江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年七年级上学期第一次月考数学试卷

江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年七年级上学期第一次月考 数学 试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在生产生活中，正数和负数都有现实意义例如收入元记作元，则支出元记作(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2.如图，数轴上点，，分别表示，，，点在，两点之间，靠近点，则可能是(    ) A. B. C. D. 3.下列各数中，属于负有理数的是(    ) A. B. C. D. 4.下列各对数中，互为相反数的是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5.下列各式中，结果最小的是(    ) A. B. C. D. 6.数轴上一点表示的数为，则点在数轴上移动个单位长度后，点表示的数是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7.实数，，在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，数轴上的点和点分别表示一和，点是线段上一动点点从点出发沿的方向以每秒个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒不超过秒若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.已知的相反数是，则的倒数是      ． 10.已知，，且，则的值为      ． 11.年，全国早稻播种面积稳中有增，根据省区早稻实割实测抽样调查结果推算，全国早稻总产量吨，数据用科学记数法表示为______． 12.比较大小：          填“”或“” 13.在计算时，甲同学的做法如下： 甲同学的计算过程中，从第步到第步依据的运算法则是：同号两数相加，______． 14.已知，则的值为      ． 15.已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则______． 16.我国古代易经一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子出生后的天数如图，孩子出生后的天数是天，那么图表示孩子出生后的天数是      ． 17.如图，已知有理数、、在数轴上的对应点分别为、、，点表示原点若，、两点间的距离为，则的值为      ． 18.小明从，，，，共个数字中选择个不同的数分别填入下面的方框中，使其计算的结果恰好为，则共有      种不同的填法． 三、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 在数轴上画出下列各数表示的点，并用“”号连接下列各数 ，，， 20.本小题分 ； ； ； ． 21.本小题分 某电商把脐橙产品放到了网上售卖，原计划每天卖脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况超额记为正，不足记为负单位：： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______脐橙； 若电商以元的价格购进脐橙，又按元出售脐橙，则电商本周一共赚了多少元？ 22.本小题分 观察一列数：，，，发现从第二项开始，每一项与相邻前一项之比是同一个常数，这个常数是          ，根据此规律，如果为正整数表示该列数的第项，那么          ，          可用幂的形式表示； 如果想要求的值，可令，将式两边同乘以，得          ，由式减去式，得          ； 若中的数列共有项，设，请利用上述规律和方法计算的值． 23.本小题分 小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”一般地，把个相除记作，读作“的下次方”，即． 直接写出计算结果：          ，          ． 关于除方，下列说法正确的有          填序号．对于任何正整数，；；是有理数，，是正整数；；负数的下正奇数次方结果是负数，负数的下正偶数次方结果是正数． 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：幂的形式． 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：          ，          ． 计算：． 24.本小题分 阅读下列材料： 计算：． 解法：原式． 解法：原式的倒数为 ，所以原式． 上述解法中，你认为解法          是错误的； 计算：． 25.本小题分 我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫作的真因数．如的正因数有，，，，其中，，是的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫作的“完美指标”如的“完美指标”是一个自然数的“完美指标”越接近，我们就说这个数越“完美”如的“完美指标”是，的“完美指标”是，因为比更接近，所以我们说比更“完美”． 试计算的“完美指标”． 试计算和的“完美指标”． 试找出到的自然数中，最“完美”的数． 26.本小题分 【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离请根据数轴解决以下问题： 式子在数轴上的意义是          ． 当取最小值时，可以取整数          ． 的最大值为          ． 的最小值为          ． 【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场，居民区、、、分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧现需要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区、、、的总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年七年级上学期第一次月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在生产生活中，正数和负数都有现实意义例如收入元记作元，则支出元记作(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B  【解析】解：“正”和“负”相对，所以，在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入元记作元，则支出元记作元． 故选：． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2.如图，数轴上点，，分别表示，，，点在，两点之间，靠近点，则可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：当是，中点时，， 所以靠近点，， 故选：． 当是，中点时，表示的数为，所以靠近就比大，且小于． 本题考查了数轴，数形结合思想是解题的关键． 3.下列各数中，属于负有理数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：是负有理数，，，不是负有理数， 故选：． 根据负有理数的定义进行判断即可． 此题主要考查了负有理数的定义，掌握负有理数的定义是解题的关键． 4.下列各对数中，互为相反数的是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B  【解析】解：，故本选项不合题意； B.和互为相反数，故本选项符合题意； C.的相反数是，故本选项不合题意； D.，故本选项不合题意． 故选：． 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键． 5.下列各式中，结果最小的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为，，，， 又因为， 所以结果最小的是， 故选：． 根据有理数的乘方法则进行计算，再根据有理数大小比较法则便可得出结果． 本题考查了有理数的乘方，有理数大小比较，熟记乘方法则和有理数大小比较法则是解题的关键． 6.数轴上一点表示的数为，则点在数轴上移动个单位长度后，点表示的数是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A  【解析】解：根据解析，如果点向右移动个单位长度，表示得数会增加使用加法运算来计算新的位置．得到：，  确定点向左移动个单位长度，表示得数会减少使用减法运算来计算新的位置．得到：， 故选：． 点运动后表示的数分两种情况可以通过加法向右移或减法向左移来表示，列式计算即可． 本题考查了数轴，有理数的加法和减法计算． 7.实数，，在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．解：由数轴可知：，， ，，． 选项A，，都错误，正确的为． 故选：． 根据数轴可得：，，然后对各个选项逐一判断即可． 本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8.如图，数轴上的点和点分别表示一和，点是线段上一动点点从点出发沿的方向以每秒个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒不超过秒若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】解：动点所表示的数是， 是线段的中点， 点所表示的数是， ， ， 或， 整理得，或， 解得或． 即运动时间的值为或， 故选：． 根据列方程，求解即可． 此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴，找出等量关系列出方程是解题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.已知的相反数是，则的倒数是      ． 【答案】  【解析】解：和互为相反数， ， ， 的倒数是． 故答案为：． 根据相反数、倒数的定义解答即可求得答案． 本题考查了相反数、倒数，掌握相反数、倒数的定义是解答此题的关键． 10.已知，，且，则的值为      ． 【答案】或  【解析】解：，， ，， ， ，， 当，时， ， 当，时 ． 的值为或． 利用绝对值的性质确定字母、的值，再代入代数式求值即可． 本题考查了有理数的加减和绝对值，代数式求值，关键是掌握有理数的加减运算法则和绝对值的定义． 11.年，全国早稻播种面积稳中有增，根据省区早稻实割实测抽样调查结果推算，全国早稻总产量吨，数据用科学记数法表示为______． 【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此解答即可． 此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键． 12.比较大小：          填“”或“” 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查有理数比较大小，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解决本题的关键．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小解决此题． 【解答】 解：， 因为， 所以， 故答案为：． 13.在计算时，甲同学的做法如下： 甲同学的计算过程中，从第步到第步依据的运算法则是：同号两数相加，______． 【答案】取与加数相同的符号，并把绝对值相加  【解析】解：取与加数相同的符号，并把绝对值相加． 故答案为：取与加数相同的符号，并把绝对值相加． 根据有理数加法的运算法则进行计算即可． 本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 14.已知，则的值为      ． 【答案】  【解析】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为，则这几个非负数分别等于，并正确得出未知数的值是解题的关键． 15.已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则______． 【答案】或  【解析】解：因为，互为相反数， 所以． 因为，互为倒数， 所以． 因为的绝对值等于， 所以． 所以当时， ， 当时， ， 综上，的值为或， 故答案为：或． 利用相反数的意义，倒数的意义和绝对值与有理数乘方的意义求得，，的值，再将上述式子的值代入运算即可． 本题主要考查了相反数的意义，倒数的意义和绝对值与有理数乘方的意义，正确利用上述法则与性质求得，，的值是解题的关键． 16.我国古代易经一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子出生后的天数如图，孩子出生后的天数是天，那么图表示孩子出生后的天数是      ． 【答案】  【解析】解：根据图中的点列式计算可得： ， 故答案为：． 类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，即可求解． 本题考查了有理数的混合运算，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，解题关键是根据图中的点列式计算． 17.如图，已知有理数、、在数轴上的对应点分别为、、，点表示原点若，、两点间的距离为，则的值为      ． 【答案】  【解析】解：，且点在原点的左侧， ， 由图可知，， 则原式 ． 故答案为：． 根据已知条件可得，，进而得出答案． 本题主要考查有理数的加减混合运算、数轴、绝对值，根据已知条件求出，是解题的关键． 18.小明从，，，，共个数字中选择个不同的数分别填入下面的方框中，使其计算的结果恰好为，则共有      种不同的填法． 【答案】  【解析】解：因为， 根据题目要求，和必须作为单独的数字，需由四个不同数字不含和的和构成， 或或， 即四个空填，，，或，，，或，，，， 因为每组的四个数有种不同的排列方式，且和可交换位置， 所以每种数对应填法数为种， 所以三组数共有种填法． 故答案为：． 根据题意得和必须作为单独的数字，需由四个不同数字不含和的和构成， 本题考查规律型：数字的变化类，解决本题的关键是寻找规律． 三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 在数轴上画出下列各数表示的点，并用“”号连接下列各数 ，，， 【答案】解： ．  【解析】先在数轴上表示出各个数，再比较即可． 本题考查了绝对值、数轴、相反数、有理数的大小比较等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 20.本小题分 ； ； ； ． 【答案】解： ； ； ； ．  【解析】先算除法，再算加减； 去括号，把同分母的先相加； 把除化为乘，再用乘法分配律； 先算括号内的和乘方运算，再算乘除，最后算加减． 本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数运算律和相关运算法则． 21.本小题分 某电商把脐橙产品放到了网上售卖，原计划每天卖脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况超额记为正，不足记为负单位：： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______脐橙； 若电商以元的价格购进脐橙，又按元出售脐橙，则电商本周一共赚了多少元？ 【答案】；   电商本周一共赚了元  【解析】销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售千克； ， 元， 答：电商本周一共赚了元． 由表格可得销售量最多的一天是星期六，销售量最少的一天是星期日，再利用这两天与计划量的差值相减即可求解； 先根据表格求得本周的销售量，再乘以每千克的利润求解即可． 本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 22.本小题分 观察一列数：，，，发现从第二项开始，每一项与相邻前一项之比是同一个常数，这个常数是          ，根据此规律，如果为正整数表示该列数的第项，那么          ，          可用幂的形式表示； 如果想要求的值，可令，将式两边同乘以，得          ，由式减去式，得          ； 若中的数列共有项，设，请利用上述规律和方法计算的值． 【答案】(1)3 ;36;3n  (2)2S10＝2+22+23+…+211  ;211-1  (3)方法一：因为S20＝3+32+33+34+…+320①，所以3S20＝32+33+34+35+…+320+321②．由②式减去①式，得2S20＝321-3．则． 方法二：因为S20＝3+32+33+34+…+320①，所以②．由①式减去②式，得，则．   【解析】 略  略  略 23.本小题分 小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”一般地，把个相除记作，读作“的下次方”，即． 直接写出计算结果：          ，          ． 关于除方，下列说法正确的有          填序号．对于任何正整数，；；是有理数，，是正整数；；负数的下正奇数次方结果是负数，负数的下正偶数次方结果是正数． 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：幂的形式． 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：          ，          ． 计算：． 【答案】(1) ;4  (2)①②⑤  (3)  ;52  (4)解：．  【解析】 略   提示：因为表示个相除，所以，故正确； 因为，故正确； 因为时，，是正整数，所以，故不正确； 因为，，所以，故不正确； 负数的下正奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的下正偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，故正确．  略  略 24.本小题分 阅读下列材料： 计算：． 解法：原式． 解法：原式的倒数为 ，所以原式． 上述解法中，你认为解法          是错误的； 计算：． 【答案】(1)①  (2)原式的倒数为，所以原式．  【解析】  解法是错误的，除法没有分配律．  略 25.本小题分 我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫作的真因数．如的正因数有，，，，其中，，是的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫作的“完美指标”如的“完美指标”是一个自然数的“完美指标”越接近，我们就说这个数越“完美”如的“完美指标”是，的“完美指标”是，因为比更接近，所以我们说比更“完美”． 试计算的“完美指标”． 试计算和的“完美指标”． 试找出到的自然数中，最“完美”的数． 【答案】(1)解：因为5的正因数有1，5，其中1是5的真因数，所以5的“完美指标”是．  (2)因为6的正因数有1，2，3，6，其中1，2，3是6的真因数，所以6的“完美指标”是(1+2+3)÷6＝1．因为9的正因数有1，3，9，其中1，3是9的真因数，所以9的“完美指标”是．  (3)因为15的正因数有1，3，5，15，其中1，3，5是15的真因数，所以15的“完美指标”是．因为16的正因数有1，2，4，8，16，其中1，2，4，8是16的真因数，所以16的“完美指标”是．因为17的正因数有1，17，其中1是17的真因数，所以17的“完美指标”是．因为18的正因数有1，2，3，6，9，18，其中1，2，3，6，9是18的真因数，所以18的“完美指标”是．因为19的正因数有1，19，其中1是19的真因数，所以19的“完美指标”是．因为20的正因数有1，2，4，5，10，20，其中1，2，4，5，10是20的真因数，所以20的“完美指标”是．因为，所以16的“完美指标”最接近1，即15到20的自然数中，最“完美”的数是16．  【解析】 略  略  略 26.本小题分 【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离请根据数轴解决以下问题： 式子在数轴上的意义是          ． 当取最小值时，可以取整数          ． 的最大值为          ． 的最小值为          ． 【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场，居民区、、、分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧现需要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区、、、的总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】(1)表示有理数x的点与表示有理数-2的点之间的距离  (2)-1，0，1，2，3  (3)4  (4)7  (5)设便民服务点P在数轴上表示x的点处，根据题意可得，便民服务点到四点的距离为|x＋5|＋|x＋1|＋|x-1|＋|x-3|，当表示x的点在表示-5的点到表示3的点的线段上时，|x＋5|＋|x-3|有最小值8，当表示x的点在表示-1的点到表示1的点的线段上时，|x＋1|＋|x-1|有最小值2，故当表示x的点在表示-1的点到表示1的点的线段上时，|x＋5|＋|x＋1|＋|x-1|＋|x-3|有最小值10，所以当便民服务点P建在点B与点C之间时，便民服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短，最短路程是10km．  【解析】 略  略  略   根据题意可得，的几何意义是数轴上表示的点到表示的点，到表示的点和到表示的点的距离之和，当表示的点在表示的点到表示的点的线段上时，有最小值，此时，当时，取最小值．  略 第2页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $