精品解析：江苏省南京市第六十六中学2025-2026学年高三上学期期初热身考试数学试卷

2025年高三期初热身考试 数学试卷 2025.9 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合是小于9的自然数，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出全集，再根据补集的定义求解即可. 【详解】由是小于9的自然数，， 则. 故选：C. 2. 已知焦点在轴上的双曲线C的渐近线方程是，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线C的渐近线方程得出的值，再根据即可得答案. 【详解】由题意，设双曲线C的方程为． 因为渐近线方程为，依题意，， 所以双曲线C的离心率． 故选：B. 3. 已知是函数的图象的一条对称轴，则a的最小正值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，解得，由此即可得解. 【详解】已知是函数的图象的一条对称轴， 则，解得， 则a的最小正值为. 故选：D. 4. 已知是定义在上的函数，.当时，，则=（ ） A. -5 B. -1 C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件求出函数周期，利用周期性结合对进行转化，再结合函数在给定区间上的表达式求出结果. 【详解】已知，则， 所以函数的一个周期为2. 所以， 因为，令，则， 当时，，则， 所以. 故选：B. 5. 解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，由三点共线，可得到一个向量等式，由三点共线可得到另一个等式，两者结合可求，进而得的值. 【详解】由三点共线，是的中点，得，① 令， 由三点共线，是的中点， 可得，② 比较①、②，得，解得． 则. 故选：B. 6. 已知圆:与直线，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将题意转化为圆心到直线的距离不大于半径的倍，解不等式即可求解． 【详解】设两切点为，则，由题意，则是正方形， 故（为圆的半径）， 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 又，直线即， 所以，解得，所以r的取值范围是． 故选：D 7. 已知，若则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的单调性，作出函数图象，数形结合判断各选项是否有可能成立. 【详解】因为，， 所以，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，当时，. 所以函数的草图如下： 当时，因为单调递增，所以，故A可能成立； 当时，因为单调递减，所以，故B可能成立； 如图： 当时，，故C可能成立； 当时， 若，则，不符合； 若，则有，不符合； 若，则有，不符合； 若，则，不符合. 所以当时，不可能成立. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱柱外接球表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由条件分别证明，，由线线垂直证明平面，再由线面垂直的性质即可证得；对于B，假设平面，由此推出，结合条件证得平面，由此得到，产生矛盾，排除B；对于C，结合锥体体积公式推出，由此可求体积，排除C；设为的外心，为的外心，为的中点，说明为三棱柱外接球球心，求出外接球的半径，即得外接球的表面积. 【详解】对于A，因为多面体为正三棱柱， 则平面， 因平面，故， 又因正三棱柱的各棱长均为1，D为BC的中点，则， 因平面，故平面， 又平面，故，故A正确； 对于B，假设平面，平面，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 这与为等边三角形矛盾，故B错误； 对于C，因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 即， 又，，，C错误； 对于D，设为的外心，为的外心，为的中点， 则与两底面垂直，因，， 故，即为三棱柱外接球的球心， 又，，故， 即外接球的半径，故外接球表面积，D正确. 故选：AD. 9. 已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（ ） A. 为等边三角形 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，可判断A的真假；写出直线的方程，与抛物线方程联立，求出点的横坐标，结合抛物线的定义，可判断BCD的真假. 【详解】对A：根据抛物线的定义可得，又轴，，所以，所以为等边三角形，故A正确； 对B：因为，直线方程为：，代入抛物线方程得：， 整理得：， 所以，. 根据抛物线的定义：，. 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：由AB可知，，所以，故D正确. 故选：ACD 10. 已知中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 的面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由正弦定理及题目条件得到，，则，，结合同角三角函数关系得到A正确；B选项，先得到，又，，故；C选项，由正弦定理得到，结合勾股定理得到，从而得到C正确；D选项，由三角形面积公式可得D正确. 【详解】A选项，，， 故， 由正弦定理得， 又，故，所以， 又，故，则，， 因为，所以，A正确； B选项，， 又，，故，B错误； C选项，由勾股定理得， 由正弦定理得， 故， 由B知，，则， 即，C正确； D选项，的面积为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 11. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】0 【解析】 【分析】先设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：设直线与曲线的切点为， 对函数求导得， 因为直线是曲线的一条切线， 所以，解得， 所以， 因为切点为在直线上， 所以. 故答案为：0 12. 若一个等差数列前4项的和等于4，后4项的和等于68，所有项的和为108，则这个数列的项数等于_________. 【答案】12 【解析】 【分析】由等差数列的性质和前项和公式可得结果. 【详解】设等差数列，根据题意有，， 两式相加得， 由等差数列的性质，有， 所以，解得. 故答案为：12. 13. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，至多取3次，如果取到数字5的球就停止取球.记X为这几次取出的球中数字最大球的数字，则X的数学期望______. 【答案】## 【解析】 【分析】先确定的所有可能取值，然后求出对应的概率，再利用期望公式求解即可. 【详解】由题意可知，， 对于，当第一次取到时，则概率为，当第二次取到时，则概率为， 当第三次取到时，则概率为，所以； 事件“”，等价于“进行了3次抽样，结果均在中且不全在中”， 又每次抽样结果的概率为， 故。 因此，，，. 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了若干人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求关系； （2）在（1）的条件下，根据小概率值的独立性检验，分析得出超声波检查结果与患该疾病有关.求的最小值.（保留整数） 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式，代入数据，即可得答案； （2）将代入列联表，计算，根据题意，可得，即可得n的范围，进而可得答案. 【小问1详解】 因为超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为， 所以，解得； 【小问2详解】 将代入列联表可得： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 则， 因为根据小概率值的独立性检验， 所以，解得， 因为，所以n的最小值为45， 所以， 所以m的最小值为180 15. 已知数列中，，. （1）证明：数列是等差数列，求出数列的通项公式； （2）记（为参数），若，求出，并求出数列的前项和. 【答案】（1）因为，所以，即，. 所以是首项为，公差为的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）通过已知条件推出为常数，即可证明该数列为等差数列； （2）通过多项式相等求出，，进而求出数列的通项公式，最后利用与和的关系求前项和. 【小问1详解】 因为，所以，即，. 所以是首项为，公差为的等差数列. 故，即. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，所以. 又因为，所以.即. 所以，解得，. 所以. 数列的前项和. 故. 故，，. 16. 如图所示，在四棱锥中，底面，平面平面，． （1）证明：； （2）设，，若二面角的平面角为，求. 【答案】（1） 因为平面，且平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由底面，证得，再由平面平面，利用面面垂直的性质定理，证得平面，进而证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和的法向量和，结合二面角的平面角为，利用向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）易知两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，其中， 因为且，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为二面角平面角为， 所以， 整理得，解得 又因为，所以，即的长为. 17. 已知椭圆的离心率为，焦距为，以为三边的三角形面积为. （1）求C的方程； （2）过右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件解方程求解即可； （2）设直线的直线方程，联立方程表示出弦长，及四边的面积，再化简应用基本不等式计算得出面积的最小值. 【小问1详解】 由已知可得， 则所求椭圆方程． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，，此时的长即为椭圆长轴长，， 从而． 当直线的斜率为零时，同上可得，. 设直线的斜率为，且，直线的方程为：， 直线的方程为， 设，，，， 由，消去得， 所以，， 从而， 由，消去得， 所以，， 从而， 所以， 因为，则，则， 所以. 当且仅当，即时取得最小值， 所以四边形面积的最小值为． 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当恒成立，求的值 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）1 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论求解即可； （2）转化问题为，设，求导，进而分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由，， 则， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由，得， 则， 设，则， 当，即时，，则函数在上单调递增， 又，则不恒成立； 当，即时， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 则， 令，则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三期初热身考试 数学试卷 2025.9 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合是小于9的自然数，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 8 2. 已知焦点在轴上的双曲线C的渐近线方程是，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知是函数的图象的一条对称轴，则a的最小正值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的函数，.当时，，则=（ ） A. -5 B. -1 C. 1 D. 4 5. 解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知圆:与直线，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱柱外接球表面积为 9. 已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（ ） A. 为等边三角形 B. C. D. 10. 已知中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 的面积是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 11. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 12. 若一个等差数列前4项的和等于4，后4项的和等于68，所有项的和为108，则这个数列的项数等于_________. 13. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，至多取3次，如果取到数字5的球就停止取球.记X为这几次取出的球中数字最大球的数字，则X的数学期望______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了若干人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求关系； （2）在（1）的条件下，根据小概率值的独立性检验，分析得出超声波检查结果与患该疾病有关.求的最小值.（保留整数） 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 15. 已知数列中，，. （1）证明：数列是等差数列，求出数列的通项公式； （2）记（为参数），若，求出，并求出数列的前项和. 16. 如图所示，在四棱锥中，底面，平面平面，． （1）证明：； （2）设，，若二面角的平面角为，求. 17. 已知椭圆的离心率为，焦距为，以为三边的三角形面积为. （1）求C的方程； （2）过右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，求四边形面积的最小值. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当恒成立，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $