第五单元 四则混合运算（二）(解决问题讲义)数学冀教版五年级上册

第五单元 四则混合运算（二） 1.购物问题（单价、数量、总价） 题目特征：题目中通常会出现商品的单价、购买的数量，要求计算总花费。有时会涉及多种商品，需要先分别计算再求和或求差。 核心关系：总价=单价×数量，单价=总价÷数量，数量=总价÷单价 2.产量问题（工作效率、工作时间、工作总量） 题目特征：涉及单位时间完成的工作量（工作效率）、工作的时间，要求计算总工作量。常见情境有修路、生产零件等。 核心关系：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率 3.相遇问题 题目特征：两个物体从两地同时出发，相向而行（面对面行驶），求相遇时间、总路程或一方速度。 核心关系：总路程=速度和×相遇时间，总路程÷相遇时间=速度和，相遇时间=总路程÷速度和 4."多余条件"或"隐藏信息"问题 题目特征：题目中会给出一个或多个与解题无关的数字（多余条件），需要筛选有用信息。或者需要根据生活常识自行补充信息。 核心关系：识别并排除干扰信息，抓住核心数量关系。 5.使用括号改变运算顺序 题目特征：问题的自然语言描述中，计算顺序与"先乘除后加减"的默认顺序不同，需要添加括号来优先计算加减法。 核心关系：理解括号的作用是改变运算的优先级。 6.多步混合综合问题 题目特征：融合了上述多种类型的特点，数量关系更复杂，通常需要三步或以上才能解决。 核心关系：综合运用多种数量关系，分步分析和解答。 类型1 购物问题 典型例题1： 超市促销，牛奶每箱原价56.8元，现在买4箱送1箱。张老师需要购买12箱牛奶，实际需要支付多少钱？ 【分析】首先理解促销规则：买4箱送1箱意味着每5箱中只需要支付4箱的钱。要计算购买12箱的实际支付，需要先确定12箱中包含多少个这样的5箱组合。12除以5得到2个完整的组合还余2箱。2个组合需要支付8箱的钱，再加上剩余的2箱按原价支付。因此总支付金额就是10箱牛奶的价钱。最后用单价乘以数量计算出具体金额。 变式训练： 李老师购买了一套原价186.5元的百科全书和4本单价27.8元的练习册。书店做活动，满200元减20元，李老师实际需要支付多少钱？ 类型2产量问题 典型例题2： 两个施工队合作修建一条公路。甲队每天修78.5米，乙队每天修85.3米。两队合作18天后，还剩428.6米未修。这条公路全长多少米？ 【分析】这是一个典型的工程问题，需要计算总工作量。首先计算两个施工队合作的工作效率，将甲队和乙队每天的工作量相加。然后用合作的工作效率乘以工作时间，得到已经完成的工作量。最后将已完成的工作量与剩余未完成的工作量相加，就得到了公路的全长。关键在于理解工作总量等于已完成量加上未完成量。 变式训练： 某工厂接到订单要生产2450个零件。前10天平均每天生产125个，后来改进工艺，工作效率提高到原来的1.6倍。完成剩余零件还需要多少天？ 类型3相遇问题 典型例题3： 两地相距392.4千米。客车从甲地开往乙地，每小时行68.5千米；货车从乙地开往甲地，每小时行62.3千米。两车同时出发，几小时后相遇？相遇时客车行了多少千米？ 【分析】这是一个相遇问题，两车从两地同时出发相向而行。首先计算两车的速度和，这是解决问题的关键。然后用总路程除以速度和，得到相遇时间。要计算客车行驶的路程，需要用客车的速度乘以相遇时间。解题时需要特别注意单位的统一和计算的精确性，因为涉及小数运算。 变式训练： 小明和小华从相距691米的两地同时相向而行。小明每分钟走72.5米，小华每分钟比小明慢6.8米。两人相遇时，小华走了多少米？ 类型4“多余条件”或“隐藏信息”问题 典型例题4： 水果店购进15箱苹果和18箱橙子。苹果每箱重22.5千克，进价145.8元；橙子每箱重18.6千克，售价105.6元。购进的苹果总重量比橙子多多少千克？ 【分析】这道题中包含多余条件，需要识别并排除。问题是求重量差，因此所有价格信息（进价和售价）都是无关的干扰信息。只需要关注苹果和橙子的箱数以及每箱的重量。先分别计算苹果的总重量和橙子的总重量，然后用苹果总重减去橙子总重得到重量差。解题的关键是筛选出与问题直接相关的信息，忽略无关数据。 变式训练： 图书馆有科技书325本，故事书比科技书多145本，漫画书是故事书的3倍。每本故事书定价32.8元，科技书和故事书的总数比漫画书少多少本？ 类型5 使用括号改变运算顺序 典型例题5 服装厂计划生产1800套服装。前6天平均每天生产100套，后因订单增加，要求提前4天完成。剩下的平均每天需要生产多少套？ 【分析】这是一个需要改变运算顺序的复杂问题。首先计算前6天已经生产的服装数量。然后用总数量减去已生产的数量，得到剩余需要生产的数量。接下来需要计算原计划的剩余天数，这需要用总数量除以工作效率再减去已用天数。由于订单要求提前完成，还要从原计划剩余天数中减去4天。最后用剩余数量除以实际剩余天数，得到后期每天需要生产的数量。解题过程中必须使用括号来确保正确的运算顺序。 变式训练： 工程队修一条路，前8天每天修135.5米，剩下的路程比已修的多485.6米。如果要求再工作6天完成，后期每天需要修多少米？ 类型6多步混合综合问题 典型例题6 某学校组织研学活动，租用大巴车。每辆车可坐52人，租金850元。五年级共238人参加，需要租几辆车？如果活动经费预算为4500元，租车费用是否够用？如果不够，还差多少钱？ 【分析】这是一个综合性的实际问题，需要分步骤解决。首先计算需要租用的车辆数，用总人数除以每车可坐人数，结果需要用进一取近似数，因为不能有学生没车坐。然后计算租车总费用，用车辆数乘以每车租金。接着比较租车费用与预算金额，判断是否够用。如果不够，计算差额。解题时需要特别注意实际情况和预算比较的逻辑关系。 变式训练： 某工厂生产零件，第一车间5小时生产了685个，第二车间4小时生产了528个。如果两个车间同时工作12小时，第二车间比第一车间少生产多少个零件？ 一、选择题 1．一辆汽车从甲地开往乙地，前2.5小时所行的路程正好超过中点20千米，这时离终点还有80千米，求汽车的平均速度。正确的算式是（    ）。 A．（80＋20）÷2.5 B．（80＋20×2）÷2.5 C．（80－20×2）÷2.5 D．（80－20）÷2.5 2．小东买了4本练习本和2支圆珠笔，付给售货员10元，找回1.6元。小刚买了同样的4本练习本和6支圆珠笔，付给售货员15元，找回1.8元。一支圆珠笔（    ）元。 A．1.2 B．2.4 C．6 3．三个工程队联合挖一条水渠，第一队挖120米，比第二队少挖了30米，第三队挖的是前两队总和的3倍，第三队挖了（    ）。 A．630米 B．450米 C．810米 D．670米 4．暑假期间小华看一本207页的书，前7天看了161页，照这样的速度，再用（    ）天就能看完这本书。 A．6 B．2 C．9 D．23 5．学校组织学生去春游，三年级有360人，四年级有420人，如果每30人安排一名老师带领，三年级比四年级少安排多少名老师？下面列式错误的是（    ）。 A．420÷30－360÷30 B．（420－360）÷30 C．420－360÷30 6．春天来了，农民伯伯开始耕田，一块麦田，原计划11台拖拉机8.5小时耕完，现在要在5.5小时内完成，应至少增加（    ）台同样的拖拉机。 A．17 B．6 C．28 二、填空题 7．贝贝看一本280页的童话书，计划12天看完，实际前8天平均每天看20页，要按时看完这本书，剩下的每天至少要看多少页？ (1)20×8表示：( )。 (2)280－20×8表示：( )。 (3)12－8表示：( )。 (4)（280－20×8）÷（12－8）表示：( )。 8．妈妈买了苹果和橙子各3.8千克，苹果每千克4.6元，橙子每千克5.4元。妈妈买苹果和橙子一共花了( )元。 9．甲、乙两队同时合修一米长18千米的公路，甲队每天修0.55千米，乙队每天修0.35千米。求完工时，甲、乙两队各修了多少千米。 先求甲队和乙队一天共修多少千米，列式计算为( )千米；再求甲队和乙队共修多少天可以完工，列式计算为( )天；最后求完工时，甲队修了多少千米，列式计算为( )千米，乙队修了多少千米，列式计算为( )千米。 10．甲、乙两辆车同时从东、西两地相对开出，甲车每小时行55.6km，乙车每小时行54.8km。两车在离中点5.2km处相遇，两车用了( )小时相遇。 1．周末，阳阳和彤彤约定好8：45从各自的家里出发，到某地后一起去图书馆看书。阳阳每分钟走65米，彤彤每分钟走62米。两人9：05在约好的地点碰面了。他们两人一共走了多少米？ 2．两名长跑运动员在一环形道上进行练习，甲每分钟跑350米，乙比甲每分钟慢50米。两人同时同地背向而行，经过0.05小时相遇。这一环形道的周长是多少米？ 3．某地出租车收费方法如下：乘车路程不超过3千米时，收费9元（起步价）；超过3千米时，超过部分按每千米1.2元加收车费（不足1千米按1千米算）。某乘客一次乘车付车费22.2元，他乘车的最长路程是多少千米？ 4．公园平时有14条同样座位的游船，可以运送168名游客，节假日增开4条同样的游船，每条游船租金100元。节假日一共可以运送多少名游客？（用两种方法解答） 5．服装厂做儿童校服，上衣要用0.5米布，裤子要用1.3米，现有800米的布料最多可做校服多少套？ 6．田爷爷的报摊昨天收款280元。周报每份1.8元，晚报每份0.5元。昨天田爷爷卖出65份周报，他卖出多少份晚报？ 7．客车从A地开往B地，每小时行72千米，货车从B地开往A地，每小时行60千米，货车开出1.5小时后，客车才出发，经过4小时，在途中与货车相遇，A、B两地相距多少千米？ 1．仓库里有两桶油，甲桶油的质量是乙桶油的2.8倍。如果从甲桶中取出14.4千克油放入乙桶中，那么两桶油的质量就相等了。两桶油原来各有多少千克？ 2．刘奶奶买3千克柚子和4千克蜜橘用了58.4元，如果用这些钱买4千克柚子和3千克蜜橘，还差4.3元。柚子每千克多少元？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 【详解】 （元） 答：张老师实际需要支付568元。 变式训练答案： 【详解】 （元） （元） 答：李老师实际需要支付277.7元。 类型2 答案解析 典型例题2： 【详解】 （米） 答：这条公路全长3377米。 变式训练答案： 【详解】 （天） 答：完成剩余零件还需要6天。 类型3 答案解析 典型例题3： 【详解】相遇时间： （小时） 客车路程：（千米） 答：3小时后两车相遇，相遇时客车行了205.5千米。 变式训练答案： 【详解】 （米） 答：小华走了328.5米。 类型4 答案解析 典型例题4： 【详解】 （千克） 答：购进的苹果总重量比橙子多2.7千克。 变式训练答案： 【详解】 （本） 答：科技书和故事书的总数比漫画书少615本。 类型5 答案解析 典型例题5： 【详解】 （套） 答：剩下的平均每天需要生产150套。 变式训练答案： 【详解】 （米） 答：后期每天需要修261.6米。 类型6答案解析 典型例题6： 【详解】车辆数：（辆）（人），（辆） 租车费用：（元） 预算差额：（元） 答：需要租5辆车，租车费用4250元，预算够用，还剩余250元。 变式训练答案： 【详解】 （个） 答：第二车间比第一车间少生产60个零件。 1．B 【分析】根据题意，前2.5小时所行的路程正好超过中点20千米，即行驶甲地到乙地路程的一半，再加上20千米；这时离终点还有80千米，由此可知，80千米＋20千米等于甲地到乙地路程的一半；再加上20千米，即80＋20×2，就是汽车所行驶的路程，根据速度＝路程÷速度，用汽车行驶的路程÷2.5，即（80＋20×2）÷2.5，据此解答。 【详解】根据分析可知，一辆汽车从甲地开往乙地，前2.5小时所行的路程正好超过中点20千米，这时离终点还有80千米，求汽车的平均速度。正确的算式是（80＋20×2）÷2.5。 故答案为：B 2．A 【分析】根据题意，小东买4本练习本和2支圆珠笔，花了10－1.6＝8.4（元）；小刚买了同样的4本练习本和6支圆珠笔，花了15－1.8＝13.2（元）。小刚比小东多买了6－2＝4（支）圆珠笔，多花了13.2－8.4＝4.8（元），根据“总价÷数量＝单价”，用4.8除以4即可求出一支圆珠笔多少元。 【详解】10－1.6＝8.4（元） 15－1.8＝13.2（元） 6－2＝4（支） 13.2－8.4＝4.8（元） 4.8÷4＝1.2（元） 则一支圆珠笔1.2元。 故答案为：A 【点睛】本题考查了小数四则运算的应用。明确“小刚比小东多花的钱即是4支圆珠笔的价钱”是解题的关键。 3．C 【分析】根据题意可知，先求出第二队挖的米数，用第一队挖的米数＋30＝第二队挖的米数，然后用第一队挖的米数＋第二队挖的米数＝两队挖的总和，最后用两队挖的总和×3＝第三队挖的米数，据此列式解答。 【详解】（120＋30＋120）×3 ＝（150＋120）×3 ＝270×3 ＝810（米） 故答案为：C。 【点睛】理清数量关系，先求出第一队和第二队挖的总长度是解题关键。 4．B 【分析】根据“前7天看了161页”求出一天看的页数，再用总页数－7天看的161页求出剩余的页数，最后用剩余的页数÷一天看的页数即可。 【详解】（207－161）÷（161÷7） ＝46÷23 ＝2（天） 故答案为：B 【点睛】求出平均每天看的页数是解题的关键。 5．C 【分析】根据除法的意义，分别求出每个年级安排多少名老师，用四年级安排的老师减去三年级安排的老师，或者算出四年级比三年级多的学生数，再除以30，据此解答。 【详解】A．420÷30－360÷30是分别求出每个年级安排多少名老师，用四年级安排的老师减去三年级安排的老师，就是三年级比四年级少安排的老师数；列式正确； B．（420－360）÷30是求出四年级比三年级多多少人，如果每30人安排一名老师带领，多的学生人数就需要多安排的老师数；列式正确； C． 420－360÷30是四年级学生数减去三年所安排的老师数，列式错误。 故答案为：C。 【点睛】此题考查了整数除法及应用和整数的减法，列式要合乎情理，才是正确。 6．B 【分析】根据题意，先根据原计划拖拉机台数×工作时间，求出工作总量，再除以实际的工作时间，求出实际需要的拖拉机台数，最后减去原计划的拖拉机台数即可。 【详解】11×8.5÷5.5－11 ＝17－11 ＝6（台） 应至少增加6台同样的拖拉机。 故答案为：B 【点睛】此题考查了小数的四则混合运算的实际应用，找准数量关系列式解答即可。 7．(1)8天看了多少页 (2)还有多少页没看 (3)计划还需要几天看完这本书 (4)剩下的页数计划平均每天看多少页 【分析】（1）20×8，根据题意，实际前8天平均每天看20页，就是一天看20页，8天看了多少页； （2）280－20×8；20×8表示8天看了多少页，总页数是280页，用总页数－8天看的页数，求还有多少页没看； （3）12－8；根据题意可知，计划12天看完，已经看了8天，用计划看的天数－看的天数，求计划还需要几天看完； （4）（280－20×8）÷（12－8）；280－20×8求的是还有多少页没看完，12－8求得是还需要几天看完，用剩下的页数除以需要的天数，求剩下的页数计划平均每天看多少页。据此解答。 【详解】（1）20×8表示：8天看了多少页。 （2）280－20×8表示：还有多少页没看。 （3）12－8表示：还需要几天看完这本书。 （4）（280－20×8）÷（12－8）表示：剩下的页数计划平均每天看多少页。 【点睛】解答本题的关键是弄清楚各个数之间的关系，再进行解答。 8．38 【分析】根据题意，先求出买3.8千克苹果花了多少钱，用3.8×4.6，再求出买3.8千克橙子需要多少钱，用3.8×5.4，再把买这两种水果花的钱数相加，即可解答。 【详解】3.8×4.6＋3.8×5.4 ＝3.8×（4.6＋5.4） ＝3.8×10 ＝38（元） 【点睛】本题考查小数四则混合运算，利用了乘法分配律。 9． 0.55＋0.35＝0.9 18÷0.9＝20 0.55×20＝11 0.35×20＝7 【分析】甲队每天修的路程＋乙队每天修的路程＝甲队和乙队一天共修路程；总路程÷甲队和乙队一天共修路程＝甲队和乙队共修完工的天数；甲队每天修的路程×修的天数＝甲队一共修的路程；乙队每天修的路程×修的天数＝乙队一共修的路程。 【详解】先求甲队和乙队一天共修多少千米，列式计算为0.55＋0.35＝0.9（千米）； 再求甲队和乙队共修多少天可以完工，列式计算为18÷0.9＝20（天）； 最后求完工时，甲队修了多少千米，列式计算为0.55×20＝11（千米），乙队修了多少千米，列式计算为0.35×20＝7（千米）。 【点睛】本题考查除数是小数的小数除法，工程问题，解答本题的关键是掌握小数除法的计算方法。 10．13 【分析】两车在离中点5.2km处相遇，说明甲车比乙车多行了2个5.2km，路程差÷速度差＝相遇时间，据此列式计算。 【详解】5.2×2÷（55.6－54.8） ＝10.4÷0.8 ＝13（小时） 两车用了13小时相遇。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，掌握小数乘除法的计算方法。 1．2540米 【分析】两人8：45出发，即8时45分，9：05碰面，即9时05分，用碰面时间减去出发时间，可得到行走的分钟数。9时05分－8时45分＝20分钟，即两人都走了20分钟。阳阳每分钟走65米，行走时间20分钟，根据“路程＝速度×时间”可得：65×20＝1300（米）。彤彤每分钟走62米，行走时间20分钟，根据“路程＝速度×时间”可得：62×20＝1240（米）。把两人走的路程相加即可。 【详解】9时05分－8时45分＝20（分钟） 65×20＋62×20 ＝1300＋1240 ＝2540（米） 答：他们两人一共走了2540米。 2．1950米 【分析】甲每分钟跑350米，乙比甲每分钟慢50米，则乙每分钟跑350－50＝300（米）。0.05小时＝3分钟，根据速度和×相遇时间＝总路程，代入数据即可求出两人的总路程，即环形道的周长。 【详解】0.05小时＝3分钟 （350－50＋350）×3 ＝650×3 ＝1950（米） 答：这一环形道的周长是1950米。 3．14千米 【分析】用付的车费减去9元，求出超过3千米付的钱数，再用这个钱数除以1.2即可求出行驶了多远，再加上3即可求出乘车的最长路程。 【详解】（22.2－9）÷1.2＋3 ＝13.2÷1.2＋3 ＝11＋3 ＝14（千米） 答：他乘车的最长路程是14千米。 【点睛】本题主要考查分段收费，要注意减去起步价才是加收的价格。 4．216名 【分析】第一种：由于14条船可以运送168名游客，用168除以14即可求出一条船运送的游客数量，之后再乘14加4的和即可求解； 第二种：可以先用168除以14求出一条船可以运的人数，再乘4求出增加的4条船运送的人数，之后再加168即可求解。 【详解】第一种：168÷14×（14＋4） ＝168÷14×18 ＝12×18 ＝216（名） 第二种：168÷14×4＋168 ＝12×4＋168 ＝48＋168 ＝216（名） 答：节假日一共可以运送216名游客。 【点睛】本题主要考查四则混合 运算，关键是求出一条船载的人数是解题的关键。 5．444套 【分析】由题意可知：一套校服需要0.5＋1.3＝1.8米布，用总米数÷一套校服用的米数即可求得最多可做校服多少套；据此解答。 【详解】800÷（0.5＋1.3） ＝800÷1.8 ≈444（套） 答：最多可做校服444套。 【点睛】本题主要考查小数四则复合应用题。 6．326份 【详解】（280－65×1.8）÷0.5＝326（份） 7．618千米 【分析】A、B两地间的距离＝货车速度×先开出的时间＋（两车的速度和）×相遇时客车行的时间，据此解答。 【详解】60×1.5＋（72＋60）×4 ＝90＋528 ＝618（千米） 答：A、B两地相距618千米。 【点睛】此题考查了有关相遇问题，明确路程＝速度和×时间，此题还要加上货车刚开始1.5小时行的路程。 1．甲桶：44.8千克；乙桶：16千克 【分析】从甲桶中取出14.4千克油放入乙桶中，两桶油的质量相等，说明两桶油的质量差是（14.4×2）千克，倍数差是（2.8－1），根据差倍问题的解题方法，较小数＝1倍数＝差÷倍数的差，求出乙桶油的质量，求一个数的几倍是多少用乘法，乙桶油的质量×2.8＝甲桶油的质量。 【详解】14.4×2÷（2.8－1） ＝28.8÷1.8 ＝16（千克） 16×2.8＝44.8（千克） 答：甲桶油原来有44.8千克，乙桶油原来有16千克。 【点睛】关键是掌握差倍问题的解题方法，本题关键是确定差，求出1倍数。 2．10.8元 【分析】根据题意，买3千克柚子和4千克蜜橘用了58.4元，如果用这些钱买4千克柚子和3千克蜜橘，还差4.3元，所以买7千克柚子和7千克蜜橘需要（58.4＋58.4＋4.3）元，用这个总钱数÷7，求出1千克柚子和1千克蜜橘的价钱，再乘3，求出3千克柚子和3千克蜜橘的价钱，用4千克柚子和3千克蜜橘－3千克柚子和3千克蜜橘的钱数＝1千克柚子的钱数 【详解】（58.4＋58.4＋4.3）÷（3＋4） ＝121.1÷7 ＝17.3（元） （58.4＋4.3）－17.3×3 ＝62.7－51.9 ＝10.8（元） 答：柚子每千克10.8元。 【点睛】关键是利用等量代换的思想，将蜜橘的钱数抵消，从而求出柚子的单价。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $