基本功专练(2) 与全等三角形性质、判定有关的计算及证明(周测小卷)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

∴∠BAD=90°-∠B=60°.∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=16°.∠ADF=74°， ∴∠EAD+∠ADF=90°.∴△ADF是直角三角形.15.解：(1)AF,CE是△ABC 的高，∴.∠AEP=∠BFA=∠BEC=90°.∠PAE=∠APC-∠AEP=20°..∠B= 90°-∠PAE=70°.(2)①40°②如图，连接AC. .∠ADC=160°， F ∴.∠DAC+∠DCA=180°-∠ADC=20°.：∠APC+∠2+∠DAC+∠DCA+∠4= 180°，∠2+∠4=180°-∠APC-(∠DAC+∠DCA)=50°.AF,CE分别平分 ∠BAD,∠BCD,∠BAD=2∠2，∠BCD=2∠4.∴.∠BAD+∠BCD=2(∠2+∠4) =100°.：∠B+∠BAD+∠BCD+∠DAC+∠DCA=180°，.∠B=180°-（∠BAD+ ∠BCD)-(∠DAC+∠DCA)=60°. 基本功专练（二）与全等三角形性质、判定有关的计算及证明 1.证明：，BE⊥AC,CD⊥AB,.∠ADC=∠AEB=90°.在△ABE和△ACD中， ∠A=∠A, ∠AEB=∠ADC,.△ABE≌△ACD(AAS),∴∠B=∠C,AD=AE.:AB=AC, AB=AC, ∠B=∠C, .AB-AD=AC-AE,即BD=CE.在△BDO和△CEO中，∠BOD=∠COE, BD=CE, .△BDO≌△CEO(AAS),.OB=OC.2.解：.∠DAE=∠BAC,.∠DAE-∠DAC AB=AC, =∠BAC-∠DAC,即∠CAE=∠BAD.在△BAD和△CAE中，：'∠BAD=∠CAE, AD-AE, .△BAD≌△CAE(SAS),.CE=BD=2.3.证明：(1).DE=BF,.DF+EF=BE AB=CD, 十EF,.DF=BE.在△ABE和△CDF中，：BE=DF,.△ABE≌△CDF(SSS). AE=CF, (2)△ABE≌△CDF,.∠AEB=∠CFD,.∠AEF=∠CFE,∴.AE∥CF.4.(1)证 CB=CD, 明：CA平分∠DCB,∴.∠ACB=∠ACD.在△ABC和△ADC中，：∠ACB=∠ACD, CA=CA, ∴.△ABC2△ADC(SAS).(2)解：.∠EAC=45°，∴.∠CAD=180°-∠EAC=135°.由 (1)知△ACD≌△ACB,.∠BAC=∠CAD=135°，.∠BAE=∠BAC-∠CAE=90°. 5.解：AP⊥AQ,AP=AQ.证明如下：：∠ADB=∠AEC=90°，.∠ABP+∠BAD= 90°，∠ACE+∠BAD=90°，∴.∠ABP=∠ACE,即∠ABP=∠QCA.在△ABP和 BP=CA, △QCA中，：∠ABP=∠QCA,∴△ABP≌△QCA(SAS),∴.∠BAP=∠Q,AP= AB=QC, AQ.又∠Q十∠QAE=90°，∴∠BAP+∠QAE=90°，则AQ⊥AP.6.解：(1)∠1= ∠2同角的余角相等∠ADB=∠CEA∠1=∠2ASA(2)由(1)，得△ABD≌ △CAE,∴AE=BD=9,AD=CE=3,∴DE=AE-AD=9-3=6,∴DE的长为6. 7.解：(1)该项目学习小组能知道该片水域的宽度AB,AB=5m.理由如下：：BA⊥ ∠BAC=∠EDC, AD,ED⊥AD,.∠BAC=∠EDC=90°.在△ABC和△DEC中，AC=DC, ∠ACB=∠DCE, ∴△ABC≌△DEC(ASA),.DE=AB=5m,∴.水域的宽度为5m.(2)我认为在实地 测量时，水域两岸可能不是规则的直线，所以测量时垂直不易把握，测量数据有误差， 阶段微测试（六） 1.B2.B3.C4.D5.B6.D7.三角形具有稳定性8.AB=DC(答案不唯一) 9.410.(1)90°-a(2)5或211.证明：：∠ACB=90°，∠A+∠B=90°.，CD⊥ AB,.∠BDC=90°，.∠B+∠BCD=90°..∠A=∠BCD.EF⊥AB,.∠EFA= ∠A=∠BCD, ∠BDC=90.在△AEF和△CBD中，：∠EFA=∠BDC,∴.△AEF2△CBD AE=CB, 第40页（共48页） (AAS).12.解：(1)∠CAB(2)△ADC≌△AEB,∴.∠DAC=∠EAB,∠E= ∠D=45°.∴∠DAC-∠BAC=∠EAB-∠BAC,即∠DAB=∠EAC.:'∠BAC=30°， ∠DAB=号(180°-∠BAC)=75.∴∠B=∠DAB-∠E=30.13.解：1)答案不 AD=BC, 唯一，如：DF=CE理由如下：在△ADF和△BCE中，：∠1=∠2，∴△ADF≌ DF=CE, △BCE(SAS).(2):∠1=∠22°，∠DAB=33°，∴.∠CEB=∠1+∠DAB=55. :△ADF≌△BCE,.∠F=∠CEB.∠AEF=∠CEB,∴.∠AEF=∠F=55. .∠FAE=180°-∠AEF-∠F=70°.14.证明：(1)：PM⊥AC,QN⊥AC, ∴.∠PMA=∠QNC=90°.在Rt△APM和Rt△CQN中，： PM-ON,RAAPM (PA=QC, Rt△CQN(HL).(2)由(1)，知△APM≌△CQN,∴AM=CN.PM⊥AC,QN⊥AC, ∠PMD=∠QND, ∴.∠PMD=∠QND=90°.在△PDM和△QDN中，：∠PDM=∠QDN,∴.△PDM PM=QN, ≌△QDN(AAS)...DM=DV..DM=CD+CN=CD+AM.又.'DM+CD+AM= AC,DM=合AC 阶段微测试（七） 1.B2.A3.C4.B5.C6.D7.(-4,-6)8.249.26°10.2 11.解：如图，4个图形对称轴的条数分别为1,2,2,4. 粉米 12.解：(1)如图，△ABC1即为所求， (2)A1(1,-2),B1(3, -10.C(-2.10.(3)sc=5×3-号×3×3-合×2×1-合×5×2=号.13.i证 ∠A=∠C, 明：在△AOB和△COD中，OA=OC, ∴.△AOB≌△COD(ASA).∴.OB= ∠AOB=∠COD, OD.∴点O在线段BD的垂直平分线上.·BE=DE,∴点E在线段BD的垂直平分线 上..OE垂直平分BD.14.解：如图，点P1,P2即为所求 15.解： (1)MP是AB的垂直平分线，.AP=BP.又PM=PM,.易证Rt△PAM≌ Rt△PBM(HL).∴∠BAP=∠B.同理可得∠CAQ=∠C.∠BAC=80°，∠B+∠C =180-∠BAC=100°.∴·∠PAQ=∠BAP+∠CAQ-∠BAC=∠B+∠C-∠BAC= 20°.(2)：AP⊥AQ,.∠PAQ=90°.由(1)知∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,∠B+∠C =∠BAP+∠CAQ=∠BAC-∠PAQ.∴.180°-∠BAC=∠BAC-90°.∴.∠BAC=135°. 基本功专练（三）与线段的垂直平分线、角平分线性质、 判定有关的计算及证明 L.解：：∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.AD是∠CAB的平分线，∴.∠CAD= ∠BAD=∠B=30.AD=2CD,AD=BD.BC=3CD.CD=3BC=号X6= 第41页（共48页） 2cm.2.解：：DE是AC的垂直平分线，.AD=CD.∴△ABD的周长=AB+BD+ AD=AB+BD+CD=AB+BC=20 cm.AE=5 cm,.'AC=2AE=2X5= 10(cm),.△ABC的周长=AB+BC+AC=20+10=30(cm).3.解：(1)：∠BAC= 50,AD平分∠BAC,∠EAD=令∠BAC=25.:DE⊥AB,·.∠AED=90, ∴.∠EDA=90°-25°=65°；(2)∠ACB=90°，∴.∠AED=∠ACD.AD平分 ∠BAC,.∠DAE=∠DAC.又'AD=AD,∴△AED≌△ACD(AAS),.AE=AC, ED=CD,.直线AD是线段CE的垂直平分线.4.解：(1)如图. (2)过 点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.:由(1)可知AD是∠BAC的平分线， iDE-DF.SaM-12.AB-8..DE-DF-212-3.AC-6A-X6 8 X3=9.SAAx=S△ABD+S△ADe=21.5.解：(1)如图，点D,射线AE即为所求. (2):DF垂直平分线段AB,∴.DB=DA,∴∠DAB=∠B=30°. D光 :∠C=40°，.∠BAC=180°-30°-40°=110°，.∠CAD=110°-30°=80°.，AE平 分∠CAD∠DAE=∠CAD=40.6.i证明：I):AB/CD.∠BAD+∠ADC =180°.AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,.2∠MAD+2∠ADM=180°，∴.∠MAD +∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM.(2)过点M作MN⊥AD于点N, :∠B=90°，AB∥CD,.BM⊥AB,CM⊥CD.AM平分∠BAD,DM平分∠ADC, ∴.BM=MN,MN=CM,.BM=CM,即M为BC的中点. 阶段微测试（八） 1.D2.C3.B4.C5.B6.A7.35°8.130°9.210.411.证明：DC= DB,∠B=30°，∴∠DCB=∠B=30°.∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.又AD=DC, .△ADC是等边三角形.12.证明：AB=AC,AD是△ABC的中线，.∠BAD= ∠CAD.DE∥AB,∠ADE=∠BAD.∠CAD=∠ADE.∴AE=DE.13.解：连 接AD.AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=2(180°-∠BAC)=30,DE垂直 平分AC,∴.AD=CD,∠DEC=90°.∴.CD=2DE=2,∠DAC=∠C=30°.∴AD=CD =2,∠BAD=∠BAC-∠DAC=90.∴.BD=2AD=4,.BC=BD+CD=6. 14.(1)证明：过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H.:EF⊥AB,∠AEF=0°， ∴.∠FAE=90°-∠AEF=40°.：'∠BAD=100°，∴∠CAD=180°-∠BAD-∠FAE= 40°.∠FAE=∠CAD,即AC是∠DAF的平分线.又，EF⊥AB,EG⊥AD,∴.EF= EG.BE是∠ABC的平分线，∴EF=EH..EG=EH.点E在∠ADC的平分线 上..DE平分∠ADC.(2)设EG=x,则EF=EH=EG=x,·S△cD=15,AD=4,CD =8,∴号AD·EBG+之CD·EH=15,即2x十4红=15，解得x=号.EF=号 Sam=号AB·EF=合X7X号-识.151)证明：△ABC为等边三角形， AB=BC.·点B在AC的垂直平分线上.，AD=CD,·点D在AC的垂直平分线 上.∴BD垂直平分AC.(2)解：由(1)，得BD垂直平分AC,∴BD⊥AC.:△ABC为等 边三角形，∠ABC=∠BAC=60.·∠ABD=号∠ABC=30,“∠BAD=90, .BD=2AD=8,∠DAE=∠BAD-∠BAC=30°.BD⊥AC,∴.∠AED=90°.∴.DE =合AD=2.BE=BD-DE=6.(3)解：6【解析】连接AF,交BD于点P,连接PC :BD是AC的垂直平分线，∴.点A,C关于BD对称..PA=PC,∴PC十PF=PA十 PF≥AF,PC+PF的最小值为AF的长.，△ABC为等边三角形，F为BC的中点， .AF⊥BC.易得AF=BE=6. 第42页（共48页）基本功专练（二） 与全等三角形性质、判定有关的计算及证明 (时间：40分钟满分：60分) 1.(6分)如图，AB=AC,BE⊥AC于点E,3.(8分)如图，已知：AB=CD,DE=BF, CD⊥AB于点D,BE,CD交于点O. AE=CF. 求证：OB=OC. (1)求证：△ABE≌△CDF; (2)求证：AE∥CF. 4.(8分)如图，CA平分∠DCB,CB=CD, DA的延长线交BC于点E. (1)求证：△ABC≌△ADC: 2.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC,D是 (2)若∠EAC=45°，求∠BAE的度数. 边BC上的一点，连接AD,以AD为边作 △ADE,使AE=AD,且∠DAE= ∠BAC,连接EC,若BD=2,求EC的长. ·13· 5.(10分)如图，在△ABC中，BD,CE分别7.(12分)《诗经》有云：“蒹葭苍苍，白露为 是△ABC的高，在BD上取一点P,使 霜.所谓伊人，在水一方.”学校某项目学 BP=AC,在CE的延长线上取一点Q,使 习小组为了解园林中某片水域的宽度，实 CQ=AB,连接AQ与AP.判断AP与 地进行了有关测量，记录如下： AQ的关系，并证明你的结论， 项目主题 测量水域的宽度 测量工具 激光笔、测角仪、卷尺、标杆等 测量方案 示意图 ①在水域一侧的点A处，将激光笔放 置在与该水域垂直的方向上，激光 笔光线指向了对岸的，点B处； ②从点A出发，沿与AB垂直的方 向走到点C处，在，点C处竖直立 测量步骤 起一根标杆后，继续沿之前的方向 走同样的距离到达，点D处； ③再从点D出发，沿与AD垂直的 方向走到恰好被标杆遮挡，看不见 6.(10分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°， 点B的点E处 AE是经过点A的一条线段，BDLAE于 测量数据AC=3.5m,CD=3.5m,DE=5m 点D,CE⊥AE于点E,BD=AE. (1)求证：△ABD≌△CAE; (1)该项目学习小组能据此知道该片水域 证明：.BD AE,∠BAC=90°， 的宽度AB吗？如果能，请求出水域 ∴.∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°， 的宽度；如果不能，请说明理由； ( (2)你认为在实地测量时，可能会遇到哪 在△ABD和△CAE中， 些困难？ =90°， .BD=AE, ∴.△ABD≌△CAE( (2)若CE=3,BD=9,求DE的长. ·14·