6.5 正态分布 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

6.5 正态分布 前面讨论了离散型随机变量,它们的取值是可以一一列举的.但在实际问题中,还有许多随机变量可以取某一区间中的所有值.例如:. 1.某一自动装置无故障运转的时间X是一个随机变量，它可以取区间(O,+∞)内的所有值; 2.某种产品的寿命(使用时间)X是一个随机变量,它可以取区间[0,b]或[0, +∞)内的所有值. 怎样描述这样的随机变量的分布情况呢? 我们来看一个产品寿命的例子.设X表示某产品的寿命(单位:h).人们对该产品有如下的了解:寿命小于500h的概率为0.71,寿命在500h~800h的概率为0.22,寿命在800h--1000h的概率为0.07,由此我们可以画出图6-5. 但此图是比较粗糙的，例如,它没有告诉我们产品寿命在200h~400h的概率到底是多少. 为了完全了解产品寿命的分布情况,需要将区间无限细分,最终得到一条曲线,如图2. 这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线,这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数,记为f(x). 如果需了解得更多,图中的区间应分得更细，如图1. 如果知道了随机变量X的分布密度曲线，X取值于区间的概率是该曲线下相应“曲边梯形”(如左图中的阴影部分)的面积． 人们把具有分布密度函数的随机变量称为连续型随机变量,最常见的一类连续型随机变量是由误差引起的. 一般地，误差在0附近的概率大,远离0的概率小,误差大于0的概率与小于0的概率相同.即误差的分布具有对称性. 因此,这一类连续型随机变量X的分布密度曲线一般是形状像“钟"的光滑曲线. ，， 其中均值u和方差2(>0),实数为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 连续型随机变量X的分布密度函数图象如左图，对应的分布密度函数解析式为： 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布， 是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型. 如果随机变量X服从正态分布,那么这个正态分布完全 由参数均值u和方差2(>0)确定，记为EX=,DX=2 如果一个随机变量X服从正态分布,那么对于任何实数a,b(a<b) ,随机变量X在区间(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)来表示. 它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲 线在区间(a,b]对应的曲边梯形面积的值(如图). 正态曲线基本性质： 曲线在轴的上方，与轴不相交； 曲线是单峰的，关于直线对称； 曲线的最高点位于 处； 当时，曲线上升；当 时，曲线下降；当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线． 非负性 对称性 集中性 单调性 因为正态分布完全由和确定，所以正态曲线还具有下列特点： 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移． 当一定时，曲线的形状由确定． 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中． 正态分布随机变量X在区间(，]，(，]，(，]上取值的概率(如下图)． ； ； ； 小概率事件及3原则：正态分布随机变量X在(，]外取值的概率大约只有0.3%，通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件．因此，在实际应用中通常认为服从正态分布N(，)的随机变量X只取区间(，]之间的值，称之为3原则． 根据正态曲线的函数解析式，找出其均值和标准差． (1)， ； (2)， ； 正态分布密度函数的解析式 ， 解 将函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得: (1)=0，=1；(2)=1，=． 某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为：=500g，=lg．为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504g时，他立即要求停止生产，检查设备，他的决定是否有道理? 解 ：如果设备正常运行，产品的质量服从正态分布，由于正态分布的参数分别为=500g，=1g，所以根据正态分布的性质可知产品的质量在区间(，]，即(497，503]之间的概率约为99.7%，而产品的质量超出这个范围的概率只有0.3%，这是一个几乎不可能发生的事件．但是，检查员随机抽取的产品为504g，这说明设备的运行可能不正常，因此检查员的决定是有道理的． 某班有50名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 ． 解：由～知，，， 又， P(>110)=P(<90)= 故该班学生成绩在110分以上的人数为人． 正态分布密度（函数）解析式： ，． 正态分布密度曲线：正态分布对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线． 3原则：在实际应用中通常认为服从正态分布N(，)的随机变量X只取区间(，]之间的值，称之为3原则． 课堂小结 作业：教材224页练习题全做． 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． （1）估计X，Y的分布中的参数； 分析：对于第（1）问，正态分布由参数μ和σ完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计． 用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ，可以得到 随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2． X～N（30，62），Y～N（34，22）． 解：（1）随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6； 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． （2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线； X～N（30，62），Y～N（34，22）． 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． （3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． 分析：对于第（3）问，这是一个概率决策问题，首先要明确决策的准则，在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小，作出判断． 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． （3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． 所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车； P（X≤38）＜P（Y≤38），P（X≤34）＞P（Y≤34）． 解： （3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具．由图可知， 如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车． 函数f（x）＝ ，x∈R．其中μ∈R，σ＞0为参数． 我们称f（x）为①______________，称它的图象为②______________，简称正态曲线． 正态密度函数 正态密度曲线 若随机变量X的概率密度函数为f（x），则称随机变量X服从正态分布， 记为X～③___________．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从④______________． N（μ，σ2） 标准正态分布 正态曲线有以下特点： 曲线位于x轴⑤__________，与x轴⑥__________； 曲线是单峰的，它关于直线⑦__________对称； 当｜x｜无限⑨________时，曲线无限接近x轴； 对任意的σ＞0，曲线与x轴围成的面积总为1； 曲线在⑧________处达到峰值 ； 上方 不相交 x＝μ x＝μ 增大 1．某教育部门为了调查学生语文、数学、外语三科成绩与选科之间的关系，从当地不同层次的学校中抽取高一学生2 500名参加语文、数学、外语的网络测试，满分450分，测试结果如下：此次测试平均成绩为171分，351分以上的有57人，该次网络测试成绩基本服从正态分布．现给前400名颁发荣誉证书，若考生甲得知他的成绩为270分，问甲能否进入前400名？ 附：若随机变量X服从正态分布（μ，σ2），则P（μ－σ，≤X≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3． 提示：1．设此次网络测试的成绩为X，由题意可知X～N（171，σ2）． 因为 　　 ＝0.022 8， 且 ＝0.022 75≈0.022 8． 所以σ＝　　　 ＝90， 所以X～N（171，902）． 而 　　＝0.16， 且P（X＞μ＋σ）＝ 1．某教育部门为了调查学生语文、数学、外语三科成绩与选科之间的关系，从当地不同层次的学校中抽取高一学生2 500名参加语文、数学、外语的网络测试，满分450分，测试结果如下：此次测试平均成绩为171分，351分以上的有57人，该次网络测试成绩基本服从正态分布．现给前400名颁发荣誉证书，若考生甲得知他的成绩为270分，问甲能否进入前400名？ 提示：1．设此次网络测试的成绩为X，由题意可知X～N（171，σ2）． 因为 　　 ＝0.022 8， 且 ＝0.022 75≈0.022 8． 所以σ＝　　　 ＝90， 所以X～N（171，902）． 而 　　＝0.16， ＝0.158 65＜0.16． 所以前400名学生成绩的最低分低于μ＋σ＝261， 而考生甲的成绩为270分，所以甲同学能进入前400名． 2．考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上的有57人．”请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪． 提示：2．假设考生乙所说为真，则μ＝201， ＝0.022 75≈0.022 8． 而 ＝0.022 8， 所以σ＝ ＝75， 从而μ＋3σ＝201＋3×75＝426， 而430∉[μ－3σ，μ＋3σ]， 因为X＞μ＋3σ，为小概率事件，所以丙同学的成绩为430分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假． 利用服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率，可以解决两类实际问题： 一类是估计在某一范围内的数量，具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的概率，再乘样本容量即可． 另一类是利用3σ原则作决策．决策步骤如下： 确定一次试验中取值a是否落入范围[μ－3σ，μ＋3σ]； 作出判断，若a∈[μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设，若a∉[μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设． $