江苏省南京市玄武区2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学模拟试卷

2025-2026学年江苏省南京市玄武区八年级上学期第一次月考 数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知下图中的两个三角形全等，则等于(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，是高，是角平分线，是中线则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，平面上有与，与相交于点若，，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.如图，在中，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，过点，作直线，直线与，分别相交于点，，连接若，的周长为，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在和中，，，，，相交于点，点，分别是线段，的中点以下结论：；；是等边三角形；连接，则平分其中正确的结论是     ． A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.等腰三角形的两边长分别为、，则第三边长为      ． 8.如图，四边形是轴对称图形，对称轴是直线，若，则       9.如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为      ． 10.已知一张三角形纸片如图甲，其中，先将纸片折叠，使点落到点点处，折痕为如图乙，再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为如图丙原三角形纸片中，的度数为      ． 11.如图，是等边内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，则      ． 12.如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交点，连结，则和的周长和为      ． 13.小宇利用尺规在▱内作出点，又在边上作出点，作图痕迹如图所示，若，则，之间的距离为      ． 14.中，，边的垂直平分线交直线于点，交于点，若，则的度数为      ． 15.如图，在中，，、分别平分外角、内角，以下结论：；；平分；；其中正确的结论是      填序号． 16.如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边若是的中点，当取最小值时，的周长为______． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分如图，已知是的中线，点在上，连接，过点作交的延长线于点，求证：． 18.本小题分如图，在中，，，点是内部的一点，连接，作，，垂足分别为点，． 求证：≌； 若，，，求的周长． 19.本小题分在如图所示的三角形纸片中，，按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形图中虚线表示折痕：折叠三角形纸片，使直角边落在斜边上，点落在斜边点处；将折叠后的纸片再沿折叠． 由步骤可以得到哪些等量关系？ 请证明≌； 按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？直接写出你的结论． 20.本小题分如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． 连接，，若，求的周长； 若，求证：平分． 21.本小题分如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，连接． 求证：是等边三角形； 当时，试判断的形状，并说明理由． 22.本小题分在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接． 求证：≌； 求证：； 求的度数． 23.本小题分如图，点在的边上，选择合适的画图工具按要求画图． 反向延长射线，得到射线； 画的角平分线； 在射线上截取； 在射线上作一点，使得最小； 写出你完成的作图依据：______． 24.本小题分 如图，，是的平分线． 如图，把三角板的直角顶点落在的任意一点上，并使三角板的两条直角边分别与，垂直，垂足分别为，求证：． 如图，把三角板绕点旋转，三角板的两条直角边分别交，于点，与相等吗？请证明你的结论． 25.本小题分 如图，在中，是高，，分别是，的中点． 若，，求四边形的周长． 与有怎样的位置关系？证明你的结论． 26.本小题分 已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且过点作，垂足为． 如图，当点在线段上时，求证：； 如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； 如图，在的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长． 27.本小题分 新课标指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 第6页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市玄武区八年级上学期第一次月考 数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知下图中的两个三角形全等，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 2.如图，在中，是高，是角平分线，是中线则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 3.如图，平面上有与，与相交于点若，，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 4.如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【解析】当时，以点为圆心、长为半径作圆，交网格的格点为； 当时，以点为圆心、长为半径作圆，交网格的格点为，，； 当时，作的垂直平分线，与网格的交点不在格点上． 综上可知，使为等腰三角形的点有个． 5.如图，在中，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，过点，作直线，直线与，分别相交于点，，连接若，的周长为，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由作图可得：垂直平分， ， 的周长为， 即， ， ， ． 故选：． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为，，求出，即可由求解． 本题考查了基本作图作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 6.如图，在和中，，，，，相交于点，点，分别是线段，的中点以下结论：；；是等边三角形；连接，则平分其中正确的结论是     ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定有关知识，根据全等三角形的判定定理得到≌，由全等三角形的性质得到；故正确； 设与交于，根据全等三角形的性质得到，得到，根据平角的定义得到，故正确； 根据全等三角形的性质得到，，根据线段的中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，推出不一定是等边三角形，故不符合题意； 过作于，于，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理即可得到平分，故正确． 【解答】 解：，，， ， ， 在和中 ， 故正确 设与交于， ， ， ， ， ，故正确 ， ，， 又点、分别是线段、的中点， ，， ， 在和中 ， ，， 又， ， ， ， 不一定是等边三角形，故不符合题意 过作于，于， ，，， ， ， 平分，故正确， 故选A． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.等腰三角形的两边长分别为、，则第三边长为      ． 【答案】或  【解析】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 符合三角形三边关系，则第三边长为； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 符合三角形三边关系，则第三边长为； 综上所述，第三边长为或． 故答案为：或． 本题没有明确说明已知的边长哪个是腰长，则有两种情况：腰长为；腰长为再根据三角形三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断是否满足． 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 8.如图，四边形是轴对称图形，对称轴是直线，若，则       【答案】  【解析】解：四边形是轴对称图形，对称轴是直线，， ， 故答案为：． 根据轴对称的性质可得，结合已知即可求出的度数． 本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质，找出相等的角是解题的关键． 9.如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为      ． 【答案】  【解析】解：由题知， 在中， 点是斜边的中点，且， ． 故答案为：． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行计算即可． 本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 10.已知一张三角形纸片如图甲，其中，先将纸片折叠，使点落到点点处，折痕为如图乙，再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为如图丙原三角形纸片中，的度数为      ． 【答案】  【解析】解：由折叠得，， ， ，， 设， 则， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 由折叠得，，而，则，，设，则，在中，由三角形内角和定理得，即可求解． 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，外角定理，把握折叠的不变性是解题的关键． 11.如图，是等边内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，则      ． 【答案】  【解析】解：是等边三角形， ，， 又， ， ≌， ． 如图，连接，则是等边三角形， ， ， 在中，， 是直角三角形，． ， 故答案为：． 证明≌，得，即可说明可以由绕点逆时针旋转得到，可知是等边三角形，则，由勾股定理逆定理可判断是直角三角形，得，则可得． 本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12.如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交点，连结，则和的周长和为      ． 【答案】  【解析】解：沿方向平移得到， ，， ， 与的周长和为， 故答案为：． 先利用平移的性质得到，，然后计算阴影部分的周长． 本题考查的平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键． 13.小宇利用尺规在▱内作出点，又在边上作出点，作图痕迹如图所示，若，则，之间的距离为      ． 【答案】  【解析】解：过点作于点，交的延长线于点． 由作图可知，平分，平分， ，， ， ， ，，， ，之间的距离为． 故答案为：． 过点作于点，交的延长线于点利用角平分线的性质定理求出，可得结论． 本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 14.中，，边的垂直平分线交直线于点，交于点，若，则的度数为      ． 【答案】或  【解析】解：如图， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或． 故答案为：或． 分两种情况，如图，由三角形内角和定理得到，求出，得到；如图，由三角形内角和定理得到，求出，即可得到答案． 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，关键是要分两种情况讨论． 15.如图，在中，，、分别平分外角、内角，以下结论：；；平分；；其中正确的结论是      填序号． 【答案】  【解析】解：平分， ， ，， ， ，故正确； ， ， 平分，， ， ， ，故正确； 在中，， 如图，延长到， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分的外角， ， ，，， ，， ， ， ， ， ，故正确； 平分， ， ，， 不等于，故错误； ，， ， ， ， ，故正确， 正确的结论是 故答案为：． 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 本题考查的是三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，掌握角平分线的定义、三角形内角和定理是解题的关键． 16.如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边若是的中点，当取最小值时，的周长为______． 【答案】  【解析】解：连接，过点作，交的延长线于， 是等边三角形，点是的中点， ， 点在射线上运动， 当点与点重合时，最小， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 的周长为：， 故答案为：． 连接，过点作交的延长线于，由等边三角形的性质可知，则点在射线上运动，当点与点重合时，最小，从而解决问题． 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，垂线段最短，含角的直角三角形等知识，确定点的运动路径是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，已知是的中线，点在上，连接，过点作交的延长线于点，求证：． 【答案】证明过程见解答．  【解析】证明：是的中线， ， ， ，， 在和中， ， ≌， ． 根据三角形的中线定义可得，再利用平行线的性质可得，，然后利用证明≌，从而利用全等三角形的性质即可解答． 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线线段中点构造全等模型是解题的关键． 18.本小题分 如图，在中，，，点是内部的一点，连接，作，，垂足分别为点，． 求证：≌； 若，，，求的周长． 【答案】，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌；     【解析】证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌； 解：≌，，，， ， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的周长． 由垂直的定义得到，利用三角形内角和定理证明，则可利用证明≌； 由全等三角形的性质得到，则，再根据勾股定理求出，然后利用三角形周长公式计算即可． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 19.本小题分 在如图所示的三角形纸片中，，按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形图中虚线表示折痕：折叠三角形纸片，使直角边落在斜边上，点落在斜边点处；将折叠后的纸片再沿折叠． 由步骤可以得到哪些等量关系？ 请证明≌； 按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？直接写出你的结论． 【答案】，，，，；   证明见解答；   按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形．  【解析】解：折叠三角形纸片，使直角边落在斜边上，点落在斜边点处， ，，，，． 证明：，， ， ， ， 点在上，且， ， 在和中， ， ≌． 解：按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形， 理由：当时，则， ， ， 与不全等， 按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形． 由折叠得，，，，； 由，，求得，则，所以，而，，即可根据“”证明≌； 当时，则，而，所以，则与不全等，可知按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形． 此题重点考查翻折变换的性质、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，，进而证明≌是解题的关键． 20.本小题分 如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． 连接，，若，求的周长； 若，求证：平分． 【答案】解：点与点关于对称， ． 同理：． 的周长； 证明：，、为，的中点， ，， ． 又点与点关于对称，点与点关于对称， ，， 平分．  【解析】先根据轴对称的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； 先根据轴对称的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 本题考查了轴对称的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 21.本小题分 如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，连接． 求证：是等边三角形； 当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形， ， ≌， ，， ， ， ， 是等边三角形；   是直角三角形，理由如下： 由  知是等边三角形， ， ≌， ， ， 是直角三角形．  【解析】证明：是等边三角形， ， ≌， ，， ， ， ， 是等边三角形； 解：是直角三角形，理由如下： 由知是等边三角形， ， ≌， ， ， 是直角三角形． 由等边三角形的性质得到，由全等三角形的性质推出，，得到，即可证明是等边三角形； 由等边三角形的性质得到，由全等三角形的性质推出，求出，判定是直角三角形． 本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等，等边三角形的判定方法． 22.本小题分 在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接． 求证：≌； 求证：； 求的度数． 【答案】证明见解析；   证明见解析；     【解析】证明：，平分， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌； 证明：，平分， ， ． 由知：≌， ， ； 解：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 平分， ， ，点是边的中点， ， ， ， ． 由等腰三角形的性质得，再证，然后由证明≌即可； 由等腰三角形的性质得，则再由全等三角形的性质得，即可得出结论； 由等腰直角三角形的性质得，，则，再由直角三角形的性质得，即可解决问题． 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 23.本小题分 如图，点在的边上，选择合适的画图工具按要求画图． 反向延长射线，得到射线； 画的角平分线； 在射线上截取； 在射线上作一点，使得最小； 写出你完成的作图依据：______． 【答案】利用直尺画反向延长射线，得到射线；   利用圆规，直尺画的角平分线；   利用圆规在射线上截取；   连接交于点，则最小； 如图，   两点之间，线段最短  【解析】利用直尺画反向延长射线，得到射线； 利用圆规，直尺画的角平分线； 利用圆规在射线上截取； 连接交于点，则最小； 如图， 完成的作图依据为：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 利用直尺画反向延长射线，得到射线； 利用圆规，直尺画的角平分线； 利用圆规在射线上截取； 连接交于点，则最小； 利用两点之间，线段最短的性质解答即可． 本题考查了线段、射线、角平分线的画法，两点之间线段最短，熟练掌握线段、射线、角平分线的画法是解题的关键． 24.本小题分 如图，，是的平分线． 如图，把三角板的直角顶点落在的任意一点上，并使三角板的两条直角边分别与，垂直，垂足分别为，求证：． 如图，把三角板绕点旋转，三角板的两条直角边分别交，于点，与相等吗？请证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵三角板的两直角边分别与OA，OB垂直，∴△OEP与△OFP均为直角三角形． ∵OC平分∠AOB，∴PE＝PF． 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP，∴PE＝PF．   (2)解：PE与PF相等． 证明：如图所示，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，分别交OA，OB于点M，N， 则PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∵∠AOB＝90°，PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠MPN＝90°． 又∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＋∠EPN＝90°，∠EPN＋∠NPF＝90°， 则∠MPE＝∠NPF． 在△PME和△PNF中， ∴△PME≌△PNF（ASA），∴PE＝PF．   【解析】 见答案  见答案 25.本小题分 如图，在中，是高，，分别是，的中点． 若，，求四边形的周长． 与有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1)解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝10，AC＝8， ∴，． ∵AD是BC边上的高，E，F分别是AB，AC的中点， ∴，， ∴四边形AEDF的周长＝AE＋ED＋DF＋FA＝5＋5＋4＋4＝18．   (2)EF垂直平分AD． 证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵E是AB的中点，∴DE＝AE． 同理可得DF＝AF． ∴E，F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD．   【解析】 见答案  见答案 26.本小题分 已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且过点作，垂足为． 如图，当点在线段上时，求证：； 如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； 如图，在的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长． 【答案】(1)如图①，过点C作，垂足为F， ∵AC平分，，，∴. ∵，，∴. 在和中， ∴，∴.   (2)，理由如下：如图②，过点C作，垂足为F. ∵AC平分，，，∴. ∵，，∴. 在和中，，∴，∴. ∵，，∴，∴， ∴，∴.   (3)如图③，在BD上截取，连接OH. ∵，，， ∴，∴. ∵AO是的平分线，BO是的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴. ∵，， ∴，∴，∴， ∴，∴. 在和中，∴， ∴，∴.   【解析】 略  略  略 27.本小题分 新课标指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】(1)解：如图所示： 延长到，使得，连接． ​​​​​​​在和中，， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中，， ∴， ． ∴，   (2)证明：连接． ，且为的中点， ， ​​​​​​​， ， ， ， ∴， ；   (3)解：如图所示，过作于，连接． ​​​​​​​，且， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴为等边三角形． ，， ∵ ∴． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴．   【解析】  利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证；   连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论；   作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 第11页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $