第1章 勾股定理 综合检测·培优卷-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（北师大版2024）

一本初中数学周末小测卷八年级上册BS版 第 章 综合检测·培优卷 ⊙时间：90分钟号分值：120分 8得分： ☑答案：P52 一、选择题（每题3分，共30分） 1.下列数据是勾股数的是 弥 A.1,2,3 B.2,3,4 C.5,6,7 D.7,24,25 2.已知a,b,c是△ABC的三边，下列条件中，能够判定△ABC为 n 直角三角形的是 () A∠A:∠B:∠C=2:3:4B.∠A=2∠B=2∠C C.a:b:c=2:2:3 D.a=32,b=42,c=52 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4,则AB2-BC2=( A.4 B.16 C.20 D.25 4.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面3m处折断，旗杆顶部落 在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前的高度是 () A.5 m B.8 m C.10m D.13m 13 救 封 3m 12 4m 、B 第4题图 第7题图 5.易错题已知一个直角三角形的两条边长分别为5和13，则第 三边的平方是 A.12 B.169 C.144或194D.144或169 6.在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,则△ABC的面积为( A.4 B.12 C.16 D.24 7.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影 部分的面积是 ( A.50 B.16 C.25 D.41 线8.赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形.图中包含四个全 等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实.如图，设 每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b,若ab=8,且a2十 b2=25,则黄实为 () 朱实 剂 朱实 黄实 入朱实 朱实 A.36 B.25 C.16 D.9 9.新考法真实问题情境学校有一块直角三角形菜地，其几何示意图 如图所示.已知∠ABC=90°，BC=12m.为方便劳作，准备在菜 地中间修建一条小路.测量发现，∠ADE=∠AED,BD=EF= 1m,CF=8m,则AE的长为 () A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m 小路 A 第9题图 第10题图 10.如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,∠B=90°，AD= 12,CD=13,则四边形ABCD的面积为 A.72 B.36 C.39 D.78 二、填空题（每题3分，共18分） 11.在△ABC中，∠C=90°，a:b=6:8,∠C的对边c=10cm,则a= ,b= 12.新考法传统文化勾股定理最早出现在《周髀算经》中：勾广三， 股修四，径隅五.观察下列勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；… 这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图研究了勾 为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如6,8,10；8,15,17；… 若此类勾股数的勾为12，则其弦是 13.如图，△ABC的每个顶点都在边长为1的正方形格点上，则 ∠ABC的度数为 14.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,AB+AC=4, BC=3,则AD= B 第14题图 第15题图 第16题图 15.新考法数学文化如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以其各 边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底 月牙”.当AC=3,BC=4时，阴影部分的面积为 16.如图，一个无盖的圆柱体盒子的高为8cm,底面圆的周长为 24cm,点A距离下底面3cm.一只位于圆柱体盒子外表面点 A处的蚂蚁想爬到盒子内表面对侧中点B处吃东西，则蚂蚁需 要爬行的最短路径为 cm, 三、解答题（共72分） 17.(6分)图1、图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图.根 据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的 长度都相等，即DE=BC=AB=60cm,点B,F在线段AC 上，点C在线段DE上，支杆DF=30cm.当EC=24cm时，点 B,D相距48cm,试判断BD与DE的位置关系，并说明理由. A E C 图1 图2 18.(6分)一种机器零件的形状如图所示，按规定，这个零件中∠A 和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件的各边尺寸如 图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由 12 19.(6分)如图，有一架秋千，当它静止时，座椅离地的垂直高度 DE=1m,将它往前推送4m(水平距离BC=4m)时，秋千的 座椅离地的垂直高度BF=3,若秋千的绳索始终拉得很直， 求绳索AD的长. ·05· 一初中数学周末小测卷|八年级上册BS版 20.(6分)已知整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.尝试化简整 式A时，发现A=B2.求整式B的值 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2.当n>1时，n2-1,2n,B为 直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值. 直角三角形三边长 n2-1 2n B 勾股数组I 8 勾股数组Ⅱ 35 B 2 n2-】 21.(8分)为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块 如图所示的四边形平地ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性 的运动型塑胶地板.已知运动型塑胶地板每平方米200元.经测 量∠B=90°，AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m. (1)求A,C两点之间的距离； (2)求购买运动型塑胶地板的费用. 22.(8分)如图，在离水面高度为8m的岸上，有人用绳子拉船靠 岸，开始时绳子BC的长为17m,几分钟后船到达点D的位 置，此时绳子CD的长为10m,问：船向岸边移动了多少米？ D 。06。 23.(10分)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是 我国古代数学的骄傲.如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等 的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三 角形较长直角边长为b,较短直角边长为a,斜边长为c. (1)若(a十b)2=21,大正方形的面积为13，则小正方形的面积 是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的四个全等的 直角三角形适当拼合，可以得到如图2所示的图形，利用这个 图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 图1 图2 24.(10分)美丽的弦图蕴含着四个全等的直角三角形， (1)如图1，弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角 三角形较长的直角边长为a,较短的直角边长为b,斜边长为c, 试验证勾股定理. (2)如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状.已知 外围轮廓线的周长为24，OC=3,求该飞镖状图案的面积 (3)如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方 形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1, S2,S3,若S1十S2十S3=30,求S2的值. 图1 图2 图3 25.新考法过程性学习(12分)【阅读材料】 如图1，有一个圆柱形玻璃容器，它的高为12cm,底面圆的周 长为18cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上 底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最 短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图 形，再确定A,B两点的位置，依据“两点之间，线段最短”，结合 勾股定理解决相应的问题.在圆柱形玻璃容器的侧面展开图 弥 中，点A,B对应的位置如图2所示，利用勾股定理即可求出蚂 蚁爬行的最短路程，即线段AB的长， 【方法应用】 (1)如图3，圆柱形玻璃容器的高为18cm,底面周长为60cm, 在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形 玻璃容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，求急 于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度 (2)如图4，无盖长方体盒子的棱长AB=BC=6cm,AA1= 14cm.假设昆虫甲从盒内顶点C1开始以1cm/s的速度在盒子 的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同 的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间 才能捕捉到昆虫甲？ 封 2 9 C 图1 图2 D C B F S D -C A 图3 图4 线一李初中数学周未小测卷|八年级上册BS版 18.解：(1)是.理由如下： ,DE2=AD2-AE2=13002-12002=5002, '.'CB=2.5 km,CH=2.4 km,HB=0.7 km, DE=500m,…4分 ∴.CH2+HB2=2.42+0.72=6.25=2.52=CB2,… .∴.BD=BE-DE=900-500=400(m), …2分 .∴.速度为400÷16=25(m/s). ∴△CHB是直角三角形，∴.CH⊥AB,…3分 答：嫌疑汽车的速度为25m/s.…6分 ∴.CH是从村庄C到河边的最近道路.…4分 (2)能成功在C处拦截到嫌疑汽车。 (2)设CA=xkm. 证明：由题意可知，AC=2000m, .AB=CA, 在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2=AC2-AE2= .AB=xkm,AH=AB-BH=(x-0.7)km.…5分 20002-12002=16002, 在Rt△CHA中，AC2=AH2+CH, .CE=1600m.… …8分 即x2=(x-0.7)2+2.42, …7分 由(1)可知，DE=500m, 解得x-罗CA-罗 ∴.CD=DE+CE=500+1600=2100(m),·9分 8分 ∴.嫌疑凝汽车到达C处所需的时间为2100÷25=84(s). …10分 CA-CH=125-2.4≈2.06(km), ,警车的速度为24m/s, ∴.新修建的道路CH比原来的道路CA短了2.06km. …9分 ÷警察到达C处所需的时间为200÷24=83(. 19.解：如图，将容器的部分侧面展开，作点A关于EF的对 …11分 称点A', 连接AB,则A'B即为最短距离.…3分 .能成功在C处拦截到嫌疑汽车.…12分 第色章综合检测·培优卷 1.D对于A,12+2≠32，不能构成直角三角形，故不符合 题意；对于B,22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符 合题意；对于C,52十62≠72，不能构成直角三角形，故不 符合题意；对于D,72十24=252，能构成直角三角形，且 都是正整数，故符合题意. 由题意，得A'D=0.5m,BD=1.2m.…6分 2.B对于A,由∠A:∠B:∠C=2:3:4可得，∠C 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得A'B2=A'D2+BD= 0.52+1.22=1.32, 180°×2+3十4=80，故不能判定△ABC是直角三角形， ∴.A'B=1.3m, …9分 不符合题意；对于B,由∠A=2∠B=2∠C可得，∠A= 壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3m.…12分 90°，∠B=45°，∠C=45°，故能判定△ABC是直角三角 解题大招 形，符合题意；对于C,由a:b:c=2:2:3,可设a-2k, 将容器的部分侧面展开，作，点A关于EF的对 b=2k,c=3k(k≠0)，那么c2≠a2十b2,故不能判定 称点A',即将空间问题转化为平面问题，把曲面问题 △ABC是直角三角形，不符合题意；对于D,由a=32,b= 转化为平面问题，把曲线转化为直线，连接起，点和终 42,c=52,得c2≠a2+b2,故不能判定△ABC是直角三角 点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直 形，不符合题意. 角三角形，然后利用勾股定理求出最短距离。 3.B在Rt△ABC中，∠C=90°，∴.AB是斜边，AC和BC 20.解：(1)如图，过点A作 是直角边，由勾股定理，得AB2-BC2=AC2.AC=4, 公路 西 东 AE⊥BC于点E, AB2-BC2=AC2=16. 4.B根据题意，得BC=4m,AC=3m,△ABC是直角三 则∠AEB=∠AEC= 角形.根据勾股定理，得AB2=32+42=52,∴.AB=5m, 90°，AE=1200m. ∴.旗杆折断之前的高度为3十5=8(m). 由题意可知，AB=1500m,AD=1300m.…2分 5.C分为两种情况：①当第三边是斜边时，第三边的平方 由勾股定理，得BE2=AB2-AE2=15002-12002= 是52+132=194；②当第三边是直角边时，第三边的平方 9002,.BE=900m. …3分 是132-52=144. 易错謦示 得x=37,.其弦是37. 已知一个直角三角形的两条边长而不一定是直 13.45°根据勾股定理，得AB2=22+42=20,AC=22+ 角边时，要分类讨论. 42=20,BC2=22+62=40,.AB=AC,AB2+AC2= BC2,∴.△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， 6.B如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∠ABC的度数为45°. 14.7SAB+AC=4,(AB+AC)=16,÷AB23 AC2+2AB·AC=16. 0 ∠BAC=90°，.AB2+AC2=BC2=9,.AB·AC= :BC=6,AB=AC=5,BD=CD=号BC=3在 名：Sm-号AB·AC-号BC·AD,iAD Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=52 7 3=,5AD=6,△ABC的面积=号BC,AD=号× AB·AC_27 1 BC 3 6 15.6在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,由勾股定 6×4=12. 理，得AB2=AC2+BC2=32+42=52,∴.AB=5,.阴影 解题大招 通过“作垂线”构造直角三角形是利用勾股定理 部分的面积S=号×x()'+2x()}'+号×3× 解决实际问题常用的作辅助线的方法. 4-7xx(3》°-6 7.A如图. 解题大招 把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是 解此题的关键， 16.15其部分侧面展开图如图所示，作点A关于CD的对 称点A',连接A'B交CD于点E,则A'B即为最短路径. 由勾股定理，得AB2=132-122=25,.CD2+BD2= BC2=AB2=25,.阴影部分的面积是25+25=50. 8.D设大正方形的边长为c,则大正方形的面积为c2,根据 勾股定理，得a2+b2=c2.a2十b2=25,.c2=25,∴.黄 实为c2-4×2a6=25-4X2×8=9. 由题意，得AC=8-3=5(cm),.A'C=-5cm. 9.B∠ADE=∠AED,.AD=AE.设AE=xm,则 ,点B是对侧的中点，.BD=4cm,.A'F=5十4= AD=x m,.AB=AD+BD=(x+1)m,AC=AE+ 9(cm). EF+CF=(9+x)m在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2=AC2,即(x+1)2+122=(9+x)2,解得x= “底而圆的周长为24cam,∴BF-号×24=12(cm） 4,即AE=4m. 在Rt△A'FB中，A'B2=BF2+A'F2=122+92=152, 10.B如图，连接AC. .BA'=15cm. 17.解：BDDE.证明：连接BD(图略) B .'DE=60 cm,EC=24 cm, A D .CD=60-24=36(cm).…2分 AB=3,BC=4,∠B=90°， 在△BDC中，BC2=602=3600, ∴.AC=5.,AD=12,CD=13,.AC2+AD2=169=132 CD2+BD2=362+482=3600, =CD,∴.AC⊥AD,∴.四边形ABCD的面积为SAAIC+ BC2=CD2十BD2,…4分 Sm-号AB·BC+2AD·AC=6+30=36. 1 .△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°， BDLDE.…6分 11.6cm8cm设a=6kcm(k≠0)，则b=8kcm. 18.解：这个零件符合要求理由如下：…2分 ∠C=90°，.c2=(6k)2+(8k)2=100k2,.c=10k= ,AD=12,AB=9,DC=17,BC=8,BD=15, l0,∴.k=1,∴.a=6cm,b=8cm. ..AB2+AD2=BD2, 12.37设其弦是x,则股为x-2,∴.122+(x-2)2=x2,獬 BD十BC2=DC2.…4分 。53。 一初中数学周末小测卷|八年级上册BS版 ∴.△ABD,△BDC都是直角三角形，且∠A=90°， .AD2=CD2-AC2=102-82=62, ∠DBC=90°， AD=6m,…6分 这个零件符合要求。 …6分 ∴.BD=AB-AD=15-6=9(m). 19.解：，CE=BF=3m,DE=1m, 答：船向岸边移动了9m.…8分 ∴.CD=CE-DE=3-1=2(m).…2分 23.解：(1)由题意，得c2=13,a2+b2=c2=13. 在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2,BC=4m. .(a十b)2=a2+2ab+b2=21,…2分 设秋千的绳索长为xm,则AB=xm,AC=(x-2)m, .2ab=21-13=8,…4分 故x2=42十(x一2)2，…4分 解得x=5, 小正方形的面积为c2-4X2b=c-2a6=5. 答：绳索AD的长是5m. …6分 …6分 20.解：A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+ (2)图形的总面积可以表示为c2+2×2b或a2+6+2× 2n2+1=(n2+1)2,且A=B2,B>0, B=n2十1.…2分 2a6, 当2n=8时，n=4,.n2-1=42-1=15,n2+1=42+ 1=17. ac+2x分6=a+6+2x号h, 当n2-1=35时，n=6(负值舍去)，.2n=2×6=12, 整理，得c2十ab=a2十b2十ab,…8分 n2+1=37. ∴.a2+b2=c2.……10分 补充表格如下： 24解：(1)根据题意，得(a-b)2+4× 2ab=c2, 直角三角形三边长 n2-1 2n ⊙ ∴.a2-2ab+b2+2ab=c2,∴.a2+b2=c2.…2分 勾股数组I 15 P 17 (2)该图案由四个全等的直角三角形组成，其外围轮 勾股数组Ⅱ 35 12 37 廓线的周长为24，设AC=x, 6分 ∴.直角三角形的斜边长为24÷4一x=6一x. 21.解：(1)如图，连接AC 则依题意，有(x十3)2十32=(6-x)2, 解得x=1,…4分 1 1 :面积为2×(3+1)×3×4=2×4X3×4=24, B C 该飞镖状图案的面积是24.…6分 ∠B=90°，AB=9m,BC=12m, (3)设每个三角形的面积为y, .∴.AC2=AB2+BC2=92+122=225, …2分 .S1=S2+4y,S3=S2-4y, .AC=15m. .S1十S2十Sg=3S2.…8分 答：A,C两点之间的距离为15m.…4分 又S1+S2+S3=30, (2)由(1)，得AC=15m. ∴.S2=10.…10分 .'CD=8 m,AD=17 m, 25.解：(1)圆柱形玻璃容器的侧面展开图如图1所示，线段 .CD2+AC2=82+152=289=172=AD2, SF就是蜘蛛走的最短路线. △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，…6分 ∴.四边形ABCD的面积为SRABC十SR△AD= B. 1 BC+AC.CD-114(m). 图1 :∠SNF=90°，FN=18-2=16(cm), ,运动型塑胶地板每平方米200元， ∴.购买运动型塑胶地板的费用为114×200=22800（元）. SN=×60=30(cm）,…2分 答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元.…8分 ∴.SF2=SN2+FN2=302+162=342, 22.解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=17m,AC= ∴.SF=34cm, 8m, .蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm.…6分 .AB2=BC2-AC2=172-82=152,…2分 (2)如图2，设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行 AB=15m.…4分 的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行.… .'CD=10m, …8分 。549 4 B C E-- F A B C 图2 设昆虫乙至少需要xs才能捕捉到昆虫甲. ,∴.AF=1·x=x(cm),C1F=1·x=x(cm). ,无盖长方体盒子的棱长AB=BC=6cm,AA1= CC1=14 cm, ∴.CF=(14-x)cm,AC=12cm,…10分 x2=12+(14-x)2,解得x=7 85 答：昆虫乙至少需要约5才能指捉到昆虫甲，…12分 第二章实数 第③周认识实数&平方根与立方根 1.B由所给数据可得一元，一1.121121112…（相邻两个2 之间1的个数逐次加1)是无理数. 2.C(一2)2=4,4的平方根是士2，.（-2)2的平方根是 士2. 3.B4<5<9,.2<5<3,.2-1<5-1<3-1,即 15-1<2g<5211 4.C由题意，得每一个方块的体积为72÷8=9(cm),∴.每 个方块的棱长为9cm. 5.A根据题意，得a-4=0,b-9=0,解得a=4,b=9, 台-号名的算术平方根是 =9 6.士3，√8I=9,(土3)2=9，.√81的平方根为土3. 易错警示 本题易将“√81的平方根”当成求“81的平方 根”而出错 7.96一个正方体的体积是16cm3,另一个大正方体的 体积是这个正方体的4倍，∴.另一个大正方体的体积为 16×4=64(cm3),∴.另一个大正方体的棱长为964= 4(cm),∴.另一个大正方体的表面积为6×4×4= 96(cm2). 8.36根据S正方形=a2,可求出每个正方形的边长分别是 1wW2wW3,2,W5W6,W7,√⑧，3，∴.边长是有理数的正方形 有3个，边长是无理数的正方形有6个. 9.√17，∠C=90°，BC=4,AC=3,∴.AB=5,∴.4< BP<5,.16<BP2<25,.BP的长可以是√17（答案不 唯一). 10.解：由题，知-一8=2. (1)题中所给各数中的无理数有②③⑦⑨.…2分 (2)题中所给各数中的分数有①④⑧.…5分 (3)题中所给各数中的负实数有①②⑦⑧.…8分 解题大招 判断一个实数是有理数还是无理数，应遵循“一 化简、二辨析、三判断”的原则，如一一8=2是有 理数，号是无理数 11.解：，3a十1的算术平方根为4， .3a+1=42=16,a=5.…2分 ,a十3b-1的平方根是士5， .a十3b-1=(士5)2=25，.b=7.…4分 ,9<10<16,.3<√10<4. ,c是√10的整数部分，∴c=3, .a2+2b-c=52+2X7-3=36.…6分 ,36的平方根为士6， a2十2b-c的平方根为士6.…8分 12.解：(1)设绣布的长为4xcm,宽为3xcm. 根据题意，得4x·3x=588,即12x2=588,…2分 x2=49. x>0,x=7,…3分 .绣布的长为28cm,宽为21cm, .绣布的周长为2×(28十21)=98(cm).…4分 (2)不能裁出来，理由如下：…5分 设完整的圆形绣布的半径为rcm. πr2=375.…6分 π取3， .r2=125, 獬得r=√125（负值已舍去）.…7分 ./125>√/121=11， .2r>21,…8分 不能裁出来.…9分 13.B6是36的算术平方根，即√36=6，因此选项A不符 合题意；6是（一6）2的算术平方根，即√（一6）严=6，因此 选项B符合题意；士7是49的平方根，即士√49=±7， 因此选项C不符合题意；士2是4的平方根，即士√4=士 2,因此选项D不符合题意. 14.C这16个小正方形的边长都为1，则CA=4,CB= √4+1卫=√17，CD=√42+32=5，CE=W√22+22= √8，CF=√22+32=√I3,其中长度是无理数的有3条. 15.A被开方数的小数点每移动两位，其算术平方根的小 数点相应地向相同方向移动一位.，√14.5≈3.81， 1450=14.5×100,∴.√1450≈38.1.