12.2.3 角边角 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版·八年级上册 12.2 三角形全等的判定 12.2.3 角边角 第1课时 角边角 1 情境导入 想一想：如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去呢？你能帮这位同学出主意吗？ 探究新知 前面我们得到了全等三角形的一种判定方法，你还记得吗？ SAS 现在，我们讨论两角一边的情况：如果两个三角形有两个角、一条边分别相等，那么这两个三角形全等吗？ 可以分成两种情况： 两个角及这两角的夹边 角—边—角 两个角及其中一角的对边 角—角—边 如图，已知∠α、∠β和线段c，试作△ABC，使∠A=∠α，AB=c，∠B=∠β. 作法：（1）作线段AB，使AB=c； A B （2）作∠BAM=∠α，∠ABN=∠β，AM与BN交于点C. M N C △ABC 即为所要求作的三角形. A′ B′ C′ 比一比：把你作的三角形与其他同学作的三角形进行比较，或剪下你作的三角形，放到其他同学作的三角形上，你有什么发现? 叠合 C A B △ABC与△A′B′C′重合，说明这两个三角形全等. 换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论？ 由此可得判定三角形全等的另一个基本事实： 基本事实 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”. A B C B′ C′ A′ 几何语言 在△ABC和△A′B′C′中， ∵ ∠B=∠B′ BC=B′C′ ∠C=∠C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA). 例3 如图，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC．求证: △ABC≌△DCB，AB = DC. B C A D 证明：在△ABC和△DCB中， ∵∠ABC = ∠DCB (已知)， BC = CB (公共边)， ∠ACB =∠DBC (已知)， ∴ △ABC≌△DCB (ASA). ∴ AB = DC (全等三角形的对应边相等). 想一想：如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去呢？你能帮这位同学出主意吗？ 带③去，因为两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等. 练 习 1. 如图，∠A=∠B，CA=CB，△CAD和△CBE全等吗？CD和CE相等吗？试说明理由. 解：△CAD ≌△CBE，CD＝CE． 理由：在△CAD 和△CBE 中， ∵∠A=∠B (已知)，CA = CB (已知)，∠C=∠C (公共角)， ∴ △CAD≌△CBE (ASA). ∴CD=CE(全等三角形的对应边相等). 2.已知四边形ABCD，对角线BD将其分成两个三角形，其中 ∠ABD=∠C，∠ADB=∠DBC. 此时这两个三角形全等吗？请作出图形，并说说你的想法. 解：此时这两个三角形不一定全等. 如图①，当BD=CB(或AB=DC或AD=DB)时，△ABD≌△DCB. 如图②，当BD≠CB(或AB≠DC或AD≠DB)时，△ABD与△DCB不全等. 3.课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高. 这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定他们的身高相同吗？你能运用全等三角形的有关知识说明其中的道理吗？ 解：如图，线段AB、BC分别表示小明的身高、影长，线段A′B′、B′C′分别表示小聪的身高、影长.显然∠B=∠B′=90°. B C B′ C′ A A′ ∵AC、A′C′表示太阳光线， ∴AC∥A′C′. ∴∠C=∠C′. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠B=∠B′(已知)，BC=B′C′(已知)， ∠C=∠C′(已证)， ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA). ∴AB=A′B′(全等三角形的对应边相等). 拓展提升 如图，点B，C分别在射线AG，AH上，点E，F都在∠GAH 内部的射线AD上，已知AB=AC，且∠BED=∠CFD=∠BAC. （1）求证：△ABE≌△CAF； （2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由． （1）证明：∵∠BED=∠BAE+∠ABE， ∠BAC=∠BAE+∠CAF，且∠BED=∠BAC， ∴∠ABE=∠CAF.同理∠BAE=∠ACF. 在△ABE和△CAF中， ∵∠ABE=∠CAF，AB=CA，∠BAE=∠ACF， ∴△ABE≌△CAF（ASA）. （2）解：EF+CF=BE.理由如下： ∵△ABE≌△CAF，∴AE=CF，BE=AF. ∵AE+EF=AF，∴CF+EF=BE. 课堂小结 角边角（ASA） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（简写成“ASA”） 1. 如果条件不完整，则必须先找出隐藏条件； 2.若条件不能直接使用的，要将其转化为可用的角或边. 内容 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 华东师大版·八年级上册 12.2 三角形全等的判定 12.2.3 角边角 第2课时 角角边 17 复习回顾 我们已经学过哪些判定三角形全等的方法？ 判定1 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 简写成“边角边”或“SAS”. 判定2 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”. 探究新知 如图，如果两个三角形有两个角分别相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？ 角—角—边 三角形的内角和等于180° 有两个角分别相等 第三个角必定相等 角边角 分析： 已知：如图，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′. 求证: △ABC≌△A′B′C′. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)， A B C A′ B′ C′ ∴∠C=180°−∠A−∠B(等式的性质). 同理，∠C′=180°−∠A′−∠B′. ∵∠A=∠A′(已知)，∠B=∠B′(已知)， ∴∠C=∠C′(等量代换). 在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠ABC=∠A′B′C′，BC= B′C′，∠C =∠C′， ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA). 由此可得： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. A B C A′ B′ C′ 简写成“角角边”或“AAS”. 几何语言 在△ABC和△A′B′C′中， ∵ ∠A=∠A′ BC=B′C′ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(AAS). 例4 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C作直线 CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证: AD=ED. 证明：∵CE∥AB (已知)， ∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED (两直线平行，内错角相等). 在△ABD和△ECD中， ∵∠ABD=∠ECD(已证)，∠BAD=∠CED(已证)， BD=CD(已知)， ∴△ABD≌△ECD(AAS)， ∴AD=ED(全等三角形的对应边相等). 要证明两条线段AD、ED相等，我们发现它们分别属于△ABD与△ECD，若能证明这两个三角形全等，便可利用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论.这就是通常证明两条线段相等的一个重要方法. 可以采用类似的方法证明两个角相等. 例5 证明：全等三角形对应边上的高相等. 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC 的边BC和△A′B′C′的边B′C′上的高. 求证: AD=A′D′. 你发现AD、A′D′分别是哪两个三角形的边？这两个三角形全等吗？ 分析：从图中看出，AD，A′ D′ 分别属于△ABD 和△A′B′D′，要证 AD=A′D′，只需证明这两个三角形全等即可. 证明：∵△ABC≌△A′B′C′ (已知)， ∴AB=A'B'(全等三角形的对应边相等)， ∠B=∠B'(全等三角形的对应角相等). 在△ABD和△A′B′D′中， ∵∠ADB=∠A′D′B′=90°(已知)， ∠B=∠B′(已证)， AB=A′B′(已证)， ∴△ABD≌A′B′D′(AAS)， ∴AD=A′D′(全等三角形的对应边相等). 归纳：全等三角形对应边上的高也相等. 全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？ AD、AD′分别是对应边上中线 BD、BD′分别是对应角的平分线 全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线分别相等. 练 习 1.如图，∠1=∠2，∠C=∠D. 求证： AC=AD. 证明：在△ABC和△ABD中， ∵∠1=∠2 (已知)， ∠C=∠D (已知)， AB=AB (公共边)， ∴△ABC≌△ABD (AAS). ∴AC=AD (全等三角形的对应边相等). 2.如图，AB∥CD，AE∥CF ，BF=DE. 试找出图中其他的相等关系，并给出证明. 解：角的相等关系：∠A=∠C， ∠B=∠D， ∠AEB=∠CFD，∠AED=∠CFB； 线段的相等关系：BE=DF，AB=CD，AE=CF. 证明如下：∵AB∥CD(已知)， ∴∠B=∠D(两直线平行，内错角相等). ∵AE∥CF(已知)， ∴∠AEB=∠CFD(两直线平行，内错角相等). ∴∠AED=∠CFB(等角的补角相等). ∵BF=DE(已知)， ∴BF+EF=DE+EF(等式的性质)，即BE=DF. 在△ABE和△CDF中，∵∠B=∠D(已证)， BE= DF(已证)，∠AEB=∠CFD(已证)，∴△ABE≌△CDF(ASA). ∴∠A=∠C(全等三角形的对应角相等)，AB=CD，AE=CF(全等三角形的对应边相等). 3.如图，点B、D分别在线段AC、EC上，∠A=∠E，AD=EB.求证：AC=EC. 证明：在△ACD和△ECB中， ∵∠C=∠C(公共角)，∠A=∠E(已知)，AD=EB(已知)， ∴△ACD≌△ECB(AAS). ∴AC=EC(全等三角形的对应边相等). 课堂小结 角角边 （AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（简写成“AAS”） 注意“角角边”“角边角”中两角与边的区别. 内容 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $