精品解析：北京市首都师范大学第二附属中学2025～2026学年上学期九年级开学考数学试卷

北京市首都师范大学第二附属中学2025~2026学年上学期九年级开学考数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 3，6，4 B. 3，，4 C. 3，6， D. 3，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般式可直接进行求解． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 3. 将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线表达式为， 故选：． 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 5. 二次函数的x与y的部分对应值如下表： 则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格数据可知，抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可知，时的值与时的值相等，即可求解． 【详解】解：有表格可知，当，，当，， 由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为， ∴时的值与时的值相等， ∴时的值为5，即的值为5， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的对称性，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】A．抛物线开口向下， ，故本选项错误； B．抛物线的对称轴在轴左侧， ， ，故本选项错误； C．抛物线与y轴的交点在正半轴上， ，故本选项错误； D．抛物线与x轴的两个交点， ，故本选项正确． 故选：D． 7. 我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为万辆，2024年7月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设新能源汽车销量的月平均增长率为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了平均增长率问题，正确列方程解答是解题的关键． 【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为，根据题意，得， 故选：C． 8. 二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据当和时，函数值相等，求出对称轴，可判断②；得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，可判断①；得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，可判断③；根据和时，，可判定④，进而可得出答案． 【详解】解：∵当和时， ∴函数图象抛物线对称轴为直线，故②错误； ∴为最低点，抛物线的开口向上，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点的对称点为， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，，故③正确； ∵和时，， ∴是方程，即方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的是①③④，共3个， 故选：C． 二、填空题（共8小题） 9. 若1是关于x的方程的根，则a的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把1代入方程即可． 【详解】解：把1代入方程得， ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查已知方程根求参数的做法，能够正确代入方程计算是解题关键． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴方程的判别式：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键． 11. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，则一元二次方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标即为所对应的一元二次方程的解．据此进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴当或时，， 即一元二次方程的解为，， 故答案为：， 12. 已知二次函数，请判断点是否在该二次函数的图象上．你的结论为________（填“是”或“否”）． 【答案】是 【解析】 【分析】把点A的坐标代入解析式验证即可． 【详解】解：∵当x=1时，y=﹣（﹣1）2=﹣1， ∴点在二次函数的图象上． 故答案为：是． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，属于基础题目，掌握解答的方法是关键． 13. 若点，都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是：a________b（填“”，“”或“”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较两个点离直线的远近即可得到a、b的大小关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴点离直线远，点离直线较近， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 15. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下： 0 2 0 2 若，写出一个符合题意的的值为______． 【答案】1（答案不唯一，可取大于0的任何数） 【解析】 【分析】抛物线的对称轴是，根据和抛物线的对称性，点关于对称轴的对称点为，且，根据抛物线过x轴上的两点及点可知抛物线开口向下，结合二次函数的图像可以判断n符号，即可解答此题． 【详解】解：抛物线的对称轴是， 关于直线的对称点为， ， ， 抛物线开口向下， 在抛物线上， 当时， 可取大于0的任意一个数， 故答案为： 1（答案不唯一，可取大于0的任何数）． 如图所示， 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性，根据抛物线轴对称的性质是解本题的关键． 16. 甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同．下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述： 甲：开口向下； 乙：顶点在第三象限； 丙：经过点（，），（，）． 根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是___________（填“甲”，“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据可知，函数图象过，再根据丙的描述，画出图象即可进行判断． 【详解】解：， 当时，； ∴图象过， 根据丙的描述，可得的图象如下： ∴抛物线的开口朝上，顶点在第三象限， ∴乙，丙两位同学描述的是同一函数图象， ∴抽到与其他两人解析式不同的是：甲； 故答案为：甲． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 三、解答题（共10小题） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据直接开平方法进行求解方程即可； （2）根据因式分解法进行求解方程即可． 【小问1详解】 解∶， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解∶ ， ∴， ∴或， ∴，． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】把代入方程，求出，再将代数式进行化简，利用整体思想进行计算即可． 【详解】19．解：∵是方程的一个根， ∴． ∴． 原式 ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，以及利用整体思想求代数式的值．熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：由题意， ． ∴ 该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）求得该一元二次方程根的判别式大于等于零即可证明结论； （2）先求出该方程的解，然后令一个实数根小于2，然后求解不等式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）解：解方程，得：，． ∵ 方程有一个实数根小于2， ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，当一元二次根的判别式大于等于零，则该方程有两个不相等的实数根或相等的实数根． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）该抛物线的对称轴为___________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，对称轴，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式的一般步骤，是解题的关键． 21. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：列表如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 0 …… 如图， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的x的取值范围即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象知：当时，. 22. 在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用6米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． （1）如果花园的面积为5平方米，求x的值； （2）如果在点P处有一棵树到墙的距离分别是4米和1米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），直接写出花园面积的最大值． 【答案】（1）1或5 （2）8平方米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解题关键． （1）根据米可知米，再根据矩形的面积公式即可得出结论； （2）根据题意列出s和x的函数关系式，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大值． 【小问1详解】 解：设米，可知米， 根据题意得：． 解这个方程得：，， 答：x的值为1或5； 【小问2详解】 解：设周围的矩形面积为s， 则 ∵在P处有一棵树与墙、的距离分别是4米和1米， ∴， ∴． ∵抛物线开口向下，当时，s随x的增大而增大， ∴当时，s有最大值为， ∴花园面积的最大值是8平方米． 23. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）在图中画出铅球运动路径的示意图； （2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式； （3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀． 【答案】 （1）如图所示： （2）； （3）解：令，得， 解得，（C在x正半轴，故舍去）， ∴ 点C的坐标为（，0）， ∴ ， 由，可得， ∴ 小明此次试投的成绩达到优秀． 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接画出图象； （2）由图中信息可设抛物线解析式为，然后把点代入求解即可； （3）当y=0时，则有，求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解． 【详解】解：（1）略 （2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2）， 设该抛物线的表达式为， 由抛物线过点A，有， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （3）略 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式． 24. 某滑雪场在滑道上设置了几个固定的计时点．一名滑雪者从山坡滑下，测得了滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）的若干数据，如下表所示： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 滑行时间 0 1.07 1.40 2.08 2.46 2.79 3.36 滑行距离 0 5 10 15 20 25 35 为观察与之间的关系，建立坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似位于某条抛物线上．于是，我们可以用二次函数来近似地表示与的关系． （1）有一个计时点的计时装置出现了故障，这个计时点的位置编号可能是_________； （2）当时，，所以________； （3）当此滑雪者滑行距离为时，用时约为________（结果保留一位小数）． 【答案】（1）3；（2）0；（3）3.1 【解析】 【分析】（1）由图像及表格可直接进行解答； （2）把t=0代入求解即可； （3）从表格选两个点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：（1）由表格及图像可得：出现故障的位置编号可能是位置3； 故答案为3； （2）把t=0，s=0代入得：c=0； 故答案为0； （3）由（2）可得：把t=1.07，s=5和t=2.08，s=15代入得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为：， 把s=30代入解析式得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴当此滑雪者滑行距离为时，用时约为3.1s； 故答案为3.1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 25. 如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． （1）依题意补全图形； （2）求的度数（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 如图所示 （2） （3） ， 证明：， ∴， 连接， ∵O为的中点， ∴ ， ， ， ∴是等腰直角三角形，且, ∴, 即, ∴或(不符合题意，舍去)， ∵， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据正方形的性质得到，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据三角形外角的性质得到； （3）求得，连接，由O为的中点，得到，求得，得到是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是正方形， ∵O为的中点， ∴， ， ． 【小问3详解】 略 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）0， （2）①4；②且 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； 【小问2详解】 ①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市首都师范大学第二附属中学2025~2026学年上学期九年级开学考数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 3，6，4 B. 3，，4 C. 3，6， D. 3，， 3. 将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 二次函数的x与y的部分对应值如下表： 则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为万辆，2024年7月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共8小题） 9. 若1是关于x的方程的根，则a的值为___________． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 11. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，则一元二次方程的解为______． 12. 已知二次函数，请判断点是否在该二次函数的图象上．你的结论为________（填“是”或“否”）． 13. 若点，都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是：a________b（填“”，“”或“”）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 15. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下： 0 2 0 2 若，写出一个符合题意的的值为______． 16. 甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同．下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述： 甲：开口向下； 乙：顶点在第三象限； 丙：经过点（，），（，）． 根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是___________（填“甲”，“乙”或“丙”）． 三、解答题（共10小题） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）该抛物线的对称轴为___________． 21. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出x的取值范围． 22. 在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用6米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． （1）如果花园的面积为5平方米，求x的值； （2）如果在点P处有一棵树到墙的距离分别是4米和1米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），直接写出花园面积的最大值． 23. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）在图中画出铅球运动路径的示意图； （2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式； （3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀． 24. 某滑雪场在滑道上设置了几个固定的计时点．一名滑雪者从山坡滑下，测得了滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）的若干数据，如下表所示： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 滑行时间 0 1.07 1.40 2.08 2.46 2.79 3.36 滑行距离 0 5 10 15 20 25 35 为观察与之间的关系，建立坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似位于某条抛物线上．于是，我们可以用二次函数来近似地表示与的关系． （1）有一个计时点的计时装置出现了故障，这个计时点的位置编号可能是_________； （2）当时，，所以________； （3）当此滑雪者滑行距离为时，用时约为________（结果保留一位小数）． 25. 如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． （1）依题意补全图形； （2）求的度数（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $