专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（几何模型讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近几年各地的考试中出现不少的几何倒角模型，属于几何题型中较难的一类题目，主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·山东·模拟预测）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（   ） A． B． C． D． （2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，平分交的延长线于点，交于点，，过点作交于点，则的度数为 ． （2025·四川成都·一模）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 例3如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 例4（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知，如图，在中，平分交于点H，D、E分别在的延长线上，，． (1)求证：； (2)若比大．求的度数． 例5（24-25七年级下·上海·阶段练习）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 模型2.“A”字模型 例1（25-26八年级上·四川南充·开学考试）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为 ． 例2（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，从纸片中剪去，得到四边形，若．则等于 ． 例3（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 例4（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 例5（24-25八年级上·重庆南岸·期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接． (1)求的度数． (2)若，求证：． 模型3.三角板模型 例1（2025·广东珠海·一模）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 例3（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图1，一副三角板的直角顶点重合，边，在直线上，其中，，． (1)请直接写出：_________． (2)如图，将三角板沿着直线向右平移得到三角板，直线与直线相交于点． 若点在线段上（不包括端点），求与的数量关系； 若，求的度数． 例4（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）【阅读理解】 已知直线．将一块三角板按如图所示方式摆放，，三角板的两个顶点和分别在直线、上，求证：． 证明：过点作的平行线． （已知），（已作）， （依据1）， （两直线平行，内错角相等） （已作） （依据2） （等量代换） （1）填空：上述解答过程中，依据1是______，依据2是______； 【初步应用】 （2）已知直线，将一块三角板按如图3所示方式摆放，，写出，与之间的数量关系，并说明理由（不用写依据）； 【拓广延伸】 （3）已知，，一副三角板按如图4方式摆放，三角板的两个顶点，分别在直线和上，边的延长线交于点，，，请直接写出的度数． 例5（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）将分别含有和角的两块直角三角板的最长边部分重叠地摆放在一起，边在直线上，点在直线上，且，与交于点，，． (1)填空：如图1，_____． (2)如图2，将直角三角板沿射线方向平移，当点恰好落在直线上时，求的度数． (3)如图3，将直角三角板沿射线方向平移到的位置，若点是的中点，且，求平移的距离． (4)将直角三角板沿直线平移，在平移过程中，始终保持两直角三角板的直角顶点在直线的两侧，则当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出的度数． 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，的角平分线BD、CE相交于点P，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，E是线段上一点，连接，的平分线与的平分线交于点F．已知，则的度数为 ． 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使 ，则应 （填“调大”或“调小”） 度． 4．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）【动手探究】 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）： (1)若，则的度数为________． (2)若，则的度数为________． (3)由（2）猜想与的数量关系，并说明理由． (4)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 5．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，，C点在上，，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求和的大小． 6．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）综合与实践 已知直线，将一个直角三角尺和这两条平行线放置在同一平面内，两直角边分别和直线相交于点． (1)如图1，当点在直线之间时，请直接写出和之间的数量关系； (2)如图2，当点在直线上方时，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，若，请直接写出的度数． 7．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图1，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)求，，的度数； (2)在旋转过程中，如图2，当时，求α的度数； (3)如图3，当点C在内部时，边、分别交、的延长线于、两点． ①α的取值范围是 ； ②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系． 8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，于点D，交于点E，于点G，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点分别在上，连接，于点，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 11．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知：如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”，和的平分线和相交于点，试解答下列问题： (1)在图中，试说明：． (2)在图中，若，，根据（1）中得到的数量关系，求的度数； (3)如果图中和为任意角，其他条件不变，直接写出与、之间的数量关系． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一副三角尺摆放在中，点在上，点在上． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若为上一点，连接，，且，，求的度数． 13．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）将三角尺（，）放置在上（点D在内），如图1，三角尺的两边，恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． (1)特例探索：当时，______°，______°； (2)类比探索：写出，与之间的数量关系，并说明理由； (3)变式探索：如图2，改变三角尺的位置，使点D在外，三角尺的两边，仍恰好经过点B和点C，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 14．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 15．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，交于点D，点E在边上，连接，，，求的度数． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知：如图①，线段，相交于点，连接，，我们把形如图①的图形称为“8字形”．试解答下列问题： (1)根据图①，求之间的数量关系； (2)仔细观察，图②中“8字形”的个数有 个； (3)在图②中，若，，和分别平分和，求的度数． 17．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）是一张三角形的纸片，点D、E分别是边、上的点．将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在四边形的边上时，的大小为________度，与之间的数量关系是________． (2)如图②，当点落在四边形的内部时，直接写出与、之间的数量关系是________． (3)如图③，当点落在四边形的外部时，写出与、之间的数量关系，并说明理由． 18．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 19．（24-25七年级下·天津河西·阶段练习）已知：直线，直线与直线交于点E，． (1)如图①，平分交于F，平分交于G， ①求__________； ②求的度数； (2)如图②，，在的平分线上取一点P，连接，当时，直接写出的度数． 20．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且于E． (1)求证：； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G． ①若，求的度数． ②当的度数变化时，的度数是否发生变化？请说明理由； (3)如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是 ． 21．（24-25八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板的两块直角三角尺的直角顶点C重合，其中，，． (1)如图1，与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图2，三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当平行时，求的度数； (3)三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当与三角尺的一边平行时，请直接写出的所有可能的度数． 22．（24-25八年级上·陕西西安·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近几年各地的考试中出现不少的几何倒角模型，属于几何题型中较难的一类题目，主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·山东·模拟预测）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由，得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． （2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，平分交的延长线于点，交于点，，过点作交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据角平分线的定义可得，运用三角形外角的性质可得，最后利用角的和差以及垂直的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2025·四川成都·一模）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据同角的补角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用平行线的判定即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得，根据角平分线得，根据高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：， ， 为的角平分线， ， 为的高， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高和角平分线，对顶角相等，解题的关键是掌握这些知识并能灵活运用． 例2（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），见解析； （3），见解析． 【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，掌握题目中（1）的规律是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可作答； （2）由题意设，，再根据（1）的结论建立方程组即可； （3）设，之后同（2）根据（1）的结论建立方程组即可求解． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2）之间的数量关系是：，证明如下： 和的平分线和相交于点P， 设，， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， 得：， ； （3）之间的数量关系是：，理由如下： 设， ， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， ， ， 整理得：． 例3如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差为：，再根据中线定义得，以及，即可得出答案； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）解：的周长为：， 的周长为：， 与的周长差为：， 是的中线， ， 又，， ， 即与的周长差为：1． 故答案为：1． （2）解：是的平分线，， ， 是的高， ， ； （3）解：在中，， ， 是的平分线，是平分线， ，， ， ． 例4（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知，如图，在中，平分交于点H，D、E分别在的延长线上，，． (1)求证：； (2)若比大．求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由平行线的性质与角平分线的定义推出．再由，得到，则． （2）设，则，．由平行线的性质得到．由角平分线的定义得到，则．进而得到，解方程求得x值，再结合三角形内角和定理进行求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵比大， ∴， 即， 解得． ∴， ∴． 例5（24-25七年级下·上海·阶段练习）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键． （1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线得出，再由题意结合图形确定，，求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵， ∴； （2）∵和的平分线交于点， ∴， ∴①， 由（1）得， 即②， 得：， ∴． 模型2.“A”字模型 例1（25-26八年级上·四川南充·开学考试）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．连结，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，可得，，所以可求得，同理进一步可推得，． 【详解】解：连结， 点D是的中点， ，， ， 即， 点E是的中点， ， 点F是的中点， ． 故答案为：6． 例2（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，从纸片中剪去，得到四边形，若．则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和． 根据三角形内角和求出，再根据四边形的内角和为计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． 故答案为： 例3（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理的综合，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据，等量代换可得，再根据平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”即可求解； （2）先证明，得出，结合，求出，根据，得出，即可求出，再根据三角形内角和定理进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 例4（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据平行线的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得； （2）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已得：， ∴． 例5（24-25八年级上·重庆南岸·期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接． (1)求的度数． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． （1）由三角形的外角性质可求得，再由角平分线的定义即可求的度数； （2）结合（1）可求得，利用同位角相等，两直线平行即可判定． 【详解】（1）解：∵，，是的外角， ∴， ∵平分， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 模型3.三角板模型 例1（2025·广东珠海·一模）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质，依题意得，再求出，进而根据平行线的性质得，然后再根据即可得出的度数． 【详解】解：依题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 例2（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 【答案】2或14 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，注意分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论：①当第一次平行于时；②当第二次平行于时，画出图形，根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示：当第一次平行于时， ∵， ∴， ∴（秒）； 如图所示：当第二次平行于时， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴（秒）； 综上，旋转时间或秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行 故答案为：2或14． 例3（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图1，一副三角板的直角顶点重合，边，在直线上，其中，，． (1)请直接写出：_________． (2)如图，将三角板沿着直线向右平移得到三角板，直线与直线相交于点． 若点在线段上（不包括端点），求与的数量关系； 若，求的度数． 【答案】(1)； (2)；的度数为或． 【分析】（）利用三角形的外角性质即可求解； （）由，，则，然后把，代入求解即可； 分如图，当点在线段上时，如图，当点在延长线上时，分别通过平行线的性质，三角形的内角和定理等知识即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：当点在线段上（不包括端点）时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在线段上时， ∵， ∴设，则， 由平移性质可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图，当点在延长线上时， 由上得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上可知：的度数为或． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，平移的性质，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 例4（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）【阅读理解】 已知直线．将一块三角板按如图所示方式摆放，，三角板的两个顶点和分别在直线、上，求证：． 证明：过点作的平行线． （已知），（已作）， （依据1）， （两直线平行，内错角相等） （已作） （依据2） （等量代换） （1）填空：上述解答过程中，依据1是______，依据2是______； 【初步应用】 （2）已知直线，将一块三角板按如图3所示方式摆放，，写出，与之间的数量关系，并说明理由（不用写依据）； 【拓广延伸】 （3）已知，，一副三角板按如图4方式摆放，三角板的两个顶点，分别在直线和上，边的延长线交于点，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两条直线平行，内错角相等；（2）；见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理应用，平行公理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行公理和平行线的性质进行解答即可； （2）延长，根据得出，根据平行线的性质得出，再根据角度间的关系，得出答案即可； （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，求出，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作的平行线． （已知），（已作）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，内错角相等） （已作） （两条直线平行，内错角相等） （等量代换） （2），理由如下： 延长，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例5（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）将分别含有和角的两块直角三角板的最长边部分重叠地摆放在一起，边在直线上，点在直线上，且，与交于点，，． (1)填空：如图1，_____． (2)如图2，将直角三角板沿射线方向平移，当点恰好落在直线上时，求的度数． (3)如图3，将直角三角板沿射线方向平移到的位置，若点是的中点，且，求平移的距离． (4)将直角三角板沿直线平移，在平移过程中，始终保持两直角三角板的直角顶点在直线的两侧，则当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)平移的距离是 (4)或 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，平移的性质，三角形内角和定理，中点的定义，角的和差关系等知识，得出是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，从而得出答案； （2）根据三角形内角和定理首先求出的度数，再根据，可得答案； （3）设，则，根据平移的性质得，由，可得答案； （4）分或两种情形，分别画出图形，从而得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． （2）由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）∵点是的中点， ∴， 设，则， ∵将沿射线的方向平移到'的位置，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平移的距离是； （4）当时，如图， 由（1）知：， ∴， ∴ 当时，如图， ∵， ∴点，重合， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴ 综上所述，当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或． 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，的角平分线BD、CE相交于点P，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平本题考查了角平分线的有关计算和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握角平分线的有关计算． 根据角平分线的有关计算和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵的角平分线相交于点P， ∴,， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，E是线段上一点，连接，的平分线与的平分线交于点F．已知，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键． 过点F作，根据平行线的性质可得，可得，由角平分线的定义结合得，，再根据平行线的性质得，最后利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：过点F作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点F．， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使 ，则应 （填“调大”或“调小”） 度． 【答案】 调小 10 【分析】本题考查了三角形内角和的度数以及对顶角相等，灵活运用所学知识是解题关键． 连接，在中，求出，然后在中，求出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴应调小； 故答案为：调小，10． 4．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）【动手探究】 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）： (1)若，则的度数为________． (2)若，则的度数为________． (3)由（2）猜想与的数量关系，并说明理由． (4)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析； (4)存在，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的判定及直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （3）根据以及，进行计算即可得出结论； （4）分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别求得角度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解： ，理由如下： ∵， 又∵， ∴， ∴； （4）解：存在，，理由如下： 当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴； 当时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴， ∴； 当时，延长，交的延长线于点，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，，C点在上，，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求和的大小． 【答案】(1)证明过程见解析部分； (2)，． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得，再结合题意得出，即可得证； （2）由平行线的性质结合三角形外角的定义及性质即可求出的度数，再由三角形内角和定理并结合平行线的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 6．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）综合与实践 已知直线，将一个直角三角尺和这两条平行线放置在同一平面内，两直角边分别和直线相交于点． (1)如图1，当点在直线之间时，请直接写出和之间的数量关系； (2)如图2，当点在直线上方时，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，直角三角形的锐角互余，三角形内角和定理等；能熟练利用平行线的判定及性质及三角形内角和定理进行求解是解题的关键． （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解； （2）由平行线的性质得，由直角三角形的锐角互余及直角的定义得，，即可求证； （3）结合角平分线，由三角形内角和定理得，即可求解． 【详解】（1）解：过作， ， ， ， ， ， 故； （2）证明：如图，与直线交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）得：， ， 平分， ， ， ． 7．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图1，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)求，，的度数； (2)在旋转过程中，如图2，当时，求α的度数； (3)如图3，当点C在内部时，边、分别交、的延长线于、两点． ①α的取值范围是 ； ②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系． 【答案】(1)，，； (2)； (3)①；②． 【分析】（1）根据三角形内角和是，再按比例分配进行计算即可； （2）根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，再由三角形的内角和等于进行计算即可； （3）①根据“端值”检测计算，即当与重合时最小值，当与重合时最大值；②连接，根据三角形内角和定理进行计算即可． 本题考查三角形内角和定理，平行线的性质以及垂直的定义，掌握三角形内角和是，平行线的性质是正确解答的前提． 【详解】（1）解：在中，，，的度数之比为， ， ， ； （2）解：， ， ，． ， ； （3）解：①当与重合时，为最小值， ， ； 当与重合时，为最大值，此时， ， 故答案为：； ②，理由如下： 如图，连接， ， ， 在中， ， ． 8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，于点D，交于点E，于点G，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，垂直定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再证明，则，等量代换，即可作答． （2）结合垂直定义得出，再运用三角形的内角和定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点分别在上，连接，于点，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由垂直的定义得，即得，进而得到，即可求解； （）利用余角性质可得，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，平行线的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（）知：， ∵， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键． （1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线，结合平行线性质即可． （3）结合题意分为①当点M在上时；②当点M在的延长线上时，两种情况画出图形，分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作直线， ， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作直线， 由（1）得，， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）或理由如下： 当点M在上时，如图3（1）， 在中，， ， ， ， ， ， ； 当点M在的延长线上时，如图3（2）， 在中，， ， ， ， ， ， ， 综上，或． 11．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知：如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”，和的平分线和相交于点，试解答下列问题： (1)在图中，试说明：． (2)在图中，若，，根据（1）中得到的数量关系，求的度数； (3)如果图中和为任意角，其他条件不变，直接写出与、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． （1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论； （2）根据角平分线的定义得出，，由（1）得，，两式相加即可得答案， （3）同（2）的方法即可得出结论． 【详解】（1）解：∵线段、相交于点， ∴， ∵，， ∴． （2）解：由（1）可知：，， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵和的平分线和相交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一副三角尺摆放在中，点在上，点在上． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若为上一点，连接，，且，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由得，，即得，再根据三角形外角性质解答即可求解； 本题考查了邻补角的性质，平行线的判定，三角形的外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： ，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴，， ， ， ， ． 13．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）将三角尺（，）放置在上（点D在内），如图1，三角尺的两边，恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． (1)特例探索：当时，______°，______°； (2)类比探索：写出，与之间的数量关系，并说明理由； (3)变式探索：如图2，改变三角尺的位置，使点D在外，三角尺的两边，仍恰好经过点B和点C，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)90；54 (2)．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角板中角度的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在中利用三角形内角和即可求出的度数，再根据三角形内角和得到得到，进而求出最后结果． （2）利用得到的度数，再根据三角形内角和定理得出，进而得到结论． （3）设交于点O，根据对顶角相等得到，进而得到从而得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：90，54； （2）．理由如下： ， ． ， ， ， ． （3）．理由如下： 设交于点O，如图． ， ，即， ． 14．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由同位角相等，两直线平行得出，由平行线的性质可得，从而即可得出，即可得证； （2）根据平行线的性质和三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，交于点D，点E在边上，连接，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和，先利用两直线平行内错角相等求出，结合角平分线定义求出的度数，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：， ． 是的角平分线， ． ， ． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知：如图①，线段，相交于点，连接，，我们把形如图①的图形称为“8字形”．试解答下列问题： (1)根据图①，求之间的数量关系； (2)仔细观察，图②中“8字形”的个数有 个； (3)在图②中，若，，和分别平分和，求的度数． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，理解题目中“8字形”的角的规律为解题关键． （1）根据三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得，再根据角平分线的定义，得出，计算可得，进而求出的度数． 【详解】（1）解：∵在中，， 在中，， ， ； （2）①线段相交于点O，形成“8字形”； ②线段相交于点O，形成“8字形”； ③线段相交于点N，形成“8字形”； ④线段相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； 故答案为：6； （3），， ， ． 和分别平分和， ，． ， ． 17．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）是一张三角形的纸片，点D、E分别是边、上的点．将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在四边形的边上时，的大小为________度，与之间的数量关系是________． (2)如图②，当点落在四边形的内部时，直接写出与、之间的数量关系是________． (3)如图③，当点落在四边形的外部时，写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查折叠问题，三角形的外角性质，关键是掌握折叠的性质，熟练应用三角形的外角性质来解决问题． （1）由折叠的性质得到，，由邻补角的性质得到，求出，由三角形的外角性质得到； （2）由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，，因此； （3）由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，，得到． 【详解】（1）解：如图 由折叠的性质得到：，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：如图， ，理由如下： 连接， 由折叠的性质得到：， ，， ， 故答案为：； （3）解：如图， ，理由如下： 连接， 由折叠的性质得到：， ，， ． 18．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 19．（24-25七年级下·天津河西·阶段练习）已知：直线，直线与直线交于点E，． (1)如图①，平分交于F，平分交于G， ①求__________； ②求的度数； (2)如图②，，在的平分线上取一点P，连接，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)①② (2)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质、三角形的外角性质、角平分线的定义、对顶角相等等知识，属于中考常考题型，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键． (1)过点E作．利用平行线的判定和性质并结合角平分线的概念分析求解； (2)分P点在的左侧、P在的右侧且在上方、P在的右侧且在下方三种情况讨论，结合角度的倍数关系和平行线的性质分析求解． 【详解】（1）解：过点E作，如下图①所示： ①∵， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． ②∵平分平分， ∴，， ∴ ， ， ， ∴的度数为． （2）分类讨论： 情况一：当点P位于左侧时，如下图②所示： 此时不可能成立，故此情况不存在； 情况二：当点P位于右侧且位于上方时，过点P作，如下图③所示： ∵， ， ， ， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴， ． 情况三：当点P位于右侧且位于下方时，过点P作，如下图④所示： ， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 20．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且于E． (1)求证：； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G． ①若，求的度数． ②当的度数变化时，的度数是否发生变化？请说明理由； (3)如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不变化，始终为，理由见解析 (3)或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点E作（点K在点E的右侧），证明，进而得，，则，再根据即可得出结论 （2）根据，得，再根据角平分线定义得，，由（1）得，，则，，由此可得出的度数； ②根据角平分线定义设，，则，，根据，得，由（1）得，， 进而得，，，由此得，据此即可得出答案； （3）依题意有以下两种情况：①当点N在直线a，b之间时，设，则，，根据角平分线的定义设，则，由（1）得，，进而得，由此可得出，，之间的数量关系；②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），设，则，设，则，由（1）得，再根据平行线的性质求出，则，由此可得出，，之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点E作（点K在点E的右侧），如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由（1）得：，， ∴，， ∴； ②当的度数变化时，的度数不变化，始终为，理由如下： ∵平分，平分， 设，， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴，， ∴； （3），，的数量关系是：或，理由如下： ∵N为的角平分线上一点，且， ∴有以下两种情况： ①当点N在直线a，b之间时，如图3①所示： 设， ∵， ∴， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设， ∴， 由（1）得：，， 又∵， ∴， ∴； ②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），如图3②所示： 设， ∵， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设，则， 由（1）得：， ∵，直线a， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 综上所述：，，的数量关系是：或． 故答案为：或． 21．（24-25八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板的两块直角三角尺的直角顶点C重合，其中，，． (1)如图1，与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图2，三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当平行时，求的度数； (3)三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当与三角尺的一边平行时，请直接写出的所有可能的度数． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，图形的旋转等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）由得出，，进一步得出结果即可； （2）当点和在点C异侧时，延长，交于F，可得出，从而得出，当和在点C同侧时，设交于G，可得出，从而得出∠； （3）分为，同理（2）可得是两种情形；当与时，也是分别两种情形，同理（2）得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图， 延长，交于F， ， ， ， 如图2-2， 设交于G， ， ， ， 综上所述：当时，或； （3）当时， 如图3-1， ， ， 如图3-2， ， ， 当时， 如图3-3， ， ， 如图3-4， ， 由（2）知， 当时，或， 综上所述：或或或或或． 22．（24-25八年级上·陕西西安·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（），不是；（）说明见解析；（）或 【分析】（）根据，得到，求得，得到，进而根据“和谐三角形”的定义即可判断； （）由是的一个外角，得到，求出，，即得，进而根据“和谐三角形”的定义即可求证； （）由，，得到，可以证明，得到，进而由得到，即得，得到，再根据得到，最后根据是“和谐三角形”解答即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不是“和谐三角形”， 故答案为：，不是； （）∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是“和谐三角形”； （）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或 ∵ ∴或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $