专题03 旋转4考点（期中真题汇编，吉林专用）九年级数学上学期人教版

函学科网 www.zxxk.com 专题03旋转 ☆4大高频考点概览 考点01旋转的概念与旋转对称图形 考点02旋转作图与坐标变换 考点03旋转的性质 考点04旋转的几何综合题（难） 考点01 旋转的概念与旋转对称图形 1.(24-25九上·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学期中)如图， 完全重合，则其旋转角最小为度. 2.(24-25九上·吉林吉林龙潭区古川学校·期中)如图，该图形绕其中心旋 转角最小为度. 3.(24-25九上·吉林四平期中)如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完 度 1/12 让教与学更高效 该图形绕其中心旋转能与其自身 转能与其自身完全重合，则其旋 全重合，则其旋转角最小为 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25九上·吉林吉林第九中学期中)将如图所示的图形绕其中心旋转后仍与原图形完全重合，则旋转 角最小是 5,(24-25九上·吉林吉林龙潭区古川学校·期中)如图，正方形ABCD是由正方形ABCD旋转而成的，点D 在AC'上. (1)直接写出旋转中心和旋转角； (2)若正方形的边长是1，直接写出C'D的长. 目目 考点02 旋转作图与坐标变换 1.(24-25九上·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学期中)如图，在平面直角坐标系内，小正方形 网格的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上， (I)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A,B,C1; (②)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△DEF,画出△DEF,点A、B、C的对应点分别为点D、E、 F,并写出点E的坐标 2.(24-25九上·吉林吉林博达中学期中)如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，其中 B(-2,-2),请在所给的直角坐标系中按要求解答下列问题： 2/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)△A,B,C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称则B的坐标为： (2)△A,B,C1的面积为； (3)在网格中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A,B,C,. 3.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为A(6,3),B(0,5),O(0,0) (1)将△OAB向左平移5个单位长度得到△OA,B1,请画出△OA,B1; (2)画出△OAB绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△OA,B,; (3)∠OAB的度数为 0 4.(24-25九上·吉林松原前郭县北部学区·期中)图①、图②、图③均为5×5的正方形网格，每个小方形的 顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，所画 图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹 B 图① 图② 图③ (I)在图①中，以BC为边画一个等腰直角三角形BCD,使∠CBD=90°； (2)在图②中，以AC为边画一个等腰直角三角形ACE,使∠ACB=90°； 3/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)在图③中，画出将△ABC绕着AB的中点旋转180°得到的△4BF. 5.(2425九上·吉林吉林第五中学期中)如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平 面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上， (1)以原点O为对称中心，在图中画出△ABC关于原点O对称的△A,B,C1; (2)请画出△ABC绕C点顺时针旋转90°的△A,B,C; (3)△A,B,C可以通过旋转得到△A,B,C1,直接写出旋转中心的坐标. 6.(24-25九上·吉林吉林桦甸第七中学期中)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A(1,-2),B(2,-1),C(4,3). 4 2B3 8910x (I)画出△A,B,C1,使它与△ABC关于x轴对称； (②)以原点O为位似中心，在第一象限画出△A,B,C,的位似图形△4，B,C,使△A,B,C,与△A,B,C,的相似比为 2:1； (3)若将△A,B,C绕原点O顺时针旋转90°得到△4，BC,求点A经过的路径长（结果保留根号和π）· 4/12 6学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 旋转的性质 1.(24-25九上·吉林吉林第七中学校期中)如图所示，△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB'C',且点B 恰好落在BC上，若AB=CB',∠BAC=120°，则∠C'的度数是(） B C A.20° B.23 C.24° D.25° 2.(24-25九上·吉林吉林第五中学期中)如图，△DBE是由△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°得到 的.若AB⊥DE,则∠A的度数为(） D B A.50° B.45 C.40° D.30° 3.(24-25九上·吉林吉林龙潭区古川学校期中)如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=42°，将三角形纸片 ABC绕点C按逆时针方向旋转74°，得到三角形A'B'C,则∠BCA'的度数为() B A.42° B,32 C.48° D.74° 4.(24-25九上·吉林松原乾安县·期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转 90°后得到的△AB'C'(点B的对应点是点B,点C的对应点是点C'),连接CC”,若∠CCB'=20°，则 ∠B的大小是() 5/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C B 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的 B C A △AB'C'(点B的对应点是点B,点C的对应点是点C'),连接CC”,若∠CCB'=22°，则∠B的大 A.70° B.65 C.60° D.55 5.(24-25九上·吉林吉林博达中学期中)如图，在△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得 到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是() B A.∠ACB=∠ACD B.DC=DE C.AB=EFD,BF⊥CE 6.(24-25九上·吉林吉林第七中学校期中)一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB 与直线1重合，AB=10cm,现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线1上，则点A 经过的路径长至少为cm,(结果保留π) 7.(24-25九上·吉林吉林第九中学.期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=9,将△ABC 绕点A顺时针旋转得到△AB'C',当点C'落在边AB上时，线段CC的长为 B B CQ 8.(24-25九上·吉林吉林第九中学期中)如图，在△ABC中，∠B=80°，将△ABC绕点C顺时针旋转55° 得到△A'B'C,AC⊥AB于点D,求∠A'CB'的度数 6/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BL 9.(24-25九上·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学·期中)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转140° 得到△ADE,B、C、D三点恰好在同一直线上，连接CE,若CE⊥BD,求∠BAC的度数. B D 10.(24-25九上·吉林松原前郭县北部学区·期中)如图，Rt△ABC是含30°角的直角三角形尺，且 ∠ABC=60°，∠BAC=90°.将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE,点B的对应点 D恰好落在BC边上，连接EC,求证：△ACE是等边三角形 E 目目 考点04 旋转的几何综合题（难) 1.(24-25九上·吉林吉林龙潭区古川学校期中)“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图①，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线.将，其△ABD沿射线BC的方向平移，得到△EFG, 其中点A、B、D的对应点分别为E、F、G,如图②，当线段EF经过点D时，连接DG、GC,请判断四 边形DFCG的形状，并说明理由. 图① 图② 图③ 7/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数学思考 (1)请回答老师提出的问题； 深入探究 (2)老师将图②中的△EFG绕点F按逆时针方向旋转得到△PFQ,其中点E、G的对应点分别为P、Q, 线段PF、QF分别与边BD交于点M、N.如图③，当PQ∥BD时，让同学们提出新的问题.“勤学小组” 提出问题：试猜想线段PM和FM的数量关系，并证明 2.(24-25九上·吉林松原乾安县·期中)阅读与理解： 图①是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片ABC和C'DE叠放在一起（点C与点C'重合）的图 形 操作与证明： (1)操作：固定△ABC,将AC'DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD、BE,如图②，在图②中， 线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论； (2)操作：若将图①中的C'DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接AD、BE，如图③， 在图③中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当α为■ 度时，线段AD的长度最大，最大是 D E CC) c(c) C(C) 图① 图② 图③ 3.(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校期中)【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，将边 AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD,过点D作DE L AC于点E. 8/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E A 图① 图② 求证：△ABC≌△DAE. 【应用】如图②，在矩形ABCD中，AB=12,AD=9,点E为边AD上一个动点（点E不与点A重合）， 连结BE,点F在BE上，满足EF=2BF,将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG,连结DG. ①当AE=6时，线段DG的长度是· ②△DEG面积的最大值是· 4.(24-25九上·吉林松原乾安县期中)教材中有这样一道题：如图①所示，四边形ABCD是正方形，G是 BC上的任意一点，DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.求证：AF-BF=EF, 小明通过证明△AED≌△BFA解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答. D F G B C 图① 图② 图③ (I)若图①中的点G为CB延长线上一点，其余条件不变，如图②所示，猜想此时AF、BF、EF之间的数 量关系，并证明你的结论： (2)将图①中的△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F',如图③所 示，若正方形的边长为6，求EF'的长度 5.(24-25九上·吉林长春第七十八中学期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,动点 P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PQ⊥AB交边AC或边BC于点 Q,且点P不与点A、B重合，点Q不与点C重合，设线段PQ的中点为O,将PQ截Rt△ABC得到的小 三角形绕点O旋转180°，得到△PQM.设P点的运动时间为t秒 9/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q M B (I)BC的长为_. (2)用含t的代数式表示线段CQ的长. (3)当点M落在边△ABC的一边上时，求t的值， (4)在点P运动过程中，直接写出射线CM平分Rt△ABC面积时t的值. 6.(24-25九上·吉林吉林第七中学校·期中)己知：△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°， B 图① 图② D 备用图 (I)如图①E在BC上，点D在AC上时，线段BE与AD的数量关系是， 位置关系是 (②)把△DCE绕点C旋转到如图②的位置，连接AD,BE,(1)中的结论还成立吗？说明理由； (3)在△DCE绕点C在平面内旋转过程中，若AC=4,CE=2√2，当A,E,D三点在同一直线上时，则 AE的长是 7.(24-25九上·吉林长春榆树第二实验中学期中)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重 合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，己知三角形纸片 ABC和ADE中，AB=AD=4,BC=DE=3,∠ABC=∠ADE=90°. E D D M 图① 图② 图③ 10/12 专题03 旋转 4大高频考点概览 考点01 旋转的概念与旋转对称图形 考点02 旋转作图与坐标变换 考点03 旋转的性质 考点04 旋转的几何综合题（难） 地 城 考点01 旋转的概念与旋转对称图形 1．(24-25九上·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学·期中)如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】30 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．观察图形可得，图形由12个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转12次所组成，故最小旋转角为； 故答案为：30． 2．(24-25九上·吉林吉林龙潭区古川学校·期中)如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】45 【分析】本题考查旋转对称图形，求出该图形的中心角，即可得出结果． 【详解】解：由图可知，最小的旋转角为：； 故答案为：45． 3．(24-25九上·吉林四平·期中)如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】72 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成，故最小旋转角为； 故答案为：72． 4．(24-25九上·吉林吉林第九中学·期中)将如图所示的图形绕其中心旋转后仍与原图形完全重合，则旋转角最小是 . 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转，根据旋转的定义解答即可求解，掌握旋转的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，将图形绕中心旋转与原图形完全重合,旋转角最小是， 故答案为：． 5．(24-25九上·吉林吉林龙潭区古川学校·期中)如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上． (1)直接写出旋转中心和旋转角； (2)若正方形的边长是1，直接写出的长． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角为 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据旋转的知识作答即可； （2）根据，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，旋转中心为点、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为； （2）解：∵正方形的边长是1， ∴，， ∴， ∴的长为． 地 城 考点02 旋转作图与坐标变换 1．(24-25九上·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学·期中)如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长均为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，点、、的对应点分别为点、、，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查中心对称的性质，旋转的性质， （1）根据中心对称的性质确定点，顺次连线即可得到； （2）根据旋转的性质得到点D，E，F，顺次连线即可得到及点E的坐标 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求，． 2．(24-25九上·吉林吉林博达中学·期中)如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，其中，请在所给的直角坐标系中按要求解答下列问题：    (1)与关于坐标原点O成中心对称则的坐标为______； (2)的面积为______； (3)在网格中画出绕原点O逆时针旋转得到的． 【答案】(1) (2)2.5 (3)图形见解析 【分析】本题考查了图形的变换——旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据关于原点成中心对称的点的特征求解，即可； （2）利用割补法求三角形的面积，即可； （3）根据网格特点和旋转性质分别画出A、B、C的对应点、、，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵与△ABC关于坐标原点O成中心对称， ∴点B和点关于坐标原点对称， ∵， ∴的坐标为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：的面积等于△ABC的面积， ∴的面积等于； 故答案为：2.5 （3）解：如图，如图，即为所求．    3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，请画出； (2)画出绕原点O顺时针方向旋转后得到的； (3)的度数为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)45 【分析】本题考查平移作图、旋转作图、旋转的性质： （1）将的顶点分别向左平移5个单位长度，顺次连接即可； （2）将的顶点分别绕原点O顺时针方向旋转，顺次连接即可； （3）连接，由格点知在直线上，由旋转可得，，进而证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，连接，由格点知在直线上， 由旋转知，，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：45． 4．(24-25九上·吉林松原前郭县北部学区·期中)图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个等腰直角三角形，使； (2)在图②中，以为边画一个等腰直角三角形，使； (3)在图③中，画出将绕着的中点旋转得到的． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）把绕点逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形，其中； （2）把绕点顺时针旋转得到，则为等腰直角三角形，其中； （3）将点绕的中点旋转得到，再连接即可． 【详解】（1）解：作图如下：（答案不唯一） （2）解：作图如下： （3）解：作图如下： 5．(24-25九上·吉林吉林第五中学·期中)如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)以原点O为对称中心，在图中画出关于原点O对称的； (2)请画出 绕C点顺时针旋转的； (3)可以通过旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】本题考查的是画旋转图形，中心对称图形，确定旋转中心，熟练的作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点O对称的点，再顺次连接即可； （2）分别确定绕C点顺时针旋转的对称点，再顺次连接即可； （3）确定，的垂直平分线的交点即为旋转中心，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点即为旋转中心， ∴． 6．(24-25九上·吉林吉林桦甸第七中学·期中)在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出，使它与关于轴对称； (2)以原点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； (3)若将绕原点顺时针旋转得到，求点经过的路径长（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了轴对称图形和位似图形以及图形旋转，熟练掌握轴对称图形的性质和位似图形的性质以及弧长公式是解题的关键． （）由题意利用轴对称图形的性质作关于轴对称点，然后连接即可； （）根据题意利用位似图形的性质进行分析画出即可； （）由题意将绕原点顺时针旋转得到，进而求点经过的路径长即的长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图， 由题意得，，， ∴点经过的路径长． 地 城 考点03 旋转的性质 1．(24-25九上·吉林吉林第七中学校·期中)如图所示，绕点A顺时针方向旋转得到，且点恰好落在BC上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，及三角形外角性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 由已知可得：，，根据已知，，从而可求得的度数，再由旋转的性质即可求得结果． 【详解】， ， 由旋转的性质有：， ， 即 故选：A． 2．(24-25九上·吉林吉林第五中学·期中)如图，是由 绕点B 按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．(24-25九上·吉林吉林龙潭区古川学校·期中)如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片绕点C按逆时针方向旋转，得到三角形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质． 根据旋转的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵将三角形纸片绕点C按逆时针方向旋转，得到三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．(24-25九上·吉林松原乾安县·期中)如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（   ） 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到的（点B的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰直角三角形的性质可得，由外角的性质可求解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 【详解】解：将绕点顺时针旋转后得到的， ，，， ， ， ， 故选：B． 5．(24-25九上·吉林吉林博达中学·期中)如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点，的对应点分别为D，E，延长交于点F，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据不一定成立，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴．故D选项是正确的，符合题意； ∵不一定等于，，， ∴不一定成立，故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立，故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴，故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 6．(24-25九上·吉林吉林第七中学校·期中)一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转性质、弧长公式，先根据旋转性质求得，，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴点A经过的路径长至少为， 故答案为：． 7．(24-25九上·吉林吉林第九中学·期中)如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点落在边上时，线段的长为 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由直角三角形的性质得，，进而由旋转的性质可得是等边三角形，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 8．(24-25九上·吉林吉林第九中学·期中)如图，在 中， 将 绕点C顺时针旋转55°得到   ，于点D，求 的度数 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得，由题意可得，然后根据三角形内角和求出．根据进行求解． 【详解】解：如图， 由旋转的性质可得，， ， ， ， ． 9．(24-25九上·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学·期中)如图，将绕点逆时针旋转得到，、、三点恰好在同一直线上，连接，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．根据旋转的性质得到、为等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得各个角度，再根据和三角形内角和定理可以求出的度数．解题的关键是找到角度之间的关系． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴的度数为． 10．(24-25九上·吉林松原前郭县北部学区·期中)如图，是含角的直角三角形尺，且，．将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上，连接．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定．根据题意得出是等边三角形，进而求得，根据即可求解． 【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到， ，， 又， 是等边三角形， ， 是等边三角形． 地 城 考点04 旋转的几何综合题（难） 1．(24-25九上·吉林吉林龙潭区古川学校·期中)“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图①，在中，，为边上的中线．将，其沿射线的方向平移，得到，其中点的对应点分别为．如图②，当线段经过点D时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考 （1）请回答老师提出的问题； 深入探究 （2）老师将图②中的绕点F按逆时针方向旋转得到，其中点的对应点分别为，线段分别与边交于点．如图③，当时，让同学们提出新的问题．“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明． 【答案】（1）矩形，理由见解析；（2），见解析 【分析】（1）四边形是矩形，由平移的性质得到，从而得到，根据为边上的中线，推出，进而证明是等腰三角形，推出，，证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）由平移的性质得到，从而得到，由（1）可得，进而得到，在图3中，由旋转的性质得到，根据平行线的性质推出，证，再根据四边形是矩形，推出，即可证明． 【详解】解：（1）四边形是矩形， 理由如下：平移得到， ， ， 为边上的中线， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）， 证明：在图2中，平移得到， ， 由（1）可得，， ， ， 在图3中，旋转得到， ， ， ， ， ， 由图2可知，四边形是矩形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平移的性质，旋转的性质，矩形的判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，综合性较强，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键． 2．(24-25九上·吉林松原乾安县·期中)阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；， 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可； （2）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可，再根据三角形的三边关系即可求出的最大值． 【详解】解：（1）． 证明：绕点按顺时针方向旋转， 与是等边三角形， ，， ， ． （2）． 绕点按顺时针方向旋转的角度为， ， 与是等边三角形， ，， ， ． 根据上面的操作过程可知，由，当在上时即当为时 线段的长度最大，等于． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的三边关系求最值． 3．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)【感知】如图①，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段，过点D作于点E． 求证：． 【应用】如图②，在矩形中，，点E为边上一个动点（点E不与点A重合），连结，点F在上，满足，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连结． ①当时，线段的长度是______．②面积的最大值是______． 【答案】感知：见解析；应用：①；② 【分析】感知：根据旋转的性质，得出，，推出，利用证明即可； 应用：①如图，过点G作交延长线于点H，证明，求出，进而求出，再利用勾股定理即可解答；②同理①得：，设，则，求出，即可得到，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】感知： 证明：∵， ∴， ∵将边绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴； 应用： 解：①如图，过点G作交延长线于点H， ∵将边绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②同理①得：， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及二次函数的应用，正确作出辅助线，构造三角形的全等与相似是解题的关键． 4．(24-25九上·吉林松原乾安县·期中)教材中有这样一道题：如图①所示，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点．求证：． 小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答． (1)若图①中的点为延长线上一点，其余条件不变，如图②所示，猜想此时之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将图①中的绕点逆时针旋转，使得与重合，记此时点的对应点为点，如图③所示，若正方形的边长为6，求的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】（1）利用证明，推出，即可得到； （2）利用旋转的性质以及矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：． 证明如下： 正方形， ，． ， ． ． ． 又， ． 在和中， ，，． ． ． ， ． （2）解：如图，由题设得， ， 由旋转的性质知：，， ， ． 四边形为平行四边形． 又， 四边形是矩形． ． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 5．(24-25九上·吉林长春第七十八中学·期中)如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到．设点的运动时间为秒． (1)的长为 ． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当点落在边的一边上时，求的值． (4)在点运动过程中，直接写出射线平分面积时的值． 【答案】(1)6 (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）直接由勾股定理求解即可； （2）分两种情况：当点在上时，即时，当点在上时，即时，分别求解即可； （3）分两种情况：当点落在上时，当点在上，且点在上时，根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解； （4）设射线交于点，根据射线平分面积，则，再证明，得，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，． ∴． （2）解：当点在上时，当点与点重合时，，则， 当点与点重合时，即， 则， ，则， 即当点在上时，， ，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； 当点在上时，即时， 同理可得：， ∴ ∴ 综上，线段的长或． （3）解： 当点落在上时，如图， ∵，， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由旋转可知 ∴， ∴， ∴ 即， ∴ ∴当点落在上时，的值为； 当点在上，且点在上时，如图 同理可得 ∴，即， ∴，则 同理可得， ∴，即 解得：， 综上所述，或 （4）解：设射线交于点N， ∵射线平分面积 ∴ 由旋转可知：四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴ 由（2）知： ∴ ∴， 射线平分面积时的值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． 6．(24-25九上·吉林吉林第七中学校·期中)已知：和都是等腰直角三角形，． (1)如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析； (3)或 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转的性质得出，进而判断出，得出，，与交于，与交于，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点在线段上时，过点作于，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论； ②当点在线段上时，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，利用线段的加减即可得出结论． 【详解】（1）解：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 点在上，点在上，且， ， 故答案为：，； （2）成立．理由如下： 如图②，与交于，与交于， 由题意可知：， ， ， 在与中， ， ， ，， 又，， 在中， ， ， ， 所以（1）中的结论仍然成立； （3）当点在线段上时，如图③，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ； ②当点在线段上时，如图④，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ， 综上，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 7．(24-25九上·吉林长春榆树第二实验中学·期中)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【感知】如图①，连结，，在纸片绕点A旋转过程中，求的值． 【探究】如图②，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的高线的延长线上时，则的长为________． 【拓展】如图③，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，则的周长为________． 【答案】感知：；探究：6；拓展：18 【分析】感知：证明，求出，可得，故，又，可得，从而； 探究：由题意得：，同理“感知”可得：，则有，然后可得，进而问题可求解； 拓展：由题意易得，则有，然后可得，进而可得，最后根据可进行求解． 【详解】解：感知：∵，，， ∴，， ， ， 即， ， ∴， ， ，， ； 探究：由题意得：， 同理“感知”可得：， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为6； 拓展：∵，是的中线，， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， 由“感知”可知：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边中线定理、全等三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边中线定理、全等三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键． 8．(24-25九上·吉林名校调研系列试卷·调研)如图，和都是等腰直角三角形，． (1)如图①，当点在上，点在上时，线段与的数量关系是__________，位置关系是__________； (2)把绕点旋转到如图②的位置，连接与交于点与交于点，此时①中的结论还成立吗？请说明理由； (3)绕点在平面内旋转的过程中，若，当点在线段上，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）过点C作于M，根据勾股定理得出，根据等腰直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ； （3）解：如图，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 9．(24-25九上·吉林松原前郭县北部学区·期中)【感知】如图①，在平行四边形纸片中，，，对角线，则________； 【操作一】如图②，将图①中的平行四边形纸片沿剪开得到两个全等的三角形，将绕点D逆时针旋转得到．当点在的延长线上时，的长为________； 【操作二】在图②的旋转过程中，连接，如图③，当点在的延长线上时，求证：四边形是矩形； 【应用】在图②的旋转过程中（旋转角小于），连接，，当时，直接写出的长． 【答案】感知：4：操作一：；操作二：见解析；应用： 【分析】感知：利用勾股定理即可求出答案； 操作一：由平行四边形的性质得到，由旋转得到，利用勾股定理即可得到； 操作二：由旋转可知，证明是等腰三角形，根据四边形是平行四边形得到，由等腰三角形的性质得到，则，证明四边形是平行四边形，即可得到结论； 应用：证明与重合，即三点共线，则，，在中，由勾股定理即可得到． 【详解】感知：解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： 操作一：解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵将绕点D逆时针旋转得到． ∴， ∴, 故答案为： 操作二：证明：∵将绕点D逆时针旋转得到． ∴， ∴是等腰三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 应用：如图所示，连接，，当时，则， ∵将绕点D逆时针旋转得到． ∴，， 即 ∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴与重合，即三点共线， ∴， ∴， 在中， 【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、矩形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 10．(24-25九上·吉林长春德惠·期中)如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止．过点作于点，作点关于的对称点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，设点的运动的时间为（秒）． (1)________，________（用含的代数式表示） (2)当点落在内部时，求的取值范围； (3)当点到直线的距离为时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)秒或秒 【分析】（1）由题意得，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质可得结论； （2）找到临界点，当点正好落在上时，画出图形，过点作于点，再根据相似和全等得出的长，建立方程即可得出结论； （3）分两种情况：当点在内部时，当点在外部时，作出图形，求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止，运动的时间为，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， 故答案为：；； （2）当点正好落在上时，过点作于点，如图， ∴， ∵，点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：， ∴点落在内部时，的取值范围是； （3）分两种情况： ①当点在内部时，如图，过点作于点，交于点， ∵，点到直线的距离为即， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 解得：； 当点在外部时，如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， ∵，点到直线的距离为即， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 解得：； 综上所述，当到直线的距离为时，的值为秒或秒． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查轴对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．根据题意，画出图形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $