专题05 一元一次方程5考点（期中真题汇编，湖南专用）七年级数学上学期湘教版

专题05 一元一次方程 5大高频考点概览 考点01 等量关系和方程 考点02 等式的基本性质 考点03 一元一次方程的解法 考点04 一元一次方程的应用 考点05 绝对值方程 地 城 考点01 等量关系和方程 1．(24-25七下·湖南衡东县东方文武学校·期中)下列各式：①；②：③；④；⑤中，是一元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②有2个未知数，不是一元一次方程， ③是等式，不是一元一次方程， ④是代数式，不是一元一次方程， ⑤是一元一次方程， 所以一元一次方程有2个， 故选：B． 2．(24-25七上·湖南湘潭韶山学校·期中)下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程，即可求出答案． 【详解】解：A．，含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．，分母含有未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C．，只含有一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次方程，故本选项符合题意； D．，只含有一个未知数，且未知数的次数是2，是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．(23-24七下·湖南衡阳船山实验中学·期中)下列方程为一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程叫一元一次方程． 根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．不是一元一次方程，故不符合题意； B．不是一元一次方程，故不符合题意； C．是一元一次方程，故符合题意； D．不是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．(23-24七下·湖南衡阳衡东县欧阳遇实验中学·期中)用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：表示“比它的多3”，可列方程为． 故选：B． 5．(23-24七上·湖南长沙第一中学·期末)已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m的方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 6．(23-24七下·湖南衡阳四校·期中)若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解；关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：0． 地 城 考点02 等式的基本性质 1．(24-25七上·湖南永州第九中学·期中)若等式成立，则下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、当时，由不一定能得到，原式不成立，符合题意； B、由，可以根据等式的性质1得到，原式成立，不符合题意； C、由，可以根据等式的性质1得到，原式成立，不符合题意； D、由，可以根据等式的性质2得到，原式成立，不符合题意； 故选：A． 2．(24-25七上·湖南益阳沅江四校联考·期中)下列等式变形正确的是（     ） A．如果 ，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果 ，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质判断即可． 【详解】解：A：如果，那么，故此选项不合题意； B：如果，那么，故此选项不合题意； C：如果，那么或，故此选项不合题意； D：如果，那么，故此选项符合题意． 故选：D ． 3．(24-25七上·湖南永州冷水滩区第十六中学·期中)若，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式性质，等式的性质：等式两边同加或同减一个数，等式仍成立；等式同乘或同除非0的数，等式仍成立，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项符合题意； 故选：D 4．(23-24七上·湖南长沙明德教育集团·期中)下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、若，则，选项错误； B、若，则，选项错误； C、若，，则，选项错误； D、若，则，选项正确； 故选D． 5．(23-24七上·湖南娄底第三中学·期中)根据等式的性质，下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质：“如果，那么” ，“如果，那么” ，“如果，那么（）”，根据此性质进行逐一判断即可求解，掌握性质是解题的关键． 【详解】解：A.如果，那么或，变形错误，故不符合题意； B.如果，那么，所以，变形正确，故符合题意； C.如果，那么，变形错误，故不符合题意； D.如果，那么，变形错误，故不符合题意； 故选：B． 6．(23-24七上·湖南长沙长郡芙蓉中学·期中)下列解方程过程中，变形正确的是（    ） A．由得 B．方程移项得 C．方程，去括号，得 D．由得 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．据此逐个判定即可． 【详解】解：A、由得，故A变形不正确； B、方程移项得，故B变形正确； C、方程，去括号，得，故C变形不正确； D、由得，故D变形不正确； 故选：B． 7．(24-25七下·湖南衡东县东方文武学校·期中)小邱认为，若，则．你认为小邱的观点正确吗？ （填“正确”或“不正确”） 【答案】不正确 【分析】本题考查了等式的性质的运用，灵活运用性质是解题的关键. 根据等式的性质2进行判断即可得出结论. 【详解】解：小邱认为，若，则. 小邱的观点不正确， 原因是当时，可以不等于. 故答案为：不正确. 8．(24-25七上·湖南永州冷水滩区第十六中学·期中)在物理学中，物体的密度、体积V以及质量m之间有以下关系：，变形可得：，其变形的依据是 ． 【答案】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质：熟知等式的性质是解题的关键：性质一：等式两边同时加或减同一个数（或式子）等式仍相等；等式的性质二：等式两边同时乘以一个相同的数（或相同的式子）等式仍成立；根据等式的性质二即可求解． 【详解】解：∵， ∴等式两边同时除以V可得， 故答案为：等式的性质． 9．(24-25七上·湖南师大附中教育集团·期中)“九宫图”传说是近古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如将，，，1，3，5，7，9，11填入下图，使其构成一个三阶幻方，则图中的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 地 城 考点03 一元一次方程的解法 1．(24-25七下·湖南衡东县东方文武学校·期中)若代数式的值比的值大1，则的值为（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，首先根据题意，可得；然后根据解一元一次方程的方法，求出a的值为多少即可． 【详解】解：∵代数式的值比的值大1， ∴， 解得，， 故选：A． 2．(24-25七上·湖南长沙长郡教育集团·期中)下列方程的变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程中“移项”的步骤是解题关键．根据移项法则逐项判断即可． 【详解】解：由，得，故A错误，不符合题意； 由，得，故B正确，符合题意； 由，得，故C错误，不符合题意； 由，得，故D错误，不符合题意． 故选B． 3．(24-25八下·湖南株洲二中初中部·期中)关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法及步骤是解题的关键．方程移项、合并同类项、把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：． 4．(24-25七上·湖南郴州·期中)若与5互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵与5互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25七上·湖南怀化溆浦县溆浦县第一中学·期中)解方程：已知，则 ． 【答案】22 【分析】本题考查解一元一次方程，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； 故答案为：22． 6．(24-25七下·湖南衡阳衡东一中教育集团·期中)用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a，b，规定，那么当时，x的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查解一元一次方程，由题意得，，解方程可得x的值． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：4． 7．(24-25七下·湖南衡东县东方文武学校·期中)小红在解关于的方程：时，误将方程中的“”看成了“”，得到方程的解为，请你帮小红求出的值并求出原方程的解． 【答案】的值为，原方程的解为． 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，先根据误将“”看成了“”得到方程，求出，然后把代入方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵误将方程中的“”看成了“”， ∴方程变为， ∵它的解为， ∴，解得：， 把代入方程得：， 解得：， ∴的值为，原方程的解为． 8．(24-25七上·湖南怀化溆浦县溆浦县第一中学·期中)已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同．求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，先根据方程的定义，求出的值，然后解第一个方程，求出的值，代入第二个方程，得到关于的方程，再进行求解即可． 【详解】解：∵为一元一次方程， ∴， ∴， ∴方程化为：，解得：， 把代入，得：， 解得：； 故：，． 9．(24-25七上·湖南益阳沅江四校联考·期中)解方程 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，其步骤是：去分母，去括号，移项合并同类项，未知数的系数化为． 根据解一元一次方程的步骤解方程即可． 【详解】解： ． 10．(24-25七上·湖南湘潭韶山学校·期中)把下列方程化成的形式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程， 对于（1），根据移项，合并同类项，系数化为1； 对于（2），先去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项得， 系数化为1，得． 11．(24-25七上·湖南永州第九中学·期中)解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤计算即可． （1）按移项，合并同类项，系数化为1的步骤计算即可； （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤计算即可． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．(24-25七上·湖南永州京华中学·期中)解方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去括号，然后移项，再合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． （2）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 13．(24-25七上·湖南永州冷水滩区第十六中学·期中)把下列方程化成的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 14．(24-25七上·湖南永州宁远县实验中学·期中)解下列一元一次方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）方程去括号，移项合并同类项，系数化为1即可； （2）方程将小数化成整数，再去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项、合并得：， 系数化为1得：． （2）解：， 变形为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并得：， 系数化为1得：． 15．(24-25七上·湖南株洲二中莲花中学·期中)解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）先整理原方程，再按照，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 整理得， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 地 城 考点04 一元一次方程的应用 1．(24-25七上·湖南永州冷水滩区第十六中学·期中)“3·5”学雷锋日“献上一杯姜茶”活动中，小明为环卫工刘爷爷献上热茶并帮助刘爷爷打扫卫生，小明了解到，再过5年，刘爷爷的年纪正好是自己的4倍，小明今年13岁，设刘爷爷今年x岁，则可列方程为：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设刘爷爷今年x岁，根据再过5年，刘爷爷的年纪正好是自己的4倍列方程即可． 【详解】解：设刘爷爷今年x岁， 根据题意得，． 故选：A． 2．(23-24七下·湖南部分学校·期中)小明骑自行车到学校上学，若每小时骑20千米，可早到15分钟；若每小时骑14千米，则迟到10分钟．设他家到学校的路程为千米，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设他家到学校的路程为千米，根据时间路程速度列出方程即可． 【详解】解：设他家到学校的路程为千米， 由题意得，， 故选：B． 3．(23-24七下·湖南衡阳衡东县欧阳遇实验中学·期中)某班学生分组，若每组7人，则有2人分不到组里；若每组8人，则最后一组差4人，若设计划分组，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，等量关系为：组数组数，把相关数值代入即可． 【详解】解：若每组有7人，实际人数为人； 若每组有8人，实际人数为人， 故可列方程为． 故选：A． 4．(24-25九下·湖南长沙明德教育集团·期中)2025年亚足联U-20亚洲杯是亚洲足球联合会的青少年洲际赛事之一， 比赛于2025年2月12日至3月1日在中国广东省深圳市进行，掀起了广大中学生的运动热情．某校特举办校园足球比赛，赛制积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分，星光队进行了10场比赛，其中胜了5场总共得14分，那么该队负了（　　） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用．设该队负了场，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该队负了场，故平了场， ， 解得． 故一共负了3场． 故选：B． 5．(24-25七上·湖南益阳沅江四校联考·期中)如图所示的是某月份的月历，其中“ U 型 ”、“十字型 ”两个阴影图形分别覆盖其中  五个数字（“ U 型 ”、“十字型 ”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动， 但覆盖的区域都要有数字），设“ U型 ”覆盖的五个数字之和为，“十字型 ”覆盖的 五个数字之和为．若，则的最大值为（ ） A．104 B．94 C．65 D．44 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设“型”覆盖的五个数字中最小的数字为，“十字型”覆盖的五个数字中最小的数字为，则，，由，可列出关于，的等式，化简后可得出，结合的最大值为15，即可得出此时的值，进而可求出的最大值． 【详解】解：设“型”覆盖的五个数字中最小的数字为，“十字型”覆盖的五个数字中最小的数字为，则，， ， ， ． 的最大值为15， 此时的值为8， ， 的最大值为44． 故选：D． 6．(23-24七下·湖南部分学校·期中)已知两地相距米，甲、乙两人分别从两地同时出发，沿着同一条直线公路相向而行．若甲以米/秒的速度骑自行车前进，乙以米/秒的速度步行，则经过 秒两人相距米． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过秒两人相距米，分两人相遇前及相遇后两种情况列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设经过秒两人相距米， 当两人未相遇前， 由题意可得，， 解得； 当两人相遇后， 由题意可得，， 解得； 故答案为：或． 7．(23-24七下·湖南衡阳船山实验中学·期中)我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过，每立方米收费3元；若用水超过，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费89元，则他家该月用水 ． 【答案】26 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是要认真审题确定等量关系． 设小明家3月份用水，先求出用水量为时应交水费，与89比较后即可得出，再根据题意得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明家3月份用水， 当用水量为时， 应交水费为（元）． ∵， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：他家该月用水． 故答案为：26． 8．(24-25七下·湖南衡阳逸夫中学·期中)如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，∴是“快乐数”；又如：四位数，，∴不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据新定义得，求出的值即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴这个数为， 故答案为：． 9．(23-24七上·湖南永州·期末)某校花费700元购入两种笔记本，其中A笔记本每本5元，B笔记本每本3元，购买A笔记本的数量是B笔记本的2倍多10本，求购买A、B两种笔记本的数量分别是多少？ 【答案】种笔记本的数量为本，B种笔记本的数量为本 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键．设 B种笔记本的数量为，故种笔记本的数量为． 【详解】解：设 B种笔记本的数量为，故种笔记本的数量为， 由题意得： 解得， 故种笔记本的数量为本， 答：种笔记本的数量为本，B种笔记本的数量为本． 10．(24-25七上·湖南衡阳耒阳正源学校·期中)为了绿化校园环境，某学习小组共人去校园空地参加植树活动，其中男生每人植树棵，女生每人植树棵，该小组一共植树棵，问男生与女生各多少人？ 【答案】男生有人，女生有人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设男生有人，则女生有人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设男生有人，则女生有人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：男生有人，女生有人． 11．(24-25七下·湖南长沙一中教育集团联考·期中)今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹海》总票房超过一百五十亿元．某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票比普通电影票贵元，企业花费元购买了张普通电影票和张电影票． (1)普通电影票和电影票的单价各是多少元？ (2)电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通电影票超过张的部分，每张打八折；购买电影票超过张的部分，每张打九折．该企业计划购买张普通电影票和张电影票，那么按照优惠活动，该企业需要支付多少钱？ 【答案】(1)普通电影票的单价为元，电影票的单价为元 (2)元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用—销售问题，熟练根据题意列出一元一次方程，并掌握一元一次方程的解法是解题的关键， （1）设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）根据电影院推出优惠活动的政策，列出式子并计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：普通电影票的单价为元，电影票的单价为元． （2）解：由题意得： 总价， 答：该企业需要支付元． 12．(24-25七上·湖南永州第九中学·期中)为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 元/ 超过的部分 元/ (1)当时，明明家5月份用水量为则该月需交水费 元；6月份明明家交了水费家交了水费36元，则6月份用水量为 ；（直接写答案） (2)设某户月用水量为n立方米时（），该户这个月应缴纳水费是多少元？（用含a，n的式子表示） 【答案】(1)30；16 (2)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及代数式求值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）当时，明明家5月份用水量为，列式求出该月需交水费即可；再设明明家6月份用水量为，根据6月份明明家交了水费家交了水费36元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）当时，列式求出该用户应缴纳的水费即可． 【详解】（1）解：当时，明明家5月份用水量为， 则该月需交水费为：（元； 该户这个月应缴纳的水费为30元； 设明明家6月份用水量为， 由题意得：， 解得：， 即明明家6月份用水量为， 故答案为：30，16； （2）解：当时， 该用户应缴纳的水费为：（元， 答：该户这个月应缴纳水费是元． 13．(24-25七上·湖南岳阳第十中学·期中)在数轴上点A、B分别表示数a、b，且． (1)求a、b的值及A、B两点之间的距离； (2)如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒5个单位长度，当运动时间为9秒时，求P、Q之间的距离？ (3)在（2）的条件下，点M从原点与P、Q时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度，若在运动过程中，当M运动到P、Q之间时，是否存在一个有理数x使得的值与运动的时间t无关，若存在，求x的值．若不存在，请说明理由 【答案】(1)，，A、B两点之间的距离34 (2)P、Q之间的距离为52 (3)存在， 【分析】本题考查了绝对值与平方的非负性，数轴上两点间的距离以及动点问题等知识点，解题的关键是利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，以及根据动点的速度和时间表示出各点所表示的数． （1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b，再根据数轴上两点距离公式求A，B距离； （2）根据动点速度和时间求出P，Q表示的数，进而求P，Q距离； （3）先表示出P，Q，M表示的数，再得出，的表达式，进而分析与的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． ∴A、B两点之间的距离； （2）由题意得：当运动时间为9秒时，点P移动的距离为27，点Q移动的距离为45， ∴点P对应的数字为：， 点Q对应的数字为：， ∴P、Q之间的距离为； （3）∵在移动过程中，点M在P，Q之间． 由题意得：当运动时间为t时，点P移动的距离为3t，点Q移动的距离为5t， ∴点P对应的数字为：，点Q对应的数字为：，点M对应的数字为：， ∴， ． ∵的值与运动的时间t无关， ∴， ∴． 14．在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动．设运动时间为秒（）． (1)分别用含的代数式表示点、点对应的数； (2)当为何值时，、两点到原点的距离相等？ (3)若点运动到点后立即以原速度沿数轴负方向运动，点运动到点后停止运动． ①求点到达点及点到达点的时间； ②当时，是否存在某一时刻，使得、两点之间的距离为个单位长度？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)：，： (2) (3)①点到达点时间为秒，点到达点的时间为15秒②存在，或 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）数轴上动点所对应的数是：向右运动是起始点对应的数加上运动速度乘以运动时间，向左运动是起始点对应的数减去运动速度乘以运动时间，据此解答即可； （2）根据、两点到原点的距离相等列方程求解即可； （3）当时，点运动到点后立即以原速度沿数轴负方向运动，则P点对应的数是，分两种情况，Q到达A之前和Q到达A之后，以、两点之间的距离为个单位长度为等量关系列方程求解，检验求出的t值是否符合要求即可． 【详解】（1）解：：，：； （2）解：∵、两点到原点的距离相等 ∴， 或 解得或（舍去）， 故； （3）解：①点到的时间：秒；点到的时间：秒； ②当时，：，：， 则，即， 或 解得（舍去）或（舍去）； 当时，已停止在点，：， 则，即， 或 解得或，均符合条件． 综上，或． 15．(24-25七上·湖南长沙长郡教育集团·期中)【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） ②在（2）的条件下，若E是中点，F为最靠近Q的三等分点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②时，是定值，10 【分析】（1）由非负数的性质可得，，求解，，再利用中点公式可得答案； （2）由点所对应的数为，点所对应的数为，再利用中点坐标公式建立方程求解即可； （3）①由题干信息，归纳可得答案；②先求解点E所对应的数为，点F所对应的数为，表示，，再分情况进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，，， 则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为， 解得：． （3）①∵数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，∴点M对应的数为． ②由题意得：E是中点， ∴点E所对应的数为， ∵F为最靠近Q的三等分点， ∴点F所对应的数为， ∴，， ， 当时， ， 此时不是定值， 当时， ； ∴当时，为定值，定值为10， 当时， ， 此时不是定值， 综上：当时，为定值，定值为10． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，整式的加减运算，非负数的性质，理解题意，熟练的表示各数是解本题的关键． 地 城 考点05 绝对值方程 1．(24-25七上·湖南益阳沅江四校联考·期中)先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．解方程： 解：因为，且， 所以原方程可化为或． 由，得； 由，得． 所以原方程的解是或． 试根据上面的思路解下列方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据题中提供的思路解方程，即：利用绝对值的意义将原方程化为两个一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：， ， ，且， 原方程可化为或， 由，解得：， 由，解得：， 原方程的解是或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05一元一次方程 ☆5大高频考点概览 考点01等量关系和方程 考点02等式的基本性质 考点03一元一次方程的解法 考点04一元一次方程的应用 考点05绝对值方程 目目 考点01 等量关系和方程 1.(24-25七下，湖南衡东县东方文武学校·期中)下列各式：①4x=2;②x+y=1:③-3-3=-6； ④x+2x;⑤x-1=2x-3中，是一元一次方程有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(24-25七上·湖南湘潭韶山学校·期中)下列方程中是一元一次方程的是() A.x=2y-1 B.2+1=2 C.2x+1=5x D.x2=1 3.(23-24七下·湖南衡阳船山实验中学期中)下列方程为一元一次方程的是() A.3x>9 B.x2+3=X+2C.-x-3=4 D.2y-3x=2 4.(23-24七下湖南衡阳衡东县欧阳遇实验中学期中)用方程表示“x比它的多3”正确的是（) A.-x=3 B.x-2x=3 C.x-3=x D.x-3=3 5.(23-24七上·湖南长沙第一中学期末)已知(m-1)xm-3=0是关于x的一元一次方程，则m的值 为. 6.(23-24七下·湖南衡阳四校期中)若关于x的方程2xn+1+3=0是一元一次方程，则n的值是 目目 考点02 等式的基本性质 1.(24-25七上湖南永州第九中学期中)若等式ac=bc成立，则下列等式中不成立的是() 1/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.a=b B.ac+3=bc+3 C.ac-3=bc-3 D.= 2.(24-25七上·湖南益阳沅江四校联考·期中)下列等式变形正确的是() A.如果x-2=y,那么x=y-2 B.如果x=6,那么x=2 C.如果x2=y2,那么x=y D.如果x=y,那么一x=一y 3.(24-25七上·湖南永州冷水滩区第十六中学期中)若a=b,则下列等式不成立的是() A.a+2=b+2 B.5a=5b c.= D.a+1=b-1 4.(23-24七上湖南长沙明德教育集团·期中)下列是根据等式的性质进行变形，正确的是() A.若x=y,则x+5=y-5 B.若a-x=b+x,则a=b C.若ax=ay,则x=y D.若=，则x=y 5.(23-24七上·湖南娄底第三中学.期中)根据等式的性质，下列等式变形正确的是() A.如果a=b,那么a+3=b-3 B.如果a+2=b+7,那么a=b+5 C.如果8a=4,那么a=2 D.如果-，那么2a=3b 6.(23-24七上·湖南长沙长郡芙蓉中学.期中)下列解方程过程中，变形正确的是() A.由2x-1=3得2x=3-1 B.方程3x-2=2x+1移项得3x-2x=1+2 C.方程3-x=2-5(x-1),去括号，得3-x=2-5x-1 D.由-5x=4得x= 7.(24-25七下·湖南衡东县东方文武学校·期中)小邱认为，若ac=bc,则a=b.你认为小邱的观点正确吗？ (填“正确”或“不正确”) 8.(24-25七上·湖南永州冷水滩区第十六中学期中)在物理学中，物体的密度ρ、体积V以及质量m之间有 以下关系：m=pV,变形可得：？=p,其变形的依据是 9,(24-25七上·湖南师大附中教育集团期中)“九宫图”传说是近古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又 称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话.数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每行的 三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如将-5，-3，-1,1,3,5,7， 9,11填入下图，使其构成一个三阶幻方，则图中m-n的值为一、 2/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 n 11 目目 考点03 一元一次方程的解法 1.(24-25七下·湖南衡东县东方文武学校·期中)若代数式2a+3的值比a的值大1，则a的值为() A.-2 B.2 C.-3 D.0 2.(24-25七上·湖南长沙长郡教育集团期中)下列方程的变形正确的是() A.由4x+3=8x+7,得4x-8x=3-7 B.由-8x+3=-13x-7,得-8x+13x=-7-3 C.由3x-2=2x-1,得3x-2x=1+2 D.由-5x-7=2x-11,得11-7=2x-5x 3.(24-25八下·湖南株洲二中初中部期中)关于x的方程3x-8=x的解为x=一。 4.(24-25七上·湖南郴州期中)若x+1与5互为相反数，则x=· 5.2425七上潮南怀化溆浦县溆浦县第一中学期中)解方程：已知x-?=。51,则 x= 6.(24-25七下·湖南衡阳衡东一中教育集团期中)用※”定义一种新运算对于任意有理数a,b,规定a※b=a (a+b),那么当(-4)※x=0时，x的值是. 7.(24-25七下·湖南衡东县东方文武学校·期中)小红在解关于x的方程-3x-1=2a时，误将方程中的-3% 看成了“3”，得到方程的解为x=5,请你帮小红求出a的值并求出原方程的解. 8.(24-25七上·湖南怀化溆浦县溆浦县第一中学期中)已知关于x的方程(a-2)xa-1+4b=0为一元一次方 程，且该方程的解与关于x的方程“=兮+1的解相同。求a、b的值。 9.2425七上潮南益阳沅江四校联考期中)解方程“-名=2 10.(24-25七上湖南湘潭韶山学校期中)把下列方程化成x=a的形式： (1)4x-3=2x+7 a22=1 3/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(24-25七上湖南永州第九中学期中)解方程 (1)5x-3=-x+9: a2a15g=-1. 12.(24-25七上·湖南永州京华中学.期中)解方程： 022=42-1. (2)(x+1)+2(x-1)=1-3x 13.(24-25七上湖南永州冷水滩区第十六中学.期中)把下列方程化成x=α的形式. (1)12+5x=3x-4 @2=号-1 14.(24-25七上湖南永州宁远县实验中学期中)解下列一元一次方程. 2x-（x-别=x 2m82号=3 15.(24-25七上·湖南株洲二中莲花中学期中)解方程： (1)4x-2=3-x a号-2y 5 (③)-2+9x=5x+4 3 (40.2(2-2x)=2-0.3(x+5) 考点04 一元一次方程的应用 1.(24-25七上湖南永州冷水滩区第十六中学期中)“35学雷锋日“献上一杯姜茶”活动中，小明为环卫工刘 爷爷献上热茶并帮助刘爷爷打扫卫生，小明了解到，再过5年，刘爷爷的年纪正好是自己的4倍，小明今 年13岁，设刘爷爷今年x岁，则可列方程为：() A.4×(13+5)=x+5 B.4x=13+5 C.4×13=x+5 D.(13+5)=4(x+5) 2.(23-24七下·湖南部分学校期中)小明骑自行车到学校上学，若每小时骑20千米，可早到15分钟；若每 小时骑14千米，则迟到10分钟.设他家到学校的路程为x千米，下列方程正确的是() 4/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.高+品=+ 10 60 B.六+15=年-10C六+8=年.六货=40 3.(23-24七下·湖南衡阳衡东县欧阳遇实验中学期中)某班学生分组，若每组7人，则有2人分不到组里； 若每组8人，则最后一组差4人，若设计划分x组，则可列方程为() A.7x+2=8x-4 B.7x-2=8x+4 C.7x+2=8x+4 D.7x-2=8x-4 4.(24-25九下·湖南长沙明德教育集团·期中)2025年亚足联U-20亚洲杯是亚洲足球联合会的青少年洲际赛 事之一，比赛于2025年2月12日至3月1日在中国广东省深圳市进行，掀起了广大中学生的运动热 情.某校特举办校园足球比赛，赛制积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得-1分，星光队 进行了10场比赛，其中胜了5场总共得14分，那么该队负了() A.2场 B,3场 C.4场 D,5场 5.(24-25七上湖南益阳沅江四校联考·期中)如图所示的是某月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴 影图形分别覆盖其中五个数字(“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动， 但覆盖的区域都要有数字)，设“U型”覆盖的五个数字之和为S1,“十字型”覆盖的五个数字之和为 S2,若S1+S2=176,则S2-S1的最大值为() 日 三 四 五六 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 A.104 B.94 C.65 D.44 6,(23-24七下·湖南部分学校·期中)己知A、B两地相距800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，沿着 同一条直线公路相向而行.若甲以3米/秒的速度骑自行车前进，乙以2米/秒的速度步行，则经过秒两 人相距300米， 7.(23-24七下·湖南衡阳船山实验中学.期中)我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过 15m3,每立方米收费3元；若用水超过15m3，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费89 元，则他家该月用水 m3. 8.(24-25七下·湖南衡阳逸夫中学期中)如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0， 满足ab+cd=bc,那么称这个四位数为“快乐数”，例如：四位数1428,14+28=42,1428是“快乐 数”；又如：四位数2534,25+34=59≠53,2534不是“快乐数”.若一个“快乐数”为15m8,则这个数 5/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为一· 9.(23-24七上·湖南永州期末)某校花费700元购入两种笔记本，其中A笔记本每本5元，B笔记本每本3 元，购买A笔记本的数量是B笔记本的2倍多10本，求购买A、B两种笔记本的数量分别是多少？ 10.(24-25七上湖南衡阳耒阳正源学校·期中)为了绿化校园环境，某学习小组共10人去校园空地参加植树 活动，其中男生每人植树2棵，女生每人植树1棵，该小组一共植树16棵，问男生与女生各多少人？ 11.(24-25七下·湖南长沙一中教育集团联考·期中)今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹 海》总票房超过一百五十亿元.某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，IMAX电影票比普通2D 电影票贵20元，企业花费3700元购买了40张普通2D电影票和50张IMAX电影票， (I)普通2D电影票和IMAX电影票的单价各是多少元？ (2)电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通2D电影票超过30张的部分，每张打八折；购买IMAX 电影票超过20张的部分，每张打九折.该企业计划购买50张普通2D电影票和40张IMAX电影票，那么按照优 惠活动，该企业需要支付多少钱？ 12.(24-25七上·湖南永州第九中学·期中)为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水 价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12m3的部分 a元/m3 超过12m3但不超过20m3的部分 1.5a元/m3 超过20m3的部分 2a元/m3 (1)当a=2时，明明家5月份用水量为14m3,则该月需交水费元6月份明明家交了水费家交了水费36元， 则6月份用水量为m3;(直接写答案) (2)设某户月用水量为n立方米时(n>20),该户这个月应缴纳水费是多少元？（用含α，n的式子表示） 13.(24-25七上·湖南岳阳第十中学期中)在数轴上点A、B分别表示数a、b,且a+24+(b-10)2=0. (I)求a、b的值及A、B两点之间的距离； (②)如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速 度是每秒5个单位长度，当运动时间为9秒时，求P、Q之间的距离？ A OB (3)在(2)的条件下，点M从原点与P、Q时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度(x<3),若在 运动过程中，当M运动到P、Q之间时，是否存在一个有理数x使得2MP+MQ的值与运动的时间t无关， 6/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若存在，求x的值，若不存在，请说明理由 14.在数轴上，点0为原点，点A表示的数为-12，点B表示的数为18.动点P从点A出发，以每秒3个单位长 度的速度沿数轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动时 间为t秒(t≥0). (I)分别用含t的代数式表示点P、点Q对应的数； (②)当t为何值时，P、Q两点到原点的距离相等？ (3)若点P运动到点B后立即以原速度沿数轴负方向运动，点Q运动到点A后停止运动. ①求点P到达点B及点Q到达点A的时间； ②当t>10时，是否存在某一时刻t,使得P、Q两点之间的距离为10个单位长度？若存在，求出t的值；若 不存在，说明理由， 15.(24-25七上湖南长沙长郡教育集团期中)【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x,点B对应的数为y,M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为， (1)在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c,点D对应的数为d,且有|c+2-d+(c+4)2=0,则CD 的中点N所对应的数为， 【问题探究】 (2)在(1)的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发， 以每秒3个单位长度的速度向右运动.设运动时间为t秒，t为何值时，PQ的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点A对应的数为x,点B对应的数为y,M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公 式：点M对应的数为，若数轴上点A的对应数为x,点B的对应数为，M为AB最靠近点A的四等分 点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为“生， ①填空：若数轴上点A的对应数为x,点B的对应数为y,M为AB最靠近点B的n等分点，则我们有n等分点公 式：点M对应的数为 .(其中n为正整数) ②在(2)的条件下，若E是PQ中点，F为DQ最靠近Q的三等分点，则是否存在t,使得40E+0F为定值？ 若存在，请求出t的取值范围和此时的定值， 7/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 绝对值方程 1.(24-25七上·湖南益阳沅江四校联考期中)先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题.解方程|x-3=2 解：因为±2=2，且x-3=2, 所以原方程可化为x-3=2或x-3=-2. 由x-3=2,得x=5; 由x-3=-2,得x=1. 所以原方程的解是x=5或x=1. 试根据上面的思路解下列方程：3x+2-2=0. 8/8