精品解析：安徽省安庆市太湖县五校联考2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

太湖五校联考2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若有意义，则a能取的最小整数为（　　） A. 0 B. ﹣4 C. 4 D. ﹣8 3. 在平行四边形中，，，对角线的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 正八边形的每一个内角的度数为( ) A. 120° B. 60° C. 135° D. 45° 5. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 6. 已知点，在一次函数的图像上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 某厂家2022年月份的自行车产量统计图如图所示，3月份自行车产量不小心被墨汁覆盖．若2月份到4月份该厂家自行车产量的月增长率都相同，则3月份自行车产量为（ ） A. 218辆 B. 240辆 C. 256辆 D. 272辆 8. 若点，都在直线上，则下列大小关系成立的是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 4米 10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①，②，③④，其中正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为_______． 12. 如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西_______方向上. 13. 如图，一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市（三者在同一直线上），分别表示汽车、摩托车离A地的距离随时间变化的图象，则以下结论：①摩托车比汽车晚到；②A，B两地的距离为；③摩托车的速度为，汽车的速度为；④汽车出发后与摩托车相遇，此时距离B地；⑤相遇前摩托车的速度比汽车的速度快．其中，正确的结论有_____（填序号）． 14. 如图所示，在中，，点是射线上的一个动点． （1）当为直角三角形时，的长为______． （2）若点在边的下方，当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： 16. 已知，，求的值． 17. 如图，在矩形中，为对角线． （1）用尺规完成以下作图：作的垂直平分线分别交于点E，F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求的长． 18. 如图所示，在四边形中，，，，． （1）求的长； （2）四边形的面积． 19. 九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 甲 175 93.75 乙 175 175 180，175，170 （1）求、的值； （2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由； （3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优． 20. 如图，在中，，，所对的边分别为，，，若，试说明：是直角三角形． 21. 对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2），请仿照上面的做法，将下列各式因式分解： （1）x2﹣6x﹣16； （2）x2+2ax﹣3a2． 22. 联合国教科文组织将每年的3月14目定为“国际数学日”．某校八年级在三月份开展了以“数学文化”为主题的阅读活动，并随机抽查了部分学生在活动期间阅读相关文章的篇数． 收集数据：15，12，15，13，15，15，12，18，15，18，18，15，13，15，12，15，13，15，18，18． 整理数据： 阅读文章/篇 12 13 15 18 人数/人 3 m 9 5 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接写出的值及学生阅读文章篇数的中位数； （2）求本次所调查学生阅读文章篇数的平均数． 23. 【问题提出】 （1）如图1，在中，可知 ___________；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】 （2）如图2，在菱形中，，E是对角线上一点，延长至点F，使得，连接，．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，某市一湿地公园内有一块形如正方形的观光区，已知．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要沿，分别修建步行景观道，其中，点E，F分别在边和对角线上，．为了节省成本，要使所修的步行景观道之和最短，即的值最小，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太湖五校联考2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】掌握二次根式的运算性质是解题的关键.一般地，二次根式的乘法规定：；二次根式的加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 【详解】、原式，所以选项错误； 、原式，所以选项正确； 、原式，所以选项错误； 、原式，所以选项错误． 故选． 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，是解题的关键. 2. 若有意义，则a能取的最小整数为（　　） A. 0 B. ﹣4 C. 4 D. ﹣8 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：有意义，则， 解得：， 故能取的最小整数为：． 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 3. 在平行四边形中，，，对角线的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：∵平行四边形中，，， ∴ 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 4. 正八边形的每一个内角的度数为( ) A. 120° B. 60° C. 135° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理：(n﹣2)180°(n≥3且n为正整数)求出正八边形的内角和，然后求出每一个内角的度数． 【详解】解：∵内角正八边形的内角和：(8﹣2)•180°＝1080°， ∴每一个内角的度数1080°÷8＝135°． 故选C． 【点睛】本题考查多边形内角和，熟记多边形边形内角和定理是解题的关键． 5. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点A的坐标代入y=2x，即可求得m的值，由图象可得解集． 【详解】解：将A（m，3）代入中， 解得， 由图象可知在A点左边的区域满足要求不等式， 即． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与不等式，掌握它们的关系并会正确识图是解题的关键． 6. 已知点，在一次函数的图像上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，结合，可得出． 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 7. 某厂家2022年月份的自行车产量统计图如图所示，3月份自行车产量不小心被墨汁覆盖．若2月份到4月份该厂家自行车产量的月增长率都相同，则3月份自行车产量为（ ） A. 218辆 B. 240辆 C. 256辆 D. 272辆 【答案】B 【解析】 【分析】设2月份到4月份该厂家自行车产量的月增长率为x，则3月份的自行车产量为辆，4月份的自行车产量为辆，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设2月份到4月份该厂家自行车产量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴2月份到4月份该厂家自行车产量的月增长率为， ∴3月份自行车产量为辆， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 8. 若点，都在直线上，则下列大小关系成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜0＜2，即可得出y1＞b＞y2． 【详解】解：∵k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点M（﹣1，y1），N（2，y2）都在直线y＝﹣x+b上，且﹣1＜0＜2， ∴y1＞b＞y2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 9. 如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 4米 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），过点C作于点F，先利用勾股定理求出AF的长，再根据线段的和差即可得． 【详解】如图，过点C作于点F，则米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得：（米）， 则（米）， 即木马上升的高度为1米， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段的和差，熟练掌握勾股定理是解题关键． 10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①，②，③④，其中正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；④根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°， ∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确； ②∵EF=， ∴OE=2． ∵AO=AB=3， ∴AE=AO+OE=2+3=5，故正确； ③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G， 则FG=1， CF=＝＝， BH=3-1=2， DH=3+1=4， BD=，故错误； ④△COF的面积S△COF=×3×1=，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式 在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西_______方向上. 【答案】##52度 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得． 先根据勾股定理的逆定理得，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可． 【详解】解：如图，过点C作 海里，海里，海里， ， ， ，， ， ， ∵， ， 岛在岛的北偏西方向上． 故答案为：． 13. 如图，一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市（三者在同一直线上），分别表示汽车、摩托车离A地的距离随时间变化的图象，则以下结论：①摩托车比汽车晚到；②A，B两地的距离为；③摩托车的速度为，汽车的速度为；④汽车出发后与摩托车相遇，此时距离B地；⑤相遇前摩托车的速度比汽车的速度快．其中，正确的结论有_____（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据到达目的地的时间，即可判断④；根据时，两函数图象的函数值即可判断②；根据速度等于路程除以时间即可判断③；汽车出发后行走的路程为60千米，摩托车行走的路程为40千米，而未出发时，汽车落后摩托车20千米，即可判断④． 【详解】解：观察横坐标，可知，汽车比摩托提前1小时到达目的地，①对； 观察纵坐标，可知A，B两地距离，②对； 根据图象可知汽车速度为，摩托车的速度为，③错； 汽车出发后行走的路程为60千米，摩托车行走的路程为40千米，而未出发时，汽车落后摩托车20千米，则汽车出发后与摩托车相遇，此时距离B地，④对； 故答案为：①②④． 14. 如图所示，在中，，点是射线上的一个动点． （1）当为直角三角形时，的长为______． （2）若点在边的下方，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线的综合应用． （1）画出图形，在中得到，再用勾股定理计算即可； （2）分两种情况讨论：①当时，②时，分别画出图形，然后根据含直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， 当为直角三角形时，即， ∵， ∴， ， 故答案为：． （2）如图1所示， 当时，， 为等边三角形， ∴ ； 如图2所示， 当时，， ∴, ， ， 又． ． 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简后再进行加减法运算即可. 【详解】解： 16. 已知，，求的值． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，将变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在矩形中，为对角线． （1）用尺规完成以下作图：作的垂直平分线分别交于点E，F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的作图步骤以及性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可． （2）由线段垂直平分线的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求得x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：连接， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 设， 则， 由勾股定理得，， 解得， ∴的长为． 18. 如图所示，在四边形中，，，，． （1）求的长； （2）四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是对勾股定理的掌握和运用． （1）利用勾股定理直接计算即可解题； （2）先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后利用计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形且， ∴． 19. 九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 甲 175 93.75 乙 175 175 180，175，170 （1）求、的值； （2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由； （3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优． 【答案】（1）a=177.5；b=185； （2）选乙，根据题意，得 方差=37.5，=93.75， ∵＞， ∴选择乙参见； （3）从中位数的角度看：∵甲的中位数是177.5＞乙的中位数是175， ∴甲的成绩略好些； 从方差的角度看：∵＞， ∴乙的成绩更稳定些． 【解析】 【分析】（1）根据折线统计表，梳理出甲，乙成绩的数据，后根据中位数，众数的定义计算即可； （2）先计算出乙的方差，与进行大小比较即可； （3）只要合理即可. 【详解】（1）根据折线统计表，甲的成绩如下： 160,165,165,175,180,185,185,185， 185出现了3次，最多，故数据的众数是185即b=185； 根据题意，得甲的中位数是=177.5，故a=177.5； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数，方差，熟练掌握各种统计量的定义并灵活进行计算判断是解题的关键． 20. 如图，在中，，，所对的边分别为，，，若，试说明：是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 根据得出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形． 【详解】证明：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形，且． 21. 对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2），请仿照上面的做法，将下列各式因式分解： （1）x2﹣6x﹣16； （2）x2+2ax﹣3a2． 【答案】（1）（x+2）（x﹣8）；（2）（x+3a）（x﹣a） 【解析】 【分析】（1）在一次项的后面加上9再减去9，配成一个完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）在一次项的后面加上再减去，配成一个完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解； 【详解】解：（1） = = = = =； （2） = = = =． 【点睛】本题考查了完全平方公式：；平方差公式：，熟记并灵活运用这两个公式是解题的关键． 22. 联合国教科文组织将每年的3月14目定为“国际数学日”．某校八年级在三月份开展了以“数学文化”为主题的阅读活动，并随机抽查了部分学生在活动期间阅读相关文章的篇数． 收集数据：15，12，15，13，15，15，12，18，15，18，18，15，13，15，12，15，13，15，18，18． 整理数据： 阅读文章/篇 12 13 15 18 人数/人 3 m 9 5 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接写出的值及学生阅读文章篇数的中位数； （2）求本次所调查学生阅读文章篇数的平均数． 【答案】（1）3，15 （2）15 【解析】 【分析】（1）观察题中数据即可得出值，根据中位数的定义即可求出学生阅读篇数的中位数； （2）根据平均数的定义即可求出本次调查学生阅读篇数的平均数． 【小问1详解】 解：由题中数据可知阅读文章13篇的人数m的值为3， 将数据从小到大排序处于中间的两个数为15，15， ∴学生阅读篇数的中位数为15． 【小问2详解】 解：本次所调查学生阅读篇数的平均数为：， 故本次所调查学生阅读篇数的平均数是15． 【点睛】本题考查了中位数，平均数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 【问题提出】 （1）如图1，在中，可知 ___________；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】 （2）如图2，在菱形中，，E是对角线上一点，延长至点F，使得，连接，．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，某市一湿地公园内有一块形如正方形的观光区，已知．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要沿，分别修建步行景观道，其中，点E，F分别在边和对角线上，．为了节省成本，要使所修的步行景观道之和最短，即的值最小，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 【答案】（1）< （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边的关系直接求解即可； （2）作交于点G，证是等边三角形，继而证是等边三角形，得，从而得，继而证得，即可得出结论； （3）过点B作，且，连接，，证明，得，从而有，所以当点D，点E，点H三点共线时．有最小值，其值为的长，然后过点H作交的延长线于M，于N．求出，继而求得，，则可由求解． 【详解】解：（1）由题意，得． 故答案为：＜； （2）证明：如图2，作交于点G， 在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∵． ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中．， ∴， ∴． （3）如图3，过点B作，且，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴当点D，点E，点H三点共线时．有最小值，其值为的长， 过点H作交的延长线于M，于N． 在正方形中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴四边形是矩形． ∴， ∴， ∴， 故最小值为． 【点睛】本题考查三角形三边的关系，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．本题属四边形综合探究题目，属中考压轴题，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $