第1章 第1周 探索勾股定理&一定是直角三角形吗-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（北师大版2024）

一本初中数学周末小测卷八年级上册BS版 第一章 勾股定理 第 周 探索约股定理&一定是直角三角形码 ⊙时间：45分钟 号分值：100分 8得分： ⑦答案：P51 基础测·教材变式 弥一、选择题（每题3分，共15分） ， 1.下列以a,b,c为三边长的三角形中，是直角三角形的是 n A.a=3,b=4,c=6 B.a=5,b=12,c=13 䃼 C.a=5,b=8,c=15 D.a=6,b=7,c=8 2.在Rt△ABC中，斜边AB=10,AC:BC=3:4,则这个直角三角形的面积为 A.24 B.12 C.8 D.6 3.如图，每个四边形都是正方形，字母A所代表的正方形的边长为 A.4 B.8 C.16 D.64 289 225 D 4 A 12 救 封 第3题图 第4题图 4.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零件各 边尺寸标注在图中，由此可知 A.∠A符合要求 B.∠BDC符合要求 C.∠A和∠BDC都符合要求 D.∠A和∠BDC都不符合要求 5.新考法数学文化意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相 等的，如图，若设左边图中空白部分的面积为S1,右边图中空白部分的面积为S2,小聪同学得出了 以下结论：①S1=a2十b2十ab;②S2=c2+ab;③S1=S2;④a2十b2=c2.其中，正确的结论有（) 爵 剪开 右边部分 上下翻转 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 线 二、填空题（每题3分，共12分） 6.下列各组数为勾股数的是 (填序号) ①1.5,2,3；②3,4,7；③7,12,13；④8,15,17；⑤9,40,41. 7.如图，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积 是 幕 36 13 100 G 第7题图 第8题图 第9题图 8.已知直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的 正方形，则阴影部分的面积为 9.如图，△ABC的三条边AB=10,AC=8,BC=6,CD⊥AB,则CD=· 三、解答题（共25分） 10.(8分)如图，已知四边形ABCD,AC⊥BD于点O,设AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,猜想a2, b2,c2,d之间的关系，用等式表示出来，并证明. 11.(8分)一街区的店铺分布图如图所示，AC为一条笔直的公路，B,D分别为便利店和面馆，E为公 路边的公交站牌，站牌E在便利店B的正东方向，面馆D在便利店B的正南方向，已知A,D之间 的距离为250m,且A在面馆D的正北方向，BE长为120m,DE长为150m, (1)若小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，则两人的总路程为多少米？ (2)求面馆D到公路AC的距离. 北 十东 公路 B便利店 E公交站牌 D面馆 12.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5m,AC=3m,动点P从点B出发沿射线BC以 1m/s的速度移动，设运动的时间为ts. (1)求边BC的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 。01。 一初中数学周末小测卷|八年级上册BS版 能力测·迁移运用 一、选择题（每题3分，共9分） 13.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B A D 与点D重合，折痕为EF,则△ABE的面积为 () A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 14.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,则下列说法错误的是 () A如果a:b:c=7:24:25,那么∠C=90° B.如果∠A：∠B：∠C=3:4：5,那么△ABC为直角三角形 C.如果a,b,c的长分别为6,8,10，那么a,b,c是一组勾股数 D.如果∠A一∠B=∠C,那么△ABC为直角三角形 15.如图，△ABC在每个小正方形的边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结 论不正确的是 ( A.BC=5 B.△ABC的面积为5 C.∠A=90° D.点A到BC的距离为 二、填空题（每题3分，共6分） 16.如图，∠ACB=90°，AB=4cm,以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中 阴影部分的面积为 cm2. 第16题图 第17题图 17.如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8,则其内部五个小直角三角形的周长之和为 三、解答题（共33分） 18.(9分)如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交 流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程， (1)过点A作AD⊥BC于点D,设BD=x,用含x的代数式表示CD,则CD= (2)分别在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x 的值； (3)利用勾股定理求出AD的长，再计算出△ABC的面积. 19.新考法代数推理(12分)【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆 放，连接AD,△ABC的三边长分别为a,b,c(a>b),四边形ACFD的面积可以表示为2(a十b)· 。02。 a十6)或2×26十2c,从而推导出a2+6=e a B(E)b B(F) 图1 图2 【探究】淇淇将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图2， AB与DE交于点O,下面是淇淇利用图2证明勾股定理的过程.请将淇淇的探究过程补充完整. 弥 证明：如图2，连接AD,AE. S梯形ACBD= 2(AC+BD)·BC= S四边形ACBD=S△ACE十SAAED十S△BED= 号AC·CE+号DR·A0+号DE·OB=2AC,CE+ 2DE·AO+BO) ,由S四边形ACBD=S梯形ACBD,可整理得到 【应用】在图2的基础上，若四边形AEBD的面积为200，AC的长为12，求BC的长， 思维测·拓展创新 20.(12分)经典证明： 封 欧几里得在《原本》中证明勾股定理的思路如下：如图1，首先分别以Rt△ABC的三边为边长作正 方形ABFE,正方形AJKC,正方形BCIH.过点C作AB的垂线，交AB于点D,交FE于点G,然 后证明正方形BCIH的面积与长方形BDGF的面积相等，正方形AJKC的面积与长方形ADGE 的面积相等，最后得出正方形ABFE的面积等于正方形AJKC与正方形BCIH的面积之和，从而 完成勾股定理的证明. 方法点拨： 如图2，连接HA,CF,可证明△ABH≌△FBC,从而得到S△ABH=S△rc,利用平行线的相关性质 1 可以得到SA脚=2SEaH,S△c一2S长形m,于是得到SE方H一S长带m, 1 B D D 线 FG G 图1 图2 图3 问题解决： (1)请你结合“经典证明”的思路与“方法点拨”证明勾股定理. (2)如图3，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均落在格点上.请在网格 中，只用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的长方形，使该长方形的面积等于AC2十BC2,并简 要说明画图方法（保留画图痕迹，无需证明）.一本初中数学周末)小测卷」八年级上册B$版 参考答案 第一章勾股定理 第个周探索勾股定理& 一定是直角三角形吗 1.BA.32+42=25≠62，不能构成直角三角形，不符合题 意；B.52+122=169=132,能构成直角三角形，符合题意； C.5十8=13<15，不能构成三角形，不符合题意：D.62+72 =85≠82，不能构成直角三角形，不符合题意。 2.A设AC=3x,BC=4x.在Rt△ABC中，AC2+BC2= AB2,即(3x)2+(4x)2=102,∴x=2(负值不符合题意， 已经舍去)，∴AC=6,BC=8,这个直角三角形的面积 为7AC·BC-X6X8-2L 3.B根据勾股定理以及正方形的面积公式，知以直角三角 形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为 边长的正方形的面积，所以字母A所代表的正方形的面积 为289一225=64，所以字母A所代表的正方形的边长为8. 4.D,42十42≠52,52+82≠122，.AB2+AD2≠BD2, BD2+DC2≠BC,∴.△ABD,△BDC不是直角三角形， 即∠A≠90°，∠BDC≠90°，∴∠A和∠BDC都不符合 要求 5.D由勾股定理，得a2十b2=c2,故④正确；由题意，得 S=S2=a2+b2+2X 2ab=a2+b2+ab=c2+ab,故① ②③正确.综上，正确的结论有4个 6.④⑤①1.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； ②32+42≠7，故不是勾股数，不符合题意；③72+12卡 132,故不是勾股数，不符合题意；④82+152=172，故是勾 股数，符合题意；⑤92十402=412，故是勾股数，符合题意. 解题大招 判断一组数是否是勾股数的一般步骤：①确定 是三个正整数a,b,c;②确定最大数c;③计算较小 两数的平方和a2十b2是否等于c2. 7.8r在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB2=100,BD2= 36,∴.AD2=100一36=64，∴.以AD为直径的半圆的面积 是7（合AD)-日AD=8u 8.120如图，在Rt△AEF中，AE2=EF2-AF2=132 122=5,.AE=5, SAg=号AE·AF=号X5X12=30,阴影部分的 1 面积为4×30=120. 13 924AB=10,AC=8,BC=6,且BC十AC=62+ 5 82=100=102=AB2, ∠ACB=90°，∴.AB·CD=AC·BC, ..CD-AC.BC_6X8_24 AB 105 10.解：a2+c2=b2+d2. 证明：，AC⊥BD于点O, ∴.∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，·2分 ..a2=OA2+0B2,62=OB2+OC2c2=OC2+OD2,d2= OD2十OA2,…4分 ..a2+c2=0A2+0B2+0C2+OD2,62+d2=OB2+ OC2十OD2十OA2,…6分 ∴a2十c2=b2十d2.…8分 11.解：(1)由题意可知，∠ABE=∠DBE=90°. 在Rt△DBE中，DE=150m,BE=120m, 由勾股定理，得BD2=DE2-BE2=1502-1202=902, .BD=90m, .AB=AD-BD=250-90=160(m), .AE2=AB2+BE2=1602+1202=2002,…2分 .AE=200m, .小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处， 两人的总路程为200十150=350(m). …4分 (2),DE2+AE2=1502+2002=62500,AD2=-2502= 62500, ∴.DE2+AE2=AD2, ∠AED=90°，…7分 .面馆D到公路AC的距离为150m…8分 12.解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5m,AC= 3m, .由勾股定理，得BC2=52一32=4， .BC=4m…3分 (2)由题意，知BP=tm. ①当∠APB=90°时，如图，点P与点C重合，即BP= BC=4 m, B C(P) t=4÷1=4(s);…6分 ②当∠BAP=90°时，如图，CP=BP-BC=(t-4)m, AC=3 m. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(t-4)2, 在Rt△BAP中，AP2=BP2-AB2=t2-52, .32+(t-4)2=t2-52, 18.解：(1)14-x…3分 解得：一空 (2)在Rt△ADC和Rt△ADB中，根据勾股定理，得 AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,…4分 25 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或 AD2=AB2-BD2=152-x2,…5分 .132-(14-x)2=152-x2, …9分 獬得x=9.…6分 13.C由折叠的性质，得BE=DE. (3)在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2=AC2一 ,'AD=AE+DE=AE+BE=9cm,∴.BE=9-AE.在 CD2=132-(14-9)2=122,…7分 Rt△ABE中，根据勾股定理，知AB2十AE2=BE, ∴.32+AE2=(9-AE)2,獬得AE=4cm,∴.△ABE的 .AD=12, 面积为3X4÷2=6(cm2). ∴S=2DC·AD=2X14X12=4 …9分 14.BA.a:b:c=7:24:25,.设a=7k,b=24k,c= 18期：探宽4+子 1 25k(k≠0).a2+b2=(7k)2+(24k)2=625k2,c2= (25k)2=625k2,∴a2十b2=c2,∠C=90°，故不符合题 …6分（每空2分） 意.B.,∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C= 应用：，'S四边形ABBD=S△ADE十S△BDE=200, 5 180,∠C=180X3+4+5=75,△ABC不是直角 2DE…A0+2DE0B=20,…8分 三角形，故符合题意.C.a,b,c的长分别为6,8,10，∴ a2十b2=c2,且a,b,c都是正整数，a,b,c是一组勾股 ∴2DE·AB=20, 数，故不符合题意.D.:∠A-∠B=∠C①，∠A+∠B +∠C=180②，将①代入②，得2∠A=180°，∴∠A= ÷2c=20, 90°，∴△ABC是直角三角形，故不符合题意 c=20,…10分 15.DA.BC2=32+42=25,∴.BC=5,原结论正确，不符 .BC=AB2-AC2=202-122=256=162,.BC=16. 合题意； …12分 B54X4-合×1X2-2×2X4-日×3X4=5, 20.解：(1)证明：如图，连接BJ,CE. 原结论正确，不符合题意； C.AB2=12+22=5,AC2=22+42=20,BC2=32+ 42=25,.AB2+AC2=BC2, ∴.∠A=90°，原结论正确，不符合题意； D.点A到BC的距离为2S△Ac÷BC=2X5÷5=2,原 FG 结论错误，符合题意 BH=BC,∠HBA=∠CBF=90°+∠CBA,AB=FB, 16.16由题意，得阴影部分的面积为 2 2 .△ABH≌△FBC(SAS),…2分 AB2BC2+AC2+AB2 AH=FC,SAABII=SAFc.…3分 2 2 ,四边形BCIH是正方形，四边形BFGD是长方形， ∠ACB=90°，AB=4cm, 1 ∴.BC2+AC2=AB2=42=16, e-号Sa, BC+ACABABAB161616(cm). .S正方形Cm=S长方形BGD=BC2.…5分 2 2 2 同理可得，△BAJ≌△EAC,.SABw=SAEAC,·6分 17.24AC=6,BC=8,.AB2=AC2+BC2=102, 1 ∴AB=10由题图可知，内部小直角三角形的直角边是 S△aW=2SE方形Aa,SAFAC-=2S长方形AD, 由Rt△ABC的直角边平移得到的，∴.内部五个小直角 .S正方形ACKW=S长方形ABGD=AC2.…7分 三角形的周长之和等于Rt△ABC的周长，∴.内部五个 ,'S长方形BRGD十S长方形ABD=S正方形ABrE=AB2, 小直角三角形的周长之和为AB十AC十BC=10十6+ .BC2+AC2=AB2.…8分 8=24. (2)如图，分别以AC,BC,AB为一边作正方形ACED, 解题大招 正方形BCNM,正方形ABHF,延长DE交MN于点 根据图形得到内部五个小直角三角形的周长之 Q,连接QC,平移QC至AG,BP的位置，作直线GP分 和等于Rt△ABC的周长是解题的关键 别交AF,BH于点T,S,则四边形ABST即为所求. 。51。 一本初中数学周末小测卷|八年级上册BS版 6.13如图，将圆柱的侧面展开，得到长是12cm,宽是5cm 的长方形，连接AB,根据“两点之间，线段最短”可得，这条 D 彩带的最小长度是AB的长. 由勾股定理，得AB2=122+52=169=132,∴.AB= 13cm,即这条彩带的最小长度是13cm, G F 12分 第②周勾股定理的应用 解题大招 1B,东北方向和东南方向之间的夹角刚好是一直角， 求几何体上的最短距离时，一定要先把立体图 ∠AOB=90°.又OA=32m,OB=24m,∴.AB2= 形展开成平面图形，再灵活运用勾股定理及“两点之 0A2+OB2=322+242=402,.AB=40m,即水管的长为 间，线段最短”解决最短距离问题 40m. 2.B如图，过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°， 7.4.8如图，过点P作PQ⊥MN,垂足为Q,则车辆Q与 DE=BC=8m,BE=CD=2m,设旗杆AB的高度为 广告牌P的最近距离为PQ的长. xm,则AE=(x-2)m,AD=AB=xm.在Rt△AED '.'PM=8 m,PN =6 m,MN=10 m,.'MN2 PM2+ 中，由勾股定理，得 PN2,.△PMN是直角三角形 AE2十DE2=AD2,.(x-2)2+82=x2,解得x=17, .旗杆AB的高度为17m. ∴PQ=PM:PN6X MN 10 =4.8(m). M Q N 8.10如图，过点B作BC⊥AF交AF于点C,延长ND交 E D 2m AC于点M. B 8m C 3.A设AE=xkm,则BE=(14-x)km.,DA⊥AB, CB⊥AB,∴.∠DAE=∠CBE=90°.在Rt△ADE中，DE2 =DA2+AE2=62+x2.在Rt△BCE中，CE2=CB2+ BE2=82+(14-x)2..DE=CE,.62+x2=82+(14 x)2,解得x=8,∴.AE的长是8km. 8 MC F 4.B如图，将长方体的部分侧面展开，连接EC,则线段EC 由图可知，AC=AF一MF十MC=8一3十1=6(km), 的长就是小虫爬的最短路程 BC=2+6=8(km). 在R△EBC中，BE=12+8=20,BC=7AB=15,由勾 在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2=62+82=102, ∴.AB=10km. 股定理，得EC2=202十152=252，，∴.EC=25,即最短路程 9.5由题意，得BC=BD=25cm,∠BEC=∠BFD=90°. 是25. 在Rt△BEC中，由勾股定理，得BE=BC2一CE= 252-202=152,∴.BE=15cm.在Rt△BFD中，由勾股定 理，得BF2=BD2-DF2=252-152=202,∴.BF=20cm, .EF=BF-BE=20-15=5(cm). 10.解：如图，连接AC 5.A车宽2.4m<4m,∴.欲通过如题图所示的隧道，只 D 要比较距隧道中线1.2m处的高度与车高即可.在 A B Rt△OCD中，由勾股定理，得CD2=OC2-OD2=22 在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102.… 1.22=1.62,.CD=1.6m,∴.CH=CD+DH=1.6+ …2分 2.5=4.1(m). 。52。 在△ABC中，AB2=262,BC2=242,AC2=102, ∴.AC2+BC2=AB2, ∴.∠ACB=90°， …4分 aw-vaC 2AD·CD= 号X10X24号X8X6=96(m2).…7 答：该空地的面积为96m2.…8分 解题大招 添加辅助线连接AC,在Rt△ACD中可求得AC 的长，由AC,AB,BC的长度关系可得△ABC为直 角三角形，且AB为斜边.由此看，利用转化思想把不 规则四边形ABCD的面积转化为Rt△ABC的面积 减去Rt△ACD的面积是解答本题的关键， 11.解：如图，将该圆柱的部分侧面展开，连接AB,则AB的 长就是蚂蚁在圆柱表面从点A爬到点B的最短路程. …2分 由题意可知，AC= 1 2 X48=24(cm),∠C=90°，BC= 7cm.…4分 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=252, .AB=25cm.…7分 答：从点A爬到点B的最短路程为25cm.…8分 12.解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是xm,则 BC=(22-x)m.…2分 由题意可知，AC=2.4m,DE=2m,AB=DB. 在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理，得AB2= BC2+AC2,DB2=BE2+DE2, .BC2十AC2=BE2十DE2,…4分 即(2.2-x)2十2.42=x2十22，…6分 解得x=1.5.…8分 答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5m.… …9分 13.B如图，连接AC. D B C 'AB =3 m,BC =4 m,AD=13 m,CD 12 m, ∠B=90°， .AC2=AB2+BC=42+32=25=52,∴.AC=5m 又.AD2-CD2=132-122=169-144=25=AC, ∴.△ADC为直角三角形，且∠ACD=90°， 六.S阳边形AD=SAc十SAAc=乞AB·BC+2CD· 1 1 AC=2×3×4+2×12X5=6+30=36(m),小需要 投入200×36=7200（元）. 14.A设OB=xm.由题意，得AC=1m,BD=1m,AO= 4m. 在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB2=AO2十OB2= 42+x2. 在Rt△COD中，根据勾股定理，得CD2=CO2+OD2= (4-1)2+(x+1)2. .'AB=CD, .42十x2=(4-1)2+(x+1)2,獬得x=3,AB2= AO2+OB2=42+32=52,∴.AB=5m,即梯子AB的长 为5m. 15.C:上底面对角线BC2=32+42=52,.BC=5cm. ,AC=12cm,.AB2=122+52=132,.AB=13cm, .能容下的最长木棒的长为l3cm. 16.101如图，取AB的中点O,连接DO,CO,过点D作 DE⊥AB于点E. 2寸 D/C A EO B 由题意，得OA=OB=AD=BC.设OA=OB=AD=BC =x寸，则AB=2z寸：DE=10寸，0E=号CD=1寸， .AE=(x-1)寸. 在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2,即(x-1)2+102= x2,解得x=50.5, .2x=101,∴.AB=101寸. 17.4如图， K HG D C 在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠CBA,∠ECD= ∠CAB,EC=CA, .△CDE≌△ABC(AAS),.CD=AB,DE=BC, ..AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=3. 同理可得，FG2+LK2=HL2=1,∴.S1十S2十S十S4= CE2+HL2=1+3=4. 解题大招 本题不能直接求出S1,S2,S,S4,但可以利用 三角形全等和勾股定理分别求出S1十S2,Sg十S4, 从而解决问题」