江西省赣州市南康中学2025-2026学年高三上学期测试一数学试题

南康中学高三数学训练试卷（一）

命题人、审题人

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．若，则（    ）

A． B． C．2 D．1

3．设函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

4．已知角的终边经过点，则（    ）

A．3 B． C． D．

5．若函数存在两个极值点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

6．若函数，且的图象所过定点恰好在曲线上，则的最小值为（    ）

A．18 B．16 C．12 D．6

7．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．已知向量，则下列结论正确的是（    ）

A． B．与的夹角为

C． D．在上的投影向量是

10．如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（    ）

A．直线与直线是异面直线

B．平面

C．直线与直线所成角是

D．在直线上存在点，使平面

11．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（    ）

A．函数关于直线对称

B．4是函数的周期

C．

D．方程恰有4不同的根

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.

12．记三角形ABC面积为，，，则      .

13．已知函数是偶函数，则            .

14．已知直线是曲线与的公切线，则          .

 

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．已知数列是等差数列，其前项和为，且，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

 

 

 

 

 

16．为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的成绩统计如下表.

规定60分以下为不及格，60分及以上至70分以下为及格，70分及以上至80分以下为良好，80分及以上为优秀.

(1)从这20名学生中随机抽取2名学生，2名学生的成绩恰好都是优秀的概率是多少？

(2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2名学生，用X表示这2名学生中成绩为优秀的人数，求X的分布列、期望与方差.

 

 

 

 

 

17．如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．

(1)求证：平面平面；

(2)若为的中点，求平面与平面的夹角．

 

 

 

 

 

18．已知椭圆：经过点，且离心率为，

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于不同两点、.求证：直线和的斜率之和为定值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19．已知函数，，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若且恒成立，求的最小值．