数学思想专题 方程思想在勾股定理中的运用&问题解决策略：反思——利用勾股定理解决最短路径问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

数学思想专题」 方程思想在勾股定理中的运用 类型1利用勾股定理解决古代问题 2.如图，在△ABC中，AB=12,AC=16,BC=20. 1.数学文化九章算术《九章算术》卷九“勾股”中 (1)判断△ABC的形状，并说明理由； 记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不 (2)若P为线段AC上一点，连接BP,且BP= 出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几 CP,求AP的长. 何.（注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿 比门高长出二尺，斜放恰好能出去) 解答下列问题： (1)示意图中，线段CE的长为尺，线段 DF的长为 尺； (2)设户斜长x,则可列方程为 类型2 利用勾股定理求边长（或距离） 方法指得 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= (1)作高，利用勾股定理构造方程. 5cm,AC=3cm,动点P从点B出发，沿射 已知△ABC的三边长. 线BC以1cm/s的速度移动.设移动的时间 为ts,当△ABP为直角三角形时，求t 的值. 作法：作AD⊥BC,垂足为D. 结论：AD=AB2-BD2=AC2-CD: (2)有共边，利用勾股定理构造方程 已知：∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. 结论：(1)CD2=AC-AD2=BC-BD； (2)AC=AB2-BC2=AD2++CD2: (3)BC2=AB2-AC2=BD2+CD2 9 数学八年级上册配BSD版 类型3利用勾股定理解决折叠问题 7.如图，有一块直角三角形纸片ABC,两直角 方法指得 边AC=6cm,BC=8cm,将纸片沿AD折 解决折叠问题的关键是抓住对称性.求线段的长 叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重 时，可利用勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股 合，求△BDE的面积， 定理列出方程，运用方程思想解决问题 4.如图，有一块直角三角形纸片，∠ACB=90°， AC=4cm,BC=3cm,将斜边AB翻折，使 点B落在直角边AC的延长线上的点E处， 折痕为AD,则CE的长为 () A.1 cm B.1.5 cm C.2 cm D.3 cm B (第4题图) (第5题图) 5.如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD= 8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点 B落在点F处，折痕为AE,且EF=3,则 8.如图，正方形ABCD的边长为10cm,在距A AB的长为. 6cm处将正方形折叠后展开，折痕为MN, 6.如图，在Rt△ABC中，AB=9,BC=6, 再沿AE折叠纸片，使点B落在MN上的点 ∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中 F处.求BE的长. 点D重合，折痕为MN,求线段BN的长. 第一章勾股定理10 ☆问题解决策略：反思— 利用勾股定理解决最短路径问题 类型1 平面内最短路径问题 模型归纳 长 体 从A到F 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 阶梯问题 AC=6,BC=8,P为直线AB上 从A到B 动点，连接PC,则线段PC的最小 3.如图，有一个圆柱，它的高等于 值是 12cm,底面半径等于3cm,在圆 2.如图，某高速公路的同一侧有A,B两城镇， 柱的底面点A处有一只蚂蚁，它 它们到高速公路所在直线MN的距离分别 想吃到上底面与点A相对的点B处的食物， 为AA'=2km,BB'=4km,且A'B'=8km. 需要爬行的最短路程是 cm.（π取3) 要在高速公路上的A',B之间建一个出口 4.如图，这是一个台阶的示意 P,使A,B两城镇到出口P的距离之和最 图，每一层台阶的高是20cm、 短，求最短距离 40 长是50cm、宽是40cm,一只 2 50 蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B,其爬行的 最短线路的长度是 5.(教材P22复习题T1变式)如图，一只蚂蚁在 长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体 上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食 物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你根 据图中所示数据计算出它从A处爬到B处 的最短路线长为多少， cm 3 cm 3 cm 类型2立体图形中的最短路径问题 模型归纳 展开 柱 从A到B 11数学八年级上册配BSD版参考答案 正文答案 第一章 勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 基础过关 1,C2.D3.A4.2.5m5.86.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2= AC-BC2=20-12=256,∴.AB=16:(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2= AC+BC=72+242=625,∴.AB=25.7.848.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC=AC2-AB2=172-82=225,∴.BC=15cm.∴.Sm影=15×3=45(cm).9.169 或119 能力提升 10.B11.4812.解：(1)在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2=AC-AD2=152-9 =144,∴.CD=12:(2)在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=BC-CD=20-122= 弥 256,BD=16,.AB=AD+BD=9+16=25.13.解：过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB一BD=AD.在Rt△ACD中，由勾股定理，得 帐 AC-CD2=AD...AB2-BD =AC2-CD2,252-BD2=172-(28-BD)2,..BD =20.∴AD=AB-BD2=25-20=25,AD=15.Sac=号BC·AD=× 28×15=210. 思维拓展 14.解：①当高AD在△ABC内部时，如答图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD= AB2-AD=202-12=256,∴.BD=16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2=AC AD=152-12=81,.CD=9,∴.BC=BD+CD=16+9=25,.△ABC的周长为BC 地 +AB+AC=25+20+15=60 封 答图① 答图② ②当高AD在△ABC外部时，如答图②.同理可得BD=16,CD=9,.BC=BD一CD= 16-9=7,∴.△ABC的周长为BC+AB+AC=7+20+15=42.综上所述，△ABC的周 报 长为60或42. 第2课时 勾股定理的验证及其简单应用 基础过关 1.A 2.(Datb c(2)(a+6)4Xab+e (3)(a+)=4Xabte=a 十b3.A4.25.x2+22=(x十0.5)26.解：由题意，得∠ABC=90°，在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AC=AB+BC=5十122=169..AC=13km.:12÷60= 0.2(h),.13÷0.2=65(km/h).答：我边防海警船的速度为65km/h时，才能恰好在C 处将可疑船只截住， 能力提升 线 7.B8,解：AD的长为=10(m.在R△AED中，由勾股定理，得DE=AD AE=102-62=64,DE=8m,.半圆形餐饮区的面积S=号 πX(8÷2)2=8x(m2). 答：半圆形餐饮区的面积为8πm. 思维拓展 9.解：(I):Sa边Ae=S△十S△An=号AD·BF+号AD·CF=号AD(BF十CF) =AD.BC=c,S=合b+a).6,Saa=BEDE=合a-b)·a, 合ab+号a-合6∴G+6=c:(21.4(3)在R△ABD中，由勾股定理，得AD =AB:-BD=4-=16-x.BD+CD=BC=6,..CD=BC-BD=6-x. R△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC-CD=52-(6-x)2=-11十12x-x2,∴.16 2=-1+12x-,解得x=号。 第1页（共42页） 2一定是直角三角形吗 基础过关 1.B2.B3.C4.垂直5.解：(1)不是.理由如下：.42十52=41≠62，∴.△ABC不 是直角三角形；(2)是，∠B是直角.理由如下：92十402=41，即a2十c2=b, ∴.△ABC是直角三角形，∠B=90°；(3)是.∠C是直角.理由如下：，(8k)2十(15k)2= (17k)2,即a2+b=c2,∴△ABC是直角三角形，∠C=90°.6.解：△ABC是直角三角 形.理由如下：AB=12+22=5,BC=22+42=20,AC=32+42=25,.AB2十BC =5+20=25..AB2+BC=AC..△ABC是直角三角形.7.C8.170 能力提升 9.B10.C11.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AD2一AB=9一62=45. 在△BCD中，BC2十CD2=32十62=45，.BC2十CD=BD,.△BCD是直角三角形， 且∠BCD=90°.∴.BC⊥CD.故该车符合安全标准. 思维拓展 12.解：(1)由题中等式的规律可得(n2-1)2十(2n)2=(n2十1)2，理由如下：等式左边= n-2m+1十4m=n十2m2+1=(n2+1)=等式右边；(2)它的三边长能为勾股数. .35=36-1=62-1,把n=6代入上式，得(62-1)2十(2×6)2=(62十1)2，即352十12 =37,.它的三边长能为勾股数，为35,12,37；(3)不是表达所有勾股数的关系式，如 9,12,15,92十122=152,9,12,15是勾股数，但并不满足上面规律的等式，故(1)中得出 的表示上面规律的等式不是表达所有勾股数的关系式. 31 勾股定理的应用 基础过关 1.B2.B3.44.解：.∠CAB=90°，BC=17m,AC=8m,.在Rt△ABC中，由勾 股定理，得AB2=BC-AC=17-8=225,.AB=15m..此人以1m/s的速度收 绳，7s后船移动到点D的位置，∴.CD=17-1×7=10(m),∴.在Rt△ACD中，由勾股 定理，得AD=CD-AC=10-82=36,.AD=6m,.BD=AB-AD=15-6 9(m).答：船向岸边移动了9m.5.解：在Rt△ABD中，BD=6cm,AD=8cm,由勾 股定理，得AB2=BD2+AD2=62+82=100,∴.AB=10cm..BC=24cm,.AC=BC -AB=24-10=14(cm),.筷子露在杯子外面的长度至少为14cm. 能力提升 6.C7.26cm8.解：设基地E应建在离A站xkm的地方，则BE=(50一x)km.在 Rt△ADE中，根据勾股定理，得AD2十AE=DE,即302十x2=DE.在Rt△CBE中， 根据勾股定理，得CB十BE=CE,即20+(50-x)2=CE.又，C,D两村到点E的 距离相等，.DE=CE,∴.DE2=CE,.302十x2=202十(50-x),解得x=20.答：基地 E应建在离A站20km的地方. 思维拓展 9.解：(1)村庄能听到宜传，理由如下：·村庄A到公路MN的距离AB为600m 1000m,.村庄能听到宣传；(2)如图， 假设当宣讲车行驶到点P B 时开始影响村庄，行驶至点Q时结束对村庄的影响，则AP=AQ=1000m,AB= 600m,在Rt△APB中，由勾股定理，得PB=AP2-AB2=10002-6002=640000, .BP=800m,∴.BP=BQ=800m,则PQ=PB+BQ=800+800=1600(m),则1600 ÷200=8(min).答：村庄总共能听到8min的宣传. 数学思想专题方程思想在勾股定理中的运用 1.(1)42(2)(x-4)2十(x-2)2=x22.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下： 在△ABC中，AB=12,AC=16,BC=20,.122+162=400=20,.∴.AB2+AC=BC ·△ABC是直角三角形；(2)由(1)，得△ABC是直角三角形，∠A=90°.设AP=x,则 BP=CP=16-x.在Rt△ABP中，AB+AP=BP,.122+x2=(16-x),解得x =3.5..AP的长为3.5.3.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB一AC2= 52-32=16,.BC=4cm.由题意，得BP=tcm.分两种情况进行讨论：①当∠APB为 直角时，如答图①，点P与点C重合，即BP=BC=4cm,.t=4;②当∠BAP为直角 时，如答图②，BP=tcm,则CP=(t-4)cm.在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP2= AC+CP2=3+(t-4).在Rt△ABP中，由勾股定理，得AB十AP=BP,即5+ 3+(1一4)=f,解得1-孕.综上所述，当△ABP为直角三角形时6的值为4或翠. C(P) 答图① 答图② 4.A5.66.解：设BN=x,由折叠的性质，可得DN=AV=AB-BN=9-x.D是 BC的中点，∴BD=号BC=子×6=3.在R△BND中，由勾股定理，得BN:十BD= ND,即x2+3=(9-x),解得x=4..线段BN的长为4.7.解：在Rt△ABC中， AC=6cm,BC=8cm,由勾股定理，得AB=AC2十BC=62+82=100,∴.AB=10cm. 第2页（共42页） 将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，∴.AE=AC=6cm,DE =CD,∠DEB=90°，.BE=AB-AE=10-6=4(cm).设CD=DE=xcm,则BD=(8 x)cm,在Rt△DEB中，由勾股定理，得BE十DE=BD,即4十x2=(8-x),解得x =3,即DE=3cm,∴△BDE的面积为号X4X3=6(cm).8.解：由折叠的性质可 知：BV=AM=6cm,MN=AF=AB=10cm.在Rt△AMF中，由勾股定理，得MF= AF2-AM=10-62=64,.MF=8cm,.NF=MN-MF=10-8=2(cm).设BE= xcm,则EF=BE=xcm,EN=(6-x)cm.在Rt△EFN中，由勾股定理，得EF2=EN 十FN,即x=(6-x)P+2,解得x=号BE的长为号cm ☆问题解决策略：反思一 利用勾股定理解决最短路径问题 1.告2.解：如图， Do 作点A关于直线MN的对称点C,连接CB,交 M A 直线MV于点P,连接AP,则此时由“两点之间线段最短”可知AP十PB的长度最短. 点C为点A关于直线MN的对称点，CP=AP..AP+PB=CP+PB=CB.过点 B作BD⊥CA,交CA的延长线于点D.:AA'=2km,BB=4km,A'B′=8km, ∴.A'C=2km,DB=8km,则CD=6km.在Rt△CDB中，由勾股定理，得CB=CD十 BD=62+82=100,.CB=10km.即AP+PB=10km.故最短距离为10km.3.15 4.130cm5.解：如答图①，AB=(3十3)2十82=100. B 3 cm s cm S cm 78 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 8 cm 3 cm 答图① 答图② 答图③ 如答图②，AB=32+(8+3)2=130.如答图③，AB=(3+8)2+32=130.:100<130, 100=102,∴.它从A处爬到B处的最短路线长为10cm. 第一章整合与提升 高频考点突破 1.D2.A3.474.解：设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x.依题意，得 x2=(6十6)2十52=169，解得x=13(负值已舍去)..“数学风车”的外围周长是(13十 6)X4=76.5.解：CD是AB边上的高，∴∠BDC=∠ADC=90°.在Rt△ADC中， AC=20,CD=12,由勾股定理，得AD=AC2-CD2=202-122=256,.AD=16.在 Rt△BCD中，BC=15,CD=12,由勾股定理，得BD2=BC-CD2=152-12=81 ∴.BD=9.AE=AC=20,AD=16,.DE=AE-AD=20-16=4..BF=BC=15 BD=9,..DF=BF-BD=15-9=6,.EF=DE+DF=4+6=10.6.B7.D 8.249.解：(1)，BC=25cm,CD=24cm,BD=7cm,∴.BC2=25=625,BD+CD =72+242=49+576=625..BC=BD+CD,∴.△BDC是直角三角形，∠BDC= 90°；(2)设AB=xcm.:△ABC是等腰三角形，BC是底边，AB=AC=xcm,.AD =(x-7)cm.∠BDC=90°，.∠ADC=90°，.△ADC为直角三角形.在Rt△ACD 中，由勾股定理，得AD+CD=AC,即(x一7)十24=2，解得x=放AB的的 625 为cm.10.26mL.解：(1)连接AC.”∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m, .AC=AB2+BC2=92+122=225.∴.AC=15m..AB+BC-AC=9+12-15= 6(m).答：居民从点A到点C将少走6m的路程；(2)：CD=17m,AD=8m,AC= 15m,.AD+AC=DC..△ADC是直角三角形，∠DAC=90.·Sac=2AD· AC=ZX8X15=60(m),S△cB=zAB·BC=2X9X12=54(m.Sm边形Acn= S△Mc十S△cB=60十54=114(m2).答：这片绿地的面积是114m. 易错易混专攻 1.225或632.150或42 常考题型演练 1.B2.2m3.64.解：(1)△BDC是直角三角形.理由如下：：BC=17cm,BD= 15cm,CD=8cm,BD2+CD=152+82=289,BC2=172=289.∴.BD+CD2=BC, ·△BDC是直角三角形，且∠D=90°；(2)设AB=AC=xcm,则AD=BD-AB=(15 -x)cm.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD+DC2=AC,即(15-x)2+82=x2,解 得x-器：AB=AC-cm△ABC的周长为AB+AC+BC-器+器+17 (cm.5.解：设AB三xm,根据题意，得AC=(x+2)m,AE=(x-1)m 第3页（共42页）