第13章 三角形(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十三章三角形 13.1三角形的概念 知识梳理 ①由不在同一条直线上的三条线段 相接所组成的图形叫作三角形.顶点是A, B,C的三角形，记作“ ”,读作“ ②按“是否有边相等”，将三角形分成两类：三边都不相等的三角形和 三角形.等边 三角形是特殊的等腰三角形， 当堂练习 1.如图，在△ABC中，D,E分别为BC,AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为( A.3 B.4 C.5 D.6 三边都不 等腰三角形 相等的三 角形 B D D (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.三角形按边分类可以用集合来表示，则图中椭圆A表示 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.如图，图中共有 个三角形，∠B是 的内角. 4.如图，按要求填空 (1)写出含有∠A的所有三角形： (2)写出含有边BC的所有三角形： (3)写出∠1，∠2，∠A共同的对边： 5.观察图中三角形，其中锐角三角形有 ,直角三角形有 ,钝角三角形有 .（均填序号) ⑦ 1 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 知识梳理 ①三角形两边的和 第三边；三角形两边的差 第三边. ②三角形是具有 的图形 当堂练习 1.在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆.这 是利用了三角形的 A.稳定性 B.灵活性 C.对称性 D.全等性 2.下列图形具有稳定性的是 B 3.若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是 A.8 cm B.13 cm C.8cm或13cm D.11cm或13cm 4.若三角形两边的长分别为1,5，第三边长为整数，则第三边的长为 5.已知一个三角形的三条边长分别为2,7，x,则x的取值范围是 6.已知a,b,c是△ABC的三边长，a=4,b=6,设三角形的周长是x. (1)直接写出c及x的取值范围； (2)若x是小于18的偶数：①求c的长；②判断△ABC的形状. ·2· 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识梳理 ①三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它所对的边的 ,所得线段叫作三角形 的中线.三角形三条中线的交点叫作 ②三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线，交它所对的边于一点，所得线段叫作 三角形的角平分线.三角形的三条角平分线相交于一点. ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，垂足与这个顶点之间 的线段叫作三角形的高线.三角形的高线简称三角形的高， 当堂练习 1.如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是 A.AB=AC B.BD-CD C.BD=AD D.AC-AD 2.用三角尺作△ABC边BC上的高，三角尺摆放的位置正确的是 3.如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图. D B(C)D 甲 丙 (1)甲折出的AD是△ABC的 (2)乙折出的AD是△ABC的 (3)丙折出的AD是△ABC的 4.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.填空： (1)BE= 1 (2)∠BAD= 2 (3)∠AFB= =90° ·3· 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 知识梳理 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 当堂练习 1.下列各组角的度数中，可以构成一个三角形的内角度数的一组是 A.95°，80°，5 B.63°，70°，67 C.34°，36°，50° D.25°，160°，15 2.在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则 A.必有一个内角等于30 B.必有一个内角等于45 C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90° 3.如图，墙上钉着三根木条a,b,c,量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a,b所在直线所夹 的锐角的度数是 A.5 B.10° C.30 D.70 (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，AB∥DE,FG⊥BC于点F,∠CDE=40°，则∠FGB的度数为 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC,则∠BDC的度数为 6.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,已知∠ABC=42°， ∠A=60°，求∠BFC的度数. ·4· 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 知识梳理 ①直角三角形的两个锐角 ②有两个角 的三角形是直角三角形. 当堂练习 1.如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D D (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 点F,则∠EDF的度数为 A.90° B.100° C.110° D.120 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，AD平分∠BAC,则∠ADC的度数为 4.在下列条件中：①∠A：∠B:∠C=1:2:3;②∠A=∠B-∠C;③∠A=∠B= ∠C,④∠A=2∠B=∠C.能确定△ABC是直角三角形的条件有 .(只填 序号) 5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CE平分∠ACB交AB于点E. (1)∠ACE= (2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=75°，求证：△CDF是直角三角形. F ED ·5· 13.3.2三角形的外角 知识梳理 ①三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作 ②(1)三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角； (2)三角形的外角等于 的两个内角的和； (3)三角形的外角和等于 当堂练习 1.如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是 A.∠HBA是△ABC的外角 B.∠HBG是△ABC的外角 C.∠DCE是△ABC的外角 D.∠GBA是△ABC的外角 CD (第1题图) (第2题图) 2.如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC,∠B=32°，则∠C的度数是( A.64 B.329 C.30° D.40° 3.如图，直线AB,CD被BC所截.若AB∥CD,∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数为 E 2-D (第3题图) (第4题图) 4.把一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为 5.如图，已知D是△ABC的边BC延长线上一点，DF交AC于点E,∠A=35°，/ACD=83°. (1)求∠B的度数； (2)若∠D=42°，求∠AFE的度数. ·6专练（五）因式分解 1.B2.B3.解：(1)原式=x2(a-b)-(a-b)=(a-b)(x2-1)=(a-b)(x十1)(x- 1);(2)原式=x2-3x-4十3x=x2-4=(x十2)(x-2);(3)原式=(x2-y2)十(ax十 ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x十y)(x-y十a);(4)原式=(3-2n+m+n)(3m -2n-m-n)=(4m-n)(2m-3n).4.解：(1)原式=2023×(2023+1)-20242= 2023×2024-20242=2024×(2023-2024)=-2024:(2)原式=982+2×98×2+ 22=(98+2)2=1002=10000.5.解：5-6(-1)×(-5)-6=-1+(-5) (x-1)(x-5)(1)x2+8x-9=x2十8x+16-9-16=(x+4)2-25=(x+4+5)(x+ 4-5)=(x+9)(x-1):(2)x2-4x-5=x2-4x+4-5-4=(x-2)2-9=(x-2十 3)(x-2-3)=(x十1)(x-5).x>5,.x十1>0，x-5>0,.(x十1)(x-5)>0,即 x2-4x-5>0. 专练（六）分式的混合运算 1.D2.B3.A4.3或75.号-之6，解：1)原式=日：(2)原式=06： (3原式=，7解，1)原式=“》·=m=点 (m十1)2 一m-1=0m=m+1,心原式=-1：(2)原式=兰 x2-1 卫=”=”· x(x-2) x一1 片当=-2时，原式=行=-1：(3)原式=2以2”20+）+ (2n十m)(2n-m) 4n2-2mn十2n十m2+4mn=4n2+4mn+m2 (2n十m2一=2n+m.:= (2n十m)(2n-m) (2n+m)(2n-m)(2n+m)(2n-m)2n-m 合∴n=5m原式=十网号 10m-m91 专练（七）分式方程及应用 1.C2.D3.A4.D5.B6.x=-37.808.解：(1)方程两边乘x(x-1),得 4红一(c十2)=0.解得x=号检验：当x=号时，x(红一1)≠0.所以，原分式方程的解为 x=号：(2)方程两边乘x(x一3)，得x十3十2=父-3.解得x=一子，检验：当x -是时，一3x≠0.所以，原分式方程的解为=一子：(3)方程两边乘(x十D(x-1), 得(x-1)2=(x十1)十4.解得x=-1.检验：当x=-1时，(x十1)(x-1)=0.因此x =一1不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解：(4)方程两边乘6(x一2)，得3(5x 一4)=2(2x十5)一3(x一2).解得x=2.检验：当x=2时，6(x一2)=0.因此，x=2不是 原分式方程的解，所以，原分式方程无解。9解：是-马3(x-1)=2红，解得x=3. 检验：当x=3时，2x(x-1)≠0.所以=3是此方程的解把x=3代入异=只得 3异号解得m=号m-2m=(号)）-2×号=一8.10.解：设平常的速度 是xkmh根据题意，得，20十2=5，解得x=60,经检验=60是原分式方程的解， 且符合题意.4×60=240(km).答：小强家到奶奶家的距离是240km.11.解：(1)设 乙队单张做需要。天才能完成任务，根据题意，得婴+（品十）×0=1解得a 100.经检验，a=100是原分式方程的解，且符合题意.答：乙队单独做需要100天才能 完成任务：(2)根据题意，得品十=1，x<15,y<70,且x,y为正整数y=100- 70,则x>12∴12<x<15.x,y都是正整数，“x=13或14，当x 第49页（共60页） 100-号=67.5不是整数，应合去当x=14时，y=100-号=65，符合条件.答：甲 5 队做了14天，乙队做了65天. 期未复习综合测试（一） 1.C2.A3.B4.B5.A6.B7.D8.B9.5×1010.x(y+3)211.1<x <312.(1)45°(2)413.解：(1)原式=8a5-7a十a=2a;(2)原式=x2+2xy十 y2-(x2-2xy十y2)=x2+2xy十y2-x2+2xy-y=4xy:(3)方程两边乘(x十3)(x 3),得x(x十3)一(x一3)=(x十3)(x一3).解得x=一6.检验：当x=一6时，(x十3)(x 一≠0.所以：原分式方程的解为1=-6,0原式=（号-马）：2织 导·》-+2·-号14解：)如图，AM即为所求： a-1(a-2)21 (2)如图：(3)如图，.AB=AC,.∠B=∠3..AM平分∠DAC, .∠1=∠2.：∠DAC=∠B+∠3=∠1+∠2，.2∠3=2∠1，.易得∠B=∠2=∠3 =∠1.EF垂直平分AC,.EA=EC,∴∠3=∠EAC,∴∠EAC=∠1.∠1+∠2 +∠EAC+∠BAE=180°，∠BAE=36°，∴.∠1+∠1+∠1+36°=180°，即3∠1+36 =180,∠1=号X(180-36)=48,∠B=48.15.证明：(1)：FG1AC ∴∠FGA=90°=∠C,∠FAG+∠F=90°.：AF⊥AE,.∠FAE=90°，∴∠FAG+ ∠F=∠CAE, ∠CAE=90°，·∠CAE=∠F.在△AGF和△ECA中，∠AGF=∠ECA,∴.△AGF≌ AF=EA, △ECA(AAS);(2)由(1)知△AGF≌△ECA,∴.FG=AC=BC,在△FGD和△BCD中， ∠FGD=∠BCD, ∠FDG=∠BDC,.△FGD≌△BCD(AAS),.DG=CD..'AD=3CD,.AG=AD FG=BC, -DG=AD-CD=3CD-CD=2CD,AC=AD+CD=3CD++CD=4CD,..BC=AC= 4CD,CE=AG=2CD,.BC=2CE,即E为BC的中点. 期末复习综合测试（二） 1.D2.A3.D4.D5.D6.B7.A8.C9.6×10-610.-111.412.20° 13.解：(1)原式=a2-9-a2-a=-9-a;(2)方程两边乘2(x十1)，得3=2x十2-2.解 得x=号，位验：当x=号时，2(x十1)≠0，所以，原分式方程的解为x=号，14解：原 -[希-]品[少]少- x十1 x1Γx+1· 少-片当x一2时，原式-尖-815解，④设B种京每每干克的法价为 x元，则A种草莓每千克的进价是2x元.根据题意，得3,00_1000-100.解得x=5. 2x x 经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意.答：B种草莓每千克的进价为5元； (2)该水果店购进A种草莓3000÷(2×5)=300(kg),该水果店购进B种草莓1000÷ 5=200(kg).根据题意，得(16-2X5)×2m+号×(16-2×5)X(300-2m)+(9-5)m +之×(9-5)(200-m)≥2300.解得m≥125，答：m的最小值为125,16.解： (1):∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°.，AD,CE分别是∠BAC和∠ACB的平 分线，·∠DAC=∠BAC=15,∠ECA=∠ACB=45,·∠EFA=∠DAC+ ∠ECA=15°+45°=60°；(2)如图，在AC上截取AG=AE,连接FG.:AD是∠BAC的 平分线，CE是∠ACB的平分线，∴·∠EAF=∠GAF,∠DCF=∠GCF.在△EAF和 第50页（共60页） AE-AG. △GAF中，J∠EAF=∠GAF,.△EAF≌△GAF(SAS),.EF=GF,∠EFA= AF-AF, ∠GFA=60°.：∠AFC=180°-∠EFA=180°-60°=120°，∴.∠GFC=∠AFC- ∠AFG=120°-60°=60°.∠DFC=∠EFA=60°，∴.∠GFC=∠DFC.又：CF=CF, ∠DCF=∠GCF,∴.△FDC≌△FGC(ASA),.DF=GF,.EF=DF:(3)EF=DF仍 然成立.理由如下：如图，在AC上截取AH=AE,连接HF,:∠AFE=∠FAC十 ∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=合(180°-∠B)=号×(180-60)=60，同(2)可得 △EAF≌△HAF,△FHC≌△FDC,.DF=HF=EF,即EF=DF 图① 图② 随堂反馈答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 知识梳理 ①首尾顺次△ABC三角形ABC②等腰 当堂练习 1.B2.D3.3△ABC或△ABD4.(1)△ABC,△ACE,△ABD(2)△ABC, △BOC,△BCD,△BCE(3)BC5.③⑤①④⑥②⑦ 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 知识梳理 ①大于小于②稳定性 当堂练习 1.A2.D3.D4.55.5<x<96.解：(1)c的取值范围为2<c<10;x的取值范 围为12<x<20:(2)①x是小于18的偶数，∴x=16,或x=14.当x=16时，c=6:当 x=14时，c=4:②当c=6时，b=c,△ABC为等腰三角形；当c=4时，a=c,△ABC为 等腰三角形.综上所述，△ABC是等腰三角形. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识梳理 ①中点三角形的重心 当堂练习 1.B2.A3.(1)高(2)角平分线(3)中线4.(1)CEBC(2)∠CAD∠BAC (3)∠AFC 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 知识梳理 180° 当堂练习 1.A2.D3.B4.50°5.60°6.解：∠ABC=42°，∠A=60°，.∠ACB=180° ∠ABC-∠A=180°-42°-60°=78°.：∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F, ∴∠FBC=∠ABC=号X42=2I,∠FCB=∠ACB=号X78=39,∠BFC =180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39°=120°. 第51页（共60页） 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 知识梳理 ①互余②互余 当堂练习 1.B2.C3.63°4.①②③5.解：(1)45°(2)在△ABC中，∠ACB=180°-∠A ∠B=180°-30°-60=90.：CE平分∠ACB,∠BCE=∠ACE=号∠ACB=45 CD⊥AB,.∠CDB=90°.在Rt△CDB中，∠DCB=90°-∠B=90°-60°=30°， .∠FCD=∠BCE-∠DCB=45°-30°=15°.在△CDF中，∠FCD+∠CDF=15°+ 75°=90°，.∠CFD=90°，.△CDF是直角三角形， 13.3.2三角形的外角 知识梳理 ①三角形的外角②(2)与它不相邻(3)360° 当堂练习 1.D2.B3.80°4.150°5.解：(1)：∠ACD是△ABC的一个外角，∠A=35°， ∠ACD=83°，.∠B=∠ACD-∠A=83°-35°=48°：(2)：∠AFE是△BDF的一个 外角，∠B=48°，∠D=42°，∴∠AFE=∠B+∠D=48°+42°=90. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 知识梳理 ①全等形 全等三角形②对应顶点对应边对应角③相等相等 当堂练习 1.A2.A3.54.60°5.解：(1)△ACE≌△DBF,.∠A=∠D,.AE∥DF: (2).△ACE≌△DBF,.AC=DB=6,..CD=BD-BC=6-4=2,.AD=AC+CD =6+2=8. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 知识梳理 ①夹角边角边SAS②不一定 当堂练习 1.D2.105°3.④4.解：(1)不认同，按小明添加的条件，就是用“边边角”证明全 等，不满足证明全等三角形的条件：(2)AO=BO.证明如下：：点P在∠AOB的平分线 AO=BO. 上，.∠AOP=∠BOP.在△AOP和△BOP中， ∠AOP=∠BOP,.△AOP≌ PO-PO. △BOP(SAS) 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 知识梳理 ①夹边角边角ASA②对边角角边AAS 当堂练习 1.C2.D3.D4.证明：ED⊥AB,∴∠ADE=90°.又∠ACB=90°，∠ADE= ∠A=∠A, ∠ACB.在△ABC和△AED中，∠ACB=∠ADE,.△ABC≌△AED(AAS)..AE BC=ED, =AB,AC=AD,∴.AE-AC=AB-AD,即CE=DB. 第3课时用“SSS”判定三角形全等 知识梳理 相等边边边SSS 第52页（共60页） 当堂练习 AB=DB, 1.C2.C3.65°4.AB∥DE5.解：在△ABC和△DBC中，AC=DC,.△ABC CB=CB, ≌△DBC(SSS).∴.∠A=∠D,∠ACB=∠DCB,∠ABC=∠DBC,∴.∠ABE= ∠DBE..∠A=25°，∠BCD=35°，.∠ACB=∠BCD=35°，.∠ABE=∠A+∠ACB =25°+35°=60°，.∠ABD=∠ABE+∠DBE=2∠ABE=2×60°=120. 第4课时尺规作图 当堂练习 1.解：(1)要从模具片中度量出边BC的长度、∠B及∠C的大小，就可以到店铺加工一 块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的△A'B'C'模具.因为两角及夹边对应 相等的两个三角形全等；(2)如图. 2.(1)同位角相等，两直线平行 B' (2)沿点P所在直线折叠，使点B落在直线a上，折痕为CD把纸片展平，继续沿点P 所在直线折叠，使点C落在折痕CD上，此时折痕为E℉把纸片展平，沿折痕画直线 EF在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 第5课时用“HL”判定直角三角形全等 知识梳理 ①斜边一直角边斜边、直角边HL②HL,SSS,ASA,AAS,SAS 当堂练习 1.D2.B3.①②③4.证明：DE⊥AC,BF⊥AC,∴.∠AFB=∠CED=90°.在 Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD:÷R△ABF≌R1△CDE(H).·∠BAF= BF=DE, ∠DCE,'.AB∥CD. 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质 知识梳理 ②相等 当堂练习 1.C2.C3.5:34.证明：D为BC的中点，.BD=CD.在△ABD和△ACD中， AB=AC, BD=CD,∴·△ABD≌△ACD(SSS),∴.∠BAD=∠CAD,∴.AD为∠BAC的平分线. AD-AD. DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF 第2课时角的平分线的判定 知识梳理 ①角的平分线上②相等 当堂练习 1.A2.125°3.40°4.证明：过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,DG⊥AC,垂足分别为 E,F,G.BD平分∠ABC,DE=DF.同理可得DF=DG,DE=DG,∴点D在 ∠BAC的平分线上，.∠BAD=∠CAD. 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 知识梳理 ①互相重合对称轴 ②另一个图形对称轴对称点③垂直平分④中点 垂直垂直平分线 第53页（共60页） 当堂练习 1.D2.D3.A4.185.70°6 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 ①相等②垂直平分线 当堂练习 1.A2.63.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°.：∠C=90°， .∠AED=∠C..AD平分∠BAC,..∠EAD=∠CAD.在△AED和△ACD中， ∠AED=∠C, ∠EAD=∠CAD,.△AED≌△ACD(AAS),.AE=AC..'AB=2AC,..AB= AD=AD, 2AE.AB=AE+BE,AE+BE=2AE,∴BE=AE.又DE⊥AB,∴DE是线段 AB的垂直平分线，即点D在线段AB的垂直平分线上， 第2课时线段垂直平分线的有关作图 当堂练习 1.A2.解：(2)(3)是轴对称图形，对称轴如图 (2) 3 3.解：如图，直线1，l2即为所求作的对称轴. (1) (2) 4.解：如图，作线段AB的垂直平分线交BC于点P,交AB于点D,点P即为所求作的 点.理由如下：由作图知PD为AB的垂直平分线，连接AP,则AP=BP,.PA十PC= BP+PC=BC. 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 当堂练习 1.解：如图 2.解：(1)如图，△DE'F‘即为所求作的图形：(2)如 图，DM即为边EF上的高；(3)△DEF的面积为 号×3×2=3. 第2课时用坐标表示轴对称 当堂练习 1.A2.A3.-2a2 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 知识梳理 ①相等②底边上的中线高顶角平分线③轴对称底边上的中线顶角的平 分线底边上的高 第54页（共60页）