，点G是棱的中点，若动点P满足，点P的轨迹截该四棱柱所得形状为Ω，则（    ） A．Ω为平行四边形 B．Ω为梯形 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BCD 【分析】确定点的轨迹，即可判断AB，根据，判断C，根据几何关系推得，再根据几何关系计算. 【详解】如图，连接，因为动点P满足， 所以点P的轨迹是过的中点且与垂直的平面， 连接，易知过的中点且与垂直. 设的中点为E，连接，易证平面，所以． 设的中点为F，连接EF，AF，则，所以． 因此点P的轨迹是平面， 所以点P的轨迹截该四棱柱所得形状Ω是四边形，易知Ω为梯形，B正确，A错误． 因为，所以， 连接，得， 所以， 当P为与平面的交点时取“=”，C正确． 连接，易知，所以平面， 设点O是的中点，则点，O关于平面对称， 连接GO，则，当P为GO与平面的交点时取“=”． 连接OE，GE，易知，， 因为，所以，， 又，所以, 所以，D正确. 故选：BCD． 11．（24-25高二上·上海·期末）如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为 . 【答案】 【分析】根据直棱柱的体积公式，可得答案. 【详解】设长方体的长宽分别为，则由左图可得水的体积， 设右图中长方体底面被水浸到的矩形的未知边为，显然此时水的形状为三棱柱， 底面为直角边分别为的直角三角形，高为，则水的体积为， 由题意可得，解得，由，解得. 故答案为：. 12．（24-25高一下·安徽六安·期末）我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺. 【答案】 【分析】利用圆柱的展开图，由勾股定理求解即可. 【详解】解：如图： 一条直角边（即圆柱体的高）长(尺)，另一条直角边长(尺)， 根据勾股定理可知葛藤的最短长度为尺. 故答案为： 13．（22-23高一上·江西抚州·阶段练习）如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 ． 【答案】路 【分析】根据正方体的表面展开图找出相对面，再由其特征得到结果. 【详解】由图①可知，“国”和“兴”相对，“梦”和“中”相对，“复”和“路”相对； 由图②可得，第1、2、3、4、5格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”， 所以到第5格时，小正方体朝上面的字是“路”. 故答案为：路. 14．（2025·上海黄浦·二模）某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为 米．（结果精确到0.01米）    【答案】 【分析】设正方体的中心为，连接，得到平面，由三角形是正三角形，得到外接圆的半径为米，利用勾股定理求得米，设米，结合，即可得到对答案. 【详解】解：由正方体的棱长米， 因为平面平面，且平面，平面，平面， 如图所示，设正方体的中心为，连接，交平面于点，则平面， 在正方体中，底面是正三角形，其外接圆的半径为米， 又由勾股定理，可得米， 设米，因为点到平面的距离为2米， 所以米. 故答案为：.    15．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 .    【答案】 【分析】由图形可知所求几何体是由底面直径相同，高为的圆柱和高为的圆柱的一半拼成，由圆柱体积公式可求得结果. 【详解】作出几何体的轴截面如下图所示： 则所求几何体是由一个底面直径为，高为的圆柱与一个底面直径为，高为的圆柱的一半构成， 则所求几何体体积. 故答案为：.    16．（24-25高一下·云南·期中）如图，这是一个六角螺帽，它可视作从一个正六棱柱中挖掉一个圆柱，且该圆柱底面圆的圆心与正六棱柱底面中心重合．正六棱柱底面六边形的边长为8毫米，圆柱底面圆的半径为5毫米，六角螺帽的高为10毫米． (1)求这个六角螺帽的体积； (2)求这个六角螺帽的表面积． 【答案】(1)（立方毫米）． (2)（平方毫米）． 【分析】（1）利用棱柱和圆柱的体积公式计算即可； （2）利用棱柱和圆柱的侧面积公式计算即可 【详解】（1）由题意可得，正六棱柱底面六边形的面积（平方毫米）， 圆柱底面圆的面积（平方毫米）， 正六棱柱和圆柱的高（毫米）， 则这个六角螺帽的体积（立方毫米）． （2）由（1）可知这个六角螺帽的上、下底面的面积之和 （平方毫米）， 正六棱柱的侧面积（平方毫米）， 圆柱的侧面积（平方毫米）， 则这个六角螺帽的表面积（平方毫米）． 17．（2023高二上·上海·专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 【答案】详见解析. 【分析】画出圆柱侧面展开图后得到矩形，计算展开图中的距离即可得. 【详解】如图，将圆柱的侧面沿母线展开即得矩形， 其中，分别为，的中点， 在矩形中，，， 连接，则； 可知蜘蛛沿着爬行时路程最短，最短路程为. 18．（2025高三·全国·专题练习）如图40，在单位正方体中，分别为棱的中点，为中点，分别为上的动点，求证：.    【答案】证明见解析 【分析】由题可得，当为中点时，取最小值，随后翻折使其与重合，则当三点共线时，最小，据此可完成证明. 【详解】由于点相对于点地位等同，故当为中点时，取最小值，翻折使其与重合，如下图所示，则当三点共线时，最小. 由题易得为四等分点，则，过M做， 则，又，则，从而 .    19．（24-25高一下·河南·期中）（1）某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球．现有两种设计方案，一种是正方体礼盒（如图（1）），另一种是圆柱形礼盒（如图（2）），在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的1.6倍，问：工厂选择哪一种礼盒更经济实惠？    （2）设某长方体礼盒的长，宽，高分别为． （ⅰ）若用十字捆扎法（如图（3）），且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度；（不考虑接口处的彩带长度） （ⅱ）若用对角捆扎法（如图（4）），且2cm，不考虑接口处的彩带，结合（ⅰ），比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短，较短的约为多少厘米？（结果保留到整数） 参考数据：． 【答案】（1）工厂选择正方体礼盒更经济实惠； （2）（ⅰ）48cm；（ⅱ）35cm． 【分析】（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元，正方体礼盒，圆柱形礼盒的总造价分别为，结合，得到，即可得到答案； （2）（ⅰ）根据题意，求得彩带的总长度，即可得到答案； （ⅱ）在平面内作，求得，求得需彩带的总长度为，进而得到答案. 【详解】解：（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元， 则圆柱形礼盒的造价为元， 记正方体礼盒，圆柱形礼盒的总造价分别为， 显然都是正数，所以， 则，所以工厂选择正方体礼盒更经济实惠． （2）（ⅰ）所需彩带的总长度为． （ⅱ）如图所示，在平面内作，则， 同理可得，则， 所以所需彩带的总长度为， 因为，所以用对角捆扎法所用的彩带短，较短的约为35cm．    20．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）如图所示，直三棱柱的底面为正三角形，分别是的中点． (1)证明：平面平面； (2)若为中点，且，设三棱锥的体积为，三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明平面，而平面，可证平面平面； （2）由可得，从而得出，于是，设，过作于，连接，则由∽得出，从而，进而可得解. 【详解】（1）证明：如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以， 又是正三角形的边的中点，所以，又，平面，所以平面，而平面， 所以平面平面． （2）因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，和是平面内的两条相交直线，所以平面，平面，所以． 由题可知，，所以． 在中，，所以． 故三棱锥的体积． 设, 过作于，连接， ∵∽,∴, ∴． ∵，． 三棱锥与三棱锥的公共部分为三棱锥， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $