专题01 一元二次方程（期中真题汇编，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题01 一元二次方程 常考考点概览 考点01 一元二次方程的相关概念 考点02 解一元二次方程 专题03 一元二次方程的判别式相关问题 专题04 一元二次方程中求参数问题 专题05 一元二次方程的根与系数的关系 专题06 一元二次方程中的实际问题 专题07 一元二次方程中新定义题 地 城 考点01 一元二次方程的相关概念 一、单选题 1．(23-24九上·广东东莞松山湖实验学校·期中)下列方程中，属于一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，故不合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、是分式方程，故不合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2．(24-25九上·广东江门新会区葵城中学·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程）逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程含分母，属于分式方程，不符合整式方程的要求，故该选项不符合题意； B、方程含根号，属于无理方程，不符合整式方程的要求，故该选项不符合题意； C、 ，整理方程得，方程为一元二次方程，故该选项符合题意； D、，方程中未知数最高次数为3，属于三次方程，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．(24-25九上·广东梅州大埔县·期中)关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值．把代入，转化为m的方程求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 4．(24-25九上·广东佛山顺德区容桂外国语学校·期中)小亮在进行一元二次方程估算根的过程中，列了如下表格，根据表格信息，该根的十分位上的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，中数据得到时，；时，，则可判断方程的一个根在和之间． 【详解】解：时，；时，， 方程的一个根在和之间，则该根的十分位上的数字是 故选：A． 5．(24-25九上·广东韶关翁源县·期中)关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项．熟练掌握一元二次方程的一般形式，是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项的定义，进行解答即可． 【详解】解：由题意知，一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是， 故选：B． 二、填空题 6．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，先移项，得到其一般式，由此得到答案． 【详解】解：， 移项，得， 它的一次项系数是， 故答案为：． 7．(23-24九上·广东惠州大亚湾经济技术开发区第三中学·期中)把方程化成一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键在于熟知一元二次方程的一般式是形如的方程． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．(24-25九上·广东广州四校·期中)把方程化为一元二次方程的一般形式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，理解并掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为．据此即可获得答案． 【详解】解：把方程化为一元二次方程的一般形式：． 故答案为：． 地 城 考点02 解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·广东肇庆第二中学·期中)方程的解是（   ） A． B． C． D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 2．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)将方程配方后所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需通过配方将原方程转化为完全平方形式． 【详解】解：原方程为 ， 移项：将常数项移到等式右边，得， 配方：等式两边加上一次项系数一半的平方（即 ，平方为 ），得 ， ∴方程配方后所得的方程：， 故选：A． 3．(23-24九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)方程 的正根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】移项得， ∴， ∴方程 的正根为， 故选：． 二、填空题 4．(24-25九上·广东惠州惠东县·期中)若关于的方程的其中一个根是，则另一个根 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，求出另外一个根即可． 【详解】解：∵关于的方程的其中一个根是，两根之积为 ∴， 故答案为：． 5．(23-24九上·广东江门广州大学台山附属中学教育集团·期中)若，则 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查解一元二次方程，设，则原方程可变形为，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论． 【详解】解：设，则原方程可变形为， 整理得，， ， ，， ∴，， 即或， 故答案为：1或． 三、解答题 6．(24-25九上·广东肇庆第二中学·期中)用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再由直接开平方法解方程即可； （2）由因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以，； （2）解：， ， 或， 所以，． 7．(23-24九上·广东江门新会第二中学·期中)用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）去括号整理，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，； （3）解： 解得，． 8．(24-25九上·广东江门蓬江区楼山初级中学·期中)解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法． （1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ， ， ∴或， ∴，． 9．(24-25九上·广东封开县广信中学·期中)解方程： (1)；（配方法解） (2)．（公式法解） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）由十字相乘法因式分解解一元二次方程即可得到答案； （2）由公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， 即，． 10．(24-25九上·广东佛山顺德区京师励耘实验学校·期中)解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或 解得： （2）解： ∴ ∴ ∴或 解得： 11．(24-25九上·广东惠州惠城三中、博雅培文实验学校·期中)选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则或， 解得，； （2）解：∵，，， ∴， 则， ∴，． 12．(23-24九上·广东江门江海区礼乐街道第三初级中学·期中)解方程：（十字相乘法）． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 先利用因式分解法把方程转化为，则或，进而完成解答． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 13．(24-25九上·广东佛山南海区狮山镇·期中)阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． (2)已知实数、满足，求的值． (3)解方程． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解； （1）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． （2）设．由已知等式得出，结合可得答案； （3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案． 【详解】（1）解：设最小数为，则， 即：， 设，则， ，， 为正整数， ， ，舍去， 这四个整数为，，，． 故答案为：，，，． （2）设． ， ， ， ， ， ； （3）， ， 设，则， ， 或， ，， 或， ∴． 14．(24-25九上·广东中山小榄镇·期中)阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． （2）设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 15．(24-25九上·广东佛山顺德区容桂外国语学校·期中)问题背景： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程，可以将看成一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程没有实数根，所以原方程的根为：，． 解决问题： (1)用适当的方法解下列方程： ①； ②． (2)已知一元二次方程，，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或或12 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给的降次转化的方法和步骤． （1）①设，则，原方程化为，即可解答；②设，则，原方程化为，即可解答； （2）设，则，，则，求出m和n的值，则，用题目所给方法求出m和n的值，即可解答． 【详解】（1）解：①， 设，则， 原方程化为， 解得：， ∴或； 解得：； ②， 设，则， 原方程化为， 解得：， ∴或， 解得：． （2）解：， 设，则， 原方程化为， 解得： ， 设，则， 原方程化为， 解得： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值为或或12． 地 城 考点03 一元二次方程的判别式相关问题 一、解答题 1．(24-25九上·广东深圳福田区外国语学校（集团）·期中)不解方程，判断方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，即可解答． 【详解】解：根据题意得， ∴方程有两个不相等实数根． 故选：C． 2．(24-25九上·广东江门新会区尚雅学校·期中)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意可得，，由此计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且， 故选：A． 3．(24-25九上·广东仲元中学附属学校·期中)定义新运算：．若方程有两个相等正实数根，且（其中），则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，解得，，再利用方程有两个相等的正实数解，所以，则．利用新定义得到，然后整理后利用因式分解得到，从而得到的值． 【详解】解：∵方程有两个相等实数根， ∴， 解得，， 当时方程有两个相等的负实数解， ∴， ∵， ∴， 整理得， ， 而， ∴， 即． 故选：B． 二、填空题 4．(24-25九上·广东汕头潮南区峡山街道联考·期中)已知关于的方程有一个根1，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有一个根1， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·广东深圳龙华区·期中)如果m是关于x的一元二次方程：的根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，将方程的根m代入方程中求解即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴，则， ∴， 故答案为：2025． 6．(24-25九上·广东佛山顺德区15校联考·期中)若等腰三角形的一边长是5，另两边的长是关于x的方程的两个根，则m的值为 ． 【答案】10或 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元二次方程，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解题的关键．分两种情况讨论：当底边长为5时；当腰长为5时；分别解方程即可求得的值．注意：求得的值之后，一定要将的值代入原方程并解方程，以便求得等腰三角形的三边并验证其是否满足三角形三边之间的关系． 【详解】解：分两种情况： 当底边长为5时， 则腰长为方程的两个根， 两根相等， ， 解得：， 此时方程化为， 即：， 解得：， ， 、、5满足三角形三边之间的关系； 当腰长为5时， 则是方程的一个根， ， 解得：， 此时方程化为， 即：， 解得：，， ， 、5、2满足三角形三边之间的关系； 综上所述，或10， 故答案为：或10． 三、解答题 7．(24-25九上·广东肇庆颂德学校·期中)已知关于的方程， (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)设、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由题意得：， ∴， 解得：． 8．(24-25九上·广东江门恩平·期中)已知关于的方程 (1)求证：此方程有两个不相等的实数根： (2)若方程两根，满足，求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系： （1）利用判别式证明即可； （2）根据根与系数的关系，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）由题意，得：， 解得：． 9．(23-24九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取满足条件的最大整数时，求该方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）由题意可得，求解即可； （2）结合题意得出，从而可得原一元二次方程为，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵当k取满足条件的最大整数时，且， ∴， ∴原一元二次方程为， 解得，． 10．(24-25九上·广东茂名化州丽岗中学·期中)定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由见解析 (2)a的值为3 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式的意义分析，即可求解； （2）根据因式分解法解方程解得，，然后根据“倍根方程”的定义且方程两个实数根都是整数，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由如下： 解：因为， 则当时，， 所以该方程有两个不相等的实数根． 当时，， 所以该方程有两个相等的实数根． （2）由方程得， ， 解得，． 因为该方程是“倍根方程”， ①当时， 解得， 则因为方程的根为整数，故舍去． ②当时， 解得． 则为整数，符合题意． 所以的值为． 11．(24-25九上·广东梅州兴宁实验学校·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形的两边，的长是上述方程的两个根，当为5时，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为5或4． 【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，分当，时，两种情况讨论，即可得出结论． 【详解】（1）证明： ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：， 即， 解得：，． 当时，三角形三边为5，5，6，，符合题意； 当时，即，三角形三边为5，5，4，，符合题意； 答：的值为5或4． 地 城 考点04 一元二次方程中求参数问题 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州花都区秀全外国语学校·期中)关于的方程是一元二次方程，则满足（ ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定式是解题的关键； 一般地形如（a，b，c都是常数，且）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 2．(24-25九上·广东广州荔湾区四中集团·期中)已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别式． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求解，先得出二次项系数不为零，再需要满足判别式需大于零，解这个不等式即可． 【详解】解：方程为一元二次方程，故， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴需满足， 解得：， ∴的取值范围为且， 故选：D． 3．(23-24九上·广东珠海香洲区珠海凤凰中学·期中)如果关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值是（） A．15 B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程有实数根， 且 解得：且， 故整数的最大值为0． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 4．(24-25九上·广东东莞·期中)若是方程的一个根，则的值为（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 根据题意可得，然后可得，然后将变形后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选A． 5．(23-24九上·广东江门新会东方红中学·期中)若、是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根的定义，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 由题意知，，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．(24-25九上·广东江门新会区葵城中学·期中)若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：9． 7．已知是方程的一个根，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及求代数式的值，把代入方程得出，求出，从而代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入得：， ∴， ∴， 故答案为． 三、解答题 8．(24-25九上·广东深圳龙华区新华中学·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解等知识； （1）将代入一元二次方程即可求a； （2）由于根的存在性可得，再结合二次项系数，可求a的范围为且，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程的一个根为， 将代入一元二次方程， 可得， ； （2）解：∵是一元二次方程， ∴，即 ∵方程有实数根， ∴ 解得： ∴且 ∵a是正整数， ∴． 9．(24-25九上·广东佛山顺德区容桂外国语学校·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)当时，方程的两个实数根恰好是一个三角形两边的长，那么这个三角形的第三边的长可能是5吗？为什么？ 【答案】(1)且 (2)这个三角形的第三边的长不可能是5，理由见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，构成三角形的条件： （1）根据题意可知判别式大于等于0，再结合二次项系数不为0进行求解即可； （2）先解方程得到方程的两个解，进而确定三角形两条边的长，再根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边确定出第三边的长的范围即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴， 又∵二次项系数不为0， ∴， 综上所述，且； （2）解：这个三角形的第三边的长不可能是5，理由如下： 当时，原方程为， ∴， 解得或， ∴这个三角形的两边长为1，3， ∴第三边的长， ∴这个三角形的第三边的长不可能是5． 10．(24-25九上·广东广州白云区新片区·期中)已知关于的一元二次方程，若方程有实数根，求满足条件的正整数的值． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根，得到，求出的取值范围，进而确定正整数的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴满足条件的正整数的值为：． 11．(24-25九上·广东江门新会区陈经纶中学·期中)已知关于x的方程． (1)当m取什么值时，原方程没有实数根； (2)当时，原方程有两个实数根，求这两个实数根的平方和． 【答案】(1)当时，原方程没有实数根； (2)这两个实数根的平方和是14． 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系． （1）要使原方程没有实数根，只需即可，然后可以得到关于m的不等式，由此即可求出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可求得两根的平方和． 【详解】（1）解：∵方程没有实数根 ， ， ∴当时，原方程没有实数根； （2）解：当时，原方程变为， 设此时方程的两根分别为，， 则，， ， ∴当时，原方程有两个实数根，这两个实数根的平方和是14． 12．(24-25九上·广东深圳九校联考·期中)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，求出和即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）计算的值进行判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到和，将其代入解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程， ， 故该方程总有两个实数根； （2）解：关于x的一元二次方程， 由一元二次方程根与系数的关系得得，， 若， ， ， 或 地 城 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·广东珠海香洲区立才学校·期中)已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，，， ， 故选：D． 2．(24-25九上·广东茂名茂南一中·期中)已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系即可解答． 【详解】解：已知，是一元二次方程的两根， 根据题意可知，，， 所以； 故选：D 3．(24-25九上·广东广州第九十七中学·期中)关于x的方程的两根为1和，则a，c的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数关系构建方程求解． 【详解】解：∵关于x的方程的两根为1和， ∴，， ∴，， 经检验均符合题意 ， 故选：B． 4．(24-25九上·广东深圳宝安中学（集团）初中部·期中)小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是4和1； ∴， 又∵小敏写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项不符合题意； C. 中，，，故该选项符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．(24-25九上·广东惠州·期中)已知方程的两个根为，，若两个根互为相反数，则该方程的两个根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，相反数的定义，解一元二次方程，根据的两个根，互为相反数，得到，进而得到方程为，对其求解，即可解题． 【详解】解： 的两个根，互为相反数， ，即， ， 解得， 方程的两个根为， 故选：C． 6．(24-25九上·广东深圳深圳高级中学·期中)若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．首先根据一元二次方程根与系数的关系得到、，再根据菱形的面积公式求出，利用菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理可以得到菱形的边长为，然后再经计算求解． 【详解】解：设、是关于的一元二次方程的两个实数根， 则菱形的两条对角线的长为、， ，， 根据菱形的面积为可得：， ， 菱形的对角线互相垂直平分， 菱形的边长为： ， ． 故选：C． 二、填空题 7．(24-25九上·广东深圳八校联考·期中)已知实数，满足，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对根与系数的关系的理解和掌握，将原方程变为，得到，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键． 【详解】∵方程可变为， 又∵实数，满足，且， ，是方程的两个根， ， 故答案为：． 8．(24-25九上·广东茂名博雅中学·期中)已知，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．熟练掌握若，是方程的两个根，则，是解题的关键．由题意知，，，再把展开，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 9．(24-25九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)已知α，β是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：∵α，β是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：4． 10．(23-24九上·广东云浮新兴县河头镇初级中学、簕竹镇初级中学·期中)已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，可直接求出，，再把通分得到即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：2． 11．(22-23九上·广东珠海香洲区珠海第十中学·期中)一元二次方程的两根为，则 ． 【答案】11 【分析】根据，计算即可． 【详解】∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了根与系数关系定理，完全平方公式的变形计算，熟练掌握定理是解题的关键． 三、解答题 12．(23-24九上·广东湛江赤坎区湛江第七中学·期中)若、是一元二次方程的两个根，求和的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，熟记根与系数关系的公式是解答本题的关键． 根据题意，得到，，再将整理，得到，利用完全平方公式，将整理，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 、是一元二次方程的两个根， ，， ， ． 13．(23-24九上·广东广州天河区新昌学校·期中)已知，是一元二次方程的两实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：的两根满足． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，对展开式进行代入计算即可． （2）先将根代入原方程，得到，移项后得，再代入，最后利用两根之和再代入即可求得结果． 【详解】（1）解：根据题意，得， ． ； （2）∵，是一元二次方程的两实数根， ∴， ∴． ∴     1 ． 14．(23-24九上·广东肇庆高新区华赋实验学校·期中)已知关于x的一元二次方程： (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根． (2)若该方程的两个根之和为0，求两个根的乘积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，弄清根与系数的关系是解本题的关键； （1）表示出根的判别式，判断值大于等于0，即可得证； （2）根据题意表示出两个之和，求出m的值即可，得出方程，根据根与系数关系即可得出两根之积； 【详解】（1）证明：， ， 不论为何实数，方程总有实数根． （2）设该方程的两根为，由根与系数的关系得， ， 原方程为， 则， 两个根的乘积为． 地 城 考点06 一元二次方程中的实际问题 一、单选题 1．(24-25九上·广东潮州湘桥区城西中学·期中)如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式表示是解题的关键． 设镶嵌的装饰部分的宽度为，则镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为，因为镶嵌后的面积为为，根据矩形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：矩形长为、宽为，设镶嵌的装饰部分的宽度为， ∴镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为， ∴一元二次方程是， 故选：B ． 2．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36场比赛，设参加的队数为，根据题意列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，每两队比赛一场，则每支队伍需与别的支队伍各赛一场．此时每场比赛会被计算两次（如甲队与乙队的比赛既算作甲队的比赛，也算作乙队的比赛），因此总比赛场数为场，据此列方程即可． 【详解】解：设有支队伍参赛， 由题意得，， 故选：C． 3．(24-25九上·广东江门台山横山中学·期中)某校为更好地开展“阳光体育”活动，决定组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排21场比赛．则该校八年级共有班级（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】本题考查单循环比赛场次的计算，根据题意建立方程求解班级数，即可解答． 【详解】解：设该校八年级共有个班级．单循环赛制下，每两个班级比赛一场，总场次为组合数．根据题意，总场次为21场，列方程： 两边同乘2，整理得： 解此二次方程，判别式，根为： 取正根得． 验证：当时，总场次为，符合条件． 因此，该校八年级共有7个班级． 故选B． 4．(24-25九上·广东江门新会区葵城中学·期中)为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用x表示出矩形的长和宽是解题的关键．由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：∵小道的宽为x米， ∴需要种植的矩形的长为米，宽为米， 则， 故选：A． 二、填空题 5．(23-24九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 首先根据1月份售价为20万元，设月平均降价率是可x，得出2月份的售价为万元，3月份的售价为万元，据此根据3月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：设月平均降价率为x， 则 ． 解得：（不合题意，舍去） 2月份、3月份的平均月降价率为． 故答案为：． 6．(24-25九上·广东江门蓬江区实学校·期中)为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 故答案为：． 7．(24-25九上·广东梅州五华县·期中)如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过 落回地面．（结果保留小数后两位） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，根据物体回落到地面，即，然后解方程求解即可，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍去），， 因此物体经过落回地面， 故答案为：． 三、解答题 8．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)万人 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设这两个月的平均增加率为x，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据（1）的结论，结合月游客人数，即可求解． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，可得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． （2）解：按照以上增长速度，预计月该景区游客人数为万人． 9．(24-25九上·广东江门台山横山中学·期中)近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 10．(23-24九上·广东深圳福田区外国语学校·期中)“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元． (1)当一斤荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元； (2)若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 【答案】(1)； (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意：当销售单价为每千克元时，平均每天能售出千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出千克.即可得出结论; （2）由题意：超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解： 由题意得：销售数量为千克；利润为元； 故答案为：；； （2）由题意得:， 解得： ∵让顾客得到实惠， ， 答：销售利润每天达到元，且让顾客得到实惠，每千克应降价元． 11．(23-24九上·广东广州海珠区绿翠现代实验学校·期中)世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为ⅹ元． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？ 【答案】(1)， (2)50元 (3)52元 【分析】本题主要考查了二次函数、一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则销售单价上涨了元，每天销售量减少本，所以，然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于确定的范围，进而得解； （2）依据题意，利用每本的利润乘以销售量等于总利润，从而，然后解方程后利用的范围确定销售单价； （3）依据题意，利用每本的利润乘以销售量等于总利润，故，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到时最大，从而计算出时对应的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即：； 销售单价不低于44元，且获利不高于， 最高价为元，即， 故：． （2）解：由题意可得：， ，， 又结合（1）， ， 答：每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； （3）解：由题意，商店每天销售纪念册获得的利润为 ， 又，图象开口向下， 当时，随的增大而增大， 又， 当时，有最大值，最大值为， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大． 12．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期中)某商场有A，B两款电器，购买2台A款电器和1台B款电器要840元，购买1台A款电器和2台B款电器要780元． (1)求A，B两款电器每台的售价； (2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 【答案】(1)300元，240元 (2)40元 【分析】（1）设每台A款电器售价x元，每台B款电器售价y元，根据题意列二元一次方程组求解即可． （2）设每台A款电器应降价a元，根据商场想要每月销售A款电器的利润为10800元列一元二次方程求解即可． 本题主要考查了运用二元一次方程组解应用题和列一元二次方程解决利润问题，正确的列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每台A款电器售价x元，每台B款电器售价y元，根据题意得 ， 解得． 答：每台A款电器售价300元，每台B款电器售价240元． （2）解：设每台A款电器应降价a元，根据题意得 ， ， ， ，， 由于要尽可能减少库存，故取； 答：每台A款电器应降价40元． 13．(23-24九上·广东广州东风实验学校·期中)某商场销售一种商品，每件进价为5元，调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件． (1)当销售单价为11元时，平均每天可以销售______件商品；与的函数关系式为______，其中的取值范围是______； (2)商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为多少元? (3)销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)18，， (2)商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为10元 (3)销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大，最大利润是112元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准变量之间的关系，正确列出关系式及一元二次方程是解此题的关键 （1）根据“当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件，而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件”列出与的函数关系式即可； （2）根据“每天获得100元的销售利润”列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先表示出关于的关系式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件，而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件， 当销售单价为11元时，平均每天可以销售（件）商品， 与的函数关系式为：， 销售单价不能超过12元， ， 故答案为：18，，； （2）解：设该商品的销售单价为元，则每件商品的利润为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， 商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为10元； （3）解：根据题意得： ， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，最大，为（元）， 销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大，最大利润是112元． 14．(23-24九上·广东佛山顺德区顺峰初级中学·期中)如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作平行四边形，连接．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，当等于多少时，． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或 【分析】（1）作于，于，证明四边形是正方形，得出，，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，可得，再求解即可； （3）设，由（2）得：，，由，列出方程，求解方程即可得出答案． 【详解】（1）证明：作于，于，如图1所示：    则， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形，是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 矩形是正方形； （2）四边形是正方形，四边形是正方形，， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）设， 由（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴当或时，． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形性质、三角形的全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 地 城 考点07 一元二次方程中新定义题 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州番禺区广雅集团、祈福新村学校联考·期中)设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查定义新运算，解一元二次方程的运用，理解新定义，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：，即， 解得：． 故选：C． 2．(23-24九上·广东河源龙川第一实验学校·期中)若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算与一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为常规一元二次方程． 根据新定义运算“Δ”，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解法求解． 【详解】根据定义， ． 原方程化为： 移项并整理得： 提取公因式： 解得： 或，即 或． 因此，方程的实数根为，， 故选：C． 二、填空题 3．(24-25九上·广东河源龙川县·期中)定义新运算：，例如：．若，则x的值为 ． 【答案】0或/或0 【分析】根据题意列得方程并解方程即可．本题考查实数的新定义，解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 即， 解得：或， 故答案为：0或． 4．(23-24九上·广东东莞石碣袁崇焕中学·期中)将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如． 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且， 则 的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据降次法，求出，再解一元二次方程，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∵，且， 解得：， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，解一元二次方程．理解并掌握降次法，是解题的关键． 三、解答题 5．(23-24九上·广东河源龙川第一实验学校·期中)定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 【答案】(1) (2)“两根点”P的坐标为． 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先解方程得到两根，然后根据“两根点”的定义即可解答； （2）先求出“两根点”点P，然后将点P的坐标代入即可求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以该方程的解为：，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． ∴“两根点”P的坐标为． 6．(24-25九上·广东深圳龙岗区·期中)综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… （4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根． 【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数；（4）证明见解析；（5），． 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系，求根公式的应用，倒数的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义即可得出答案； （2）根据“友好方程”的定义得出方程的“友好方程”，求解即可； （3）（4）根据求根公式得出方程的两根为，及其“友好方程”的两根为，，再求得，，即可得出答案； （5）先根据“友好方程”的根的特点求出，即的两根为，，将待求方程变为，把看成一个整体即可求解． 【详解】解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ∴， 解得：，； （3）（4）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； （5）∵关于x的方程的两根是，， ∴方程的“友好方程”，即的两根为，， 设 ∴，即可化为： ， ∴，， ∴或， 解得：，． 7．(24-25九上·广东深圳福田区红岭教育集团·期中)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程 （填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”． 【答案】(1)不是； (2)见解析． 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义，本题属于中等题型． （1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）方程化为方程，解方程求得方程的根，根据倍根方程的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， 解得，，， 故一元二次方程不是“倍根方程”； （2）解：∵点在双曲线上， ， ∴方程化为方程， ， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． 8．(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)课本知识，关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)初步探究：判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； (2)拓展应用：求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)过程见解析 【分析】本题考查了“勾系一元二次方程”，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点，读懂题意是解题的关键． （1）根据“勾系一元二次方程”的定义直接判断即可； （2）根据及根的判别式，再利用完全平方的非负性来判断即可． 【详解】（1）解： ， ，， ，， 方程是“勾系一元二次方程”； （2）证明： 是关于的“勾系一元二次方程”， ， 关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 常考考点概览 考点01 一元二次方程的相关概念 考点02 解一元二次方程 专题03 一元二次方程的判别式相关问题 专题04 一元二次方程中求参数问题 专题05 一元二次方程的根与系数的关系 专题06 一元二次方程中的实际问题 专题07 一元二次方程中新定义题 地 城 考点01 一元二次方程的相关概念 一、单选题 1．(23-24九上·广东东莞松山湖实验学校·期中)下列方程中，属于一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东江门新会区葵城中学·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东梅州大埔县·期中)关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．(24-25九上·广东佛山顺德区容桂外国语学校·期中)小亮在进行一元二次方程估算根的过程中，列了如下表格，根据表格信息，该根的十分位上的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．(24-25九上·广东韶关翁源县·期中)关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，5 B． C． D． 二、填空题 6．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 7．(23-24九上·广东惠州大亚湾经济技术开发区第三中学·期中)把方程化成一元二次方程的一般形式是 ． 8．(24-25九上·广东广州四校·期中)把方程化为一元二次方程的一般形式： ． 地 城 考点02 解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·广东肇庆第二中学·期中)方程的解是（   ） A． B． C． D．没有实数根 2．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)将方程配方后所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)方程 的正根为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·广东惠州惠东县·期中)若关于的方程的其中一个根是，则另一个根 ． 5．(23-24九上·广东江门广州大学台山附属中学教育集团·期中)若，则 ． 三、解答题 6．(24-25九上·广东肇庆第二中学·期中)用适当的方法解方程： (1)； (2)． 7．(23-24九上·广东江门新会第二中学·期中)用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) 8．(24-25九上·广东江门蓬江区楼山初级中学·期中)解方程： (1) (2) 9．(24-25九上·广东封开县广信中学·期中)解方程： (1)；（配方法解） (2)．（公式法解） 10．(24-25九上·广东佛山顺德区京师励耘实验学校·期中)解方程： (1)． (2)． 11．(24-25九上·广东惠州惠城三中、博雅培文实验学校·期中)选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 12．(23-24九上·广东江门江海区礼乐街道第三初级中学·期中)解方程：（十字相乘法）． 13．(24-25九上·广东佛山南海区狮山镇·期中)阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． (2)已知实数、满足，求的值． (3)解方程． 14．(24-25九上·广东中山小榄镇·期中)阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 15．(24-25九上·广东佛山顺德区容桂外国语学校·期中)问题背景： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程，可以将看成一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程没有实数根，所以原方程的根为：，． 解决问题： (1)用适当的方法解下列方程： ①； ②． (2)已知一元二次方程，，求的值． 地 城 考点03 一元二次方程的判别式相关问题 一、解答题 1．(24-25九上·广东深圳福田区外国语学校（集团）·期中)不解方程，判断方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法确定 2．(24-25九上·广东江门新会区尚雅学校·期中)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 3．(24-25九上·广东仲元中学附属学校·期中)定义新运算：．若方程有两个相等正实数根，且（其中），则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 二、填空题 4．(24-25九上·广东汕头潮南区峡山街道联考·期中)已知关于的方程有一个根1，那么 ． 5．(24-25九上·广东深圳龙华区·期中)如果m是关于x的一元二次方程：的根，则代数式的值为 ． 6．(24-25九上·广东佛山顺德区15校联考·期中)若等腰三角形的一边长是5，另两边的长是关于x的方程的两个根，则m的值为 ． 三、解答题 7．(24-25九上·广东肇庆颂德学校·期中)已知关于的方程， (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)设、是方程的两根，且，求的值． 8．(24-25九上·广东江门恩平·期中)已知关于的方程 (1)求证：此方程有两个不相等的实数根： (2)若方程两根，满足，求的值； 9．(23-24九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取满足条件的最大整数时，求该方程的根． 10．(24-25九上·广东茂名化州丽岗中学·期中)定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 11．(24-25九上·广东梅州兴宁实验学校·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形的两边，的长是上述方程的两个根，当为5时，求k的值． 地 城 考点04 一元二次方程中求参数问题 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州花都区秀全外国语学校·期中)关于的方程是一元二次方程，则满足（ ） A． B． C． D．为任意实数 2．(24-25九上·广东广州荔湾区四中集团·期中)已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 3．(23-24九上·广东珠海香洲区珠海凤凰中学·期中)如果关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值是（） A．15 B．0 C． D．1 4．(24-25九上·广东东莞·期中)若是方程的一个根，则的值为（    ） A．10 B． C．5 D． 5．(23-24九上·广东江门新会东方红中学·期中)若、是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25九上·广东江门新会区葵城中学·期中)若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 7．已知是方程的一个根，则代数式的值等于 ． 三、解答题 8．(24-25九上·广东深圳龙华区新华中学·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 9．(24-25九上·广东佛山顺德区容桂外国语学校·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)当时，方程的两个实数根恰好是一个三角形两边的长，那么这个三角形的第三边的长可能是5吗？为什么？ 10．(24-25九上·广东广州白云区新片区·期中)已知关于的一元二次方程，若方程有实数根，求满足条件的正整数的值． 11．(24-25九上·广东江门新会区陈经纶中学·期中)已知关于x的方程． (1)当m取什么值时，原方程没有实数根； (2)当时，原方程有两个实数根，求这两个实数根的平方和． 12．(24-25九上·广东深圳九校联考·期中)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，求m的值． 地 城 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·广东珠海香洲区立才学校·期中)已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（  ） A． B． C．1 D． 2．(24-25九上·广东茂名茂南一中·期中)已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东广州第九十七中学·期中)关于x的方程的两根为1和，则a，c的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 4．(24-25九上·广东深圳宝安中学（集团）初中部·期中)小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东惠州·期中)已知方程的两个根为，，若两个根互为相反数，则该方程的两个根为（　　） A． B． C． D． 6．(24-25九上·广东深圳深圳高级中学·期中)若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25九上·广东深圳八校联考·期中)已知实数，满足，且，则的值为 ． 8．(24-25九上·广东茂名博雅中学·期中)已知，是方程的两个根，则 ． 9．(24-25九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)已知α，β是一元二次方程的两根，则 ． 10．(23-24九上·广东云浮新兴县河头镇初级中学、簕竹镇初级中学·期中)已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 11．(22-23九上·广东珠海香洲区珠海第十中学·期中)一元二次方程的两根为，则 ． 三、解答题 12．(23-24九上·广东湛江赤坎区湛江第七中学·期中)若、是一元二次方程的两个根，求和的值． 13．(23-24九上·广东广州天河区新昌学校·期中)已知，是一元二次方程的两实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 14．(23-24九上·广东肇庆高新区华赋实验学校·期中)已知关于x的一元二次方程： (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根． (2)若该方程的两个根之和为0，求两个根的乘积． 地 城 考点06 一元二次方程中的实际问题 一、单选题 1．(24-25九上·广东潮州湘桥区城西中学·期中)如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36场比赛，设参加的队数为，根据题意列出方程为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东江门台山横山中学·期中)某校为更好地开展“阳光体育”活动，决定组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排21场比赛．则该校八年级共有班级（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．(24-25九上·广东江门新会区葵城中学·期中)为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(23-24九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为 ． 6．(24-25九上·广东江门蓬江区实学校·期中)为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程 ． 7．(24-25九上·广东梅州五华县·期中)如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过 落回地面．（结果保留小数后两位） 三、解答题 8．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 9．(24-25九上·广东江门台山横山中学·期中)近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 10．(23-24九上·广东深圳福田区外国语学校·期中)“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元． (1)当一斤荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元； (2)若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 11．(23-24九上·广东广州海珠区绿翠现代实验学校·期中)世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为ⅹ元． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？ 12．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期中)某商场有A，B两款电器，购买2台A款电器和1台B款电器要840元，购买1台A款电器和2台B款电器要780元． (1)求A，B两款电器每台的售价； (2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 13．(23-24九上·广东广州东风实验学校·期中)某商场销售一种商品，每件进价为5元，调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件． (1)当销售单价为11元时，平均每天可以销售______件商品；与的函数关系式为______，其中的取值范围是______； (2)商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为多少元? (3)销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大?最大利润是多少? 14．(23-24九上·广东佛山顺德区顺峰初级中学·期中)如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作平行四边形，连接．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，当等于多少时，． 地 城 考点07 一元二次方程中新定义题 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州番禺区广雅集团、祈福新村学校联考·期中)设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 2．(23-24九上·广东河源龙川第一实验学校·期中)若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·广东河源龙川县·期中)定义新运算：，例如：．若，则x的值为 ． 4．(23-24九上·广东东莞石碣袁崇焕中学·期中)将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如． 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且， 则 的值为 ． 三、解答题 5．(23-24九上·广东河源龙川第一实验学校·期中)定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 6．(24-25九上·广东深圳龙岗区·期中)综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… （4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根． 7．(24-25九上·广东深圳福田区红岭教育集团·期中)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程 （填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”． 8．(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)课本知识，关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)初步探究：判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； (2)拓展应用：求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $