预习专题06 柱体（5知识点+12题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

预习专题06 柱体 多面体 多面体的定义及其相关概念 定义 图形及表示 相关概念 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； 面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形； 棱：相邻面的公共边； 顶点：棱与棱的交点； 1．多面体至少有四个面.在空间几何体中说某个面是多边形，一般也包括这个多边形内部的平面部分． 2．连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．；例如，在下图中，连接 ，则 为该多面体的一条对角线． 3．一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做这个几何体的截面．在下图中，连接 ， ，则得到多面体的一个截面 ． 多面体的概念注意以下两个方面：（1）多面体是由三角形或平面多边形围成的，围成一个多面体，至少要4个面，一个多面体有几个面围成就称为几面体.（2）多面体是一个封闭的几何体，包括其内部的部分. 一个多面体的面至少有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】结合多面体的几何结构特征可得答案． 【解答】解：由多面体的几何结构特征可知，多面体底面至少为三条边，即底面是三角形， 则对应有三个侧面，即为三棱锥， 所以一个多面体至少有4个面． 故选：． 给出下列空间几何体：①球；②建筑用的方砖；③茶杯；④埃及的金字塔．其中属于多面体的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】结合多面体与旋转体的定义检验各几何体，即可判断． 【解答】解：①球为旋转体；②建筑用的方砖，属于多面体，③茶杯属于旋转体；④埃及的金字塔属于多面体． 故选：． 棱柱与圆柱 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2.圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 下面的几何体中是棱柱的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C； 【解析】棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C; 下列命题中正确的是(　　) A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D； 【解析】由圆柱的概念可知D正确； 圆柱的性质：（1）圆柱的上下底面为两个相等的圆面；（2）圆柱的轴截面为矩形，一组对边为底面的直径，一组对边为母线；（3）平行于底面的截面是与底面全等的圆面. 祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等. 祖暅 [gèng]，又名祖暅之，字景烁，是我国南北朝时代南朝的数学家、科学家祖冲之的儿子。 祖暅原理 （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”. （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等．根据“祖暅原理”，“ ”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据祖暅原理，判断“”与“”之间的逻辑推理关系即可． 【解答】解：根据祖暅原理可知，当时，一定有成立， 反之，当成立时，不一定有成立， 比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， 圆柱 V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的体积是___________. 【分析】分析可得圆柱上下底面圆的直径，圆柱的高，由圆柱的体积公式，即得解 【详解】由题意，圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形 故圆柱上下底面圆的直径，圆柱的高 由圆柱的体积公式， 故圆柱的体积 柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 几何题 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点． (1)求证：平面； (2)若，，，求圆柱的侧面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆柱的性质可得底面，即可得出，再由直线与平面垂直的判定得出结论； （2）由已知解直角三角形求出圆柱的底面半径及母线长，即可求出答案. 【详解】（1）证明：底面，且底面， ， 又，且，平面， 平面； （2）在中，，， ， 又在中，， ． 圆柱的底面半径为，母线长为4， 圆柱的侧面积为． 题型一、棱柱的结构特征和分类 例1下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 1-1给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是 . 1-2已知长方体的棱长，，，则点到棱的距离是 题型二、棱柱的判断 例2下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 2-1如图，长方体被一个平面截成两个几何体，且，这两个几何体分别是（    ） A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台 2-2观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 题型三、正棱柱及其有关计算 例3长方体中，，，则此长方体的对角线长是（    ） A．2 B． C． D． 3-1已知正方体的棱长为1，则正方体的体对角线长为 . 3-2正方体的棱长为1，则对角线的长为 . 3-3若正方体的棱长为a，则正方体的对角线长为 ；对角面面积为 ． 题型四、棱柱的展开图及最短距离问题 例4如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 4-1下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   4-2已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 4-3如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 . 题型五、判断正方体的截面形状 例5平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 5-1若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面(    ) A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心 C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形 5-2如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 5-3用平面截正方体，截面不可能是（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形 5-4在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为 ． 题型六、棱柱及其有关计算 例6在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为 . 6-1一直棱柱有个顶点，其所有的侧棱长的和为，则每条侧棱长为 . 6-2长方体长､宽､高分别为3，4，5，则它的对角线长为 . 6-3在长方体中，若，则 ． 题型七、圆柱的结构特征辨析 例7圆柱的定义：如图，将矩形ABCD绕其 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱，AB所在直线叫做该圆柱的 ，线段AD和BC分别旋转而成的圆面叫做该圆柱的 ，线段CD旋转而成的曲面叫做该圆柱的 ，CD叫做该圆柱的 ，圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做该圆柱的 ．棱柱和圆柱统称为 ． 7-1已知圆柱底面半径为1，高为2，是上底面圆的一条直径，为下底面圆的一条动弦且与平行，设与的距离为，则的取值范围是 . 7-2已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则 ． 7-3我国古代数学名著《数书九章》中的一个问题，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为一丈，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几丈几尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少长是 ． 题型八、柱体体积的有关计算 例8若正六棱柱的高为4，底面边长为2，则这个正六棱柱的体积是 ． 8-1一张矩形纸的边长分别为、，把它作为一个圆柱的侧面，再添加圆柱的两个底，可以得到高分别为和的两个圆柱体，其体积为和，则和的大小关系是（    ）. A． B． C． D．不确定 8-2如图，一个高为2的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为（    ） A． B． C． D． 8-3若一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则它的体积是 ． 题型九、圆柱轴截面的有关计算 例9用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 9-1已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 9-2已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是 . 9-3已知一个圆柱的体积为，轴截面面积为，求这个圆柱的半径和高． 题型十、棱柱表面积的有关计算 例10将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了 . 10-1已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为 . 10-2已知长方体的三个不同表面的面积分别为，，，则长方体的对角线长为 . 题型十一、圆柱表面积的有关计算 例11圆柱的侧面积是，母线长为4，则圆柱的体积为 11-1底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为 .（结果保留） 11-2若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 11-3若一个圆柱侧面积为，高为 2，则这个圆柱的体积为 . 1．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．长方体中，直线与平面所成的角为45°，若，则平面和之间的距离为 ． 3．已知长方体的长､宽､高分别为1､2､3，则长方体的体对角线长为 . 4．已知长方体的长、宽、高分别为1，2，2，则该长方体的对角线的长为 ． 5．如图，在长方体中，，，． (1)求点和点C的距离； (2)求点到棱BC的距离； (3)棱和平面ABCD的距离． 1．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨乘凉．假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体Ω．一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米．    (1)求几何体下半部分圆柱的体积； (2)如图，设E为圆柱底面半圆弧CD的上的点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 2．如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习专题06 柱体 多面体 多面体的定义及其相关概念 定义 图形及表示 相关概念 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； 面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形； 棱：相邻面的公共边； 顶点：棱与棱的交点； 1．多面体至少有四个面.在空间几何体中说某个面是多边形，一般也包括这个多边形内部的平面部分． 2．连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．；例如，在下图中，连接 ，则 为该多面体的一条对角线． 3．一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做这个几何体的截面．在下图中，连接 ， ，则得到多面体的一个截面 ． 多面体的概念注意以下两个方面：（1）多面体是由三角形或平面多边形围成的，围成一个多面体，至少要4个面，一个多面体有几个面围成就称为几面体.（2）多面体是一个封闭的几何体，包括其内部的部分. 一个多面体的面至少有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】结合多面体的几何结构特征可得答案． 【解答】解：由多面体的几何结构特征可知，多面体底面至少为三条边，即底面是三角形， 则对应有三个侧面，即为三棱锥， 所以一个多面体至少有4个面． 故选：． 给出下列空间几何体：①球；②建筑用的方砖；③茶杯；④埃及的金字塔．其中属于多面体的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】结合多面体与旋转体的定义检验各几何体，即可判断． 【解答】解：①球为旋转体；②建筑用的方砖，属于多面体，③茶杯属于旋转体；④埃及的金字塔属于多面体． 故选：． 棱柱与圆柱 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2.圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 下面的几何体中是棱柱的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C； 【解析】棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C; 下列命题中正确的是(　　) A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D； 【解析】由圆柱的概念可知D正确； 圆柱的性质：（1）圆柱的上下底面为两个相等的圆面；（2）圆柱的轴截面为矩形，一组对边为底面的直径，一组对边为母线；（3）平行于底面的截面是与底面全等的圆面. 祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等. 祖暅 [gèng]，又名祖暅之，字景烁，是我国南北朝时代南朝的数学家、科学家祖冲之的儿子。 祖暅原理 （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”. （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等．根据“祖暅原理”，“ ”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据祖暅原理，判断“”与“”之间的逻辑推理关系即可． 【解答】解：根据祖暅原理可知，当时，一定有成立， 反之，当成立时，不一定有成立， 比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， 圆柱 V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的体积是___________. 【分析】分析可得圆柱上下底面圆的直径，圆柱的高，由圆柱的体积公式，即得解 【详解】由题意，圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形 故圆柱上下底面圆的直径，圆柱的高 由圆柱的体积公式， 故圆柱的体积 柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 几何题 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点． (1)求证：平面； (2)若，，，求圆柱的侧面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆柱的性质可得底面，即可得出，再由直线与平面垂直的判定得出结论； （2）由已知解直角三角形求出圆柱的底面半径及母线长，即可求出答案. 【详解】（1）证明：底面，且底面， ， 又，且，平面， 平面； （2）在中，，， ， 又在中，， ． 圆柱的底面半径为，母线长为4， 圆柱的侧面积为． 题型一、棱柱的结构特征和分类 例1下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【答案】B 【分析】利用棱柱的有关定义与性质逐项判断即可. 【详解】对于A，三棱柱的两底面是三角形，故A错误； 对于B，由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形，故B正确； 对于C，由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，由平行四边形的性质对边相等， 所以棱柱的侧棱全相等，故C错误； 对于D，各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱（如正六棱柱），但底面不一定是正方形， 故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体，故D错误. 故选：B. 1-1给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是 . 【答案】 【分析】根据棱柱的几何特征逐项判断即可. 【详解】对于①，平行六面体可以是斜棱柱，也可以是直棱柱，①错； 对于②，有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱，②对； 对于③，各侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体， 如直四棱柱，底面是菱形，底面边长和高相等，但该四棱柱不为正方体，③错； 对于④，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱，如下图所示： 该几何体不是棱柱，④错. 故答案为：. 1-2已知长方体的棱长，，，则点到棱的距离是 【答案】5 【分析】利用长方体的结构特征，证得即可得解. 【详解】在长方体中，平面，而平面， 因此，所以点到棱的距离为. 故答案为：5    题型二、棱柱的判断 例2下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 【答案】C 【分析】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，正四棱柱是平行六面体，故C正确； 对于D，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故D错误. 故选：C. 2-1如图，长方体被一个平面截成两个几何体，且，这两个几何体分别是（    ） A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台 【答案】A 【分析】由棱柱的几何特征即可求解. 【详解】由于，所以,所以几何体为三棱柱，几何体为五棱柱， 故选：A. 2-2观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 【答案】A 【分析】根据棱柱的定义分析判断即可. 【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体， 所以棱柱有（1）（3）（5）. 故选：A. 题型三、正棱柱及其有关计算 例3长方体中，，，则此长方体的对角线长是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，作图，根据勾股定理和锐角三角函数，分别计算出长方形的长宽高，进而利用长方体的对角线的计算公式，直接计算可得答案 【详解】 由已知得，，，根据勾股定理和锐角三角函数，在直角三角形中，得，，在直角三角形中，由，可得，，则此长方体的对角线长为. 故选：B 3-1已知正方体的棱长为1，则正方体的体对角线长为 . 【答案】 【分析】由正方体体对角线公式即可求解 【详解】因为正方体的棱长为1， 所以体对角线长为， 故答案为： 3-2正方体的棱长为1，则对角线的长为 . 【答案】 【分析】利用正方体的图象特征即可求解 【详解】因为正方体的棱长为1， 所以对角线， 故答案为： 3-3若正方体的棱长为a，则正方体的对角线长为 ；对角面面积为 ． 【答案】 【分析】由正方体的几何性质求解相应问题． 【详解】如图： 正方体的对角线长为：， 对角面面积为：， 故答案为： 题型四、棱柱的展开图及最短距离问题 例4如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】将绕翻折到与共面，连接，则的长度即为的最小值，利用勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故选：D 4-1下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   【答案】C 【分析】由各个面图像相对位置来排出错误选项. 【详解】A选项：直线和长方形在直观图中一定没有交点，故错误； B和D选项由展开图得到的直线和黑色三角没有交点，而直观图由交点，故错误； 故C选项符合题意. 故选：C. 4-2已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 【答案】 【分析】分别求解不同情况下的展开图的长度，即可比较作答. 【详解】如图正四棱柱中，若沿着侧棱展开，可得图（1） 此时, 若沿着侧重展开，可得图（2），此时, 若沿着侧重展开，可得图（3），此时 由于，故最短距离为， 故答案为： 4-3如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 . 【答案】 【分析】根据正方体结构特征，直观想象将面旋转展开成与面在同一个平面内，进而求的最小值. 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内. 故答案为： 题型五、判断正方体的截面形状 例5平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】通过分析平面去截正方体时，平面与正方体各面相交的情况，来判断可能得到的截面形状，从而确定不可能出现的截面形状. 【详解】当平面与正方体的三个面相交时，可以得到三角形截面； 当平面与正方体的四个面相交时，能够得到四边形截面； 当平面与正方体的五个面相交时，会形成五边形截面； 当平面与正方体的六个面都相交时，就得到六边形截面； 由于正方体只有六个面，所以平面与其六个面相交最多得六边形，不可能得到七边形或多于七边的图形. 故选：. 5-1若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面(    ) A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心 C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形 【答案】A 【分析】根据正方体的性质，所有过中心的截面都把正方体分成体积相等的两部分，从而可得正确答案． 【详解】根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正方体的中心． 故选：A． 5-2如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，利用平面的性质可得过的平面截该正方体所得截面为菱形，再计算其面积. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则， 又且，得是平行四边形，得， 所以，则共面， 故平面截该正方体所得的截面为. 又正方体的棱长为1，，，，， 故的面积为. 故选：D. 5-3用平面截正方体，截面不可能是（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】举例即可说明A、B、D正确；假设截面是正五边形，经分析得出必有两条截线平行，这与正五边形的性质相矛盾，即可判断C项. 【详解】对于A项，当截面与正方体表面平行，且与正方体相交时，截面为正方形，即截面可能是菱形，故A项正确； 对于B项，如图1，当时，有，且，此时截面为等腰梯形，故B项正确； 对于C项，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故C项错误； 对于D项，如图2，分别为各边的中心，易证共面，且为正六边形，故D项正确. 故选：C. 5-4在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为 ． 【答案】 【分析】连接AC，, ,找到过点A、、的平面截正方体的截面,确定其形状，求得截面边长，即可求得答案. 【详解】如图连接AC，则AC过点M,连接,则经过点N,连接, 则过点A、、的平面截正方体的截面为等边， 因为正方体棱长为，故边长为，面积为， 故答案为： 题型六、棱柱及其有关计算 例6在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为 . 【答案】2 【分析】根据长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，结合已知即可求结果. 【详解】由长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，而体对角线长为， 所以此长方体的中心到顶点的距离为2. 故答案为：2 6-1一直棱柱有个顶点，其所有的侧棱长的和为，则每条侧棱长为 . 【答案】 【分析】由棱柱特征可知该棱柱为五棱柱，由此可计算得到结果. 【详解】直棱柱有个顶点，该直棱柱为直五棱柱，共有五条侧棱， 每条侧棱长为：. 故答案为：. 6-2长方体长､宽､高分别为3，4，5，则它的对角线长为 . 【答案】 【分析】利用勾股定理进行求解即可. 【详解】因为长方体长､宽､高分别为3，4，5， 所以它的对角线长为， 故答案为： 6-3在长方体中，若，则 ． 【答案】30°/ 【分析】作出辅助线，证明出三角形全等，得到角度之间的相等关系，求出答案. 【详解】连接DE，FC， 则因为， 所以△ADE≌△BCF， 所以，. 故答案为：30° 题型七、圆柱的结构特征辨析 例7圆柱的定义：如图，将矩形ABCD绕其 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱，AB所在直线叫做该圆柱的 ，线段AD和BC分别旋转而成的圆面叫做该圆柱的 ，线段CD旋转而成的曲面叫做该圆柱的 ，CD叫做该圆柱的 ，圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做该圆柱的 ．棱柱和圆柱统称为 ． 【答案】 一条边AB 轴 底面 侧面 母线 高 柱体 【详解】圆柱的定义：如图，将矩形ABCD绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱，AB所在直线叫做该圆柱的轴，线段AD和BC分别旋转而成的圆面叫做该圆柱的底面，线段CD旋转而成的曲面叫做该圆柱的侧面，CD叫做该圆柱的母线，圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做该圆柱的高．棱柱和圆柱统称为柱体． 故答案为：一条边AB；轴；底面；侧面；母线；高；柱体. 7-1已知圆柱底面半径为1，高为2，是上底面圆的一条直径，为下底面圆的一条动弦且与平行，设与的距离为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出辅助线，当与重合时，最小，此时，当越接近于时，越大，故的取值范围是. 【详解】如图所示，点为上底面的圆心，下底面的直径为，为下底面的圆心， 连接，则， 过点作⊥，交圆于点，则， 连接，由勾股定理得， 当与重合时，最小，此时， 当越接近于时，越大，故的取值范围是.    故答案为： 7-2已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则 ． 【答案】 【分析】因为，且，得到直线与所成角即为直线与所成角在直角中，即可求解. 【详解】如图所示，因为，且 则直线与所成角即为直线与所成角的大小为，可得, 在直角中，可得，即. 故答案为：. 7-3我国古代数学名著《数书九章》中的一个问题，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为一丈，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几丈几尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少长是 ． 【答案】尺 【分析】将圆木看作圆柱体，并沿母线剪开，利用长方形对角线为葛藤生长的最短长度求结果. 【详解】将圆柱形圆木沿一条母线剪开,两个侧面展开图沿母线拼接，得如下长方形尺，尺，    所以葛藤最少长为尺. 故答案为：尺 题型八、柱体体积的有关计算 例8若正六棱柱的高为4，底面边长为2，则这个正六棱柱的体积是 ． 【答案】 【分析】由柱体的体积公式即可求解. 【详解】由题意，该正六棱柱的底面边长为2， 则其底面面积， 又因为该正六棱柱的高， 所以该正六棱柱的体积. 故答案为：. 8-1一张矩形纸的边长分别为、，把它作为一个圆柱的侧面，再添加圆柱的两个底，可以得到高分别为和的两个圆柱体，其体积为和，则和的大小关系是（    ）. A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】当高为时，底面周长为，则底面半径为， 所以， 同理可得当高为时，， 因为，所以， 故选：C． 8-2如图，一个高为2的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体的体积关系，化归转化，即可求解. 【详解】设该长方体的底面矩形的长为，宽为，又高为2， 所以根据题意可得水的体积为： ， 解得：. 故选：D. 8-3若一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则它的体积是 ． 【答案】 【分析】由轴截面为正方形，易得到底面半径和高，代入体积公式即可． 【详解】由轴截面是边长为2的正方形可得，圆柱底半径为1，高为2， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 题型九、圆柱轴截面的有关计算 例9用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱的轴截面的面积求法求解. 【详解】当圆柱的高时，， 所以圆柱的轴截面的面积为； 当圆柱的高，， 所以圆柱的轴截面的面积为， 故选：B 9-1已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件探求出圆柱底面半径r与母线l的关系即可求解圆柱的侧面积. 【详解】设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，则该圆柱轴截面矩形的一组邻边长分别为2r，l， 依题意，，解得， 由圆柱侧面积公式得：， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：A 9-2已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是 . 【答案】 【分析】由圆柱的底面直径即为轴截面的边长，进而可以求解. 【详解】因为圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是， 所以此正方形的边长为，即圆柱的底面直径为， 所以圆柱的底面的面积为. 故答案为：. 9-3已知一个圆柱的体积为，轴截面面积为，求这个圆柱的半径和高． 【答案】半径为2cm，高为1.5cm． 【分析】根据条件，由求解. 【详解】解：根据题意得， 解得. 所以这个圆柱的半径为2cm，高为1.5cm． 题型十、棱柱表面积的有关计算 例10将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了 . 【答案】 【分析】求出正方体的表面积，然后求出一个小正方体的表面积，即可得到结论． 【详解】由题意可知正方体的表面积为， 小正方体的棱长为， 小正方体的表面积为， 64个全等的小正方体的表面积为， 表面积增加了 故答案为： 10-1已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为 . 【答案】 【分析】由题意得到和两个等式，将两边同时平方并将代入得到，即为长方体表面积. 【详解】如图，，， ， ∴， ∴， 该长方体的表面积为：13500 故答案为：13500 10-2已知长方体的三个不同表面的面积分别为，，，则长方体的对角线长为 . 【答案】 【分析】根据长方体的三个不同表面的面积分别为，，，求得相邻的三条棱长，再利用长方体的对角线长公式求解. 【详解】解：设长方体的相邻的三条棱长为a，b，c， 因为长方体的三个不同表面的面积分别为，，， 所以，解得， 所以长方体的对角线长为， 故答案为： 题型十一、圆柱表面积的有关计算 例11圆柱的侧面积是，母线长为4，则圆柱的体积为 【答案】/ 【分析】设出圆柱的底面圆半径，根据侧面积得到方程，求出半径，利用圆柱体积公式求出答案. 【详解】设圆柱底面圆半径为，则，解得， 故圆柱的体积为. 故答案为： 11-1底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为 .（结果保留） 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面展开图为矩形，结合数据得到矩形的长和宽，即可计算圆柱的侧面积. 【详解】圆柱侧面展开图为矩形，长为圆柱底面圆周长，宽为圆柱的高. 故圆柱的侧面积为. 故答案为：. 11-2若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据侧面积公式表示出侧面积，然后利用基本不等式求解出最大值即可. 【详解】由题意可知：圆柱的母线长度为， 侧面积， 当且仅当，即时取等号， 所以侧面积的最大值为， 故答案为：. 11-3若一个圆柱侧面积为，高为 2，则这个圆柱的体积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱侧面积的公式计算得出圆柱的底面半径，再应用圆柱的体积公式计算即可. 【详解】设圆柱的底面半径为， 因为圆柱侧面积为，所以， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 1．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】依据棱柱展开图的特征对各个选项恢复成相应棱柱，即可得到所给图形中经过折叠不能围成一个棱柱的为选项B. 【详解】选项AD经过折叠可以围成四棱柱，选项C经过折叠可以围成三棱柱， 选项B经过折叠后有四个侧面，而上下底面为五边形，故不能围成棱柱. 故选：B 2．长方体中，直线与平面所成的角为45°，若，则平面和之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据长方体的性质，结合线面角的定义以及面面距的定义，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下：    在长方体中，平面， 则，且平面和之间的距离为， 在矩形中，，则， 所以在中，. 故答案为：. 3．已知长方体的长､宽､高分别为1､2､3，则长方体的体对角线长为 . 【答案】 【分析】根据长方体的对角线长公式计算． 【详解】对角线长为， 故答案为：． 4．已知长方体的长、宽、高分别为1，2，2，则该长方体的对角线的长为 ． 【答案】3 【分析】根据长方体的对角线长公式计算． 【详解】长方体的对角线长为 故答案为：3 5．如图，在长方体中，，，． (1)求点和点C的距离； (2)求点到棱BC的距离； (3)棱和平面ABCD的距离． 【答案】(1)； (2)5cm； (3)3cm. 【分析】（1）根据长方体的性质及勾股定理即得； （2）利用长方体的性质及点到直线的距离的概念即得； （3）根据直线到平面的距离的概念结合条件即得. 【详解】（1）如图，连接、AC， ∵平面ABCD，而平面ABCD， ∴， 由勾股定理，得； （2）如图，连接，∵平面，而平面， ∴． ∴就是点 到棱 BC 的距离， ． ∴点到棱 BC 的距离是5cm； （3）显然棱平面ABCD，平面ABCD， ∴就是棱和平面ABCD的距离， ∵， ∴棱和平面ABCD的距离是3cm． 1．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨乘凉．假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体Ω．一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米．    (1)求几何体下半部分圆柱的体积； (2)如图，设E为圆柱底面半圆弧CD的上的点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 【答案】(1) (2)；满足建筑要求 【分析】（1）利用柱体的体积公式计算即可； （2）连接，，可得为圆柱母线和圆锥母线所成的角，求解即可，，求值后判断是否满足. 【详解】（1）圆柱的体积， （2）连接，，    根据题意可得，为圆柱母线和圆锥母线所成的角， ，，， 圆柱母线EF和圆锥母线PR所在异面直线所成角的正切值为， ，， 有，故该亭子满足建筑要求. 2．如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据多面体表面积的求法求解. （2）证明出线面垂直，从而证明面面垂直； （3）证明出，从而证明出线面平行. 【详解】（1）正三棱柱的侧面积为：，底面积为. 所以正三棱柱的表面积为：. （2）如图： 因为为等边三角形，为的中点，故， 又三棱柱为直三棱柱，故平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （3）连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面,平面， 所以平面. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$