精品解析：甘肃省兰州市外国语学校2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

兰州市外国语学校2024-2025学年第一学期九年级期末考试 数学学科试题 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果将零下记作，那么表示（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义．根据正负数的意义即可求解． 【详解】解：如果将零下记作，那么表示零上． 故选：A． 2. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形，逐项进行判断即可． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键． 4. 下列式子运算正确的是（　　） A. x5÷x5＝0 B. x2•x3＝x6 C. （2x）2＝4x2 D. （x3）4＝x7 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、x5÷x5＝1，故此选项不符合题意； B、x2•x3＝x5，故此选项不符合题意； C、（2x）2＝4x2，故此选项符合题意； D、（x3）4＝x12，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5. 如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，可得，由，可得，进而可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 6. 布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况， ∴两次都摸到白球的概率为． 故选A． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 8. 如图，矩形的对角线、相交于点O．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质得出，进一步得出，在中利用锐角三角函数的定义即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：B． 9. 古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急：道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，意思是：元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据“元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱”列方程即可． 【详解】解：由题意可得： 故选： A． 10. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 【答案】B 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故选：B． 11. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键． 12. 如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据点Q的位置分类讨论，分别表示出的面积，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】由题意得，点Q移动的路程为，点P移动的路程为x， ∵为等边三角形， ∴， ①当点Q在线段上时，过点Q作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选项A、B排除； ②当点Q在线段上时，过点Q作于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故选项C排除； 故选：D． 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 14. 如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案. 【详解】连接AB如图所示： 设小正方形的边长为1， ∴==10，，， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案. 15. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为 4，则的周长是__________________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∵， ∴的周长：的周长， ∵的周长为4， ∴的周长为8． 故答案为：8． 16. 把一副三角板如图甲放置，其中，斜边，，把三角板绕着点顺时针旋转得到（如图乙），此时与交于点，则线段的长度为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先解直角三角形求出，然后根据旋转的性质可求出，，过A作于H，解直角三角形求出，，则，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵三角板绕着点顺时针旋转得到， ∴，， 过A作于H， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（共12小题，满分72分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 18. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减． 【详解】解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先对小括号部分通分，再把除化为乘，然后根据分式的基本性质约分，最后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的分母有理化计算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． 20. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解；， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解为． 21. 如图所示，已知，请你添加一个条件，证明：． （1）你添加的条件是______； （2）请写出证明过程． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 证明：在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据，这两个条件，结合全等三角形的判定方法写出第三个条件即可； （2）利用证明即可． 【小问1详解】 解：添加的条件是：， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 略 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，．连接，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）将点坐标分别代入两个解析式得到值即可； （2）将分别代入解析式求出点坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：将代入， 解得， 反比例函数为； 将代入，得， 解得， 一次函数为； 【小问2详解】 轴于点， 轴． ， 点的纵坐标为1． 将代入， 解得， ， ， ． 23. 古树名木是中华民族悠久历史与文化的象征．据悉，在兰州树龄1000年以上古树仅有4棵，分别为七里河区工人文化宫两棵唐槐（树龄约1320年），红古区张家寺村寺庙旁文成槐（树龄约1300年），榆中县定远镇矿湾村龙泉寺旁圆柏（树龄约1000年）．某数学兴趣小组开展测量工人文化宫其中一棵唐槐高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如下表： 活动课题 测量唐槐（）高度（唐槐有围栏保护，测量小组无法到达其底部） 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 测量工具 自制测倾器、皮尺等 方案示意图 测量步骤 （1）利用测倾器站在F处，测得唐槐最高点A的仰角为； （2）前进6米到达D处，测得A点的仰角为． 说明 、为测倾器的支杆，在测量过程中、、唐槐均与水平面垂直，且D、F、B共线． 测量数据 ，，米，米 参考数据 ，， 根据以上表中的测量方案及其数据，计算唐槐的高度（结果保留整数）． 【答案】唐槐的高度约为． 【解析】 【分析】设，在中，可得，则，在中，，求出的值，再由可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，， 设， 在中，， ， ， 在中，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ． 唐槐的高度约为． 24. 如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得出，，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据菱形的判定即可证明． （2）由菱形的性质得出，进而得出，根据勾股定理得出，利用平行四边形的性质得出，根据菱形的性质求菱形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴． ∴ 在中，，，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理以及性质是解题的关键． 25. 2024年2月23日，第三届“天宫画展”在中国空间站开展，神舟十七号航天员乘组在轨展示和介绍了新时代青少年畅想中国式现代化的美丽画卷，并向全国青少年发出邀请，相约待到中华人民共和国成立 100周年时，共同见证几代人为之艰辛求索、牺牲奉献、接续奋斗的现代化中国． 某中学掀起了“航天有我，筑梦太空”的阅读月活动，为了解学生们课外阅读有关航天书籍的情况，随机抽取 20名学生，对每人每周课外阅读航天书籍的平均时间进行了调查： 【收集数据】90，60，81，70，81，95，80，76，85，100，72，83，96，85，70，85，66，82，94，89 【整理数据】 课外阅读时间 等级 D C B A 人数 4 a 9 4 【分析数据】 平均数 中位数 众数 82分钟 m分钟 n分钟 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填空： ， ． （2）如果根据表格设计扇形统计图，C等级对应的扇形圆心角的度数是多少？ （3）等级为B及B以上为达标，该校现有学生2000人，估计达标的学生有多少人？ 【答案】（1）， （2） （3）估计达标的学生有人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，扇形统计图，中位数和众数等知识，解题的关键是掌握相关的知识． （1）已知共调查了人，根据各个部分之和等于总体，可求出，再根据中位数的定义求出； （2）先求出等级的占比，再利用等级的占比乘以，即可； （3）求出及以上的人数占比，再用人数乘以该占比即可． 【小问1详解】 解：， 将收集的数据从小到大排列，中位数为：，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：等级对应的扇形圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：该校达标的学生有：（人）． 26. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度为米，棚顶最高点距离地面高度为米．以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若借助横梁在大棚正中建一个米高的门（到地面的距离为米），求横梁的长度是多少米？（结果保留根号） 【答案】（1） （2）横梁的长度是米为米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，，顶点坐标为，设二次函数解析式为：，由此即可求解； （2）当时计算对应的横坐标，由此即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，，，顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为：，把代入得， 即， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：到地面的距离为米，且二次函数解析式为， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是米为米． 27. （1）如图1，已知是正方形，P是对角线上一点，求证：； （2）如图2，在正方形中，点P是对角线上一点，，，垂足分别为E、F，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，在正方形中，若，P是上一点，过点P作于M，于N，则最小值为______． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）猜想：． 证明：连接，如图， 由（1）可知，， ∵，垂足分别为E、F， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质： （1）利用正方形的性质，证明求解，进而推出线段关系； （2）根据矩形的性质，证明，再利用（1）的结论，进而得证； （3）连接，，，四边形是矩形，，由（1）可知，当时，，进而求出的最小值． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）连接，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）可知， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， 当时，最小， 此时， ∴的最小值为． 故答案为：． 28. 在平面直角坐标系中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． （1）点中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________； （2）如果四边形是点M、P的“最佳菱形”． ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为8，且与直线有公共点时，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）；（2）①4；② 【解析】 【分析】（1）如图中，观察图象可知：在线段的垂直平分线上，因此能够成为点M、P的“极好菱形”顶点； （2）①先依据题意画出图形，然后可证明该四边形为正方形，从而可求得它的面积；②根据菱形的性质得：PM⊥QN，且对角线互相平分，由菱形的面积为8，且菱形的面积等于两条对角线积的一半，可得QN的长，证明Q在y轴上，N在x轴上，可得结论． 【详解】解：（1）如图1中，观察图象可知：在线段的垂直平分线上 根据菱形的性质可知，点能够成为点M、P的“极好菱形”顶点； （2）①如下图： ∵ ∴ ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形． ∴ ②如下图： ∵ ∴， ∵四边形MNPQ的面积为8， ∴，即 ∴， ∵四边形MNPQ是菱形， ∴ 作直线，交x轴于A， ∵ ∴OM=， ∴OE=2， ∵M和P在直线上， ∴∠MOA=45°， ∴△EOA是等腰直角三角形， ∴EA=2， ∴A与N重合，即N在x轴上， 同理可知：Q在y轴上，且 由题意得：四边形MNPQ与直线有公共点时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的判定、新定义问题等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市外国语学校2024-2025学年第一学期九年级期末考试 数学学科试题 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果将零下记作，那么表示（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 2. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子运算正确的是（　　） A. x5÷x5＝0 B. x2•x3＝x6 C. （2x）2＝4x2 D. （x3）4＝x7 5. 如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 8. 如图，矩形的对角线、相交于点O．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9. 古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急：道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，意思是：元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 11. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 因式分解：=_____． 14. 如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________． 15. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为 4，则的周长是__________________． 16. 把一副三角板如图甲放置，其中，斜边，，把三角板绕着点顺时针旋转得到（如图乙），此时与交于点，则线段的长度为_____． 三、解答题（共12小题，满分72分） 17. 解方程： 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解不等式组： 21. 如图所示，已知，请你添加一个条件，证明：． （1）你添加的条件是______； （2）请写出证明过程． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，．连接，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 23. 古树名木是中华民族悠久历史与文化的象征．据悉，在兰州树龄1000年以上古树仅有4棵，分别为七里河区工人文化宫两棵唐槐（树龄约1320年），红古区张家寺村寺庙旁文成槐（树龄约1300年），榆中县定远镇矿湾村龙泉寺旁圆柏（树龄约1000年）．某数学兴趣小组开展测量工人文化宫其中一棵唐槐高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如下表： 活动课题 测量唐槐（）高度（唐槐有围栏保护，测量小组无法到达其底部） 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 测量工具 自制测倾器、皮尺等 方案示意图 测量步骤 （1）利用测倾器站在F处，测得唐槐最高点A的仰角为； （2）前进6米到达D处，测得A点的仰角为． 说明 、为测倾器的支杆，在测量过程中、、唐槐均与水平面垂直，且D、F、B共线． 测量数据 ，，米，米 参考数据 ，， 根据以上表中的测量方案及其数据，计算唐槐的高度（结果保留整数）． 24. 如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 2024年2月23日，第三届“天宫画展”在中国空间站开展，神舟十七号航天员乘组在轨展示和介绍了新时代青少年畅想中国式现代化的美丽画卷，并向全国青少年发出邀请，相约待到中华人民共和国成立 100周年时，共同见证几代人为之艰辛求索、牺牲奉献、接续奋斗的现代化中国． 某中学掀起了“航天有我，筑梦太空”的阅读月活动，为了解学生们课外阅读有关航天书籍的情况，随机抽取 20名学生，对每人每周课外阅读航天书籍的平均时间进行了调查： 【收集数据】90，60，81，70，81，95，80，76，85，100，72，83，96，85，70，85，66，82，94，89 【整理数据】 课外阅读时间 等级 D C B A 人数 4 a 9 4 【分析数据】 平均数 中位数 众数 82分钟 m分钟 n分钟 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填空： ， ． （2）如果根据表格设计扇形统计图，C等级对应的扇形圆心角的度数是多少？ （3）等级为B及B以上为达标，该校现有学生2000人，估计达标的学生有多少人？ 26. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度为米，棚顶最高点距离地面高度为米．以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若借助横梁在大棚正中建一个米高的门（到地面的距离为米），求横梁的长度是多少米？（结果保留根号） 27. （1）如图1，已知是正方形，P是对角线上一点，求证：； （2）如图2，在正方形中，点P是对角线上一点，，，垂足分别为E、F，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，在正方形中，若，P是上一点，过点P作于M，于N，则最小值为______． 28. 在平面直角坐标系中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． （1）点中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________； （2）如果四边形是点M、P的“最佳菱形”． ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为8，且与直线有公共点时，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $