江苏省南京市玄武区2025-2026学年七年级上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年江苏省南京市玄武区七年级上学期第一次月考 数学培优试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中，是负数的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各组数中，相等的一组是(    ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3.体育用品专卖店中某品牌的乒乓球产品参数中标明球的直径是，下列待检查的乒乓球直径合格的是(    ) A. B. C. D. 4.已知，两数在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 5.若有理数，满足，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知，，且，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7.若点、、在同一条数轴上，其中、表示的数分别为、，若，则(    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 8.按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题：本题共10小题，共20分。 9.如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有      个 10.比较大小：       11.年上半年，华为公司的实际销售收入为亿人民币，亿用科学记数法可表示为      ． 12.如图，点，分别表示数与，点在线段上，且，则点对应的数是      ． 13.如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，且，满足，点表示的数是的倒数若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是______． 14.有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示如果，那么式子的值为      ． 15.已知、互为相反数，、互为倒数，，的值是______． 16.在数轴上，点表示数，现将点沿数轴作如下移动：第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，第四次将点向右移动个单位长度到达点依此规律，第次移动得到点，则点表示的数为          ． 17.一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为如：表示在数轴上的对应点到原点的距离，求的最小值为          ，若满足时，则的值是          ． 18.设是不为的有理数，我们把称为的差倒数如的差倒数是，的差倒数是已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则的值为          设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组，，第次变换后得到数组若数组确定为则的值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.计算： ； ； ； ． 20.本小题分按要求解答． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． Ⅰ把这四个数在数轴上表示出来； Ⅱ把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来； Ⅲ大于并且小于的所有整数的和为______． 21.本小题分如图，点在数轴上所对应的数为． 若点在点右边距点个单位长度，则点所对应的数为          ； 在的条件下，点以每秒个单位长度沿数轴向左运动，同时点以每秒个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离； 在的条件下，现点静止不动，点沿数轴以原速向左运动时，经过多长时间，两点相距个单位长度？ 22.本小题分把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素如果一个集合满足：当有理数是集合的元素时，有理数也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”，例如集合就是一个“好的集合”． 集合______填“是”或“不是”“好的集合”． 请你再写出两个“好的集合”不得与上面出现过的集合重复______． 在所有“好的集合”中，元素个数最少的集合是______． 23.本小题分 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答后面“探究”中的问题． 【提出问题】已知三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意可知，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即，，时，；当，，中有一个正数，另两个为负数时，设，，，则所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题． 已知三个有理数，，满足，求的值； 已知，且，求的值． 24.本小题分 若，，三点在数轴上表示的数分别为，，，且满足，则称为，两点的倍距点．例如：若，，，因为，，所以，即是，两点的倍距点． 若，，，请说明：是，两点的倍距点； 若，是，两点的倍距点，且，求的值． 25.本小题分 【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离请根据数轴解决以下问题： 式子在数轴上的意义是          ． 当取最小值时，可以取整数          ． 的最大值为          ． 的最小值为          ． 【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场，居民区、、、分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧现需要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区、、、的总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 26.本小题分 对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”． 若点表示数，点表示数，点是点，的“联盟点”，点在、之间，且表示一个负数，则点表示的数为______； 若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是______； 点表示数，点表示数，为数轴上一点． 若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，此时点表示的数是______； 若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数______． 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市玄武区七年级上学期第一次月考 数学培优试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中，是负数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，是正数，不符合题意； B.，是正数，不符合题意； C.，是负数，符合题意； D.既不是正数，也不是负数，不符合题意； 故选：． 先利用实数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意既不是正数也不是负数． 2.下列各组数中，相等的一组是(    ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A  【解析】解：，，，选项计算正确，符合题意； B.，，，选项计算错误，不符合题意； C.，，，选项计算错误，不符合题意； D.，，，选项计算错误，不符合题意． 故选：． 根据有理数的乘方运算，化简绝对值，化简多重符号，解答即可． 本题考查了有理数的乘方运算，绝对值，相反数，掌握相关运算法则是解题的关键． 3.体育用品专卖店中某品牌的乒乓球产品参数中标明球的直径是，下列待检查的乒乓球直径合格的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，， 某品牌的乒乓球直径合格范围为， 合格的是． 故选B． 根据题意算出球的直径上限和直径下限，然后逐项判断即可． 本题主要考查了正负数，深刻理解正负数的含义是解题的关键． 4.已知，两数在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由数轴得，，， ，，，， 故选：． 由数轴得，，，进一步判断出，，，即可． 本题考查了有理数的乘方，数轴，绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 5.若有理数，满足，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ，， ，， ． 故选：． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为，则这几个非负数分别等于，并正确得出未知数的值是解题的关键． 6.已知，，且，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D  【解析】解：根据题意可知，或，或， 又， ，或， 当，时，， 当，时，． 故选：． 根据绝对值的性质求出、的值，再根据，分析可得，或，然后代入进行计算即可求解． 本题考查了绝对值，有理数的加法，掌握相应的运算法则是关键． 7.若点、、在同一条数轴上，其中、表示的数分别为、，若，则(    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D  【解析】解：由题知， 因为点表示的数为，且， 则，， 所以点表示的数为或． 又因为点表示的数为， 则，， 所以或． 故选：． 根据点表示的数及，求出点表示的数，据此得出即可． 本题主要考查了线段的和差及数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 8.按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D  【解析】解：根据运算程序图可直接代入进行计算可得： 当，时，则，不符合题意； 当，时，则有，不符合题意； 当，时，则有，不符合题意； 当，时，则有，符合题意． 故选：． 根据运算程序图可直接代入进行排除选项． 本题主要考查有理数的程序运算图，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． 二、填空题：本题共10小题，共20分。 9.如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有      个 【答案】  【解析】解：由数轴可得， 被盖住的整数有，，，，，，， 墨迹盖住的整数共有个， 故答案为：． 根据数轴写出所有被盖住的整数即可． 本题主要考查了有理数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10.比较大小：       【答案】  【解析】解：，， ． ． 故答案为：． 先计算两个负数的绝对值，然后根据绝对值大的反而小即可比较大小． 本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小的比较法则是解题的关键． 11.年上半年，华为公司的实际销售收入为亿人民币，亿用科学记数法可表示为      ． 【答案】  【解析】解：亿． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 12.如图，点，分别表示数与，点在线段上，且，则点对应的数是      ． 【答案】  【解析】解：， ， ， 点表示的数为， 故答案为：． 先求出的长，进而求出的长，再根据数轴上两点距离计算公式即可求出答案． 本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，解题的关键是掌握相关知识． 13.如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，且，满足，点表示的数是的倒数若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是______． 【答案】  【解析】解：点表示的数是，点表示的数是，且，满足， ，， 解得：，， 点表示的数是的倒数， ， 将数轴折叠，点与点的中点对应的数为：， 点到的距离为：， 与点重合的点表示的数是：． 故答案为：． 根据轴对称的性质，可得对称点表示的数为，再求出点离对称点的距离，最后求出结果即可． 本题主要考查了数轴及数轴上两点间的距离公式的运用，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 14.有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示如果，那么式子的值为      ． 【答案】  【解析】解：根据数轴可得：，， ，， 原式 ． 故答案为：． 根据数轴得到，，得出，，根据绝对值的性质去掉绝对值，合并同类项即可得到答案． 此题考查了有理数与数轴、化简绝对值，整式加减．熟练掌握以上知识点是关键． 15.已知、互为相反数，、互为倒数，，的值是______． 【答案】或  【解析】解：、互为相反数， ， 、互为倒数， ， ， ， 当时， ； 当时， ； 综上，原式的值为或． 故答案为：或． 根据、互为相反数，、互为倒数，得出，，，然后代入要求的式子计算即可． 本题考查了代数式求值，绝对值，相反数，倒数，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 16.在数轴上，点表示数，现将点沿数轴作如下移动：第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，第四次将点向右移动个单位长度到达点依此规律，第次移动得到点，则点表示的数为          ． 【答案】  【解析】由题意，得点表示的数是，点表示的数是，点表示的数，点表示的数，点表示的数依次类推，当为奇数时，点表示的数是；当为偶数时，点表示的数是所以点表示的数是． 17.一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为如：表示在数轴上的对应点到原点的距离，求的最小值为          ，若满足时，则的值是          ． 【答案】        【解析】本题考查绝对值的意义、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用绝对值的知识和分类讨论的方法解答．根据题目中的数据可以用相应的绝对值表示两点的距离；利用分类讨论的方法可以解答本题． 【详解】解：表示与距离，表示与距离， 当表示的点在与之间时，的值最小，且最小值是； 当时，，； 当时，； 当时，，； 当时 故答案为：；． 18.设是不为的有理数，我们把称为的差倒数如的差倒数是，的差倒数是已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则的值为          设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组，，第次变换后得到数组若数组确定为则的值为          ． 【答案】   【解析】【分析】 本题考查了定义新运算，数字规律，找到规律是关键．根据差倒数的计算方法，分别求出，，，，值，找出规律即可求解．先根据“差倒数”的定义列式计算发现规律，然后运用规律解答即可． 【解答】 解：根据题意，， ， ， ， ， 每三个循环一次， ， 的值为； 数组确定为， 第次变换后 ， ， ，即变换后得到数组， 第次变换后 ，，，即变换后得到数组； 第次变换后 ，，，即变换后得到数组； 同理可得：，，， ，，， ，，， ， ； ； 9 =. 三、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.计算： ； ； ； ． 【答案】(1)（-20）+（+3）-（-5）-（+7）=（-20）+3+5+（-7）=[（-20）+（-7）]+（3+5）=（-27）+8=-19．  (2) ．  (3)​​​​​​​ ．  (4)​​​​​​​ ．  【解析】 略  略  略  略 20.本小题分 按要求解答． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． Ⅰ把这四个数在数轴上表示出来； Ⅱ把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来； Ⅲ大于并且小于的所有整数的和为______． 【答案】  【解析】Ⅰ如图所示： Ⅱ由Ⅰ可知； Ⅲ大于并且小于的所有整数的和为：． 故答案为：． Ⅰ根据点表示的数是，点表示的数是找出原点即可； 把各数在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可； 结合数轴解答即可． 本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 21.本小题分 如图，点在数轴上所对应的数为． 若点在点右边距点个单位长度，则点所对应的数为          ； 在的条件下，点以每秒个单位长度沿数轴向左运动，同时点以每秒个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离； 在的条件下，现点静止不动，点沿数轴以原速向左运动时，经过多长时间，两点相距个单位长度？ 【答案】(1)4  (2)因为点A运动前的位置为－2，运动后的位置为－6， 所以点A运动的距离为4个单位长度. 又因为点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动， 所以点A运动的时间为（秒）， 所以点B运动的时间也为2秒. 因为点B以每秒3个单位长度沿数轴向右运动， 所以点B运动的距离为（单位长度）. 又因为点B运动前的位置为4， 所以点B运动后的位置为， 所以运动2秒后，A，B两点间的距离是16个单位长度.   (3)分两种情形讨论： ①当运动后的点B在点A右边4个单位长度时， 运动时间为（秒）； ②当运动后的点B在点A左边4个单位长度时， 运动时间为（秒）. 综上可知，经过4秒或秒，A，B两点相距4个单位长度.   【解析】 略  略  略 22.本小题分 把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素如果一个集合满足：当有理数是集合的元素时，有理数也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”，例如集合就是一个“好的集合”． 集合______填“是”或“不是”“好的集合”． 请你再写出两个“好的集合”不得与上面出现过的集合重复______． 在所有“好的集合”中，元素个数最少的集合是______． 【答案】不是；   、；     【解析】，，，， 故答案为：不是； ，，， 、是好集合． 故答案为：、； 元素个数的集合就是只有一个元素的集合，设其元素为， 由题意得：，解得， 元素的个数最少的好集合是． 故答案为：． 用减去集合中的每一个元素，根据所得结果是否也在该集合中进行判断即可； 依据题意可知任意两个和为的数字组成的集合都是一个好集合； 元素个数最少的集合中只要有一个元素，设其元素为，故此，从而可求得问题的答案． 本题主要考查的是有理数的减法以及新定义的知识，理解好集合的概念是解题的关键． 23.本小题分 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答后面“探究”中的问题． 【提出问题】已知三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意可知，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即，，时，；当，，中有一个正数，另两个为负数时，设，，，则所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题． 已知三个有理数，，满足，求的值； 已知，且，求的值． 【答案】(1)解：由题意可知，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，； ②当a，b，c中有一个负数，另两个为正数时，设a＞0，b＞0，c＜0，则．所以的值为-3或1．   (2)由|a|＝8，|b|＝2，得a＝±8，b＝±2．因为a＜b，所以a＝-8，b＝±2．当a＝-8，b＝2时，a-3b＝-8-3×2＝-14；当a＝-8，b＝-2时，a-3b＝-8-3×（-2）＝-2．所以a-3b的值为-14或-2．  【解析】 略  略 24.本小题分 若，，三点在数轴上表示的数分别为，，，且满足，则称为，两点的倍距点．例如：若，，，因为，，所以，即是，两点的倍距点． 若，，，请说明：是，两点的倍距点； 若，是，两点的倍距点，且，求的值． 【答案】(1)因为a＝3，b＝-5，c＝-1，所以|a-b|＝|3-(-5)|＝8，2|a-c|＝2×|3-(-1)|＝2×4＝8，即|a-b|＝2|a-c|．所以B是A，C两点的倍距点．  (2)因为B是A，C两点的倍距点，所以|a-b|＝2|a-c|．因为a-c＝2，a＝-1，所以|-1-b|＝4．所以-1-b＝4或-1-b＝-4，解得b＝-5或b＝3．所以b＝-5或3．  【解析】 略  略 25.本小题分 【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离请根据数轴解决以下问题： 式子在数轴上的意义是          ． 当取最小值时，可以取整数          ． 的最大值为          ． 的最小值为          ． 【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场，居民区、、、分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧现需要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区、、、的总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】(1)表示有理数x的点与表示有理数-2的点之间的距离  (2)-1，0，1，2，3  (3)4  (4)7  (5)设便民服务点P在数轴上表示x的点处，根据题意可得，便民服务点到四点的距离为|x＋5|＋|x＋1|＋|x-1|＋|x-3|，当表示x的点在表示-5的点到表示3的点的线段上时，|x＋5|＋|x-3|有最小值8，当表示x的点在表示-1的点到表示1的点的线段上时，|x＋1|＋|x-1|有最小值2，故当表示x的点在表示-1的点到表示1的点的线段上时，|x＋5|＋|x＋1|＋|x-1|＋|x-3|有最小值10，所以当便民服务点P建在点B与点C之间时，便民服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短，最短路程是10km．  【解析】 略  略  略   根据题意可得，的几何意义是数轴上表示的点到表示的点，到表示的点和到表示的点的距离之和，当表示的点在表示的点到表示的点的线段上时，有最小值，此时，当时，取最小值．  略 26.本小题分 对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”． 若点表示数，点表示数，点是点，的“联盟点”，点在、之间，且表示一个负数，则点表示的数为______； 若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是______； 点表示数，点表示数，为数轴上一点． 若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，此时点表示的数是______； 若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数______． 【答案】  ， 或或  或或  【解析】解：点是点，的“联盟点”， 或， 设点表示数为， 点在、之间，且表示负数， ， 若，则， 解得：，舍去； 若，则， 解得：，行， 故答案为：； 根据题意可得： ， ， 是点，的“联盟点”， ，， ， 不是点，的“联盟点”， ，， ， 不是点，的“联盟点”， ，， ， 是点，的“联盟点”， 总之，，是点，的“联盟点”， 故答案为：，； 设点标示的数为， 当点在和之间时， 若，则， 解得； 若，则， 解得； 当在左边时，， 则， 解得：； 故答案为：或或； 设点表示的数为， 当是和的“联盟点”时，， 则， 解得； 当是和的“联盟点”时， 若，则， 解得， 若，则， 解得； 当是和的“联盟点”时，， 则， 解得舍去， 总之，点表示的数为或或， 故答案为：或或． 根据“联盟点”的定义可得或，设点表示的数为，得出的取值范围为，然后进行分类讨论即可； 根据题目所给“联盟点”的定义，逐个进行判断即可； 设点标示的数为，进行分类讨论：当点在点和点之间时，当点在点左边时，即可解答；设点表示的数为，然后进行分类讨论：当点是点和点的“联盟点”时，当点是点和点的“联盟点”时，当点是点和点的“联盟点”时． 本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题目所给“联盟点”的定义，以及求数轴上两点之间距离的方法． 第7页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $