专题02一元二次方程（十七大题型）（期中专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题02 一元二次方程 题型1 一元二次方程的定义 题型10 传播问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型2 化成一元二次方程的一般式 题型11 增长率问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型3 由一元二次方程的定义求参数（易错点） 题型12 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型4 由一元二次方程的解求参数 题型13 数字问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型5 直接开平方法与配方法的解法及其应用（常考点） 题型14 营销问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型6 一元二次方程判别式（重点） 题型15 动态几何问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型7 用公式法求解一元二次方程（常考点） 题型16 其他问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型8 用因式分解法求解一元二次方程（难点） 题型17 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）（重点） 题型9 一元二次方程的根与系数的关系（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的定义（共2小题） 1．（24-25九年级上·重庆合川·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数是2，且两边都是整式，这样的方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A. 方程 含有分式 ，不是整式方程，故不符合； B. 方程 含有两个未知数 和 ，属于二元二次方程，故不符合； C. 方程 中未知数的最高次数为3，属于三次方程，故不符合； D. 方程 展开后为 ，仅含一个未知数且最高次数为2，是整式方程，符合定义； 故选：D． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 题型二 化成一元二次方程的一般式（共3小题） 3．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．3、5 B．、5 C．3、 D．、 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键．先将原方程化为一般形式，再求解即可． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：D． 4．（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【答案】A 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）把一元二次方程：，化成一般式是 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式为：，经过移项、整理后将一元二次方程化成一般式即可． 【详解】解：， 移项，得， 整理后，得， 即把一元二次方程化成一般式是：， 故答案为：． 题型三 由一元二次方程的定义求参数（共5小题） 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程的一次项系数、常数项分别为（ ）． A． B．2，1 C． D．3，1 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，此题可根据形如（，且b、c为常数）的方程称之为一元二次方程，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项；由此问题可求解． 【详解】解：由题可知：一元二次方程的一次项系数为，常数项为； 故选：C． 7．（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由得，， ∵的常数项是， ∴，解得：， 故选：． 8．（24-25九年级上·山东德州·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式：得到即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． 10．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元一次方程、由一元二次方程的定义求参数 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 题型四 由一元二次方程的解求参数（共3小题） 11．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的一个根是，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，的一个根是，那么就可以把代入方程，从而可直接求k． 【详解】解：已知一元二次方程 的一个根是 ，将其代入方程得：， 化简得： 合并常数项： 解得： 故选： B． 12．（24-25九年级上·吉林·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：由条件可知：， ． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 【答案】(1)10； (2)． 【知识点】新定义下的实数运算、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）先根据定义化简，再将代入，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 又因为方程的一个根为2， 所以， 解得． 题型五 直接开平方法与配方法的解法及其应用（共6小题） 14．（24-25九年级上·福建·期中）方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了利用平方根解方程，因为在中，左边是一个平方数，总是大于等于，即大于等于解答即可． 【详解】解：由可得， ∴， 故选：D． 15．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据完全平方公式将方程化成的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：D． 16．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配方法的应用、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 17．（24-25九年级上·全国·期中）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，先移项，再系数化1，最后利用直接开平方法求解，即可解题． 【详解】解： ， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，把，代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：把，代入方程，得：， 解得：， ∵， ∴； 故答案为： 19．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练并灵活地运用一元二次方程的解法去解方程． （1）先移项，再利用直接开平方法求解； （2）利用配方法求解． 【详解】（1）解：（1）， ∴， 解得：，； （2）（2）， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 题型六 一元二次方程判别式（共3小题） 20．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、，则原方程有两个相等的实数根，故此选项符合题意； B、化为一般式为，，则原方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； C、化为一般式为，，则原方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； D、化为一般式为，，则原方程无实数根，故此选项不符合题意； 故选：A． 21．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别式． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求解，先得出二次项系数不为零，再需要满足判别式需大于零，解这个不等式即可． 【详解】解：方程为一元二次方程，故， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴需满足， 解得：， ∴的取值范围为且， 故选：D． 22．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 【答案】1或2 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二象限，得到，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ∴， 当时，方程化为，解得，有1个实数根； 当时，方程为一元二次方程，， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2 题型七 用公式法求解一元二次方程（共4小题） 23．（24-25九年级上·吉林·期中）用合适的方法解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据题意得到，运用求根公式“”，代入计算即可求解． 【详解】解：， ， ∴，． 24．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，先求出，再根据求根公式计算即可． 【详解】解：， ， ， 所以，． 25．（23-24九年级上·青海西宁·期中）解方程：（公式法） 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∴方程的解为：，． 26．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解： 则 ∴ ∴ ∴； （2） 整理得到， 则 ∴ ∴ ∴ 题型八 用因式分解法求解一元二次方程（共5小题） 27．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为（   ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 把代入一元二次方程关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴，解得：或2． 故选：B． 28．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，正确确定的值是解题关键．首先将代入方程，进而解得，即原方程为，解该方程即可获得答案． 【详解】解：将代入方程， 可得，解得， 所以，原方程为， 解得， 所以，该方程的另一个根为． 故选：D． 29．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键．设，根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， 则， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：2． 30．（24-25九年级上·四川乐山·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程的根为； (2)故原方程的根为． 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点， (1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； (2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得, 当时，,即, ∵， ∴方程无解， 当时，,即, 解得，, 故原方程的根为； （2）解：设,原方程可化为，即, 解得, 当时，, 解得,经检验是原方程的解， 当,时，, 解得,经检验是原方程的解， 故原方程的根为． 31．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)5 (3) 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了换元法解方程．熟练掌握换元法解可化为一元二次方程的方程，是解题的关键． （1）设，则可化为； （2）原方程可化为，设，则，解得，可得或（舍去），的值为5； （3）设，则化为，解得，得（无实数根），或，解得． 【详解】（1）解：设， 那么， 于是方程可变为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， ∴或（实数范围内无意义，舍去）， 故的值为5． （3）解：设，则可化为， 解得， ∴， ∴（无实数根）， 或， ∴， 解得． 题型九 一元二次方程的根与系数的关系（共5小题） 32．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 先根据n方程的实数根得出，结合根与系数的关系求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，即， ∴， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 33．（24-25九年级上·河南新乡·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，是一元二次方程的两个根，且，求的值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，知道将所求字母的值代入根的判别式进行检验是解决此题的关键．由题意，列出不等式，解不等式求出所求字母的范围，然后根据，构建方程，解方程，检验即可解决问题． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 根据根与系数的关系得：，， ， ， 符合题意， 故选：C． 34．（24-25九年级上·广东茂名·期中）已知，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．熟练掌握若，是方程的两个根，则，是解题的关键．由题意知，，，再把展开，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 35．（24-25九年级上·福建·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，完全平方公式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再计算，即可作答． （2）结合完全平方公式，得，然后计算，再代入化简，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ 故无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：依题意， ∵， ∴， ∴， 则． 36．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 【答案】(1)该方程不是邻近根方程，见解析 (2)2 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、加减消元法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻近根方程”定义． （1）根据“邻近根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻近根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：， ， 该方程不是邻近根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 该方程是邻近根方程， ， ， ， 解得， ， 的值为2． 题型十 传播问题(一元二次方程的应用) （共3小题） 37．（24-25九年级上·河南信阳·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键． 每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,即经过第一轮有人感染,则经过第二轮有 人被感染,根据两次一共有100被感染即可列出方程． 【详解】解：由题可知． 故选：A． 38．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 ． 【答案】9 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 故答案为：． 39．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）回答以下问题： (1)解方程： ①； ②． (2)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？ 【答案】(1)①，；②，． (2)每轮感染中平均一台电脑感染11台． 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的应用传播问题，掌握传播问题中的等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）①利用因式分解法解一元二次方程即可； ②利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）设每轮感染中平均一台电脑感染x台，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：① 或 ∴，； ② 或 ∴，； （2）解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每轮感染中平均一台电脑感染11台． 题型十一 增长率问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 40．（24-25九年级上·福建·期中）俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（    ）．（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据等量关系列一元二次方程并求解是解题的关键．本题通过设每天“遗忘”的百分比为，依据“两日不练，技艺减半”这一条件建立一元二次方程，求解方程，并结合实际意义确定的值． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为，由题意得 ． 解得，（，不符合题意，舍去 ）． ∵， ∴ 每天“遗忘”的百分比约为 故选：B 41．（24-25九年级上·北京·期中）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，可列方程为 ． 观鸟记录年度总结 2020年：观测鸟类150种 2021年：观测鸟类 2022年：观测鸟类216种 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；根据增长率问题的等量关系列方程即可． 【详解】解：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x， 由题意得：， 故答案为：． 42．（24-25九年级上·广东江门·期中）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)万人 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设这两个月的平均增加率为x，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据（1）的结论，结合月游客人数，即可求解． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，可得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． （2）解：按照以上增长速度，预计月该景区游客人数为万人． 题型十二 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 43．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设门的对角线长为尺，根据：竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，结合勾股定理即可列出方程，得到答案． 【详解】解：设门的对角线长为尺，则可列方程为； 故选：D． 44．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高 尺． 【答案】8 【知识点】用勾股定理解三角形、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．今设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合和均为正数即可得出结论． 【详解】解：设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：，． 当时，，，不合题意，舍去； 当时，． 门高为8尺． 故答案为：8． 45．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在矩形空地上，修建两条平行于 边、一条平行于边的小路，条路等宽，其余部分铺草坪．已知的长为，的长为，铺草坪的单价是元 ，铺草坪的总价为元，求每条小路的宽度. 【答案】 【知识点】利用平移解决实际问题、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每条小路的宽度为，由平移的性质可得，解方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设每条小路的宽度为， 由题意可得，， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， 答：每条小路的宽度为． 题型十三 数字问题(一元二次方程的应用)（共2小题） 46．（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设两个相邻奇数为和，根据乘积为列方程求解，再求和即可，注意需考虑正负两种情况． 本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设这两个相邻奇数分别为和，则它们的乘积为： 展开得： 当时，两个奇数为和，和为； 当时，两个奇数为和，和为。 因此，这两个奇数的和为或， 故选：D 47．（24-25九年级上·山西大同·期中）2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ． 【答案】11 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设最小数为x，可知最大数为，根据题意得出，再求出解即可． 【详解】解：最小数为x，可知最大数为，根据题意，得 ， 解得． ∴最小的数为11． 故答案为：11． 题型十四 营销问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 48．（24-25九年级上·广东深圳·期中）一商店销售某种进价为元件的商品，当售价为元时，平均每天可售出件，为了扩大销售，增加盈利、该店采取了降价措施．在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售、发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件，若该商店每天要实现元的利润每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，表示出每天降价元后售出的数量，表示出利润，得到答案； 【详解】解：设每件商品降价元，由题意得， ，即 故选：A． 49．（24-25九年级上·河南南阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，________．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 ． 解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得： ． 【答案】平均每天就能多售出4台 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识．根据利润销售量单位利润，设每台冰箱的定价元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，再根据“当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台”列方程即可． 【详解】解：设每台冰箱定价元， 由题意得： ， 故答案为：平均每天就能多售出4台． 50．（24-25九年级上·重庆合川·期中）今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 【答案】(1)每件T恤的进货单价为60元，每件衬衣的进货单价为40元 (2)衬衣的销售单价为100元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元二次方程的实际应用， （1）设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设衬衣的销售单价为a元，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，符合题意，是原方程的解， 元， 答：每件T恤的进货单价为40元，每件衬衣的进货单价为60元； （2）解：设衬衣的销售单价为a元， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：衬衣的销售单价为100元． 题型十五 动态几何问题(一元二次方程的应用)（共2小题） 51．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了（   ）秒． A．4 B．或4 C．或8 D． 【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，利用勾股定理，找出等量关系是解题的关键． 利用时间=路程÷速度，可求出点P运动到点B所需时间，过点Q作于点E，则四边形是矩形，当运动时间为t秒时，，，结合，可得出，根据，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（秒）． 过点Q作于点E，则四边形是矩形，如图所示． ， 当运动时间为t秒时，，， ∴． 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得： ，， ∴当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了或4秒． 故选：B． 52．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．    (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在某一时刻，使得 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间； （3）根据勾股定理得到，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案； 【详解】（1）解：如图， 过点作于点，    由矩形可知， ，， ，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ，由运动可知， ， 则， 当， 四边形是矩形，得到， ， 解得， 即当时，四边形是矩形， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴当四边形是菱形， ， ， 解得， 即当时，四边形是菱形， 故答案为：； （3）解：不存在，理由如下： ， ， ， 若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得，， 即方程有解， 方程整理得 ， 故方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．解决此题注意结合方程的思想解题． 题型十六 其他问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 53．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点………，前n行的点数和不能是以下哪个结果（   ） A．55 B．95 C．78 D．120 【答案】B 【知识点】图形类规律探索、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，前n行的点数之和为，再分别求出该代数式的值分别为55、95、78、120时n的值即可判断． 【详解】解：前n行的点数之和为， 若前n行的点数之和为55，则，解得或（舍），即前10行的点数之和为55，不符合题意； 若前n行的点数之和为95，则，解得，n不是整数，即不存在前n行的点数之和为95，符合题意； 若前n行的点数之和为78，则，解得或（舍），即前12行的点数之和为78，不符合题意； 若前n行的点数之和为120，则，解得或（舍），即前15行的点数之和为120，不符合题意； 故选：B． 54．（24-25九年级上·河北保定·期中）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前3行的点数之和为6，前4行的点数之和为10，……，当前行的点数之和为210时，的值为 ． 【答案】20 【知识点】图形类规律探索、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目．先找到前几行点数之和的规律，再根据规律列得一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：由于第一行有1个点，第二行有2个点，第行有个点， 前3行的点数之和为， 前4行的点数之和为， ……， ∴前行共有个点， 由题意可得：， 整理得， ，， 为正整数， ． 故答案为：20． 55．（24-25九年级上·重庆万州·期中）健康来自运动，运动创造美好生活．某个周末，小明和小华相约一起到万州南滨公园跑步锻炼，小明的跑步速度为小华的倍，若他们同时从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，则小明比小华早到6分钟． (1)求小明每分钟跑多少米？ (2)若到达B地后，小明继续沿着步道跑步到C地，在他从A地到C地整个跑步过程中前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗1050卡路里热量，在从A地到C地整个跑步过程中，小明共用多少分钟？ 【答案】(1)180米 (2)60分钟 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小华每分钟跑x米，则小明每分钟跑米，根据“小明比小华早到6分钟”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小华每分钟跑x米，则小明每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑180米． （2）解：设小明从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从A地到C地锻炼共用60分钟． 题型十七 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）（共3小题） 56．（24-25九年级上·广东广州·期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1482张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是． 故选：B． 57．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 个足球队参赛． 【答案】8 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，此类题目找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 设应该邀请x个球队参加，由题意得：，即可求解． 【详解】解：设应该邀请个足球队参赛， 由题意得：， 解得：或（舍去）， 即应邀请8个足球队参赛． 故答案为：8． 58．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． $专题02 一元二次方程 题型1 一元二次方程的定义 题型10 传播问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型2 化成一元二次方程的一般式 题型11 增长率问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型3 由一元二次方程的定义求参数（易错点） 题型12 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型4 由一元二次方程的解求参数 题型13 数字问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型5 直接开平方法与配方法的解法及其应用（常考点） 题型14 营销问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型6 一元二次方程判别式（重点） 题型15 动态几何问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型7 用公式法求解一元二次方程（常考点） 题型16 其他问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型8 用因式分解法求解一元二次方程（难点） 题型17 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）（重点） 题型9 一元二次方程的根与系数的关系（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的定义（共2小题） 1．（24-25九年级上·重庆合川·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 题型二 化成一元二次方程的一般式（共3小题） 3．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．3、5 B．、5 C．3、 D．、 4．（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）把一元二次方程：，化成一般式是 ． 题型三 由一元二次方程的定义求参数（共5小题） 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程的一次项系数、常数项分别为（ ）． A． B．2，1 C． D．3，1 7．（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山东德州·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 9．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 10．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 题型四 由一元二次方程的解求参数（共3小题） 11．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的一个根是，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 12．（24-25九年级上·吉林·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 13．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 题型五 直接开平方法与配方法的解法及其应用（共6小题） 14．（24-25九年级上·福建·期中）方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·全国·期中）方程的解是 ． 18．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为 ． 19．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）解方程： (1) (2) 题型六 一元二次方程判别式（共3小题） 20．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 22．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 题型七 用公式法求解一元二次方程（共4小题） 23．（24-25九年级上·吉林·期中）用合适的方法解方程：． 24．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期中）解方程：． 25．（23-24九年级上·青海西宁·期中）解方程：（公式法） 26．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 题型八 用因式分解法求解一元二次方程（共5小题） 27．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为（   ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或 28．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为（   ） A．1 B． C．3 D． 29．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知，则的值为 ． 30．（24-25九年级上·四川乐山·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 31．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 题型九 一元二次方程的根与系数的关系（共5小题） 32．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·河南新乡·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，是一元二次方程的两个根，且，求的值（ ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·广东茂名·期中）已知，是方程的两个根，则 ． 35．（24-25九年级上·福建·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 36．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 题型十 传播问题(一元二次方程的应用) （共3小题） 37．（24-25九年级上·河南信阳·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 ． 39．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）回答以下问题： (1)解方程： ①； ②． (2)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？ 题型十一 增长率问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 40．（24-25九年级上·福建·期中）俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（    ）．（参考数据：） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·北京·期中）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，可列方程为 ． 观鸟记录年度总结 2020年：观测鸟类150种 2021年：观测鸟类 2022年：观测鸟类216种 42．（24-25九年级上·广东江门·期中）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 题型十二 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 43．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高 尺． 45．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在矩形空地上，修建两条平行于 边、一条平行于边的小路，条路等宽，其余部分铺草坪．已知的长为，的长为，铺草坪的单价是元 ，铺草坪的总价为元，求每条小路的宽度. 题型十三 数字问题(一元二次方程的应用)（共2小题） 46．（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 47．（24-25九年级上·山西大同·期中）2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ． 题型十四 营销问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 48．（24-25九年级上·广东深圳·期中）一商店销售某种进价为元件的商品，当售价为元时，平均每天可售出件，为了扩大销售，增加盈利、该店采取了降价措施．在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售、发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件，若该商店每天要实现元的利润每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 49．（24-25九年级上·河南南阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，________．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 ． 解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得： ． 50．（24-25九年级上·重庆合川·期中）今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 题型十五 动态几何问题(一元二次方程的应用)（共2小题） 51．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了（   ）秒． A．4 B．或4 C．或8 D． 52．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．    (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 题型十六 其他问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 53．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点………，前n行的点数和不能是以下哪个结果（   ） A．55 B．95 C．78 D．120 54．（24-25九年级上·河北保定·期中）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前3行的点数之和为6，前4行的点数之和为10，……，当前行的点数之和为210时，的值为 ． 55．（24-25九年级上·重庆万州·期中）健康来自运动，运动创造美好生活．某个周末，小明和小华相约一起到万州南滨公园跑步锻炼，小明的跑步速度为小华的倍，若他们同时从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，则小明比小华早到6分钟． (1)求小明每分钟跑多少米？ (2)若到达B地后，小明继续沿着步道跑步到C地，在他从A地到C地整个跑步过程中前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗1050卡路里热量，在从A地到C地整个跑步过程中，小明共用多少分钟？ 题型十七 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）（共3小题） 56．（24-25九年级上·广东广州·期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1482张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 57．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 个足球队参赛． 58．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ $