专题01 一元二次方程十三题型（期中真题汇编，江西专用）九年级数学上学期人教版

专题 01 一元二次方程 · 地 城 题型01 一元二次方程的定义 1．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)下列方程是一元二次方程的是 （   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·江西吉安·期中)下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A．（，，为常数） B． C． D． 3．(24-25九上·江西南昌外国语学校教育集团·期中)将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·江西九江民办晨光中学·期中)一元二次方程的常数项是 ． 5．(24-25九上·江西新余分宜县·期中)若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 1．(24-25九上·江西南昌外国语学校教育集团·期中)已知m是关于x的方程的一个根，则（   ）地 城 题型02 由一元二次方程的解求参数 A．5 B．10 C． D．6 2．(24-25九上·江西九江修水县·期中)若关于x的方程的一根为1，则方程的另一个根为 ． 3．(24-25九上·江西宜春袁州区宜阳新区四校·期中)若关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为 ． 4．(24-25九上·江西抚州·期中)若是方程的一个根，则的值为 ． 5．(24-25九上·江西赣州·期中)已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 6．(24-25九上·江西宜春·期中)已知一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 1．(24-25九上·江西宜春·期中)通过一元二次方程配方后变形正确的是（   ）地 城 题型03 配方法解一元二次方程 A． B． C． D． 2．(24-25九上·江西南昌·期中)用配方法解方程时，应该把方程两边同时（    ） A．加2 B．减2 C．加4 D．减4 3．(24-25九上·江西九江第十一中学·期中)解下列方程 (1) (2) 4．(24-25九上·江西景德镇·期中)请用配方法讨论关于的一元二次方程的根的情况． 5．(24-25九上·江西赣州南康区第十中学·期中)（1）计算： （2）解方程： 1．(24-25九上·江西鹰潭月湖区·期中)一元二次方程的根的情况是（   ）地 城 题型04 由判别式判断根的情况 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 2．(24-25九上·江西抚州·期中)以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·江西赣州·期中)若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 4．(24-25九上·江西景德镇·期中)已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为2，试求的值． 5．(24-25九上·江西赣州·期中)已知关于x的方程． (1)若该方程有一个根为，求a的值： (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 1．(24-25九上·江西九江·期中)关于的一元二次方程有实数根，则满足（   ）地 城 题型05 根据一元二次方程根的情况求参数 A． B．且 C．且 D．且 2．(24-25九上·江西抚州·期中)若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．(24-25九上·江西抚州临川第二中学·期中)若关于的方程的判别式的值为4，则 ． 4．(24-25九上·江西景德镇·期中)已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 地 城 题型06 公式法解一元二次方程 1．(24-25九上·江西九江·期中)大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较短线段的长度为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·江西宜春高安·期中)解下列方程： (1)； (2)． 1．(24-25九上·江西抚州第二实验学校·期中)一元二次方程的解为（ ）地 城 题型07 因式分解法解一元二次方程 A． B． C．或 D．或 2．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)若关于的一元二次方程有一个根是 ，则的值为 ． 3．(24-25九上·江西南昌外国语学校教育集团·期中)定义运算：．例如，则方程的解为 ． 4．(24-25九上·江西吉安·期中)如图，已知点，点，点分别在轴，轴正半轴上运动，且，当时，求点坐标 ． 5．(24-25九上·江西景德镇浮梁县储田学校·期中)解关于x的方程． (1)； (2)． 6．(24-25九上·江西鹰潭月湖区·期中)已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程有一个根为，求k的值及另一个根． 7．(24-25九上·江西抚州临川区·期中)计算 (1)解方程：； (2)若是方程的一个根，设，，试比较M与N的大小． 1．(24-25九上·江西九江第三中学·期中)已知关于的一元二次方程有一个根为，则另一根为（   ）地 城 题型08 一元二次方程的根与系数的关系 A．7 B．3 C． D． 2．(24-25九上·江西景德镇·期中)如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（   ） A．19 B．18 C．17 D．16 3．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)若实数，分别满足 且 则 ． 4．(24-25九上·江西赣州章贡区·期中)若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 5．(24-25九上·江西九江修水县·期中)若m，n是方程的解，则的值为 ． 6．(24-25九上·江西萍乡·期中)设，是的两个实数根，则的值是 ． 7．(24-25九上·江西九江修水县·期中)已知关于x的方程． (1)求证：无论m为何值，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 1．(24-25九上·江西九江·期中)新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　　）地 城 题型09 一元二次方程的应用---传播问题 A．20 B．22 C．24 D．25 2．(24-25九上·江西南昌·期中)一种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列出方程 ． 3．(24-25九上·江西景德镇乐平·期中)若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 4．(24-25九上·江西景德镇·期中)【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛． （1）①共有 ______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他_____ 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛_____场，列方程：____________． 【小试牛刀】（2）参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了次，有多少人参加聚会？ 【综合运用】（3）将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由． 1．(24-25九上·江西九江·期中)劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（    ）地 城 题型10 一元二次方程的应用---增长率问题 A． B． C． D． 2．(24-25九上·江西赣州·期中)某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为，则可列方程为 ． 3．(24-25九上·江西九江第三中学·期中)某件夏天T恤的售价为100元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为81元，求平均每次降价的百分率． 4．(24-25九上·江西南昌南昌县·期中)据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色文化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次．若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 5．(24-25九上·江西景德镇·期中)以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 6．(24-25九上·江西抚州·期中)龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 1．(24-25九上·江西赣州上犹县·期中)为增强学生身体素质和运动技能，某中学要在操场旁增建一个矩形沙坑用来给学生练习跳远，要求它的周长为米，面积为平方米，请求出沙坑的长和宽．地 城 题型11 一元二次方程的应用---几何问题 2．(24-25九上·江西新余·期中)如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 3．(24-25九上·江西南昌·期中)如图，一农场主准备用木栅栏建一个面积为180平方米的养鸡场，一边靠墙，其它部分用的是木栅栏，并且留有两道宽1米的门．其中，门用其它材料制作，木栅栏总长46米，墙长20米． (1)设养鸡场宽米，用含的代数式表示养鸡场的长． (2)求出的值． 4．(24-25九上·江西南昌·期中)如图，在矩形中，，，点P从点B出发沿边以的速度向点C运动，同时点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，当一个点到达终点时另一点也同时停止，设运城的时间为． (1)填空：__________，__________（用含t的代数式表示），t的取值范围为__________． (2)当t为何值时，的长度为？ (3)当t为何值时，的面积为？ 1．(24-25九上·江西九江第十一中学·期中)平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元．平均每周可售出顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶．该商店若希望每周获利元，则每顶头盔应降价多少元？地 城 题型12 一元二次方程的应用---营销问题 2．(24-25九上·江西抚州南城县·期中)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．某公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元． (1)设每辆轮椅降价x元，则每辆的销售利润为_______元．（用含x的代数式表示） (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 3．(24-25九上·江西萍乡·期中)为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元，假定该设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）满足一次函数关系，下表给出和的部分对应数据． 销售单价万元 … … 年销售量台 … … (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于万元，如果该公司想获得万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 4．(24-25九上·江西九江修水县·期中)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天的销售量是20件，据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件． (1)若该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，求该款童装每件应降价多少元？ (2)在（1）的基础上，在获利不变的情况下，为尽可能减少库存，扩大销售量，该专卖店销售该款童装时应按原售价的几折出售？ 5．(24-25九上·江西上饶·期中)应用一元二次方程解答下列问题：如图，一个仓库的一边靠墙，另外三面用32米木板材料围建，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边有一扇2米宽的门，仓库面积为140平方米． (1)这个仓库的宽和长分别是多少米？ (2)仓库存有一批商品，每件商品的进价为15元，销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．为了尽快减少库存，为了实现平均每天1280元的利润，每件商品的定价应为多少元？ 地 城 题型13 一元二次方程的应用---其他问题 1．(24-25九上·江西南昌南昌县·期中)著名数学家张景中教授主编的《数学美拾趣》一书中，记载了这样一首民间数学诗：“三百六十一只缸，任君分作几船装．不许一船多一只，不容一船少一缸”，译文为：“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？”答：每船所装的缸数为 ． 2．(24-25九上·江西九江第三中学·期中)《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程： ．（结果化为一般式） 3．(24-25九上·江西九江第十一中学·期中)如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)直接写出________，________（用含有的代数式表示）； (2)求四边形的面积（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 4．(24-25九上·江西南昌南昌县·期中)要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 5．(24-25九上·江西宜春·期中)芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 01 一元二次方程 · 地 城 题型01 一元二次方程的定义 1．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)下列方程是一元二次方程的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C、当时，方程为，未知数的最高次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； D、，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2．(24-25九上·江西吉安·期中)下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A．（，，为常数） B． C． D． 【答案】B 【详解】、中没有说明，原选项不符合题意； 、是一元二次方程，原选项符合题意； 、中整理得，是一元一次方程，原选项不符合题意； 、中等号左边是分式，故不是一元二次方程，原选项不符合题意； 故选：． 3．(24-25九上·江西南昌外国语学校教育集团·期中)将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， ∴将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为， 故选B． 4．(24-25九上·江西九江民办晨光中学·期中)一元二次方程的常数项是 ． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的常数项是， 故答案为：． 5．(24-25九上·江西新余分宜县·期中)若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， 解得：， 故答案为：． 1．(24-25九上·江西南昌外国语学校教育集团·期中)已知m是关于x的方程的一个根，则（   ）地 城 题型02 由一元二次方程的解求参数 A．5 B．10 C． D．6 【答案】B 【详解】解：∵m是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．(24-25九上·江西九江修水县·期中)若关于x的方程的一根为1，则方程的另一个根为 ． 【答案】4 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴， 解得：， ∴原方程为：， 解方程得，， 故方程的另一个根是4， 故答案为4． 3．(24-25九上·江西宜春袁州区宜阳新区四校·期中)若关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴，解得：， 故答案为：． 4．(24-25九上·江西抚州·期中)若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2025 【详解】∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 5．(24-25九上·江西赣州·期中)已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 6．(24-25九上·江西宜春·期中)已知一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 故答案为：3． 1．(24-25九上·江西宜春·期中)通过一元二次方程配方后变形正确的是（   ）地 城 题型03 配方法解一元二次方程 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 2．(24-25九上·江西南昌·期中)用配方法解方程时，应该把方程两边同时（    ） A．加2 B．减2 C．加4 D．减4 【答案】C 【详解】解：， ， ； 故选：C． 3．(24-25九上·江西九江第十一中学·期中)解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ 解得： （2）解： ∴，即 ∴ ∴ ∴， 解得： 4．(24-25九上·江西景德镇·期中)请用配方法讨论关于的一元二次方程的根的情况． 【答案】当即时，方程有实数根；当即时，方程无实数根 【详解】解： ∴ ∴， 则：当即时，方程有实数根； 当即时，方程无实数根． 5．(24-25九上·江西赣州南康区第十中学·期中)（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【详解】解：（1） ； （2）， 移项得：， 配方得：， ∴， ∴，． 1．(24-25九上·江西鹰潭月湖区·期中)一元二次方程的根的情况是（   ）地 城 题型04 由判别式判断根的情况 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【详解】解：∵在方程中，即， ， ∴方程有两个相等的两个实数根． 故选：A． 2．(24-25九上·江西抚州·期中)以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 3．(24-25九上·江西赣州·期中)若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 【答案】两或2 【详解】∵一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：两． 4．(24-25九上·江西景德镇·期中)已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为2，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）∵方程即且， ∴， ， ， 故此方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵把代入， 得， 解得， ∴ ． 5．(24-25九上·江西赣州·期中)已知关于x的方程． (1)若该方程有一个根为，求a的值： (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)2 (2)见解析 【详解】（1）解：将代入方程可得： ，解得： （2）证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根． 1．(24-25九上·江西九江·期中)关于的一元二次方程有实数根，则满足（   ）地 城 题型05 根据一元二次方程根的情况求参数 A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， ∴且， 故选：C． 2．(24-25九上·江西抚州·期中)若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且，解得， 的取值范围是且， 故选：D． 3．(24-25九上·江西抚州临川第二中学·期中)若关于的方程的判别式的值为4，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程的判别式的值为4， ∴， ∴． 故答案为：． 4．(24-25九上·江西景德镇·期中)已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：解：∵关于的方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得： （2）解：∵ ∴ 地 城 题型06 公式法解一元二次方程 1．(24-25九上·江西九江·期中)大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较短线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设较短线段的长度为，则，由题意得， 即 整理得 （舍去）， 即 故选：D． 2．(24-25九上·江西宜春高安·期中)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，． 1．(24-25九上·江西抚州第二实验学校·期中)一元二次方程的解为（ ）地 城 题型07 因式分解法解一元二次方程 A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解： ， ∴或； 故选D． 2．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)若关于的一元二次方程有一个根是 ，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：将代入， 得：， 化简得：， 解得：，， ∵是一元二次方程， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 3．(24-25九上·江西南昌外国语学校教育集团·期中)定义运算：．例如，则方程的解为 ． 【答案】或 【详解】解：由题意得：， ， 或， 解得：或． 故答案为：或． 4．(24-25九上·江西吉安·期中)如图，已知点，点，点分别在轴，轴正半轴上运动，且，当时，求点坐标 ． 【答案】或． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵，设， 而，， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或． 5．(24-25九上·江西景德镇浮梁县储田学校·期中)解关于x的方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：方程化为， ∴或， 解得，； （2）解：因为，，， 所以 所以方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得，． 6．(24-25九上·江西鹰潭月湖区·期中)已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程有一个根为，求k的值及另一个根． 【答案】(1)且 (2)， 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， 则，且， 解得且． （2）解：将代入原方程，得， 解得：， ∴原方程为， 解得：． 的值为，方程的另一个根为． 7．(24-25九上·江西抚州临川区·期中)计算 (1)解方程：； (2)若是方程的一个根，设，，试比较M与N的大小． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ， ， 或， 所以，； （2）解：是方程的一个根， ， ， ， ． 1．(24-25九上·江西九江第三中学·期中)已知关于的一元二次方程有一个根为，则另一根为（   ）地 城 题型08 一元二次方程的根与系数的关系 A．7 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：设方程的另一根为， ∴， ∴． 故选：A． 2．(24-25九上·江西景德镇·期中)如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（   ） A．19 B．18 C．17 D．16 【答案】D 【详解】解：利用根与系数的关系可知方程的两根之和为， 这个三角形的两边之和为， 第三边应小于， 答：这个三角形的第三边的长可能是． 故选：D． 3．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)若实数，分别满足 且 则 ． 【答案】 【详解】解：设，依题，满足方程，是这个方程的两根， ∴，， ∵； 故答案为：． 4．(24-25九上·江西赣州章贡区·期中)若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：3． 5．(24-25九上·江西九江修水县·期中)若m，n是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由已知得，，则． 故答案为： 6．(24-25九上·江西萍乡·期中)设，是的两个实数根，则的值是 ． 【答案】5 【详解】解：∵，是的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：5． 7．(24-25九上·江西九江修水县·期中)已知关于x的方程． (1)求证：无论m为何值，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为 【详解】（1）解：证明：， ， ∴无论m为何值，该方程总有实数根． （2）解：∵方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 整理得，即， 解得， ∴m的值为． 1．(24-25九上·江西九江·期中)新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　　）地 城 题型09 一元二次方程的应用---传播问题 A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】C 【详解】由题意，第一轮会有人被传染， 第二轮会有人被传染， 则， 解得或（不符题意，舍去）， 故选：C． 2．(24-25九上·江西南昌·期中)一种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列出方程 ． 【答案】 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑． 根据题意，得：， 整理得：， 故答案为：． 3．(24-25九上·江西景德镇乐平·期中)若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 4．(24-25九上·江西景德镇·期中)【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛． （1）①共有 ______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他_____ 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛_____场，列方程：____________． 【小试牛刀】（2）参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了次，有多少人参加聚会？ 【综合运用】（3）将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）①28；②，，；（2）5人；（3）能为整数，见解析 【详解】解：（1）①共有场比赛； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有x（x-1）场比赛， 根据题意，列出相应方程：x（x-1）=28， 故答案为：28；②（x-1），，； （2）设有人参加聚会， 根据题意，得：， 解得，（舍去） 答：一共有人参加聚会； （3）依题意得，， ， ∵n为正整数， ∴当时，； 当时，； ∴当或时，为整数． 1．(24-25九上·江西九江·期中)劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（    ）地 城 题型10 一元二次方程的应用---增长率问题 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第一年的产量为， 第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为， 则列出的方程是． 故选：D． 2．(24-25九上·江西赣州·期中)某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为，则可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 3．(24-25九上·江西九江第三中学·期中)某件夏天T恤的售价为100元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为81元，求平均每次降价的百分率． 【答案】平均每次降价的百分率为 【详解】解：设平均每次降价的百分率为． 由题意得， 解得，（舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． 4．(24-25九上·江西南昌南昌县·期中)据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色文化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次．若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 【答案】(1)进馆人次的月平均增长率为 (2)红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 根据题意得， 解得：，（不合题意，舍去） 答：进馆人次的月平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： 依题意，第四个月的进馆人次， 答：红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次． 5．(24-25九上·江西景德镇·期中)以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 6．(24-25九上·江西抚州·期中)龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为50元 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 ，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 1．(24-25九上·江西赣州上犹县·期中)为增强学生身体素质和运动技能，某中学要在操场旁增建一个矩形沙坑用来给学生练习跳远，要求它的周长为米，面积为平方米，请求出沙坑的长和宽．地 城 题型11 一元二次方程的应用---几何问题 【答案】长为，宽为 【详解】解：设宽为，则长为．由题意可得： ． 整理得：， ． ∴，（舍）． 答：长为,宽为． 2．(24-25九上·江西新余·期中)如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 【答案】道路的宽为． 【详解】解：设道路宽为， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解，但，不符合题意，舍去； 答：道路的宽为． 3．(24-25九上·江西南昌·期中)如图，一农场主准备用木栅栏建一个面积为180平方米的养鸡场，一边靠墙，其它部分用的是木栅栏，并且留有两道宽1米的门．其中，门用其它材料制作，木栅栏总长46米，墙长20米． (1)设养鸡场宽米，用含的代数式表示养鸡场的长． (2)求出的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设与墙平行的一边长为米，养鸡场的长为（米）； （2）根据题意得：， 整理得出： ， 解得：，， 墙长20米， ，即， ． 4．(24-25九上·江西南昌·期中)如图，在矩形中，，，点P从点B出发沿边以的速度向点C运动，同时点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，当一个点到达终点时另一点也同时停止，设运城的时间为． (1)填空：__________，__________（用含t的代数式表示），t的取值范围为__________． (2)当t为何值时，的长度为？ (3)当t为何值时，的面积为？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意， ， 综上所述： （2）当 时， ∵， ∴，整理得 ， 解得 (不合题意，舍去)， ∴当时， 的长度为． （3）当时， ， 整理得， 解得 (不合题意，舍去) ∴当时，的面积为． 1．(24-25九上·江西九江第十一中学·期中)平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元．平均每周可售出顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶．该商店若希望每周获利元，则每顶头盔应降价多少元？地 城 题型12 一元二次方程的应用---营销问题 【答案】每顶头盔应降价元． 【详解】解：设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， ， 答：每顶头盔应降价元． 2．(24-25九上·江西抚州南城县·期中)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．某公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元． (1)设每辆轮椅降价x元，则每辆的销售利润为_______元．（用含x的代数式表示） (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)； (2)这天售出了64辆轮椅． 【详解】（1）解：原来每辆轮椅盈利200元， 设每辆轮椅降价x元，则每辆的销售利润为元， 故答案为：． （2）设每辆轮椅降价x元，则每辆的销售利润为元，销售量为辆， 依据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当，，不符合题意，舍去； 当，，符合题意； 则这天的销售量为：（辆）． 答：这天售出了64辆轮椅． 3．(24-25九上·江西萍乡·期中)为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元，假定该设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）满足一次函数关系，下表给出和的部分对应数据． 销售单价万元 … … 年销售量台 … … (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于万元，如果该公司想获得万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【详解】（1）解：设年销售量与销售单价的函数关系式为，将、代入， 得：， 解得：， 年销售量与销售单价的函数关系式为； （2）设此设备的销售单价为万元/台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 此设备的销售单价不得高于万元， ， 答：该设备的销售单价应是万元/台． 4．(24-25九上·江西九江修水县·期中)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天的销售量是20件，据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件． (1)若该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，求该款童装每件应降价多少元？ (2)在（1）的基础上，在获利不变的情况下，为尽可能减少库存，扩大销售量，该专卖店销售该款童装时应按原售价的几折出售？ 【答案】(1)该款童装每件应降价6元或24元 (2)该专卖店销售该款童装时应按原售价的八折出售 【详解】（1）解：设该款童装每件应降价x元，则每天可销售件，每件盈利元， 根据题意可得：， 解得：，， 答：该款童装每件应降价6元或24元； （2）解：由（1）可知，该款童装每件可降价6元或24元， 因为要尽可能减少库存，扩大销售量，所以该款童装每件应降价24元， 此时，售价为：（元），． 答：该专卖店销售该款童装时应按原售价的八折出售． 5．(24-25九上·江西上饶·期中)应用一元二次方程解答下列问题：如图，一个仓库的一边靠墙，另外三面用32米木板材料围建，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边有一扇2米宽的门，仓库面积为140平方米． (1)这个仓库的宽和长分别是多少米？ (2)仓库存有一批商品，每件商品的进价为15元，销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．为了尽快减少库存，为了实现平均每天1280元的利润，每件商品的定价应为多少元？ 【答案】(1)宽和长分别为10米、14米 (2)19元 【详解】（1）解∶设这个仓库与墙垂直的边长为x米，则另一边表示为， 由题意得∶ ． 解得∶， 这堵墙的长为18米，即，， 不合题意舍去， ， 另一边为∶ (米)． 答∶这个仓库的宽和长分别为10米、14米； （2）解：设销售单价应降低x元， 根据题意，得， 整理得：， 解得或， 为了尽快减少库存，取， 定价为元， 答：销售单价应定为19元． 地 城 题型13 一元二次方程的应用---其他问题 1．(24-25九上·江西南昌南昌县·期中)著名数学家张景中教授主编的《数学美拾趣》一书中，记载了这样一首民间数学诗：“三百六十一只缸，任君分作几船装．不许一船多一只，不容一船少一缸”，译文为：“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？”答：每船所装的缸数为 ． 【答案】19 【详解】解：设船儿总数是，则每船装只缸， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：19． 2．(24-25九上·江西九江第三中学·期中)《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程： ．（结果化为一般式） 【答案】 【详解】解：如图： 由题意得：，，， ∴， ∵甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 整理得：， 故答案为：． 3．(24-25九上·江西九江第十一中学·期中)如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)直接写出________，________（用含有的代数式表示）； (2)求四边形的面积（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：∵运动的时间为t，点P的速度为，点Q的速度为， ，． 故答案为：，； （2）解：． ， ． （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 不在x的取值范围内． ∴四边形的面积不能等于． 4．(24-25九上·江西南昌南昌县·期中)要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】应邀请6个球队参加比赛 【详解】解：设应邀请x个球队参加比赛，依题意得 解得或或（舍去） 答：应邀请6个球队参加比赛． 5．(24-25九上·江西宜春·期中)芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1) (2)4条 【详解】（1）解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二、三季度生产量的平均增长率为． （2）设应该再增加m条生产线， 则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴．答：应该再增加4条生产线． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $