阶段微测试(5) 范围：第13章](周测小卷)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

阶段微测试（五） (范围：第13章时间：45分钟满分：100分) 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.下列长度的三条线段，能组成三角形的 是 A.1,3,4 B.2,2,7 (第6题图) (第8题图) C.4,5,7 D.3,3,6 二、填空题（每小题4分，共20分） 2.已知在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3: 7.“对顶角相等”这个命题的逆命题是 4:7,则△ABC一定是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 8.如图，在△ABC中，∠B=47°，∠C=23°， C.钝角三角形 D.不能确定 AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的 3.下列命题中，是真命题的是 ( 度数为 9.如图，AD,BE分别为△ABC的中线和高， A.三角形的任意两边之和小于第三边 S△ABD=5,AC=4,则BE的长为 B.三角形的一个外角等于任意两个内角 的和 30 C.两直线平行，同旁内角相等 D.平行于同一条直线的两条直线平行 D (第9题图) (第11题图) 4.如图，∠CBD,∠ADE是△ABD的两个 10.若(a一3)2+√b-5=0,则以a,b为边长 外角.若∠CBD=70°，∠ADE=149°，则 的等腰三角形的周长为 ∠A的度数是 11.一副三角尺按如图所示摆放，若∠1 A.28 B.31° C.39° D.42° 80°，则∠2的度数是 三、解答题（共50分） 12.(10分)如图，在△BCD中，CD=5,BD=7. (1)求BC的取值范围； (2)若AE∥BD,交CB,CD的延长线于 (第4题图) (第5题图) 点A,E,且∠A=43°，∠BDE=115°， 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AE 求∠C的度数， 平分∠BAC.若∠1=40°，∠2=25°，则 ∠B的度数为 A.25 B.35° C.45° D.55° 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高， BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点 G,交BE于点H.有下列结论：①BF=AF; ②∠AFG=∠AGF;③∠FAG=2∠ACF; ④S△ABE=S△BCE;⑤BH=CH.其中正确 的有 A.2个B.3个C.4个 D.5个 ·11· 13.(12分)在下列推理过程中，填上推理过 15.（14分)(1)如图①，在锐角三角形ABC 程及依据， 中，BC边上的高与AB边上的高交 已知：如图，在△ABC中， 于点P.若∠APC=110°，求∠B的 CD⊥AB于点D,FG⊥ 度数； G AB于点G,点E在AC (2)已知AF,CE分别平分∠BAD,∠BCD 上，连接DE,∠1=∠2. 且AF,CE交于点P,∠APC=110°. 求证：∠B=∠ADE. ①如图②，当点D在边AC上时， 证明：.CD⊥AB,FG⊥AB(已知)， ∠B的度数为 ∴.∠CDB= =90( ②如图③，当点D在边AC外时，若 ∥ ( ∠ADC=160°，求∠B的度数. .∠1= ( B 又∠1=∠2（已知）， R .∠2= ∴.DE∥ ( ∴.∠B=∠ADE( 14.(14分)如图，在△ABC中，∠B=30°， 图① 图② 图③ ∠C=62°，AE平分∠BAC (1)求∠BAE的度数； (2)若AD⊥BC于点D,点F在AE上， ∠ADF=74°，求证：△ADF是直角 三角形 B E D ·12·周测小卷答案 阶段微测试（一） 1.B2.C3.C4.B5.D6.A7.(3,-2)(答案不唯一)8.(1，-2)9.a>4 10.(1)6(2)(4,14)11.解：如图，这个图形像箭头 12.解： 64五 46 (1)如图所示，体育场A的坐标为（一4,3）、超市B的坐标为(0,4)、市场C的坐标为(4， 3)、文化官D的坐标为(2，-3). (2)如图，点E即为所求. 火站 文化宫 13.解：(1)(-4,1)(2)如图所示 (3)S三角形Ae=4X5-乞X1X 3-号×2X4-号×3X5=7.14解：1)因为点A在y轴上，所以3a-5=0,解得a =号所以a十1=号.所以A0,骨)(2)因为点A在第二象限，且点A到x轴的距离 与到y轴的距离相等，所以3a-5<0,a十1>0,3a-5|=|a十1|.所以-(3a-5)=a 十1，解得a=1.15.解：(1)点B(2,0)不是点A的“对角点”，点B2(-1,-7),B(0, 一6)是点A的“对角点”.理由如下：因为2-4≠0一（一2），所以点B(2,0)不是点A的 “对角点”.因为-1一4=-7-(-2)=-5≠0，所以点B2(-1,-7)是点A的“对角 点”.因为0一4=一6一（一2）=一4≠0，所以点B3(0,一6)是点A的“对角点”.(2)①当 点B在x轴上时，设B(x,0).由题意，得x-(一2)=0一4，解得x=一6.所以B(-6, 0);②当点B在y轴上时，设B(0,y).由题意，得0一(-2)=y-4,解得y=6.所以 B(0,6).综上所述，点B的坐标为（一6,0）或(0,6). 阶段微测试（二） 1.A2.C3.C4.A5.B6.A7.128.S=9x9.甲10.(1)底面半径 (2)297π11.解：(1)温度是自变量，呼吸作用强度是温度的函数.(2)由图象知，温度 在0℃到35℃范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强，在35℃到50℃范围内逐 渐减弱.12.解：(1)3(2)因为2x十2y=8,所以y=-x十4(0<x<4).(3)如图所 示.↑/cm 13.解：(1)气温T(2)w=0.6T+331(3)0.6×20十331= 4Jy=-x+4(0<x<4) 4册 343(m/s),343×4=1372(m).答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1372m.14.解： (1)3000(2)2(3)快到科技馆时突然发现钥匙不见了，此时小明离家12min,距离 科技馆600m(4)因为0~6min内行驶的路程为3000-1560=1440(m),8~12 min内行驶的路程为1560一600=960(m),12-15min内行驶的路程为1560一600= 960(m),15~21min内行驶的路程为1560-0=1560(m),所以小明在整个过程中，共 行驶了1440+960+960+1560=4920(m) 第37页（共48页） 阶段微测试（三） 1.B2.C3.C4.D5.A6.D7.78.y=-2x-39.1010.(1)10(2)2或 -号1山.解：1)由题意，得A(2,0,B(0,4).函数图象如图所示. y=2x+4 (2)x<212.解：(1)因为此函数为正比例函数，所以m一1=0，解得m=1.(2)因为此 函数为一次函数，且图象不经过第二象限，所以m十1>0， m-1<0, 解得-1<m<1.13.解： (1)设y与x之间的函数表达式为y=kx十b.将x=16,y=92和x=23,y=155分别代 16k+b=92, 入，得 23k+b=155, 解得(=9，。所以y与工之间的函数表达式为y=9x一52 b=-52. (2)将y=128代入y=9x-52,得9x一52=128，解得x=20.所以该地当时的温度约为 20℃，14.解：(1)2.5(2)设用水量超过10t时，该函数图象对应的一次函数的表达 式为)y=x十6.把(10,25,16,49)代人，得0士6二5·解得怎4，所以当用水 16k+b=49, b=-15. 量超过10t时，该函数图象对应的一次函数的表达式为y=4x-15.(3)因为65>25， 所以该户居民8月用水量超过10t.将y=65代入y=4x一15，得4x一15=65，解得x =20.答：该户居民8月共用水20t.15.解：(1)把A(2,1)代入y=kx,得1=2k,解得 k=号所以y=之x把B(-2.6代人y=2x,得6=2×(-2)=-1.(2)因为C0, -3).所以0C=3.所以5角影m=之0C·x4=之×3X2=3.(3)由1)知k=之，所以 y=合x十m当直线y=x十m经过点D1,2)时，十m=2,解得m=号，当直线y 1 =合十m经过点E(2,一2》时，号×2十m=一2，解得m=一3.因为直线)y=k红十m与 线段DE有一个交点，所以m的取值范围是一3≤m≤子 阶段微测试（四） 1.B2.C3.C4.B5.B6.D7.x>08.-129.三10.①③④11.解： (1)把P(2,m)代入y=x十1，得m=3,所以点P的坐标为(2,3).把(0，-2)，P(2,3)代 入y=x十6，得6=-2 5 2k十b=3 3,解得∫ 5 一2’所以直线4的函数表达式为y=2x一2. b=-2. （2)2=2,12.解：1)由题意，得=20xX0.9十15(300-)×0.6=9x十2700，： y=3. =20x×0.8+15(300-x)X0.8=4x+3600.(2)当y>y2时，9x+2700>4x十 3600,解得x>180.因为0x<300,所以180<x<300.当180<x<300时，该校选择 方案二支付的费用较少，13.解：(1)x>一2(2)①把A(0,4),C(-2,0)代入M=kx +6,得/b=4, 解得二2”所以=2x十4.因为不等式kx十6>一4红十a的解 -2k+b=0, b=4. 集是x>1,所以点B的横坐标是1.当x=1时，y=2×1十4=6，所以点B的坐标是 (1,6).②1014.解：(1)由题意，得y甲=0.9×60x=54x.由图象可知，当0<x≤1时， 2=60:当>1时，设z=6红+6，将1,60)，(2.5,132代入，得+6-60,0解得 2.5k+b=132, 二8所以2=48x十12.综上所述，2与x之间的函数表达式为yz= 1b=12. 60(0<≤1，(2)若0<x≤1，则m<y2若x>1,当54红<48x+12时，x<2:当 48x+12(x>1). 54x=48x十12时，x=2:当54x>48.x十12时，x>2.所以当x<2时，到甲采摘园采摘 草莓更合算；当x=2时，到两家采摘园采摘草莓一样合算；当x>2,到乙采摘园采摘草 莓更合算. 第38页（共48页） 基本功专练（一）与三角形边、角有关的计算及证明 1.证明：：∠ADB是△ADC的外角，∴.∠ADB=∠C+∠DAC,∴∠DAC=∠ADB ∠C=100°-60°=40°.又：∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-40°-100°=40°， ∴∠DAC=∠BAD,∴.AD平分∠BAC.2.解：：AE平分∠BAC,且∠BAE=28°， .∠FAD=∠BAE=28°.：DB是△ABC的高，∠FDA=90°.在△AFD中，∠AFD =180°-∠FAD-∠FDA=180°-28°-90°=62°，.∠BFE=∠AFD=62°.3.解： (1)依题意，AE,CD即为所求作的高，如图所示. C(2).AB=10,CD= 6,CD是△ABC的高，Sac=AB.CD=号X10X6=30.(3):AE是△ABC的 商，且Sm=30,∴Sac=号BC·AE=30,号X7XAE=30,AE=9.4解： :BE平分∠ABC,∠ABC=80,.∠ABE=号∠ABC=合×80=A0.:∠A=45, .∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-45°-40°=95°.：CD是AB边上的高线， ∴.∠BDF=90°，∠BFD=180°-∠BDF-∠ABE=180°-90°-40°=50°，∴.∠AEB 和∠BFD的度数分别为95°，50°.5.(1)解：：∠1=65°，∠D=65°，∠1=∠D, .AB∥CD,.∠ACD=∠A=30°.(2)证明：如图.A AB∥CD, .∠ABC+∠BCD=180°.·∠AFE+∠BCD=180°，∴.∠AFE=∠ABC,.EF∥BC, ∴.∠AEF=∠ACB.:∠A=∠AEF,∠A=∠ACD,∴.∠ACD=∠ACB,即CA平分 ∠BCD.6.解：(1)：AD⊥BC,∴.∠ADB=90°.∠B=50°，.∠BAD=180° ∠ADB-∠B=180°-90°-50°=40°.：∠BAC=90°，AE平分∠BAC,.∠BAE= 45°，.∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-40°=5°.(2)：∠BAC=90°，AD⊥BC, ∴SAAr=AB·AC=号BC·AD.AB=6,AC=8,BC=10,6X8=10AD,AD =4.8.7.解：(1)在△ABC中，已知∠ABC=35°，∠ACB=65°，则∠BAC=180°- ∠ABC-∠ACB=180°-35°-65°=80°.AE是∠BAC的平分线，.∠EAC= ∠BAC=之×80=40.：AD是BC边上的高线，∠ADC=90.在△ADC中， ∴.∠DAC=90°-∠ACB=90°-65°=25°，∴.∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-25°= 15,(2)猜想：∠DAE=号（∠ACB-∠ABC).【解析】：∠DAE=∠EAC-∠DAC= ∠BAC-(90°-∠ACB),∠BAC=180-∠ABC-∠ACB.∠DAE=(∠ACB 一∠ABC).(3)当∠ACB是钝角时，上述猜想的结论仍成立.理由如下：设∠ABC=a, ∠ACB=B(B>90).根据三角形内角和定理，∠BAC=180°-a-B.:AE是∠BAC的 平分线，∠EAC=号∠BAC=90-合。A:AD是BC边上的高线，∠ACD= 180°-R.在△ADC中，∠DAC=90°-(180°-B)=B-90°，∴∠DAE=∠EAC+∠DAC =(90-7.7P)十A-90)=子(g)=名（∠ACB-∠AB0,所以当∠ACB是 钝角时，上述猜想的结论仍然成立. 阶段微测试（五） 1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.如果两个角相等，那么它们是对顶角8.55° 9.510.11或1311.95°12.解：(1)由题意，得7-5<BC<7+5,∴.2<BC<12. (2).AE∥BD,.∠CBD=∠A=43°.∠BDE=115°，.∠C=∠BDE-∠CBD=72°. 13.∠FGB垂直的定义CDFG同位角相等，两直线平行∠DCB两直线平 行，同位角相等∠DCB等量代换BC内错角相等，两直线平行两直线平行，同 位角相等14.(1)解：：∠B=30°，∠C=62°，∠BAC=180°-∠B-∠C=88°.：AE 平分∠BAC,∠BAE=号∠BAC=4.(2)证明：：AD⊥BC,∠BDA=90 第39页（共48页） ∴∠BAD=90°-∠B=60°.∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=16°.∠ADF=74°， ∴∠EAD+∠ADF=90°.∴△ADF是直角三角形.15.解：(1)AF,CE是△ABC 的高，∴.∠AEP=∠BFA=∠BEC=90°.∠PAE=∠APC-∠AEP=20°..∠B= 90°-∠PAE=70°.(2)①40°②如图，连接AC. .∠ADC=160°， F ∴.∠DAC+∠DCA=180°-∠ADC=20°.：∠APC+∠2+∠DAC+∠DCA+∠4= 180°，∠2+∠4=180°-∠APC-(∠DAC+∠DCA)=50°.AF,CE分别平分 ∠BAD,∠BCD,∠BAD=2∠2，∠BCD=2∠4.∴.∠BAD+∠BCD=2(∠2+∠4) =100°.：∠B+∠BAD+∠BCD+∠DAC+∠DCA=180°，.∠B=180°-（∠BAD+ ∠BCD)-(∠DAC+∠DCA)=60°. 基本功专练（二）与全等三角形性质、判定有关的计算及证明 1.证明：，BE⊥AC,CD⊥AB,.∠ADC=∠AEB=90°.在△ABE和△ACD中， ∠A=∠A, ∠AEB=∠ADC,.△ABE≌△ACD(AAS),∴∠B=∠C,AD=AE.:AB=AC, AB=AC, ∠B=∠C, .AB-AD=AC-AE,即BD=CE.在△BDO和△CEO中，∠BOD=∠COE, BD=CE, .△BDO≌△CEO(AAS),.OB=OC.2.解：.∠DAE=∠BAC,.∠DAE-∠DAC AB=AC, =∠BAC-∠DAC,即∠CAE=∠BAD.在△BAD和△CAE中，：'∠BAD=∠CAE, AD-AE, .△BAD≌△CAE(SAS),.CE=BD=2.3.证明：(1).DE=BF,.DF+EF=BE AB=CD, 十EF,.DF=BE.在△ABE和△CDF中，：BE=DF,.△ABE≌△CDF(SSS). AE=CF, (2)△ABE≌△CDF,.∠AEB=∠CFD,.∠AEF=∠CFE,∴.AE∥CF.4.(1)证 CB=CD, 明：CA平分∠DCB,∴.∠ACB=∠ACD.在△ABC和△ADC中，：∠ACB=∠ACD, CA=CA, ∴.△ABC2△ADC(SAS).(2)解：.∠EAC=45°，∴.∠CAD=180°-∠EAC=135°.由 (1)知△ACD≌△ACB,.∠BAC=∠CAD=135°，.∠BAE=∠BAC-∠CAE=90°. 5.解：AP⊥AQ,AP=AQ.证明如下：：∠ADB=∠AEC=90°，.∠ABP+∠BAD= 90°，∠ACE+∠BAD=90°，∴.∠ABP=∠ACE,即∠ABP=∠QCA.在△ABP和 BP=CA, △QCA中，：∠ABP=∠QCA,∴△ABP≌△QCA(SAS),∴.∠BAP=∠Q,AP= AB=QC, AQ.又∠Q十∠QAE=90°，∴∠BAP+∠QAE=90°，则AQ⊥AP.6.解：(1)∠1= ∠2同角的余角相等∠ADB=∠CEA∠1=∠2ASA(2)由(1)，得△ABD≌ △CAE,∴AE=BD=9,AD=CE=3,∴DE=AE-AD=9-3=6,∴DE的长为6. 7.解：(1)该项目学习小组能知道该片水域的宽度AB,AB=5m.理由如下：：BA⊥ ∠BAC=∠EDC, AD,ED⊥AD,.∠BAC=∠EDC=90°.在△ABC和△DEC中，AC=DC, ∠ACB=∠DCE, ∴△ABC≌△DEC(ASA),.DE=AB=5m,∴.水域的宽度为5m.(2)我认为在实地 测量时，水域两岸可能不是规则的直线，所以测量时垂直不易把握，测量数据有误差， 阶段微测试（六） 1.B2.B3.C4.D5.B6.D7.三角形具有稳定性8.AB=DC(答案不唯一) 9.410.(1)90°-a(2)5或211.证明：：∠ACB=90°，∠A+∠B=90°.，CD⊥ AB,.∠BDC=90°，.∠B+∠BCD=90°..∠A=∠BCD.EF⊥AB,.∠EFA= ∠A=∠BCD, ∠BDC=90.在△AEF和△CBD中，：∠EFA=∠BDC,∴.△AEF2△CBD AE=CB, 第40页（共48页） (AAS).12.解：(1)∠CAB(2)△ADC≌△AEB,∴.∠DAC=∠EAB,∠E= ∠D=45°.∴∠DAC-∠BAC=∠EAB-∠BAC,即∠DAB=∠EAC.:'∠BAC=30°， ∠DAB=号(180°-∠BAC)=75.∴∠B=∠DAB-∠E=30.13.解：1)答案不 AD=BC, 唯一，如：DF=CE理由如下：在△ADF和△BCE中，：∠1=∠2，∴△ADF≌ DF=CE, △BCE(SAS).(2):∠1=∠22°，∠DAB=33°，∴.∠CEB=∠1+∠DAB=55. :△ADF≌△BCE,.∠F=∠CEB.∠AEF=∠CEB,∴.∠AEF=∠F=55. .∠FAE=180°-∠AEF-∠F=70°.14.证明：(1)：PM⊥AC,QN⊥AC, ∴.∠PMA=∠QNC=90°.在Rt△APM和Rt△CQN中，： PM-ON,RAAPM (PA=QC, Rt△CQN(HL).(2)由(1)，知△APM≌△CQN,∴AM=CN.PM⊥AC,QN⊥AC, ∠PMD=∠QND, ∴.∠PMD=∠QND=90°.在△PDM和△QDN中，：∠PDM=∠QDN,∴.△PDM PM=QN, ≌△QDN(AAS)...DM=DV..DM=CD+CN=CD+AM.又.'DM+CD+AM= AC,DM=合AC 阶段微测试（七） 1.B2.A3.C4.B5.C6.D7.(-4,-6)8.249.26°10.2 11.解：如图，4个图形对称轴的条数分别为1,2,2,4. 粉米 12.解：(1)如图，△ABC1即为所求， (2)A1(1,-2),B1(3, -10.C(-2.10.(3)sc=5×3-号×3×3-合×2×1-合×5×2=号.13.i证 ∠A=∠C, 明：在△AOB和△COD中，OA=OC, ∴.△AOB≌△COD(ASA).∴.OB= ∠AOB=∠COD, OD.∴点O在线段BD的垂直平分线上.·BE=DE,∴点E在线段BD的垂直平分线 上..OE垂直平分BD.14.解：如图，点P1,P2即为所求 15.解： (1)MP是AB的垂直平分线，.AP=BP.又PM=PM,.易证Rt△PAM≌ Rt△PBM(HL).∴∠BAP=∠B.同理可得∠CAQ=∠C.∠BAC=80°，∠B+∠C =180-∠BAC=100°.∴·∠PAQ=∠BAP+∠CAQ-∠BAC=∠B+∠C-∠BAC= 20°.(2)：AP⊥AQ,.∠PAQ=90°.由(1)知∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,∠B+∠C =∠BAP+∠CAQ=∠BAC-∠PAQ.∴.180°-∠BAC=∠BAC-90°.∴.∠BAC=135°. 基本功专练（三）与线段的垂直平分线、角平分线性质、 判定有关的计算及证明 L.解：：∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.AD是∠CAB的平分线，∴.∠CAD= ∠BAD=∠B=30.AD=2CD,AD=BD.BC=3CD.CD=3BC=号X6= 第41页（共48页） 2cm.2.解：：DE是AC的垂直平分线，.AD=CD.∴△ABD的周长=AB+BD+ AD=AB+BD+CD=AB+BC=20 cm.AE=5 cm,.'AC=2AE=2X5= 10(cm),.△ABC的周长=AB+BC+AC=20+10=30(cm).3.解：(1)：∠BAC= 50,AD平分∠BAC,∠EAD=令∠BAC=25.:DE⊥AB,·.∠AED=90, ∴.∠EDA=90°-25°=65°；(2)∠ACB=90°，∴.∠AED=∠ACD.AD平分 ∠BAC,.∠DAE=∠DAC.又'AD=AD,∴△AED≌△ACD(AAS),.AE=AC, ED=CD,.直线AD是线段CE的垂直平分线.4.解：(1)如图. (2)过 点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.:由(1)可知AD是∠BAC的平分线， iDE-DF.SaM-12.AB-8..DE-DF-212-3.AC-6A-X6 8 X3=9.SAAx=S△ABD+S△ADe=21.5.解：(1)如图，点D,射线AE即为所求. (2):DF垂直平分线段AB,∴.DB=DA,∴∠DAB=∠B=30°. D光 :∠C=40°，.∠BAC=180°-30°-40°=110°，.∠CAD=110°-30°=80°.，AE平 分∠CAD∠DAE=∠CAD=40.6.i证明：I):AB/CD.∠BAD+∠ADC =180°.AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,.2∠MAD+2∠ADM=180°，∴.∠MAD +∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM.(2)过点M作MN⊥AD于点N, :∠B=90°，AB∥CD,.BM⊥AB,CM⊥CD.AM平分∠BAD,DM平分∠ADC, ∴.BM=MN,MN=CM,.BM=CM,即M为BC的中点. 阶段微测试（八） 1.D2.C3.B4.C5.B6.A7.35°8.130°9.210.411.证明：DC= DB,∠B=30°，∴∠DCB=∠B=30°.∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.又AD=DC, .△ADC是等边三角形.12.证明：AB=AC,AD是△ABC的中线，.∠BAD= ∠CAD.DE∥AB,∠ADE=∠BAD.∠CAD=∠ADE.∴AE=DE.13.解：连 接AD.AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=2(180°-∠BAC)=30,DE垂直 平分AC,∴.AD=CD,∠DEC=90°.∴.CD=2DE=2,∠DAC=∠C=30°.∴AD=CD =2,∠BAD=∠BAC-∠DAC=90.∴.BD=2AD=4,.BC=BD+CD=6. 14.(1)证明：过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H.:EF⊥AB,∠AEF=0°， ∴.∠FAE=90°-∠AEF=40°.：'∠BAD=100°，∴∠CAD=180°-∠BAD-∠FAE= 40°.∠FAE=∠CAD,即AC是∠DAF的平分线.又，EF⊥AB,EG⊥AD,∴.EF= EG.BE是∠ABC的平分线，∴EF=EH..EG=EH.点E在∠ADC的平分线 上..DE平分∠ADC.(2)设EG=x,则EF=EH=EG=x,·S△cD=15,AD=4,CD =8,∴号AD·EBG+之CD·EH=15,即2x十4红=15，解得x=号.EF=号 Sam=号AB·EF=合X7X号-识.151)证明：△ABC为等边三角形， AB=BC.·点B在AC的垂直平分线上.，AD=CD,·点D在AC的垂直平分线 上.∴BD垂直平分AC.(2)解：由(1)，得BD垂直平分AC,∴BD⊥AC.:△ABC为等 边三角形，∠ABC=∠BAC=60.·∠ABD=号∠ABC=30,“∠BAD=90, .BD=2AD=8,∠DAE=∠BAD-∠BAC=30°.BD⊥AC,∴.∠AED=90°.∴.DE =合AD=2.BE=BD-DE=6.(3)解：6【解析】连接AF,交BD于点P,连接PC :BD是AC的垂直平分线，∴.点A,C关于BD对称..PA=PC,∴PC十PF=PA十 PF≥AF,PC+PF的最小值为AF的长.，△ABC为等边三角形，F为BC的中点， .AF⊥BC.易得AF=BE=6. 第42页（共48页）