第15章 轴对称图形与等腰三角形(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

当堂练习 1.C2.B3.D4.70°5.25°6.证明：.CD∥AB,.∠A=∠ACD,∠B十∠BCD =180°..∠B+∠ACB+∠ACD=180°.∴.∠B+∠ACB+∠A=180°. 第4课时三角形的外角及其性质 知识梳理 ①延长线②不相邻③不相邻 当堂练习 1.C2.C3.C4.>5.60°6.证明：(1)：∠AEC=∠B+∠EOB,∠ADB=∠C +∠DOC,且∠B=∠C,∠EOB=∠DOC,∴.∠AEC=∠ADB.(2):∠BEC=∠C+ ∠A>∠C,∠B=∠C,∠BEC>∠B. 第14章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 知识梳理 ①重合重合②对应顶点对应边对应角③△ABC≌△DEF ④相等相等 当堂练习 1.B2.B3.(1)△AOC≌△BOD(2)OD(3)∠C4.95°5.证明：△ABC≌ △ABD,∴.∠ABC=∠ABD.:CE∥BD,∴.∠CEB=∠ABD,.∠CEB=∠ABC,即 ∠CEB=∠CBE. 14.2三角形全等的判定 14.2.1两边及其夹角分别相等的两个三角形 知识梳理 边角边SAS 当堂练习 1,C2.63.100°4.④5.解：BE∥DF.理由如下：AE=CF,.AE+EF=EF+ AD=CB, CF,即AF=CE.在△ADF和△CBE中，，·∠A=∠C,.△ADF≌△CBE(SAS). AF=CE, ∴.∠AFD=∠CEB..∴.BE∥DF. 14.2.2两角及其夹边分别相等的两个三角形 知识梳理 角边角ASA 当堂练习 1.C2.A3.54.85.证明：：AB∥DE,∠B=∠E.:AC∥DF,∴∠ACB= ∠DFE.'BF=EC,∴.BF+CF=EC+CF,即BC=EF,在△ABC和△DEF中， 「∠B=∠E, BC=EF, .△ABC≌△DEF(ASA).6.(1)证明：.'∠BCE=∠DCA, ∠ACB=∠DFE, ∴·∠BCE+∠ACE=∠DCA十∠ACE,即∠BCA=∠DCE.在△BCA和△DCE中， ∠BCA=∠DCE, .AC=EC, .△BCA≌△DCE(ASA)..BC=DC.(2)解：140 ∠A=∠E, 14.2.3三边分别相等的两个三角形 知识梳理 ①边边边 SSS②三角形的稳定性 当堂练习 1.A2.C3.三角形的稳定性4.AC=DF(或AD=CF)5.证明：'C是AB的中 (AC=CB, 点，.AC=CB.在△ACD和△CBE中，·AD=CE,.△ACD≌△CBE(SSS) CD-BE. AB=CD, 6.证明：在△ABC和△CDA中，·JBC=DA,.△ABC≌△CDA(SSS)...∠BAC= AC=CA, ∠DCA.∠ABC=∠BCD,∴.AB∥DC.∴.∠BAC+∠DCA=180°..∠BAC= ∠DCA=90°.∴.AB⊥AC. 14.2.4其他判定两个三角形全等的条件 知识梳理 ①角角边 AAS②SAS ASA SSS AAS 当堂练习 1.A2.B3.∠A=∠D(答案不唯一)4.105.证明：.DE∥AB,..∠CAB= ∠CAB=∠EDA, ∠EDA.在△ABC和△DAE中，：∠B=∠DAE,△ABC≌△DAE(AAS). BC=AE, 第46页（共48页） 6.证明：AE=CF,∴AE-EF=CF-EF,即AF=CE.在△ADF和△CBE中， ∠D=∠B, :J∠A=∠C,∴△ADF≌△CBE(AAS).∴.DF=BE. AF=CE. 14.2.5两个直角三角形全等的判定 第Ⅰ课时斜边和一条直角边分别相等的两个三角形 知识梳理 斜边、直角边HL 当堂练习 1.D2.C3.55°4.45.证明：：∠CFE=90°，.∠DFE=180°-∠CFE=90° :∠C=90,∠C=∠DFE.在R△ACB和R△DFE中，：AB=DE.R△ACB BC=EF, ≌Rt△DFE(HL)..AC=DF,∴.AC-AF=DF-AF,即AD=CF. 第2课时全等三角形性质和判定的综合应用 知识梳理 ①SAS,ASA,SSS,AAS②HL,SAS,ASA,SSS,AAS相等 当堂练习 1.D2.D3.∠B=∠C(答案不唯一)4.35.解：(1)①(2)：∠1=∠2，∴.∠1+ ∠DAC=∠2+∠DAC,即∠DAE=∠BAC.在△ABC和△ADE中， AB-AD, .J∠BAC=∠DAE,.△ABC≌△ADE(SAS) AC-AE. 第15章轴对称图形与等腰三角形 15.1轴对称图形 第1课时轴对称图形 当堂练习 1.D2.解：①是轴对称图形，对称轴如图所示 第2课时两图形关于某直线对称 当堂练习 1.B2.B3.解：(1)EHGH∠GFE(2)AE∥BF.理由如下：每对对应点连接 成的线段被对称轴垂直平分，即EA⊥MV,BF⊥MN,∴.AE∥BF, 第3课时平面直角坐标系中的轴对称 知识梳理 ①x-y 一xy 当堂练习 1.B2.B3.D4.D5.B6.解：(1)如图，△ABC即为所求.(2)(4,3) 4M A 15.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 知识梳理 ①相等②垂直平分线 当堂练习 1.D2.B3.B4.55.证明：MN垂直平分BC,∴.AB=AC.AB=AD,∴.AC= AD,.点A在CD的垂直平分线上. 第2课时线段的垂直平分线的作法及其综合运用 知识梳理 三个顶点 当堂练习 1.C2.C3.解：如图，点D即为所求. 第47页（共48页） 15.3角的平分线 第1课时 角平分线的作法 当堂练习 1.A2.解：(1)如图所示 (2).∠C=80°，∠B=40°，.∠BAC=180 -∠C-∠B=60°..AD平分∠BAC,.∠BAD= 号∠BAC=30.∠ADB=180- ∠BAD-∠B=110°. 第2课时角平分线的性质与判定 知识梳理 ①角两边 ②平分线 当堂练习 1.C2.A3.74.125.证明：∠PAB=∠PBA,PA=PB.PA⊥OM于点 A,PB⊥ON于点B,∴.点P在∠MON的平分线上，即OP平分∠MON.6.解：CB= AC=AC, CD,证明如下：连接AC.在△AEC和△AFC中，：CE=CF,∴.△AEC≌△AFC AE=AF, (SSS)..∠CAE=∠CAF.:∠B=∠D=90°，.CB=CD. 第3课时三角形的角平分线 当堂练习 1.C2.C3.B4.15.66.证明：过点O作OM⊥AB于点M.:BD是△ABC的 角平分线，四边形OECF是正方形，.OM=OE,OF=OE..OM=OF.又OM⊥AB, OF⊥AC,∴.点O在∠BAC的平分线上. 15.4等腰三角形 第1课时等边对等角及其推论 知识梳理 ①相等等边对等角②相等60° 当堂练习 1.A2.B3.B4.68°5.证明：△ABC和△BDE都是等边三角形，.AB=CB, (AB=CB, BE=BD,∠ABE=∠CBD=6O°，在△ABE和△CBD中，，∠ABE=∠CBD, BE=BD. .△ABE≌△CBD(SAS)..AE=CD.6.解：.CD平分∠ACB,∴∠BCD= ∠ACB.:AE/CD,∠BCD=∠E=38∠ACB=76.:AB=AC∠B= ∠ACB=76°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=28°. 第2课时等腰三角形的“三线合一”及其运用 知识梳理 三线合一 当堂练习 1.C2.A3.D4.15°5.解：'AB=AC,D是BC的中点，.AD⊥BC,即AD垂直 平分BC.点E在AD上，∴.BE=CE.6.解：AB=AC,AD是BC边上的高，BD= 4cm,∴.BC=2BD=8cm.,△ABC的周长为30cm,∴.AB+AC+BC=30.∴.2AC+8 =30..AC=11cm. 第3课时等腰三角形、等边三角形的判定 知识梳理 ①等腰三角形等角对等边②等边三角形③等腰 当堂练习 1.C2.B3.A4.BD=CD(答案不唯-)5.证明：：∠ACB=120,∴.∠ACE= 180-∠ACB=60.:CD平分∠ACB,.∠BCD=∠ACB=60.:AE/CD.∠E =∠BCD=60°.∴.∠CAE=180°-∠ACE-∠E=60°.∴.∠ACE=∠E=∠CAE. .△ACE是等边三角形.6.证明：：AB=AC,∠ABC=∠ACB.,BP,CQ是 △ABC两腰上的高，∴.∠BPC=∠BQC=90°.∴.∠OBC=90°-∠ACB,∠OCB=90°- ∠ABC.∴.∠OBC=∠OCB.∴.OB=OC. 第4课时含30°角的直角三角形的性质 当堂练习 1.C2.B3.D4.25.证明：∠BAC=120,AB=AC,∠B=∠C=号180° ∠BAC)=30°.又：DA⊥AC,∴.∠DAC=90°.∴.CD=2AD,∠BAD=∠BAC-∠DAC =30°=∠B..BD=AD..CD=2BD. 第48页（共48页）第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.1轴对称图形 第1课时轴对称图形 当堂练习 1.汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现了人类追求均衡对称、和谐稳定的天 性.下列四个汉字中，不能看作是轴对称图形的是 大 美 合 肥 A B 2.下列图形中，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，画出它所有的对称轴 ① 第2课时 两图形关于某直线对称 当堂练习 1.在下面给出的四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是 A/ 女A a A C D 2.如图，△ABC与△AB'C'关于直线1对称，且∠A=78,∠C=48°，则∠B的度数为( A.48° B.54° C.749 D.78 3.如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称. (1)线段AD的对称线段是 ,CD= ,∠CBA= (2)AE与BF平行吗？为什么？ ·29· 第3课时平面直角坐标系中的轴对称 知识梳理 ①一般地，已知点P的坐标为P(x,y),则它关于x轴对称的点的坐标为P( 它关于y轴对称的点的坐标为P2( ②在平面直角坐标系中作一个关于x轴或y轴的对称图形，只要找到一些特殊点（多边形 的顶点)的对称点的坐标，描出并连接这些点，就得到这个图形的对称图形 当堂练习 1.在平面直角坐标系中，点A(一1,2)关于x轴对称的点的坐标为 A.(2,-1) B.(-1,-2)》 C.(1,2) D.(1,-2) 2.如图，△ABC与△DFE关于y轴对称，已知点A(一4,6)，B(一6， 2),E(2,1),则点D的坐标为 ( A.(-4,6) B.(4,6) C.(-2,1) D.(6,2) 3.在平面直角坐标系中，点P(3,x2+1)关于x轴对称的点所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.在平面直角坐标系中，已知点A(一2，a)和点B(b,一3)关于x轴对称，则ab的值为( A.-1 B.1 C.6 D.-6 5.已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上所有点的横坐标都乘一1，纵坐标不变，得到 图形B,那么下列说法正确的是 ( A.两个图形关于x轴对称 B.两个图形关于y轴对称 C.两个图形重合 D.两个图形不关于任何一条直线对称 6.如图，在边长为1的正方形网格中，已知A(一1,5)，B(一3,0)，C(一4,3). (1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△AB1C1; (2)点C1的坐标为 B ·30· 15.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 知识梳理 ①定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 ②定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的 上 当堂练习 1.△ABC内部有一点P,量得PA=5cm,PB=5cm,则点P一定 A.是边AB的中点 B.在边AB的中线上 C.在边AB的高上 D.在边AB的垂直平分线上 2.如图，直线1是线段AB的垂直平分线，P是直线1上一点，则下列说法不一定正确的 是 ( ) A.AO-BO B.PO=AO C.PA=PB D.∠A=∠B (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,连接AD.如果AD=3, CD=1,那么BC的长为 A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 4.如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P,且AP=5,则PC的长为 5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC边的垂直平分线MN经过点A,连接AC 求证：点A在CD的垂直平分线上. ·31· 第2课时线段的垂直平分线的作法及其综合运用 知识梳理 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形 的距离相等， 当堂练习 1.如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离 相等，凉亭应选的位置是 A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三边的垂直平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点 2.如图，在△ABC中，分别以点B,C为圆心，大于2BC的长为半径画 弧，两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连 接BD.若∠DBC=28°，则∠ADB的度数为 A.28 B.50° C.569 D.62° 3.如图，已知在△ABC中，∠C>90°，AC<AB.请用尺规作图法，在AB上确定一点D,使 得CD=AD.（保留作图痕迹，不写做法) 15.3角的平分线 第1课时角平分线的作法 当堂练习 1.下列尺规作图中，属于作一个角的平分线的是 A B 2.已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，其中点D在边BC上. (1)用尺规在图中作出角平分线AD;(不写作法，保留作图痕迹) (2)若∠C=80°，∠B=40°，求∠ADB的度数 ·32· 第2课时角平分线的性质与判定 知识梳理 ①定理：角平分线上的点到 的距离相等. ②定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的 上 当堂练习 1.如图，BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.若DE=5,则DF的 长为 A.3 B.4 C.5 D.6 B D E B4 F B D (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，已知D是∠BAC内一点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,作射 线AD.若∠ADE=68°，则∠DAF的度数为 ) A.22° B.309 C.32° D.68° 3.如图，已知P为∠AOB内一点，过点P分别作PA⊥OA于点A,PB⊥OB于点B,PA= PB,C为OP上一点，CD⊥OB于点D,且CD=7,则点C到OA的距离是 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D,过点D作DE⊥AB于点 E.若BC=9,BE=3,则△BDE的周长是 5.如图，已知P是∠MON内一点，PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,连接AB,∠PAB ∠PBA.求证：OP平分∠MON. 6.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E,F分别在AB,AD上，AE=AF,CE= CF,判断CB与CD之间的数量关系，并加以证明. ·33· 第3课时三角形的角平分线 当堂练习 1.如图，这是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三 条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( A.△ABC三条中线的交点 B.△ABC三边的垂直平分线的交点 C.△ABC三条角平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点 B (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，O是△ABC三条角平分线的交点.若△ABO,△BCO,△CAO的面积分别为S1, S2,S3,则S1,S2,S3之间的大小关系为 A.S1+S2<S3 B.S1+S2=S3 C.S1+S2>S3 D.无法确定 3.如图，△ABC的两个角平分线AP与BP交于点P,且PD,PE,PF分别垂直于三角形 三条边，连接CP,则下列说法不正确的是 ) A.PD-PE-PF B.△ABP,△ACP,△BCP的面积相等 C.CP平分∠ACB D.△ABC的面积等于它的周长与PF乘积的一半 4.三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果要在三角形区域内 修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位 置有 处 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，△ABC的周长为12，∠CAB与 C ∠CBA的平分线交于点D,点D到AB的距离为1，则S△ABc的值为 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O,E,F分别在 BD,BC,AC上，且四边形OECF是正方形.求证：点O在∠BAC的平分线上 ·34· 15.4等腰三角形 第1课时等边对等角及其推论 知识梳理 ①定理1：等腰三角形的两底角 ·简称“ ②推论：等边三角形三个内角 ,每一个内角都等于 当堂练习 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠C的度数是 A.709 B.55° C.50° D.40° D B B P (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，AB∥CD,点E在线段BC上，CD=CE.若∠B=30°，则∠D的度数为 A.85° B.75 C.65° D.30° 3.如图，过等边三角形ABC的顶点A作射线.若∠1=20°，则∠2的度数是 A.100° B.80 C.609 D.40° 4.如图，△ABC为等边三角形，P为边BC上一点，在AC上取一点D,使AD=AP.若 ∠APB=104°，则∠ADP的度数是 5.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证：AE=CD. 6.如图，在△ABC中，AB=AC,CD平分∠ACB,交AB于点D,过点A作AE∥CD,交 BC的延长线于点E.若∠E=38°，求∠BAC的度数. ·35· 第2课时等腰三角形的“三线合一”及其运用 知识梳理 定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合.简称“ 当堂练习 1.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为( A.35° B.45° C.55° D.60° D B D D D (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，等边三角形ABC的周长为18，且AD⊥BC于点D,则BD的长为 ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图是人字型屋架的设计图，由AB,AC,BC,AD四根钢条焊接而成，其中A,B,C,D均 为焊接点，且AB=AC,D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC 的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取 的两根钢条及焊接点是 A.AB和BC,焊接点B B.AB和AC,焊接点A C.AB和AD,焊接点A D.AD和BC,焊接点D 4.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上.若∠EBC=45°， 则∠ACE的度数为 5.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，E是AD上任意一点，连接BE,CE,试说 明：BE=CE 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高，△ABC的周长为30cm,BD=4cm, 求AC的长 ·36· 第3课时等腰三角形、等边三角形的判定 知识梳理 ①定理：有两个角相等的三角形是 简称“ ” ②推论1：三个角都相等的三角形是 3推论2：有一个角是60°的 三角形是等边三角形 当堂练习 1.在△ABC中，下列能判定△ABC是等腰三角形的是 A.∠A=30°，∠B=60° B.∠A=70°，∠B=50° C.∠A=40°，∠B=709 D.∠A=60°，∠B=80° 2.在△ABC中，∠A=60°，添加下列条件后，仍不能判定△ABC为等边三角形的是( A.AB-AC B./B=509 C.∠B=∠C D.∠A=∠C 3.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB.若OD=3,则CD的长为 A.3 B.4 C.1.5 D.2 B B D (第3题图) (第4题图) 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角 形，你添加的条件是 5.如图，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB,AE∥CD,交BC的延长线于点E, 求证：△ACE是等边三角形， 6.如图，在△ABC中，AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高，BP,CQ交于点O.求证： OB=OC. ·37· 第4课时含30°角的直角三角形的性质 当堂练习 1.如图所示的是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的 距离BC为6m,则自动扶梯的长约为 A.6 m B.8 m C.12m D.10m 2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,则BC:AB等于 A.2:1 B.1:2 C.1:3 D.2:3 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以A,B为圆心，大于2AB长为半径画弧， 两弧交于点D,E,作直线DE交AC于点F,连接BF.下列说法中，错误的是( A.AF-BF B.BF是∠ABC的平分线 C.CF-7BF D.S△ABF=3S△BCF E B (第3题图) (第4题图) 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC,AB于点 D,E,连接BD.若CD=1,则AD的长为 5.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC,DA⊥AC,交BC于点D.求证：CD=2BD. ·38·