第5章 一次函数（单元测试·提升卷）数学浙教版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第5章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【考点】函数的概念 【分析】在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，由此逐项判断即可得出答案． 【解答】解：A、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意； B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了函数的定义，掌握在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数是关键． 2．函数y＝20x+25的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】一次函数的性质 【分析】直接根据k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限，不经过第四象限进行解答即可． 【解答】解：∵k＝20，b＝25， ∴一次函数y＝20x+25的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象和性质：对于y＝kx+b与y轴交于（0，b），k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 3．若点P（a，b）在直线y＝2x+1上，则代数式1﹣4a+2b的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．2 D．0 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【分析】把P（a，b）代入y＝2x+1得2a﹣b＝﹣1，整理代数式，整体代入代数式求值即可． 【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝2x+1上， ∴b＝2a+1，即2a﹣b＝﹣1， 1﹣4a+2b ＝1﹣2（2a﹣b） ＝1﹣2×（﹣1） ＝1+2 ＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的特征，解题的关键是掌握一次函数图象上点的特征． 4．已知点（﹣1，y1），（0，y2），（4，y3）是直线y＝﹣2x+m上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＞y3＞y2 D．y1＜y3＜y2 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据所给一次函数解析式，得出y随x的增大而减小，再根据三个点横坐标的大小即可解决问题． 【解答】解：∵一次函数解析式为y＝﹣2x+m， ∴y随x的增大而减小． 又∵﹣1＜0＜4， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（　　） A．在一次函数y＝mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程mx+n＝0的解为x＝2 D．当ax+b＞mx+n时，x＞﹣3 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质；一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式 【分析】根据一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题逐项分析判断即可． 【解答】解：A．直线y＝mx+n从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A结论正确，不合题意； B．一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象交点坐标为（﹣3，2），所以方程组的解为，故B结论正确，不合题意； C．直线y＝mx+n与x轴的交点坐标为（2，0），所以方程mx+n＝0的解为x＝2，故C结论正确，不合题意； D．当ax+b＞mx+n时，x＜﹣3，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 6．关于一次函数y＝kx+k﹣2（k≠0），给出下列说法正确的是（　　） ①若点A（m﹣1，y1），B（m+3，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，则k＞0； ②若该函数不经过第四象限，则k＞2； ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k＝4； ④该函数恒过定点（﹣1，﹣2）． A．①② B．①③ C．①④ D．②③④ 【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质 【分析】根据一次函数的定义、一次函数图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征逐项分析求解即可． 【解答】解：①∵m﹣1＜m+3，且y1＜y2，x的值随y的值增大而增大， ∴k＞0，故①正确，符合题意； ②当k＝2，函数也不经过第四象限，故②错误，不符合题意； ③一次函数y＝kx+k﹣2向上平移2个单位得到y＝kx+k，则与坐标轴的交点为（﹣1，0），（0，k）， ∴三角形的面积为2，则k＝±4，故③错误，不符合题意； ④∵y＝kx+k﹣2＝k（x+1）﹣2， ∴该函数恒过定点（﹣1，﹣2），故④正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质和点的坐标特征，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 7．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③； ④d＜a+b+c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】一次函数的性质 【分析】①根据函数图象直接得到结论； ②根据a、d的符号即可判断； ③当x＝3时，y1＝y2； ④当x＝1和x＝﹣1时，根据图象得不等式． 【解答】解：由图象可得：对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①正确； 由于a＜0，d＜0，所以函数y＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，故②正确； ∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3， ∴3a+b＝3c+d ∴3a﹣3c＝d﹣b， ∴a﹣c（d﹣b），故③正确； 当x＝1时，y1＝a+b， 当x＝﹣1时，y2＝﹣c+d， 由图象可知y1＞y2， ∴a+b＞﹣c+d ∴d＜a+b+c，故④正确； 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键． 8．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【考点】一次函数的应用 【分析】根据图象与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，而s＝0时，即为甲、乙相遇的时候，同理根据图象的拐点情况解答即可． 【解答】解：由图象可知A村、B村相离10km， 故①正确， 当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度， 当2h时，甲到达C村， 故②正确； v甲×1.25﹣v乙×1.25＝10， 解得：v甲﹣v乙＝8， 故甲的速度比乙的速度快8km/h， 故③正确； 当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0）（2，6）， 设一次函数的解析式为s＝kt+b， 代入得：， 解得：， ∴s＝8t﹣10 当s＝4时，得4＝8t﹣10， 解得t＝1.75h 由1.75﹣1.25＝0.5h＝30（min）， 同理当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s＝kt+b 将点（2，6）（2.5，0）代入得： ， 解得：， ∴s＝﹣12t+30 当s＝4时，得4＝﹣12t+30， 解得t， 由1.25h＝55min 故相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km， 故④正确． 故选：D． 【点评】此题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，关键是读懂图象，根据图象的数据进行解题． 9．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“关联点”．例如求y＝2x+3的“关联点”：联立方程，解得，则y＝2x+3的“关联点”为（﹣1，1）． ①一次函数y＝3x+4的“关联点”为（﹣1，1）； ②若一次函数y＝mx+n的“关联点”为（2，n﹣1），则，n＝﹣1； ③若一次函数y＝3x+4和一次函数y＝kx+3的“关联点”相同，则k＝2； ④若一次函数y＝kx﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且一次函数y＝kx﹣3上没有“关联点”，若P点为x轴上一个动点，使得，则点P的坐标为（﹣1.5，0）． 以上说法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【考点】一次函数与二元一次方程（组） 【分析】①联立，解得，于是得到一次函数y＝3x+4的“关联点”为（﹣1，1）故①正确； ②根据一次函数y＝mx+n的“关联点”为（2，n﹣1），解方程得到n＝﹣1，m，故②错误； ③根据一次函数y＝3x+4和一次函数y＝kx+3的“关联点”相同，得到一次函数y＝kx+3的“关联点”为（﹣1，1），解方程得到k＝2，故③正确； ④由一次函数y＝kx﹣3上没有“关联点”，得到直线y＝kx﹣3与直线y＝﹣x平行，求得k＝﹣1，得到y＝﹣x﹣3，解方程得到A（﹣3，0），B（0，﹣3），求得OA＝3，OB＝3，设P（t，0），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； 【解答】解：①联立， 解得， ∴一次函数y＝3x+4的“关联点”为（﹣1，1）故①正确； ②∵一次函数y＝mx+n的“关联点”为（2，n﹣1）， ∴﹣2＝n﹣1， ∴n＝﹣1， ∴一次函数y＝mx+n的“关联点”为（2，﹣2）， ∴2m﹣1＝﹣2， 解得m，故②错误； ③一次函数y＝3x+4和一次函数y＝kx+3的“关联点”相同， ∴一次函数y＝kx+3的“关联点”为（﹣1，1）， ∴1＝﹣k+3， ∴k＝2，故③正确； ④∵一次函数y＝kx﹣3上没有“关联点”， ∴直线y＝kx﹣3与直线y＝﹣x平行， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x﹣3， 当x＝0时，y＝﹣3， 当y＝0时，﹣x﹣3＝0， 解得x＝﹣3， ∴A（﹣3，0），B（0，﹣3）， ∴OA＝3，OB＝3， 设P（t，0）， ∴AP＝|3﹣t|， ∴S△ABP|﹣3﹣t|×3，S△ABO3×3， ∵S△ABPS△ABO， ∴， ∴|﹣3﹣t|， 解得：t或t， ∴P（，0）或（，0）故④错误， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义是解题的关键． 10．如图，已知点P（6，2），点M，N分别是直线l1：y＝x和直线l2：上的动点，连接PM，MN．则PM+MN的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题 【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形OABC，得点P关于l1：y＝x的对称点P′（2，6），连接P′M，P′N，则PM+MN＝P′M+MN≥P′N，当且仅当P′，M，N三点共线时，PM+MN＝P′N，即PM+MN的最小值为P′N的长，根据点到直线，垂线段最短，过点P′（2，6）作P′N垂直直线l2：于点N，即P′N⊥OH于点N，交直线l1：y＝x于点M，此时P′N最小，利用等积法求出P′N的长即可． 【解答】解：如图，在正方形OABC 中，OC＝CB＝BA＝AO＝6， ∵直线l1：y＝x经过点O（0，0），B（6，6）， ∴直线l1：y＝x是正方形OABC的对称轴， ∵点P（6，2）在BC上， ∴可得点P关于l1：y＝x的对称点P′（2，6）， 当x＝6时，yx＝3， 即直线l2：经过点H（6，3）， 过点P′（2，6）作P′N垂直直线l2：于点N，即P′N⊥OH于点N，交直线l1：y＝x于点M， ∵P（6，2）和P′（2，6）关于l1：y＝x对称， ∴PM＝P′M， ∴PM+MN＝P′M+MN＝P′N，即PM+MN的最小值为P′N的长， ∴OH3， ∵S△P′OHOH•P′NP′N， S△POH＝S正方形OABC﹣S△POA﹣S△PBH﹣S△COH＝6×62×64×36×3＝15， ∴P′N＝15， 解得P′N＝2， 即PM+MN的最小值为2， 故选：B． 【点评】此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握 相关性质和数形结合是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料﹣﹣纳米气凝胶，该材料导热率K（W/m•K）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.5W/m•K，则温度为 　450　 ℃． 温度T（℃） 100 150 200 250 300 导热率K（W/m•K） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 【考点】函数的表示方法 【分析】根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【解答】解：根据题意，温度每增加50℃，导热率增加0.05W/m•K， 所以（0.5÷0.05﹣1）×50＝450， 所以，当导热率为0.5W/m•K时，温度为450℃， 故答案为：450． 【点评】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键． 12．直线y＝kx+1向上平移3个单位长度后过点（﹣1，2），则k＝　2　 ． 【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据直线y＝kx+1向上平移3个单位长度可知新的解析式为y＝kx+4，再根据新函数解析式经过点（﹣1，2）即可解答． 【解答】解：∵直线解析式为：y＝kx+1， ∴向上平移3个单位长度后新的函数解析式为y＝kx+1+3＝kx+4， 即向上平移3个单位长度后新的解析式为y＝kx+4， ∵将直线y＝kx+1向上平移3个单位长度后经过点（﹣1，2）， ∴2＝﹣k+4， ∴k＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了平面直角坐标系与平移和一次函数图象上点的坐标特征，掌握平移的规律是解题的关键． 13．在同一直角坐标系中，一次函数，y＝kx+b（k＜0）的图象如图所示，则方程组的解为　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质 【分析】一次函数的图象是一条直线，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标．需要先将方程组进行变形，使其与已知的一次函数形式对应，再找到两函数图象的交点坐标，即为方程组的解． 【解答】解：对于方程组， 2y﹣x＝4，移项可得yx+2，与已知的y1x+2形式一致， kx﹣y＝﹣b，移项可得y＝kx+b，与已知的y2＝kx+b形式一致， ∵两函数y1x+2与y2＝kx+b的图象交点的纵坐标为3，把3代入y1x+2， ∴解得x＝2，即交点坐标为（2，3）， ∵方程组对应的函数是y1x+2与y2＝kx+b， ∴方程组的解就是两函数图象交点的坐标， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的内在联系，即二元一次方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标，熟练掌握该知识点是解题的关键． 14．已知关于x的一次函数y＝ax+2a+1，当﹣1≤x≤2时，一次函数y＝ax+2a+1的值有正有负，则实数a的取值范围是　﹣1＜a　 ． 【考点】一次函数图象与系数的关系 【分析】画出函数图象，根据题意将﹣1和2分别代入解析式，得到关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围． 【解答】解：∵y＝ax+2a+1＝a（x+2）+1， ∴一次函数y＝ax+2a+1的图象过点（﹣2，1）， ∵当﹣1≤x≤2时，一次函数y＝ax+2a+1的值有正有负， ∴直线m不合题意， 故a＞0不合题意； 当直线为n时，， 解得﹣1＜a， 故实数a的取值范围是﹣1＜a． 故答案为：﹣1＜a． 【点评】此题考查了一次函数与不等式，画出函数图象，将取值范围的端点值代入，转化为不等式组的问题是解答此类题目的关键． 15．如果函数y＝kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是﹣2≤x≤6，相应的函数值的范围是﹣11≤y≤9，求此函数的解析式是　或yx+4．　 ． 【考点】待定系数法求一次函数解析式 【分析】根据自变量的取值范围确定x，y的值，用待定系数法可求出函数关系式． 【解答】解：一次函数y＝kx+b的自变量的取值范围是：﹣2≤x≤6， 相应函数值的取值范围是：﹣11≤y≤9， 若k＞0 函数为递增函数 即当x＝﹣2时，y＝﹣11，即经过点（﹣2，﹣11）， x＝6时，y＝9．即经过点（6，9）． 根据题意列出方程组：， 解得：， 则这个函数的解析式是． 若k＜0 函数为递减函数，则函数一定经过点（﹣2，9）和（6，﹣11）， 设一次函数的解析式是y＝kx+b， 则， 解得： 则函数的解析式为yx+4， 故答案为：或yx+4． 【点评】根据自变量的取值范围确定x，y的值是解决本题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A1，交x轴于点D，在x轴上取点B1（4，0），连接A1B1，过点B1作A2B1⊥x轴，交直线A1D于点A2，点C1为OB1中点，连接A2C1交A1B1于点D1；过点A2作A2B2∥A1B1，交x轴于点B2，过点B2作A3B2⊥x轴，交直线A1D于点A3，点C2为B1B2中点，连接A3C2交A2B2于点D2；过点A3作A3B3∥A1B1，交x轴于点B3，过点B3作A4B3⊥x轴，交直线A1D于点A4，点C3为B2B3中点，连接A4C3交A3B3于点D3，…以此类推，则△Bn∁nDn的面积为 　　 （用含正整数n的式子表示）． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标 【分析】证明△B1C1D1是等边三角形，边长为2，可得其面积，再证明△B2C2D2是等边三角形，边长为1，求出△B2C2D2面积，同理可证△B3C3D3是等边三角形，边长为，......找出规律，即可得到△Bn∁nDn的面积． 【解答】解：∵直线交y轴于点A1， ∴A1（0，4），OA1＝4， ∵B1（4，0），OB1＝4 ∴tan∠A1B1O， ∴∠A1B1O＝60°， ∵B1（4，0），A2B1⊥x轴，点A2在直线A1D上， ∴A2（4，2），A2B1＝2， ∵点C1为OB1中点， ∴B1C1＝2， ∴tan∠A2C1B1， ∴∠A2C1B1＝60°， ∴△B1C1D1是等边三角形，边长为2， ∴△B1C1D1的面积为22， ∵A2B2∥A1B1， ∴∠A1B1O＝∠A2B2O， ∵∠A1OB1＝∠A2B1B2＝90°， ∴△A1OB1∽△A2B1B2， ∵OA1＝2A2B1，∠A2B2B1＝∠A1B1O＝∠60°， ∴B1B2OB1＝2， ∴B2（6，0）， ∴A3（6，），A3B2， ∵点C2为B1B2中点， ∴B2C2＝1， 在Rt△A3B2C2中，， ∴∠A3C2B2＝60°， ∴△B2C2D2是等边三角形，边长为1， ∴△B2C2D2的面积为12， 同理可证△B3C3D3是等边三角形，边长为， ∴△B3C3D3的面积为（）2， .....． ∴△Bn∁nDn是等边三角形，边长为， ∴△Bn∁nDn的面积为（）2， 故答案为：． 【点评】本题考查规律型问题，涉及一次函数综合应用及等边三角形判定，三角形面积等知识，解题的关键是证明△Bn∁nDn是等边三角形． 三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分） 17．已知正比例函数y＝（m+1）x+2m﹣6，m为常数． （1）求m的值． （2）在平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图象． 【考点】正比例函数的定义；正比例函数的图象 【分析】（1）根据正比例函数的定义可得：2m﹣6＝0且m+1≠0，然后进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：2m﹣6＝0且m+1≠0， 解得：m＝3且m≠﹣1， ∴m的值为3； （2）由（1）可得：正比例函数y＝4x， 如图： 【点评】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 18．已知y与2x﹣3成正比例，且当x＝1时，y＝3． （1）求y与x之间的函数解析式． （2）判断点M（2，﹣3）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质 【分析】（1）根据成正比例的定义，设y＝k（2x﹣3），然后把已知的一组对应值代入计算出k，从而得到y与x之间的函数解析式； （2）利用（1）中的解析式，计算自变量为2时对应的函数值，然后函数值为﹣3说明点M在这个函数图象上． 【解答】解：（1）设y＝k（2x﹣3）， 把x＝1，y＝3代入得3＝k×（2﹣3）， 解得k＝﹣3， ∴y＝﹣3（2x﹣3）， 即y与x之间的函数解析式为y＝﹣6x+9； （2）点M（2，﹣3）在这个函数的图象上． 理由如下： ∵当x＝2时，y＝﹣6x+9＝﹣12+9＝﹣3， ∴点M（2，﹣3）在这个函数的图象上． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． 19．已知关于x的函数是一次函数． （1）求m的值； （2）在该一次函数中，当﹣3≤x≤1时，求y的最大值． 【考点】一次函数的性质；一次函数的定义 【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解； （2）一次函数解析式为y＝4x﹣1，利用增减性求得最大值即可． 【解答】解：（1）∵函数是一次函数， ∴m2﹣3＝1， 解得m＝±2， ∵m+2≠0， ∴m＝2； （2）将m＝2代入得一次函数解析式为y＝4x﹣1， ∴y随x的增大而增大， ∴当﹣3≤x≤1时，当x＝1时，y有最大值，最大值为y＝4×1﹣1＝3． 【点评】此题考查了一次函数的定义与性质，熟知以上知识是解题的关键． 20．为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买A、B两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个A型篮球和2个B型篮球共需340元，购买2个A型篮球和1个B型篮球共需要210元． （1）求购买一个A型篮球、一个B型篮球各需多少元？ （2）若该校计划投入资金W元用于购买这两种篮球，设购进的A型篮球为t个，求W关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？ 【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（1）设购买一个A型篮球需要x元，购买一个B型篮球需要y元，由题意列二元一次方程组，求解即可； （2）设购进的A型篮球为t个，则设购进的B型篮球为（300﹣t）个，根据总费用等于A、B两种型号篮球的费用之和列出函数关系式即可； （3）在（2）条件下，根据购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量的2倍以及300﹣t≥0，求出t的取值范围，然后根据一次函数的性质求最小值即可． 【解答】解：（1）设购买一个A型篮球需要x元，购买一个B型篮球需要y元， 由题意，得：， 解得：， 答：购买一个A型篮球需要80元，购买一个B型篮球需要50元； （2）设购进的A型篮球为t个，则设购进的B型篮球为（300﹣t）个， 由题意，得：W＝80t+50（300﹣t）＝30t+15000， ∴关于t的函数关系式为W＝30t+15000； （3）∵购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量的2倍， ∴0≤300﹣t≤2t， 解得：100≤t＜300， ∵w＝30t+15000，30＞0， ∴w随t的增大而增大， 当t＝100时，w有最小值，wmin＝30×100+15000＝18000（元）， ∴该校至少需要投入资金18000元． 【点评】本题考查一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，关键是根据总费用等于A、B两种型号篮球的费用之和列出函数关系式． 21．某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． （1）求m的值，并说出m的实际意义； （2）求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； （3）请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）依据题意，由桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，则桐桐所用时间为：1500÷60＝25（分），进而可以判断得解； （2）依据题意，由桐桐在A景点休息10分钟，则此时图象起点为（35，0），又桐桐比小兴早5分钟到达C景点，从而图象过（45，3500），又设桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝at+b，则，求出a，b后即可判断得解； （3）依据题意可设小兴的路程s与t的解析式为s＝kt，又图象过（50，3500），从而求出小兴的路程s与t的解析式为s＝70t，再求出桐桐从B景点出发步行去A景点的解析式，然后结合图象列出方程后即可判断得解． 【解答】解：（1）∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴桐桐所用时间为：1500÷60＝25（分）． ∴m＝25． ∴m的实际意义是桐桐25分钟步行1500米到达A景点． （2）由题意，∵桐桐在A景点休息10分钟， ∴此时图象起点为（35，0）． 又∵桐桐比小兴早5分钟到达C景点， ∴图象过（45，3500）． 设桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝at+b， ∴． ∴． ∴桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝350t﹣12250． （3）由题意可设小兴的路程s与t的解析式为s＝kt， 又∵图象过（50，3500）， ∴3500＝50k． ∴k＝70． ∴小兴的路程s与t的解析式为s＝70t． 又∵桐桐从B景点出发步行去A景点的图象过（0，1500）（25，0）， 设此时的解析式为s＝pt+q， ∴． ∴． ∴桐桐从B景点出发步行去A景点的解析式为s＝﹣60t+1500（0≤t≤25）． ∵两人在途中相遇，结合函数图象， ∴令70t＝﹣60t+1500，则t；令70t＝350t﹣12250，则t． ∴两人在途中相遇时的时间为分或分． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质结合图象分析是关键． 22．A，B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同一路线从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程与该日下午的时间之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）甲、乙两人先出发的是哪位？先出发多长时间？ （2）甲、乙两人哪位先到达B地？提前多长时间到达？ （3）求甲在2时至5时的行驶速度以及乙的速度； （4）求甲出发后多长时间乙追上他，并求出此时距离A地的距离． 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）（2）根据题意和图象计算即可； （3）分别根据速度＝路程÷时间计算即可； （4）设甲出发后x小时乙追上他，根据相遇时两人与A地距离相等列关于x的一元一次方程并求解，从而求出此时距离A地的距离即可． 【解答】解：（1）甲、乙两人先出发的是甲，先出发2﹣1＝1（小时）． （2）甲、乙两人乙先到达B地，提前5﹣3＝2（小时）． （3）甲在2时至5时的行驶速度为（50﹣20）÷（5﹣2）＝10（千米/时），乙的速度为50÷（3﹣2）＝50（千米/时）． （4）设甲出发后x小时乙追上他． 根据图象，得20+10（x﹣2）＝50（x﹣2）， 解得x＝2.5， 当x＝2.5时，50×（2.5﹣2）＝25（千米）． 答：甲出发后2.5小时乙追上他，此时距离A地25千米． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx与x轴交于点A，与直线BC交于点B （2，m），直线BC与x轴交于点C（3，0）． （1）求直线BC的函数表达式； （2）在线段BC上找一点D，使得△ABO与△ABD的面积相等，求出点D的坐标； （3）y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，求出点M的坐标． 【考点】一次函数综合题 【分析】（1）将点B坐标代入直线l的表达式得：mx3，点B（2，3），令y＝0，则x＝﹣2，即点A（﹣2，0），利用待定系数法即可求解； （2）过点O作OD∥AB交BC于点D，则D点为所求，直线AB表达式得k值为，则直线OD的表达式为yx，将直线BC与OD表达式联立即可求解； （3）分两种情况：①点P在AM上方时，②点P在AM下方时，证明△AGP≌△PHM（AAS），GP＝HM＝2，GA＝PH，即可求解． 【解答】解：（1）将点B坐标代入直线l的表达式得：mx3，点B（2，3）， 令y＝0，则x＝﹣2，即点A（﹣2，0）， 设直线BC的函数表达式为y＝kx+b， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得： ，解得：， 故：直线BC的表达式为：y＝﹣3x+9； （2）过点O作OD∥AB交BC于点D，则△ABO与△ABD的面积相等，D点为所求， ∵直线AB表达式为yx， ∴k值为， ∵OD∥AB， ∴直线OD的表达式为yx， 将直线BC与OD表达式联立并解得：x， 即：点D的坐标为（，）； （3）①点P在AM上方时，过点P作x轴的平行线分别于过点A、M与y轴的平行线于点G、H， 设点P的坐标为（0，n）、点M（m，9﹣3m）， ∵∠GPA+∠GAP＝90°，∠GPA+∠HPM＝90°， ∴∠HPM＝∠GAP， 又PA＝PM，∠AGP＝∠PHM＝90°， ∴△AGP≌△PHM（AAS）， ∴GP＝HM＝2，GA＝PH， ∴， ∴， ∴点M的坐标为（，）； ②点P在AM下方时， 设点P的坐标为（0，n）、点M（m，9﹣3m）， ∵∠GPA+∠GAP＝90°，∠GPA+∠HPM＝90°， ∴∠HPM＝∠GAP， 又PA＝PM，∠AGP＝∠PHM＝90°， ∴△AGP≌△PHM（AAS）， ∴GP＝HM＝2，GA＝PH， ∴， ∴， ∴点M的坐标为（，）． 即点M的坐标为（，）或（，）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了求一次函数关系式，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形性质等知识，解决问题的关键是利用等腰直角三角形构造全等． 24．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交点D，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线yx+3上有一点A，x轴上有一点B（6，0），且满足∠OAB＝45°，直接写出点A的坐标． 【考点】一次函数综合题 【分析】（1）由∠ACB＝90°，可得∠BCE+∠ACD＝90°，又AD⊥ED，BE⊥ED，故∠E＝∠D＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，即得∠BCE＝∠CAD，从而得△BEC≌△CDA（AAS）； （2）过C作GH∥x轴，过A作AG⊥GH于G，过B作BH⊥GH于H，设B（m，n），证明△ACG≌△CBH（AAS），得AG＝CH，CG＝BH，故2＝﹣m，4＝n﹣（﹣2），解得B（﹣2，2），再求出直线AB解析式为yx，得D（0，）； （3）作BK⊥AB于B，交AO的延长线于K，作AT⊥x轴于T，KF⊥x轴于F，设A（a，a+3），证明△ATB≌△BFK（AAS），可得BF＝ATa+3，KF＝BT＝6﹣a，故K（3a，a﹣6），设直线AO解析式为y＝k'x，把A（a，a+3）、K（3a，a﹣6）代入即可解得：a1＝6，a2，从而A1（6，6），A2（，）． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠E＝∠D＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△BEC和△CDA中， ． ∴△BEC≌△CDA（AAS）； （2）解：过C作GH∥x轴，过A作AG⊥GH于G，过B作BH⊥GH于H，如图： 设B（m，n）， ∵∠ACB＝90°，AG⊥GH，BH⊥GH， ∴∠G＝∠H＝90°，∠ACG＝90°﹣∠BCH＝∠CBH， ∵AC＝BC， ∴△ACG≌△CBH（AAS）， ∴AG＝CH，CG＝BH， ∵A（4，0），C（0，﹣2）， ∴2＝﹣m，4＝n﹣（﹣2）， 解得m＝﹣2，n＝2， ∴B（﹣2，2）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（﹣2，2）代入得： ， 解得， ∴直线AB解析式为yx， 令x＝0得y， ∴D（0，）； （3）解：作BK⊥AB于B，交AO的延长线于K，作AT⊥x轴于T，KF⊥x轴于F，如图： 设A（a，a+3），则ATa+3，BT＝6﹣a， ∵∠ABK＝90°＝∠BFK＝∠ATB， ∴∠ABT＝90°﹣∠KBF＝∠BKF， ∵∠OAB＝45°， ∴△ABK是等腰直角三角形， ∴BK＝AB， ∴△ATB≌△BFK（AAS）， ∴BF＝ATa+3，KF＝BT＝6﹣a， ∴OF＝OB﹣BF＝6﹣（a+3）＝3a， ∴K（3a，a﹣6）， 设直线AO解析式为y＝k'x， 把A（a，a+3）、K（3a，a﹣6）代入得： ， ∴， ∴a（a﹣6）＝（3a）（3a）， ∴a（a﹣6）﹣（3a）（3a）＝0， ∴（a﹣3）（2a+3a）＝0， 解得：a1＝6，a2， ∴A1（6，6），A2（，）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法等，解题的关键是用行字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第5章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．函数y＝20x+25的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若点P（a，b）在直线y＝2x+1上，则代数式1﹣4a+2b的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．2 D．0 4．已知点（﹣1，y1），（0，y2），（4，y3）是直线y＝﹣2x+m上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＞y3＞y2 D．y1＜y3＜y2 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（　　） A．在一次函数y＝mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程mx+n＝0的解为x＝2 D．当ax+b＞mx+n时，x＞﹣3 6．关于一次函数y＝kx+k﹣2（k≠0），给出下列说法正确的是（　　） ①若点A（m﹣1，y1），B（m+3，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，则k＞0； ②若该函数不经过第四象限，则k＞2； ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k＝4； ④该函数恒过定点（﹣1，﹣2）． A．①② B．①③ C．①④ D．②③④ 7．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③； ④d＜a+b+c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“关联点”．例如求y＝2x+3的“关联点”：联立方程，解得，则y＝2x+3的“关联点”为（﹣1，1）． ①一次函数y＝3x+4的“关联点”为（﹣1，1）； ②若一次函数y＝mx+n的“关联点”为（2，n﹣1），则，n＝﹣1； ③若一次函数y＝3x+4和一次函数y＝kx+3的“关联点”相同，则k＝2； ④若一次函数y＝kx﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且一次函数y＝kx﹣3上没有“关联点”，若P点为x轴上一个动点，使得，则点P的坐标为（﹣1.5，0）． 以上说法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 10．如图，已知点P（6，2），点M，N分别是直线l1：y＝x和直线l2：上的动点，连接PM，MN．则PM+MN的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料﹣﹣纳米气凝胶，该材料导热率K（W/m•K）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.5W/m•K，则温度为 　 　 ℃． 温度T（℃） 100 150 200 250 300 导热率K（W/m•K） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 12．直线y＝kx+1向上平移3个单位长度后过点（﹣1，2），则k＝　 　 ． 13．在同一直角坐标系中，一次函数，y＝kx+b（k＜0）的图象如图所示，则方程组的解为　 　 ． 14．已知关于x的一次函数y＝ax+2a+1，当﹣1≤x≤2时，一次函数y＝ax+2a+1的值有正有负，则实数a的取值范围是　 　 ． 15．如果函数y＝kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是﹣2≤x≤6，相应的函数值的范围是﹣11≤y≤9，求此函数的解析式是　 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A1，交x轴于点D，在x轴上取点B1（4，0），连接A1B1，过点B1作A2B1⊥x轴，交直线A1D于点A2，点C1为OB1中点，连接A2C1交A1B1于点D1；过点A2作A2B2∥A1B1，交x轴于点B2，过点B2作A3B2⊥x轴，交直线A1D于点A3，点C2为B1B2中点，连接A3C2交A2B2于点D2；过点A3作A3B3∥A1B1，交x轴于点B3，过点B3作A4B3⊥x轴，交直线A1D于点A4，点C3为B2B3中点，连接A4C3交A3B3于点D3，…以此类推，则△Bn∁nDn的面积为 　 　 （用含正整数n的式子表示）． 三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分） 17．已知正比例函数y＝（m+1）x+2m﹣6，m为常数． （1）求m的值． （2）在平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图象． 18．已知y与2x﹣3成正比例，且当x＝1时，y＝3． （1）求y与x之间的函数解析式． （2）判断点M（2，﹣3）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 19．已知关于x的函数是一次函数． （1）求m的值； （2）在该一次函数中，当﹣3≤x≤1时，求y的最大值． 20．为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买A、B两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个A型篮球和2个B型篮球共需340元，购买2个A型篮球和1个B型篮球共需要210元． （1）求购买一个A型篮球、一个B型篮球各需多少元？ （2）若该校计划投入资金W元用于购买这两种篮球，设购进的A型篮球为t个，求W关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？ 21．某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． （1）求m的值，并说出m的实际意义； （2）求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； （3）请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 22．A，B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同一路线从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程与该日下午的时间之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）甲、乙两人先出发的是哪位？先出发多长时间？ （2）甲、乙两人哪位先到达B地？提前多长时间到达？ （3）求甲在2时至5时的行驶速度以及乙的速度； （4）求甲出发后多长时间乙追上他，并求出此时距离A地的距离． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx与x轴交于点A，与直线BC交于点B （2，m），直线BC与x轴交于点C（3，0）． （1）求直线BC的函数表达式； （2）在线段BC上找一点D，使得△ABO与△ABD的面积相等，求出点D的坐标； （3）y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，求出点M的坐标． 24．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交点D，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线yx+3上有一点A，x轴上有一点B（6，0），且满足∠OAB＝45°，直接写出点A的坐标． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第5章 一次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A A D C D D B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．450 12．2 13． 14．﹣1＜a 15．或yx+4 16． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 解：（1）由题意得：2m﹣6＝0且m+1≠0， 解得：m＝3且m≠﹣1， ∴m的值为3；（3分) （2）由（1）可得：正比例函数y＝4x， 如图： 解：（1）由题意得：2m﹣6＝0且m+1≠0， 解得：m＝3且m≠﹣1， ∴m的值为3； （2）由（1）可得：正比例函数y＝4x， 如图： （3分） 18．（6分） 解：（1）设y＝k（2x﹣3）， 把x＝1，y＝3代入得3＝k×（2﹣3）， 解得k＝﹣3， ∴y＝﹣3（2x﹣3）， 即y与x之间的函数解析式为y＝﹣6x+9；（3分） （2）点M（2，﹣3）在这个函数的图象上． 理由如下： ∵当x＝2时，y＝﹣6x+9＝﹣12+9＝﹣3， ∴点M（2，﹣3）在这个函数的图象上．（3分） 19．（8分） 解：（1）∵函数是一次函数， ∴m2﹣3＝1， 解得m＝±2， ∵m+2≠0， ∴m＝2；（4分） （2）将m＝2代入得一次函数解析式为y＝4x﹣1， ∴y随x的增大而增大， ∴当﹣3≤x≤1时，当x＝1时，y有最大值，最大值为y＝4×1﹣1＝3．（4分） 20．（8分） 解：（1）设购买一个A型篮球需要x元，购买一个B型篮球需要y元， 由题意，得：， 解得：， 答：购买一个A型篮球需要80元，购买一个B型篮球需要50元；（4分） （2）设购进的A型篮球为t个，则设购进的B型篮球为（300﹣t）个， 由题意，得：W＝80t+50（300﹣t）＝30t+15000， ∴关于t的函数关系式为W＝30t+15000； （3）∵购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量的2倍， ∴0≤300﹣t≤2t， 解得：100≤t＜300， ∵w＝30t+15000，30＞0， ∴w随t的增大而增大， 当t＝100时，w有最小值，wmin＝30×100+15000＝18000（元）， ∴该校至少需要投入资金18000元．（4分） 21．（10分） 解：（1）∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴桐桐所用时间为：1500÷60＝25（分）． ∴m＝25． ∴m的实际意义是桐桐25分钟步行1500米到达A景点．（3分） （2）由题意，∵桐桐在A景点休息10分钟， ∴此时图象起点为（35，0）． 又∵桐桐比小兴早5分钟到达C景点， ∴图象过（45，3500）． 设桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝at+b， ∴． ∴． ∴桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝350t﹣12250．（3分） （3）由题意可设小兴的路程s与t的解析式为s＝kt， 又∵图象过（50，3500）， ∴3500＝50k． ∴k＝70． ∴小兴的路程s与t的解析式为s＝70t． 又∵桐桐从B景点出发步行去A景点的图象过（0，1500）（25，0）， 设此时的解析式为s＝pt+q， ∴． ∴． ∴桐桐从B景点出发步行去A景点的解析式为s＝﹣60t+1500（0≤t≤25）． ∵两人在途中相遇，结合函数图象， ∴令70t＝﹣60t+1500，则t；令70t＝350t﹣12250，则t． ∴两人在途中相遇时的时间为分或分．（4分） 22．（10分） 解：（1）甲、乙两人先出发的是甲，先出发2﹣1＝1（小时）．（2分） （2）甲、乙两人乙先到达B地，提前5﹣3＝2（小时）．（2分） （3）甲在2时至5时的行驶速度为（50﹣20）÷（5﹣2）＝10（千米/时），乙的速度为50÷（3﹣2）＝50（千米/时）．（3分） （4）设甲出发后x小时乙追上他． 根据图象，得20+10（x﹣2）＝50（x﹣2）， 解得x＝2.5， 当x＝2.5时，50×（2.5﹣2）＝25（千米）． 答：甲出发后2.5小时乙追上他，此时距离A地25千米．（3分） 23．（12分） 解：（1）将点B坐标代入直线l的表达式得：mx3，点B（2，3）， 令y＝0，则x＝﹣2，即点A（﹣2，0）， 设直线BC的函数表达式为y＝kx+b， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得： ，解得：， 故：直线BC的表达式为：y＝﹣3x+9；（4分） （2）过点O作OD∥AB交BC于点D，则△ABO与△ABD的面积相等，D点为所求， ∵直线AB表达式为yx， ∴k值为， ∵OD∥AB， ∴直线OD的表达式为yx， 将直线BC与OD表达式联立并解得：x， 即：点D的坐标为（，）；（4分） （3）①点P在AM上方时，过点P作x轴的平行线分别于过点A、M与y轴的平行线于点G、H， 设点P的坐标为（0，n）、点M（m，9﹣3m）， ∵∠GPA+∠GAP＝90°，∠GPA+∠HPM＝90°， ∴∠HPM＝∠GAP， 又PA＝PM，∠AGP＝∠PHM＝90°， ∴△AGP≌△PHM（AAS）， ∴GP＝HM＝2，GA＝PH， ∴， ∴， ∴点M的坐标为（，）； ②点P在AM下方时， 设点P的坐标为（0，n）、点M（m，9﹣3m）， ∵∠GPA+∠GAP＝90°，∠GPA+∠HPM＝90°， ∴∠HPM＝∠GAP， 又PA＝PM，∠AGP＝∠PHM＝90°， ∴△AGP≌△PHM（AAS）， ∴GP＝HM＝2，GA＝PH， ∴， ∴， ∴点M的坐标为（，）． 即点M的坐标为（，）或（，）．（4分） 24．（12分） （1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠E＝∠D＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△BEC和△CDA中， ． ∴△BEC≌△CDA（AAS）；（3分） （2）解：过C作GH∥x轴，过A作AG⊥GH于G，过B作BH⊥GH于H，如图： 设B（m，n）， ∵∠ACB＝90°，AG⊥GH，BH⊥GH， ∴∠G＝∠H＝90°，∠ACG＝90°﹣∠BCH＝∠CBH， ∵AC＝BC， ∴△ACG≌△CBH（AAS）， ∴AG＝CH，CG＝BH， ∵A（4，0），C（0，﹣2）， ∴2＝﹣m，4＝n﹣（﹣2）， 解得m＝﹣2，n＝2， ∴B（﹣2，2）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（﹣2，2）代入得： ， 解得， ∴直线AB解析式为yx， 令x＝0得y， ∴D（0，）；（4分） （3）解：作BK⊥AB于B，交AO的延长线于K，作AT⊥x轴于T，KF⊥x轴于F，如图： 设A（a，a+3），则ATa+3，BT＝6﹣a， ∵∠ABK＝90°＝∠BFK＝∠ATB， ∴∠ABT＝90°﹣∠KBF＝∠BKF， ∵∠OAB＝45°， ∴△ABK是等腰直角三角形， ∴BK＝AB， ∴△ATB≌△BFK（AAS）， ∴BF＝ATa+3，KF＝BT＝6﹣a， ∴OF＝OB﹣BF＝6﹣（a+3）＝3a， ∴K（3a，a﹣6）， 设直线AO解析式为y＝k'x， 把A（a，a+3）、K（3a，a﹣6）代入得： ， ∴， ∴a（a﹣6）＝（3a）（3a）， ∴a（a﹣6）﹣（3a）（3a）＝0， ∴（a﹣3）（2a+3a）＝0， 解得：a1＝6，a2， ∴A1（6，6），A2（，）．（5分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第5章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．函数y＝20x+25的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若点P（a，b）在直线y＝2x+1上，则代数式1﹣4a+2b的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．2 D．0 4．已知点（﹣1，y1），（0，y2），（4，y3）是直线y＝﹣2x+m上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＞y3＞y2 D．y1＜y3＜y2 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（　　） A．在一次函数y＝mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程mx+n＝0的解为x＝2 D．当ax+b＞mx+n时，x＞﹣3 6．关于一次函数y＝kx+k﹣2（k≠0），给出下列说法正确的是（　　） ①若点A（m﹣1，y1），B（m+3，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，则k＞0； ②若该函数不经过第四象限，则k＞2； ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k＝4； ④该函数恒过定点（﹣1，﹣2）． A．①② B．①③ C．①④ D．②③④ 7．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③； ④d＜a+b+c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“关联点”．例如求y＝2x+3的“关联点”：联立方程，解得，则y＝2x+3的“关联点”为（﹣1，1）． ①一次函数y＝3x+4的“关联点”为（﹣1，1）； ②若一次函数y＝mx+n的“关联点”为（2，n﹣1），则，n＝﹣1； ③若一次函数y＝3x+4和一次函数y＝kx+3的“关联点”相同，则k＝2； ④若一次函数y＝kx﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且一次函数y＝kx﹣3上没有“关联点”，若P点为x轴上一个动点，使得，则点P的坐标为（﹣1.5，0）． 以上说法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 10．如图，已知点P（6，2），点M，N分别是直线l1：y＝x和直线l2：上的动点，连接PM，MN．则PM+MN的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料﹣﹣纳米气凝胶，该材料导热率K（W/m•K）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.5W/m•K，则温度为 　 　 ℃． 温度T（℃） 100 150 200 250 300 导热率K（W/m•K） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 12．直线y＝kx+1向上平移3个单位长度后过点（﹣1，2），则k＝　 　 ． 13．在同一直角坐标系中，一次函数，y＝kx+b（k＜0）的图象如图所示，则方程组的解为　 　 ． 14．已知关于x的一次函数y＝ax+2a+1，当﹣1≤x≤2时，一次函数y＝ax+2a+1的值有正有负，则实数a的取值范围是　 　 ． 15．如果函数y＝kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是﹣2≤x≤6，相应的函数值的范围是﹣11≤y≤9，求此函数的解析式是　 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A1，交x轴于点D，在x轴上取点B1（4，0），连接A1B1，过点B1作A2B1⊥x轴，交直线A1D于点A2，点C1为OB1中点，连接A2C1交A1B1于点D1；过点A2作A2B2∥A1B1，交x轴于点B2，过点B2作A3B2⊥x轴，交直线A1D于点A3，点C2为B1B2中点，连接A3C2交A2B2于点D2；过点A3作A3B3∥A1B1，交x轴于点B3，过点B3作A4B3⊥x轴，交直线A1D于点A4，点C3为B2B3中点，连接A4C3交A3B3于点D3，…以此类推，则△Bn∁nDn的面积为 　 　 （用含正整数n的式子表示）． 三．解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．已知正比例函数y＝（m+1）x+2m﹣6，m为常数． （1）求m的值． （2）在平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图象． 18．已知y与2x﹣3成正比例，且当x＝1时，y＝3． （1）求y与x之间的函数解析式． （2）判断点M（2，﹣3）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 19．已知关于x的函数是一次函数． （1）求m的值； （2）在该一次函数中，当﹣3≤x≤1时，求y的最大值． 20．为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买A、B两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个A型篮球和2个B型篮球共需340元，购买2个A型篮球和1个B型篮球共需要210元． （1）求购买一个A型篮球、一个B型篮球各需多少元？ （2）若该校计划投入资金W元用于购买这两种篮球，设购进的A型篮球为t个，求W关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若购买B型篮球的数量不超过A型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？ 21．某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． （1）求m的值，并说出m的实际意义； （2）求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； （3）请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 22．A，B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同一路线从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程与该日下午的时间之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）甲、乙两人先出发的是哪位？先出发多长时间？ （2）甲、乙两人哪位先到达B地？提前多长时间到达？ （3）求甲在2时至5时的行驶速度以及乙的速度； （4）求甲出发后多长时间乙追上他，并求出此时距离A地的距离． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx与x轴交于点A，与直线BC交于点B （2，m），直线BC与x轴交于点C（3，0）． （1）求直线BC的函数表达式； （2）在线段BC上找一点D，使得△ABO与△ABD的面积相等，求出点D的坐标； （3）y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，求出点M的坐标． 24．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交点D，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线yx+3上有一点A，x轴上有一点B（6，0），且满足∠OAB＝45°，直接写出点A的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $