精品解析：江西省南昌市初中十校联考2020-2021学年九年级上学期期末 数学试卷

2020—2021学年度第一学期南昌市初中十校期末联考 初三数学试卷 说明：1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式 B. 从只装有白球和红球的袋中任意摸出一个球，摸出红球是确定事件 C. 某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖 D. 在一定条件下大量重复试验时，某个事件发生的频率稳定在0.6附近摆动，估计该事件发生的概率为0.6； 3. 关于抛物线的判断，下列说法正确的是（ ）． A. 抛物线的开口方向向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 在抛物线对称轴左侧，随增大而减小 D. 抛物线顶点到轴的距离是2 4. 如图，是的弦，与相切于点A．连接，，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是甲、乙两张完全相同的菱形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼接一个与原来面积相等的矩形，则（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲不可以、乙可以 D. 甲可以、乙不可以 6. 如图，点是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点，于点，连接并延长，交射线于点，交射线于点，连接交于点，当点在上运动时（不包括、两点），以下结论中：①；②；③；④的最小值是．其中正确结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于x的方程有一个根是1，则_________． 8. 若从-2，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点A(a， b)恰好落在x轴上的概率是________． 9. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______． 10. 如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有处的弯道上从点A行驶了米到达点B，则线段_______米． 11. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为_____． 12. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13. （1）解方程组 （2）如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 14. 如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 15. 已知：关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根为、，且满足，求m的值． 16. 如图，已知平行四边形中，点为坐标顶点，点，函数的图象经过点． （1）求的值及直线的函数表达式： （2）求四边形的周长． 17. （2011福建龙岩，22，12分）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°<α<180°），使两块三角板至少有一组边平行． （1）如图①，α=______°时，； （2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空： 图②中α=______°时，____________；图③中α=______°时，____________． 四、解答题（本大题共3个小题；每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 18. 2020年，一场突然而来的新型冠状病毒肺炎疫情阻挡了学生们开学的脚步，多地学校进行了“战役在家，线上课堂”活动，保证学生离校不离学，为减少初中生被网络诈骗的案件，因此要求学生掌握防诈骗知识并进行网络测评．为了解某校学生的测试情况，从中随机抽取部分学生的成绩进行统计，并把测试成绩分为A．B．C．D四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题： （1）a= ，b= ，c= ； （2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数； （3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机选取两名学生参加全市中学生防网络诈骗知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名学生同时被选中的概率． 19. 已知二次函数． （1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标． 20. 已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长． 五、解答题（本大题共2个小题，共9分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系： （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元； （3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元，如何确定该款电子产品的销售单价？ 22. 在中，，，是边的中点，交于点．动点从出发沿射线以每秒厘米的速度运动．同时动点从点出发沿射线运动，且始终保持．设运动时间为秒（） （1）与相似吗？以图1为例说明理由； （2）若，厘米． ①当点在边上运动时，求动点的运动速度； ②设的面积为S（平方厘米），求关于的函数解析式 六、解答题（本大题共1个小题，共12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数． （2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值． （3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020—2021学年度第一学期南昌市初中十校期末联考 初三数学试卷 说明：1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】移项得x2=8，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：移项得， 两边开方的：， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式 B. 从只装有白球和红球的袋中任意摸出一个球，摸出红球是确定事件 C. 某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖 D. 在一定条件下大量重复试验时，某个事件发生的频率稳定在0.6附近摆动，估计该事件发生的概率为0.6； 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样和普查的区别、概率的意义，以及确定事件和随机事件的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．为了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，此选项错误； B．从只装有白球和红球的袋中任意摸出一个球，摸出红球是随机事件，此选项错误； C．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票也不一定会中奖，此选项错误； D．由频率估计概率，在大量重复试验时，某个事件发生的频率稳定在0.6附近摆动，那么估计该事件发生的概率为0.6，此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了抽样和普查的区别、概率的意义，以及确定事件和随机事件的定义，熟练掌握即可． 3. 关于抛物线的判断，下列说法正确的是（ ）． A. 抛物线的开口方向向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 在抛物线对称轴左侧，随增大而减小 D. 抛物线顶点到轴的距离是2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，，所以顶点坐标为，故抛物线顶点到x轴的距离是2； 综上所述只有D选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4. 如图，是的弦，与相切于点A．连接，，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 由“与相切于点A”得出，根据等边对等角得出．求出及，进而即可解决问题． 【详解】解：与相切于点A， ， ， ， ． ∵， ， ． 故选：C． 5. 如图是甲、乙两张完全相同的菱形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼接一个与原来面积相等的矩形，则（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲不可以、乙可以 D. 甲可以、乙不可以 【答案】A 【解析】 【分析】甲、乙两张完全相同的菱形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自都可以拼接一个与原来面积相等的矩形． 【详解】如图， 甲、乙两张完全相同的菱形纸片， 将它们分别沿着虚线剪开后， 各自都可以拼接一个与原来面积相等的矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形和菱形的性质． 6. 如图，点是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点，于点，连接并延长，交射线于点，交射线于点，连接交于点，当点在上运动时（不包括、两点），以下结论中：①；②；③；④的最小值是．其中正确结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】①错误；②正确．想办法证明即可；③正确．只要证明，可得，推出，根据对称性可知：，可得；④错误．利用矩形的性质可知，当时，的值最小，最小值为． 【详解】解：①错误．因为当点与中点重合时，，显然； ②正确．连接交于． 根据对称性可知， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； ③正确．， ， ， ， ， ， ， ， 根据对称性可知：， ； ④错误．四边形是矩形， ， 当时，的值最小，此时、、共线， ， 的最小值为1， 的最小值为1； 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于x的方程有一个根是1，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把x=1代入方程得1+a-2=0， 解得a=1． 故答案是：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8. 若从-2，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点A(a， b)恰好落在x轴上的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 一共有6种结果，点A（a，b）落在x轴上的点有（-2，0），（1，0） ∴P（顶点在坐标轴上的概率）=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了树状图法求概率，熟悉相关性质是解题的关键． 9. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案． 【详解】四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且， ， 则， 故答案为． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键. 10. 如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有处的弯道上从点A行驶了米到达点B，则线段_______米． 【答案】300 【解析】 【分析】根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】∵= ∴n=60° 又AO=BO ∴△AOB是等边三角形， ∴AO=BO=300(米) 故答案为：300． 【点睛】此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式的运用． 11. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】过点作轴于，则，由线段的比例关系求得和的面积，再根据反比例函数的的几何意义得结果． 【详解】解：过点作轴于，则， ， ，的面积为6， ， ， 的面积， 根据反比例函数的几何意义得，， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形． 12. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为______． 【答案】8,, 【解析】 【分析】分3种情况分析：（1）当AB=AP时，如图（1），作OH⊥AB于点H，延长AO交PB于点G；sin∠OAH=sin∠PAG，，PG=，∠AOH=∠P，cos∠AOH=cos∠P，，BC=PC－2PG；（2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，cos∠APC=cos∠AOK，，，BC=PC－PB=；（3）当BA=BP时，如图（3），∠C=∠CAB，BC=AB． 【详解】解：（1）当AB=AP时，如图（1），作OH⊥AB于点H，延长AO交PB于点G； ∵AB=AP， ∴， ∵AO过圆心， ∴AG⊥PB， ∴PG=BG，∠OAH=∠PAG， ∵OH⊥AB， ∴∠AOH=∠BOH，AH=BH=4， ∵∠AOB=2∠P， ∴∠AOH=∠P， ∵OA=5，AH=4， ∴OH=3， ∵∠OAH=∠PAG， ∴sin∠OAH=sin∠PAG， ∴， ∴PG=， ∵∠AOH=∠P， ∴cos∠AOH=cos∠P，， ∴， ∴BC=PC－2PG=； （2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK， ∴PB=PA==， ∵∠APC=∠AOK，∴cos∠APC=cos∠AOK， ∴， ∴， ∴BC=PC－PB=； （3）当BA=BP时，如图（3）， ∵BA=BP， ∴∠P=∠BAP， ∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°， ∴∠C=∠CAB， ∴BC=AB=8． 故答案为或或． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质；解直角三角形． 三、解答题（本大题共5个小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13. （1）解方程组 （2）如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用代入消元法解题即可； （2）根据四边形是平行四边形，，，即，结合，得到，从而得证． 【详解】（1）解：， 由①得：③ 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得， 方程组的解为：． （2）证明：四边形是平行四边形， ，，即， ， ， ， 四边形是平行四边形． 14. 如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）如图1，DE为所作； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 【解析】 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 15. 已知：关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根为、，且满足，求m的值． 【答案】（1）m≥0（2）9 【解析】 【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得=-，=-2，根据可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【详解】（1）根据题意得△＝（）2−4×（−2）≥0，且m≥0， 解得m≥−8且m≥0． 故m的取值范围是m≥0； （2）方程的两根为、， ∴=-，=-2 ∵ ∴ 即m+8=17 解得m＝9 ∴m的值为9． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1•x2＝． 16. 如图，已知平行四边形中，点为坐标顶点，点，函数的图象经过点． （1）求的值及直线的函数表达式： （2）求四边形的周长． 【答案】（1）k=2，直线OB解析式为；（2）四边形的周长为． 【解析】 【分析】(1)根据函数的图象经过点，可以求得的值，再根据平行四边形的性质即可求得点的坐标，从而可以求得直线的函数解析式； (2)根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长． 【详解】(1)依题意有：点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 又轴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； (2)作于点， ∵， ∴， 在平行四边形中， ，， ∴四边形的周长为：， 即四边形的周长为． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 17. （2011福建龙岩，22，12分）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°<α<180°），使两块三角板至少有一组边平行． （1）如图①，α=______°时，； （2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空： 图②中α=______°时，____________；图③中α=______°时，____________． 【答案】（1）15 （2）60°，BC，DA；α=105°，BC，EA 【解析】 【分析】（1）利用两直线平行同位角相等，并求得α=45°-30°=15°； （2）利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可． 【详解】（1）α=∠CAD-∠CAB=45°-30°=15°． （2）图②中α=60°时，， 图③中α=105°时，． 【点睛】本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，并判断旋转角为多少度，难度不大，但易错． 四、解答题（本大题共3个小题；每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 18. 2020年，一场突然而来的新型冠状病毒肺炎疫情阻挡了学生们开学的脚步，多地学校进行了“战役在家，线上课堂”活动，保证学生离校不离学，为减少初中生被网络诈骗的案件，因此要求学生掌握防诈骗知识并进行网络测评．为了解某校学生的测试情况，从中随机抽取部分学生的成绩进行统计，并把测试成绩分为A．B．C．D四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题： （1）a= ，b= ，c= ； （2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数； （3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机选取两名学生参加全市中学生防网络诈骗知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名学生同时被选中的概率． 【答案】(1)2；45；20； (2)条形统计图补充为： 72°； （3） 【解析】 【分析】（1）用等次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再分别求出和等次的人数，然后计算出、的值； （2）先补全条形统计图，然后用乘以等次所占的百分比得到等次的扇形所对的圆心角的度数； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出甲、乙两名男生同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）， ； ，即； ，即； （2）等次人数为， 等次的扇形所对的圆心角的度数； 故答案为2，45，20，； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两名男生同时被选中的结果数为2， 所以甲、乙两名男生同时被选中的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． 19. 已知二次函数． （1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标． 【答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的图像与x轴有两个交点，得到△＞0于是得到m的取值范围； （2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m的值，于是得到二次函数的解析式，再求出直线AB的解析式和对称轴方程x=1联立成方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵二次函数的图像与x轴有两个交点， ∴△=， ∴m＞﹣1； 故答案为：m＞﹣1； （2）∵二次函数的图像过点A（3，0）， ∴， ∴m=3， ∴二次函数的解析式为：， 令x=0，则y=3，∴B（0，3）， 设直线AB的解析式为：，∴，解得：， ∴直线AB的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为：x=1， ∴，解得：， ∴P（1，2）． 20. 已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长． 【答案】（1）如图， ∵∠AEC=30°， ∴∠ABC=30°， ∵AB=AD， ∴∠D=∠ABC=30°， 根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°， 连接OA， ∴OA=OB， ∴∠OAB=∠ABC=30°， ∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°， ∴OA⊥AD， ∵点A在⊙O上， ∴直线AD是⊙O的切线； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证； （2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）连接OA， ∵∠AEC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵BC⊥AE于M， ∴AE=2AM，∠OMA=90°， 在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2， ∴AE=2AM=4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键． 五、解答题（本大题共2个小题，共9分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系： （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元； （3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元，如何确定该款电子产品的销售单价？ 【答案】（1） y＝−10x＋300；（2）20元时，最大利润为1000元；（3）单价每件不低于15元，且不高于25元. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）设该款电子产品每天的销售利润为w元，根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得； （3）设捐款后每天剩余利润为z元，根据题意得出z＝−10x2＋400x−3000−300＝−10x2＋400x−3300，求出z＝450时的x的值，求解可得． 【详解】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx＋b， 将（20，100），（25，50）代入 y＝kx＋b， 得， 解得， ∴y与x的函数关系式为 y＝−10x＋300； （2）设该款电子产品每天的销售利润为w元， 由题意得 w＝（x−10）•y ＝（x−10）（−10x＋300） ＝−10x2＋400x−3000 ＝−10（x−20）2＋1000， ∵−10＜0， ∴当x＝20时，w有最大值，w最大值为1000． 答：该款电子产品销售单价定为20元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元； （3）设捐款后每天剩余利润为 z 元， 由题意可得 z＝−10x2＋400x−3000−300＝−10x2＋400x−3300， 令z＝450，即−10x2＋400x−3300＝450， x2−40x＋375＝0， 解得x1＝15，x2＝25， ∵−10＜0， ∴当该款电子产品的销售单价每件不低于15元，且不高于25元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于450 元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式． 22. 在中，，，是边的中点，交于点．动点从出发沿射线以每秒厘米的速度运动．同时动点从点出发沿射线运动，且始终保持．设运动时间为秒（） （1）与相似吗？以图1为例说明理由； （2）若，厘米． ①当点在边上运动时，求动点的运动速度； ②设的面积为S（平方厘米），求关于的函数解析式 【答案】（1） ，理由如下： ． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由 得 由相似三角形的判定即可证明； （2）①设点的运动速度为cm/s．分两种情况：当时；②当时；分别利用相似三角形的性质求解即可； ②结合①中分析过程，同样分两种情况分析，计算面积即可得出函数关系式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 cm． 又垂直平分， cm． cm． ①设点的运动速度为． 如图1，当时，由（1）知 即 ； 如图2，当时，同理可得． 综上所述，点运动速度为． ② 如图1，当时， ． 如图2，当时，,, ． 综上所述，． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 六、解答题（本大题共1个小题，共12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数． （2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值． （3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x﹣3； （2）1； （3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6， ∴点C的坐标为（0，﹣6）． 当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， ∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）． ∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1， ∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）． 设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a， 解得：a＝﹣2， 过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6． ∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6， ∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6， ∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0， ∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”． 【解析】 【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解； （2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”． 【详解】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3， ∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0， ∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3， ∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3； （2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”， ∴， 解得：， ∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1． （3）略 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质及待定系数法求二次函数的解析式，准确理解题干中“旋转函数”的定义是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $