第13章 三角形 整合与提升-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十三章整 高频考点突破。 考点1三角形的三边关系 1.情境题人字梯如图，人字梯的支架AB,AC 的长度都为2（连接处的长度忽略不计）， 则B,C两点之间的距离可能是 A.3 m B.4.2m C.5m D.6m 2.一个三边都不相等的三角形的两边长分别 为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的 三角形有 A.2个 B.3个C.4个 D.5个 3.数学思想数形结合如图，数轴上点A,B,C,D 对应的数字分别是一1,1，x,7,点C在线段 BD上且不与端点重合.若线段AB,BC,CD 能围成三角形，则x的值可能是() D A.2 B.3 C.4 D.5 考点2 三角形的稳定性 4.下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定 性的是 A.太阳能热水器 B.篮球架 C.三脚架 D.活动衣架 5.如图，自行车的主框架采用了三角形结构， 这样设计的依据是三角形具有 13名师测控·数学八年级上册配RJ版 合与提升 考点3三角形的三条重要线段 6.如图，在△ABC中，边BC上的高为() A.AD B.BE C.BF D.CG G (第6题图) (第7题图) 7.如图，AD,BE,CF分别是△ABC的中线、高 和角平分线，∠ABC=90°，CF交AD于点 G,交BE于点H,则下列结论一定正确的 是 A.∠ABE=∠FCBB.∠GAC=∠GCA C.FG=GC D.∠BFC=∠BHF 8.如图，△ABC的边BC上的高为AF,中线为 AD,AC边上的高为BG.已知AF=6,BC= 10,BG=5. (1)求△ABC的面积； (2)求AC的长； (3)△ABD和△ACD的面积有何关系？ 考点4三角形的内角与外角 9.如图是一块三角形木板的残余部分，量得 ∠A=100°，∠B=40°，则这块三角形木板另 外一个角∠C的度数为 A.30° B.40° C.50° D.60 10.(2024·广东惠州模拟)如图，直线a∥b, Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点 B落在直线b上.若∠1=15°，∠2=25°，则 ∠ABC的大小为 A.40° B.459 C.50° D.55 (第10题图) (第11题图) 11.(2024·四川凉山州)如图，在△ABC中， ∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上 的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的 度数是 12.(2024·广西贵港二模)如图，△ABC和 △CDE均为直角三角形，且∠B=45°， ∠D=30°，过点C作CF平分∠DCE交 DE于点F (1)求证：CF∥AB; (2)求∠DFC的度数. 13.新视角新定义【概念认识】如图①，在∠ABC 中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC,则BD, BE叫作∠ABC的“三分线”，其中，BD是 “邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”， (1)【问题解决】如图②，在△ABC中，∠A= 70°，∠B=50°.若∠C的三分线CD交 AB于点D,则∠BDC= (2)如图③，在△ABC中，BP,CP分别是 ∠ABC的邻AB三分线和∠ACB的邻 AC三分线，且BP⊥CP,求∠A的度数； (3)【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是 △ABC的外角，∠B的三分线所在的直 线与∠ACD的三分线所在的直线交于 点P.若∠A=m,∠B=n,并且m>n, 直接写出∠BPC的度数.（用含m,n的 代数式表示) ☒① 图② 图③) 第十三章三角形14 @易错易混专攻© 易错点在三角形的计算中因无图未分 类讨论导致漏解 1.在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在 AB边上，连接CD,若△ACD为直角三角 形，则∠BCD的度数为 2.在△ABC中，BC=6,BC边上的高AD=4, 且BD=2,则△ACD的面积为 冒常考题型演练⊙ 1.(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC= 90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点， 连接AE,则图中的直角三角形共有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (第1题图) (第2题图) 2.(2024·湖北宜昌模拟)两直角三角尺按如 图所示方式摆放，若∠1=28°，则∠2的度数 为 ( A.48° B.58°C.60° D.62° 3.(2024·西安碑林区校级三模)如图，在 △ABC中，CD是∠ACB的平分线，点E在 AC上，DE∥BC.若∠A=62°，∠B=74°，则 ∠EDC的度数为 A.37° B.32° C.22° D.44° 4.已知a,b,c是△ABC的三条边长，化简|a十 b-c|-c-a-b的结果为 A.2a+2b-2c B.2a+2b C.2e D.0 5.等腰三角形的两边长a,b满足|a一4|十(b 9)2=0,则这个等腰三角形的周长为 15名师测控·数学八年级上册配RJ版 6.新视角新定义在一个三角形中，若一个内角 的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样 的三角形称为“优美三角形”.例如：三个内 角分别为100°，60°，20°的三角形是“优美三 角形”. 【概念理解】 (1)如图①，∠MON=60°，点A在边OM 上，过点A作AB⊥OM,交ON于点B, 以A为端点作射线AD,交线段OB于点 C(点C不与点O,B重合). ①△AOB “优美三角形”；（选 填“是”或“不是”) ②若∠ACB=80°，求证：△AOC是“优美 三角形”； 【应用拓展】 (2)如图②，点D在△ABC的边AB上，连接 DC,∠BDC>90°，作∠ADC的平分线， 交AC于点E,在DC上取一点F,使 ∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B. 若△BCD是“优美三角形”，求∠B的 度数. M 图① 图②数学活动 1.C2.83.94.解：(1)搭1个三角形，需3根火柴棒；：搭2个三角形，需5=3十2根 火柴棒；搭3个三角形，需7=5十2=3十2×2根火柴棒；.搭5个三角形需3十4×2= 11(根)火柴棒；(2)由(1)得出，搭n个三角形需3十2(n-1)=2n十1（根）火柴棒. 5.(1)转化思想(2)类比思想(3)(n-3)(n-2)(n-2)从特殊到一般 第十三章整合与提升 高频考点突破 1.A2.B3.C4D5.稳定性6，A7.D8,解：(1)SaC=宁BC:AF=合× 10X6=30:(2):Sam=合AC·BG,AC-2=2X30-12:(3):AD为 BG 5 △ABC的中线，.S△ABD=S△cp.9.B10.C11.100°12.解：(1)·∠DCE=90°， 且CF平分∠DCE.∴∠FCE=2∠DCE=45.又：∠B=45,∠FCE=∠B.CF ∥AB;(2)在Rt△CDE中，：∠D=30°，∠E=60°.∴∠DFC=∠E+∠FCE=60°+ 45°=105°.13.解：(1)90°或110°(2)：BP,CP分别是∠ABC的邻AB三分线和 ∠ACB的邻AC三分线，∠PBC=号∠ABC,∠PCB=号∠ACB.:BP1CP, :∠P=90,即∠PBC+∠PCB=90,号∠ABC+号∠ACB=90,:∠ABC+ ∠ACB=135,∴∠A=1802-∠ABC-∠ACB=45;(3)∠BPC=号m或∠BPC- 名m-子n或∠BPC=号m+了n或∠BPC=子m 1 1 易错易混专攻 1.60°或10°2.8或16 常考题型演练 1.C2.D3.C4.D5.226.解：(1)①是②∠MON=60°，∠ACB=80°， ∠OAC=∠ACB-∠MON=20°.又：∠AOC=3∠OAC,∴.△AOC是“优美三角 形”；(2)：∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，∴.∠EFC=∠ADC,∴.AD ∥EF,∠DEF=∠ADE.:∠DEF=∠B,∴∠B=∠ADE,DE∥BC,∴∠CDE= ∠BCD.:DE平分∠ADC,∠ADE=∠CDE,∠B=∠BCD.:△BCD是“优美三 角形”，∠BDC>90°，.∠BDC=3∠B.∠BDC十∠BCD十∠B=180°，.∠B=36°. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 基础过关 1.A2.D3.C4.≌∠A'∠A'B'C'∠CAB与A'B′，BC与BC',AC与 A'C5.C6.100°7.(-2,0)8.解：(1)△ACF≌△DBE,∴∠E=∠F=40°， ∠D=∠A=50°，∠EBD=180°-40°-50°=90°；(2)：△ACF≌△DBE,AC= DB.:.AC-BC=DB-BC.AB=CD,:.AB-AD BC-1610-3.9.5 2 2 能力提升 10.B1.D12.65°13.解：△ABC≌△ADE,∠BAC=∠DAE=号（∠EAB ∠CAD)=XI20-10)=5.:∠DFB是△FAB的外角.∠DFB=∠EAB+ ∠B=∠FAC十∠CAB+∠B=10°+55°十25°=90°..∠DFB是△GDF的外角， ·∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°.14.解：(1)四边形ABCD≌四边形 AEFG,△AFG≌△FAE≌△ACD≌△CAB:(2).△FAE≌△ACD,.AF=AC, ∠FAE=∠ACD.四边形ABCD是长方形，∠ADC=90°，.∠ACD十∠CAD= 90°，∠FAE十∠CAD=90°，即∠FAC=90°，∴.△AFC是等腰直角三角形. 第4页（共60页） 思维拓展 15.解：(1)BD=DE十CE.理由如下：△BAD≌△ACE,.BD=AE,AD=CE..BD =AE=AD+DE=CE+DE,即BD=DE十CE;(2)△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥ CE.理由如下：：BD∥CE,∠E=∠BDE.△BAD≌△ACE,∠ADB=∠E, .∠ADB=∠BDE.∠ADB+∠BDE=180°，即2∠ADB=180°，∠ADB=90°. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 基础过关 1.D2.AD=AE(答案不唯一)3.证明：.∠BAE=∠CAD,.∠BAE十∠CAE= AB=AE, ∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD.在△ABC和△AED中，J∠BAC=∠EAD, AC=AD, .△ABC≌△AED(SAS).4.100°5.266.证明：B是AD的中点，.AB=BD. AB=BD. .'BC∥DE,∴.∠ABC=∠D.在△ABC和△BDE中， ∠ABC=∠D,.△ABC≌ BC=DE, △BDE(SAS).∠C=∠E.7.B8.解：∠BAD=∠EAC,.∠BAD+∠CAD= (AB=AE. ∠EAC+∠CAD,即∠BAC=∠EAD.在△BAC和△EAD中，J∠BAC=∠EAD, AC=AD, ∴.△BAC≌△EAD(SAS)..∠D=∠C=50°， 能力提升 9.B10.140°11.解：(1)AE=GH.理由如下：由题意可知，∠ABE=∠GIH=90°， AB=GI=DB=2m,BE=2×2=4(m),.BE=IH.在△ABE和△GIH中， AB=GI, ∠ABE=∠GIH,.△ABE≌△GIH(SAS).∴.AE=GH,即AE和GH的长度相等； BE=IH, (2)AE⊥HG.证明如下：延长HG交AE于点C,△ABE≌△GIH,∴.∠AEB= ∠GHL.由题意，得∠ABE=90°，∴.∠AEB+∠A=90°，∴.∠GHI+∠A=90°， .∠ACH=90°，.AE⊥GH 思维拓展 12.解：(I)BD=CE,BD⊥CE;(2)BD=CE,BD⊥CE.理由如下：·∠BAC=∠DAE= 90°，·∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE (AB=AC, 中，∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS).∴.∠ABD=∠ACE,BD=CE.延长 AD-AE, BD交AC于点F,交CE于点H.在△ABF和△HCF中，：'∠ABF=∠HCF,∠AFB =∠HFC,∴.由三角形内角和定理易得∠CHF=∠BAF=90°，∴.BD⊥CE. 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 基础过关 ∠A=∠D, 1.∠AOC∠BOD ASA2.AO=CO3.证明：在△ABC和△DEC中，AB=DE, ∠B=∠E, ∴.△ABC≌△DEC(ASA),4.证明：：AB=CD,AB+BC=DC+CB,.AC=DB. :BF∥CE,∴∠FBD=∠ECA.:AE∥DF,∠A=∠D.在△AEC和△DFB中， 第5页（共60页） ∠A=∠D, AC=DB. .△AEC≌△DFB(ASA)..BF=CE.5.B6.47.证明：在 ∠ECA=∠FBD, ∠A=∠D, △ABC和△DEF中，∠B=∠E,∴.△ABC≌△DEF(AAS)..BC=EF,∴.EF-CF AC=DF, =BC-CF,.'CE=BF. 能力提升 8.D9.2410.解：如图②，根据题意，得法线垂直于平面镜，且∠i=∠r,∴.∠ABG= (∠FCB=∠GAB, ∠FBC.在△FCB和△GAB中，BC=BA, .△FCB≌△GAB(ASA)..AG= ∠FBC=∠GBA, CF=1.5m. 思维拓展 11.证明：(1)在△ABC中，∠ACB=∠CAB=45°，∴.AB=BC,∠ABC=90°，∴.△ABC 是等腰直角三角形，.∠ABC=∠2十∠3=90°.：∠1=∠2，∴∠1十∠3=90°.在 △ABF中，∠AFB=180°-（∠1+∠3）=90°，.AD⊥BE;(2)过点C作CG⊥BC,交 ∠1=∠2， BE的延长线于点G,∴.∠ABD=∠BCG=90°.在△ABD和△BCG中，AB=BC, ∠ABD=∠BCG, .△ABD≌△BCG(ASA).∴BD=CG,AD=BG.:点D为BC的中点，∴BD=CD, ∴.CD=CG.∠ACB=45°，∠BCG=90°，∴.∠GCE=∠BCG-∠ACB=45°，∴.∠ACB CD=CG, =∠GCE=45°，在△CDE和△CGE中， ∠DCE=∠GCE,∴.△CDE≌△CGE(SAS). CE=CE, ∴.DE=GE,.BG=BE十GE=BE+DE,∴.AD=BE十DE 第3课时用“SSS”判定三角形全等 基础过关 1.AC CD ACD2.C3.证明：，C是BD的中点，BC=DC.在△ABC和△EDC AB=ED, 中，AC=EC,.△ABC≌△EDC(SSS).4.D5.90°6.证明：在△ABD和△ACE BC=DC, (AB=AC, 中，AD=AE,.△ABD≌△ACE(SSS)..∠BAD=∠1，∠ABD=∠2.∠3是 BD=CE, △ABD的外角，∴∠3=∠BAD+∠ABD,.∠3=∠1+∠2. 能力提升 AC=DF, 7.A8.49.解：(1)在△ABC和△DEF中，AB=DE,.△ABC≌△DEF(SSS). BC=EF, ∴.∠D=∠A=22°，∴.∠E+∠F=180°-∠D=180°-22°=158°；(2)：∠CGF是 △CDG的一个外角，∴.∠CGF=∠D+∠BCD,∴.∠BCD=∠CGF-∠D=88°-22°= 66°.CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠BCD=2×66°=132.又：△ABC≌△DEF, .∠F=∠ACB=132°. 思维拓展 PA=PB, 10.解：(1)连接PC.在△APC和△BPC中，CA=CB,.△APC≌△BPC(SSS). PC=PC, 第6页（共60页）