专题22.4 勾股定理（第1课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题22.4 勾股定理(第1课时） 教学目标 1. 了解勾股定理的内容并学会应用； 2. 掌握勾股定理的证明方法； 3. 知道勾股定理的逆定理；勾股数等概念。 教学重难点 1.重点 （1）直角三角形三边之间的关系； （2）勾股定理及其证明； （3）勾股定理的逆定理及其证明； （4）勾股数。 2.难点 （1）勾股定理的证明； （2）勾股定理及其逆定理的几何应用。 知识点1 勾股定理 我们来研究直角三角形三边之间的关系. 定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 如图22-3-1,已知：在Rt△ACB中，∠C=90°.求证：BC<AB,AC<AB. 证明 根据“直角三角形的两个锐角互余”,可得∠A+∠B=90°,进而推出∠A<∠C.由“在三角形中，大角对大边”,可得BC<AB,同理可知AC<AB. 如果把直角边AC看作点A到直线BC的垂线段，那么根据上述定理，可以推得 定理 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单地说：垂线段最短. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如图22-3-3,在我国古代，称直角三角形的直角边中较短的一边为“勾”,较长的一边为“股”,斜边为“弦”.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，是几何中著名的定理，有着极其广泛的应用. 已知：直角三角形的两条直角边长分别为a及b,斜边长为c. 求证：a²+b²=c². 下面是古代数学家的一种巧妙证法： 图22-3-4(1)和(2)都是边长为(a+b)的正方形，从中分别去掉四个全等的直角三角形(蓝色部分),由上述关于面积的性质，可知这两个正方形中剩余部分的面积一定相等. 图22-3-4中每个直角三角形的两直角边长分别为a及b.因为这些直角三角形全等，而直角三角形的两个锐角互余，所以图22-3-4(1)中的剩余部分是边长为c的正方形，而图22-3-4(2)中的剩余部分是边长分别为a及b的两个正方形. 因此，a²+b²=c². 【即学即练】 1．如图，在中，． （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ． 2．在中，若，，，则（　　） A．3 B．4 C．5 D． 3．两条直角边长分别是，的直角三角形的斜边长是 ． 4．在中，，，则 ． 5．如图，在中，，则以下关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点E在正方形的边上，若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 知识点2 勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 如图22-3-6,已知：在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,且a²+b²=c². 求证：△ABC是直角三角形. 分析 构造一个直角边长为a、b的直角三角形，证明它与△ABC全等. 证明 如图22-3-7,作△A'B'C′,使∠C′=90°,B'C′=a,A'C′=b,由勾股定理，可得A′B'²=B′C²+A'C²=a²+b².又因为a²+b²=c²,所以A'B'²=c²,即A'′B′=c. 因此，△ABC与△A'B′C′的三边对应相等，从而△ABC≌△A'B'C'.由“全等三角形的对应角相等”,可得∠C=∠C′=90°,即△ABC是直角三角形. 要点： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 1.首先确定最大边（如）. 2.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 三、勾股数 我们已经知道，3²+4²=5²,8²+15²=17²,如果正整数a、b、c满足a²+b²=c²,那么a、b、c称为一组勾股数.以勾股数中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点： （1）熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… （2）如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. （3）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （4）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （5） （是自然数）是直角三角形的三条边长. 【即学即练】 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．9，16，25 B．，，2 C．，2， D．5，12，13 2．已知三角形三边长为a，b，c，如果，那么是（   ） A．以a为腰的等腰三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底的等腰三角形 3．如图，在中，，为边上的高，，则的长度是 ． 4．已知为正整数，且，下列各项为三角形的三条边长：①，②，③，④，其中必定构成直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在四边形中，，，四边形的面积是 ． 题型01 用勾股定理解三角形Ⅰ 【典例1】．在中，，，，则a的值是（　　） A．8 B．6 C．10 D． 【变式1】．一个直角三角形的一条直角边是6，斜边长10，另一条直角边是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】．在中，，，则的长是（   ）． A．5 B． C．5或 D．无法确定 题型02 用勾股定理解三角形Ⅱ 【典例1】．如图，在中，是边上的中线，则的长为 ． 【变式1】．如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【变式2】．如图，在中，是边的中线，于点D，若，则的长是 ． 题型03 勾股树 【典例1】．如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为5，3，则正方形C的面积是 ．    【变式1】．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分的面积是    【变式2】．如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为 ． 题型04 勾股定理的证明 【典例1】．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 【变式1】．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 题型05 与弦图有关的计算 【典例1】．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 【变式1】．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式2】．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ； 题型06 利用勾股定理求解平方关系 【典例1】．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【变式1】．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A． B． C． D． 题型07 折叠问题 【典例1】．如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 ． 【变式1】0．如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则 ． 【变式2】．如图，Rt，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为 ． 题型08 勾股数 【典例1】．下列各组数中，是勾股数的是（   ）． A． B． C．6，8，10 D． 【变式1】．已知为正整数，且，下列各项为三角形的三条边长：①，②，③，④，其中必定构成直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型09 网格问题；格点直角三角形的个数 【典例1】．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，各顶点均在网格的格点上，于点D，则的长为 ． 【变式1】．图中每个小方格的边长是1，若线段能与线段、组成一个直角三角形，线段的长度是 ． 【变式2】．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点到直线的距离是 【变式3】．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【变式4】．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型10 勾股定理逆定理的几何应用 【典例1】．在中，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是 ． 【变式2】．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【变式3】．如图，已知四边形中，∠B=90°，，，，，则四边形的面积为 ． 题型11 解答题 【典例1】．如图，在 中，已知，，，，求 BD 的长． 【变式1】．如图，在Rt中，的垂直平分线分别交于点．若，求的长． 【变式2】．如图，在四边形中，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【变式3】．如图，四边形中，，为对角线，于点E，已知，，，． (1)请判断的形状并说明理由； (2)求线段的长． 一、单选题 1．已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（ ） A． B． C． D．或 2．在中，，a，b，c分别为的对边，若，，则c为(  ) A．26 B．18 C．20 D．21 3．下列说法正确的是（    ） A．若，，是的三边，则 B．若，，是的三边，则 C．若，，是的三边，，则 D．若，，是的三边，，则 4．下面四组数中是勾股数的有（   ） ①3，4，；②，，2；③12，16，20；④0.5，1.2，1.3. A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（    ） A．1 B． C． D． 6．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（      ）． A． B． C． D． 7．如图，在的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段与线段的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 8．已知ΔABC的三边分别长为a，b，c，且满足+|b-15|+-16c+64=0，则ΔABC是（    ） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 9．如图，中，，是的平分线，E是上一点，连接．若，，则的长是（    ） A． B．4 C． D．2 10．如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，若，，则 ． 12．的三边为a、b、c，若满足，则 ；若满足，则是 角；若满足，则是 角． 13．如图 中，，垂足为 ，若 ，，，则 的长是 ． 14．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为 ． 15．如图所示，已知在中，，分别以， 为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于 ． 16．如图，在中，，，平分，，，则的周长 ． 17．如图，将三边长分别为3，4，5的沿最长边翻转成，则的长 ． 18．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= s时，△PBQ为直角三角形． 三、解答题 19．如图，在四边形中，，，，，且．求的度数． 20．如图，四边形中，，，，．则的度数是多少度？说明理由． 21．如图，在中、，，，．判断下列结论是否正确，并说明理由． (1)． (2)． 22．如图，在Rt中，，，，于． 求：（1）斜边的长； （2）高的长． 23．如图，，，，，把沿折叠，点折叠到点，的延长线与射线交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 24．勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：    证明：连接，过点D作交延长线于点F，则 又∵ ∴ 请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 25．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD； （2）如图②，连接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的长； （3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD、CE和CA之间的数量关系，并加以说明． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.4 勾股定理(第1课时） 教学目标 1. 了解勾股定理的内容并学会应用； 2. 掌握勾股定理的证明方法； 3. 知道勾股定理的逆定理；勾股数等概念。 教学重难点 1.重点 （1）直角三角形三边之间的关系； （2）勾股定理及其证明； （3）勾股定理的逆定理及其证明； （4）勾股数。 2.难点 （1）勾股定理的证明； （2）勾股定理及其逆定理的几何应用。 知识点1 勾股定理 我们来研究直角三角形三边之间的关系. 定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 如图22-3-1,已知：在Rt△ACB中，∠C=90°.求证：BC<AB,AC<AB. 证明 根据“直角三角形的两个锐角互余”,可得∠A+∠B=90°,进而推出∠A<∠C.由“在三角形中，大角对大边”,可得BC<AB,同理可知AC<AB. 如果把直角边AC看作点A到直线BC的垂线段，那么根据上述定理，可以推得 定理 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单地说：垂线段最短. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如图22-3-3,在我国古代，称直角三角形的直角边中较短的一边为“勾”,较长的一边为“股”,斜边为“弦”.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，是几何中著名的定理，有着极其广泛的应用. 已知：直角三角形的两条直角边长分别为a及b,斜边长为c. 求证：a²+b²=c². 下面是古代数学家的一种巧妙证法： 图22-3-4(1)和(2)都是边长为(a+b)的正方形，从中分别去掉四个全等的直角三角形(蓝色部分),由上述关于面积的性质，可知这两个正方形中剩余部分的面积一定相等. 图22-3-4中每个直角三角形的两直角边长分别为a及b.因为这些直角三角形全等，而直角三角形的两个锐角互余，所以图22-3-4(1)中的剩余部分是边长为c的正方形，而图22-3-4(2)中的剩余部分是边长分别为a及b的两个正方形. 因此，a²+b²=c². 【即学即练】 1．如图，在中，． （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ． 2．在中，若，，，则（　　） A．3 B．4 C．5 D． 3．两条直角边长分别是，的直角三角形的斜边长是 ． 4．在中，，，则 ． 5．如图，在中，，则以下关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点E在正方形的边上，若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 知识点2 勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 如图22-3-6,已知：在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,且a²+b²=c². 求证：△ABC是直角三角形. 分析 构造一个直角边长为a、b的直角三角形，证明它与△ABC全等. 证明 如图22-3-7,作△A'B'C′,使∠C′=90°,B'C′=a,A'C′=b,由勾股定理，可得A′B'²=B′C²+A'C²=a²+b².又因为a²+b²=c²,所以A'B'²=c²,即A'′B′=c. 因此，△ABC与△A'B′C′的三边对应相等，从而△ABC≌△A'B'C'.由“全等三角形的对应角相等”,可得∠C=∠C′=90°,即△ABC是直角三角形. 要点： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 1.首先确定最大边（如）. 2.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 三、勾股数 我们已经知道，3²+4²=5²,8²+15²=17²,如果正整数a、b、c满足a²+b²=c²,那么a、b、c称为一组勾股数.以勾股数中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点： （1）熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… （2）如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. （3）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （4）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （5） （是自然数）是直角三角形的三条边长. 【即学即练】 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．9，16，25 B．，，2 C．，2， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股数，根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 【详解】解：A、，不能构成勾股数，不符合题意； B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； D、，且5，12，13都是正整数，能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 2．已知三角形三边长为a，b，c，如果，那么是（   ） A．以a为腰的等腰三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，掌握非负数的性质是解题的关键． 根据非负数的性质得出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， ， 是以为斜边的直角三角形， 故选：C． 3．如图，在中，，为边上的高，，则的长度是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据题意，得出，在中，根据，列出方程，解方程即可求解． 【详解】设， ∵，， ∴， ∵是边上的高， 在中，， 即， 解得， 故答案为：3． 4．已知为正整数，且，下列各项为三角形的三条边长：①，②，③，④，其中必定构成直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式与平方差公式等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据可得①必定构成直角三角形；根据可得②必定构成直角三角形；根据可得③必定构成直角三角形；根据可得④必定构成直角三角形；由此即可得． 【详解】解：①，则必定构成直角三角形； ② ， ， 则，必定构成直角三角形； ③ ， 则，必定构成直角三角形； ④， ， ， 则，必定构成直角三角形； 综上，必定构成直角三角形的有4个， 故选：D． 5．如图，在四边形中，，，四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理．连接，根据勾股定理可得的长，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，再根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积是． 故答案为： 题型01 用勾股定理解三角形 【典例1】．在中，，，，则a的值是（　　） A．8 B．6 C．10 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，此题需先确定斜边，然后再根据勾股定理进行计算，确定斜边是解本题的关键． 利用勾股定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴斜边为a， ∵，， ∴． 故选：D． 【变式1】．一个直角三角形的一条直角边是6，斜边长10，另一条直角边是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，本题直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得：另一直角边长． 故选：B． 【变式2】．在中，，，则的长是（   ）． A．5 B． C．5或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，首先需要判断哪个是斜边．根据题目和都给出了长度，所以它们可能作为直角边也可能作为斜边．接下来分别考虑这两种情况，并应用勾股定理来计算未知的边长． 【详解】解：当作为斜边时：， 当作为斜边时：， 综上，的长度可能为5或． 故选：C． 题型02 用勾股定理解三角形Ⅱ 【典例1】．如图，在中，是边上的中线，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中线， 先根据中线的定义求出，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵是边的中线，且， ∴， 在中，，， 解得． 故答案为：13． 【变式1】．如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据中点，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴； 故选C． 【变式2】．如图，在中，是边的中线，于点D，若，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，三角形的中线；先根据勾股定理得，进而求出，再结合中线的定义得，最后根据得出答案. 【详解】解：设，则， 因为于点D， 所以和都是直角三角形． 根据勾股定理，得， 所以， 即， 解得， 则． 又因为为边上的中线，所以， 所以． 题型03 勾股树 【典例1】．如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为5，3，则正方形C的面积是 ．    【答案】8 【分析】分别设三个正方形A，B，C的边长为x，y，z，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长分别为x、y、z， 由勾股定理得：， ∴正方形C的面积是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 【变式1】．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分的面积是    【答案】56 【分析】先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可． 【详解】解：如图，    在中，， 在中，， ∴ ， 故答案为：56． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题． 【变式2】．如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 题型04 勾股定理的证明 【典例1】．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果． 【详解】解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 【变式1】．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 【变式2】．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理,不符合题意； B、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理，符合题意； D、边长为的正方形面积为,由图形面积之间的关系可得，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积，加上边长为的正方形面积（边长为的正方形中的两个直角三角形补到下边），则，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 题型05 与弦图有关的计算 【典例1】．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 【答案】A 【分析】先求出大正方形与小正方形的面积差，此差值为4个直角三角形的面积和，再除以4得到一个直角三角形的面积．本题主要考查了图形面积的计算，熟练掌握大正方形、小正方形与直角三角形面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：4个直角三角形的面积和为， ∴一个直角三角形的面积为． 故选：A． 【变式1】．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理，求出的长，进而求出小正方形的边长，再根据面积公式求出其面积即可． 【详解】解：由图和勾股定理，得：， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是； 故选B． 【变式2】．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ； 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示出面积． 根据题意判断出，，分别表示出，，，然后相加化简计算即可． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ， ， ， ， 的值是13． 故答案是13． 题型06 利用勾股定理求解平方关系 【典例1】．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 【变式1】．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形． ∴ ∵ ∴（SAS）， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故选：B． 【变式2】．如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用， 将绕点B顺时针旋转得到，连接，根据全等三角形的性质得，进而说明，可得，接下来得出，可得答案． 【详解】如图所示．将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 可知， ∴， 即． 故选：C． 题型07 折叠问题 【典例1】．如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．由折叠的性质得：，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵将沿翻折与重合， ∴， ∵， ∴， ∵∠C=90°， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1】0．如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先由长方形的性质和折叠的性质证得，再设，则，由勾股定理得出方程，即可得出结果． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 【变式2】．如图，Rt，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为 ． 【答案】/0.8 【分析】利用等面积法求出，再根据翻折的性质求出，判断是等腰直角三角形即可求解． 本题考查解直角三角形，图形的翻折，判断是等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ， 将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ， 且， ，且， ， ， 故答案为：． 题型08 勾股数 【典例1】．下列各组数中，是勾股数的是（   ）． A． B． C．6，8，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股数的定义，逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：A．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； B．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； C．∵，即，且6，8，10是正整数， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； 故选C． 【变式1】．已知为正整数，且，下列各项为三角形的三条边长：①，②，③，④，其中必定构成直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式与平方差公式等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据可得①必定构成直角三角形；根据可得②必定构成直角三角形；根据可得③必定构成直角三角形；根据可得④必定构成直角三角形；由此即可得． 【详解】解：①，则必定构成直角三角形； ② ， ， 则，必定构成直角三角形； ③ ， 则，必定构成直角三角形； ④， ， ， 则，必定构成直角三角形； 综上，必定构成直角三角形的有4个， 故选：D． 题型09 网格问题；格点直角三角形的个数 【典例1】．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，各顶点均在网格的格点上，于点D，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理可求的长，利用割补法求出的面积，由三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式1】．图中每个小方格的边长是1，若线段能与线段、组成一个直角三角形，线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查勾股定理，根据勾股定理得出，的长度，然后分为是斜边和是直角边进而利用勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：，， 当是斜边时，， 当是直角边时，， 故答案为：或． 【变式2】．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点到直线的距离是 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案． 【详解】解：A、，故本选不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故本选不符合题意； C、，故本选符合题意； D、点A到直线的距离，故本选不符合题意； 故选：C． 【变式3】．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 【变式4】．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 题型10 勾股定理逆定理的几何应用 【典例1】．在中，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形性质，由，得，然后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】．中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、角平分线的性质，连接，过点O作于D，于E，于F，根据勾股定理的逆定理得到，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于D，于E，于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O是两内角平分线的交点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则O到的距离是2， 故答案为：2． 【变式2】．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 【变式3】．如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理．先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ， 在中，，，，， ， ∴是直角三角形，且， ∴ ， 四边形的面积为36． 故答案为：36． 题型11 解答题 【典例1】．如图，在 中，已知，，，，求 BD 的长． 【答案】14 【分析】本题主要考查了利用勾股定理和三角形的面积进行求解，准确作出辅助线计算是解题的关键． 过点作于点，得到，根据三角形等面积法算出，再利用勾股定理计算即可． 【详解】过点A 作 于点E，如图， 则 ， ， ， ， ， ， 在中， ∵，， ， ， ． 【变式1】．如图，在Rt中，的垂直平分线分别交于点．若，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得，再在中，运用勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：连接． ∵的垂直平分线分别交于点， ∴． 设， 则． 在中， ， 即， 解得， ∴的长为． 【变式2】．如图，在四边形中，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）先求得，再由勾股定理求出的长． 【详解】（1）是直角三角形． 理由如下： 在中， 是直角三角形； （2）在四边形中， 由（1）得， ∴在中， 【变式3】．如图，四边形中，，为对角线，于点E，已知，，，． (1)请判断的形状并说明理由； (2)求线段的长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定得出是直角三角形即可； （2）根据等积法求出线段的长即可． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由：在中，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以是直角三角形． （2）解：由（1）知是直角三角形，且， 因为， 所以． 一、单选题 1．已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分为两种情况：斜边是有一条直角边是，和都是直角边，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图， 分为两种情况：斜边是有一条直角边是， 由勾股定理得：第三边长是； 和都是直角边， 由勾股定理得：第三边长是； 即第三边长是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边、的平方和等于斜边的平方． 2．在中，，a，b，c分别为的对边，若，，则c为(  ) A．26 B．18 C．20 D．21 【答案】C 【分析】在中，利用勾股定理求斜边c的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，关键是找到斜边，直角边，根据勾股定理求解． 3．下列说法正确的是（    ） A．若，，是的三边，则 B．若，，是的三边，则 C．若，，是的三边，，则 D．若，，是的三边，，则 【答案】D 【分析】勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理依次进行判断即可． 【详解】解：A、当是直角三角形且时，，故此选项不符合题意； B、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意； C、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意； D、若，，是的三边，，则，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中．理解和掌握勾股定理是解题的关键． 4．下面四组数中是勾股数的有（   ） ①3，4，；②，，2；③12，16，20；④0.5，1.2，1.3. A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】（1）32+=42，能构成直角三角形，但不是正整数，故错误； （2），能构成直角三角形，但不是整数，故错误； （3）122+162=202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确； （4）0.52+1.22=1.32，但不是正整数，故错误． 故选A． 【点睛】本题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 5．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作DE⊥AC于点E，证明△DAE≌△ABC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BC，设BC＝x，则AC＝2x，由勾股定理得出（2x）2＋x2＝22，求出x的值则可得出答案． 【详解】过点D作DE⊥AC于点E，则∠DEA＝90°， ∵AD⊥AB，AC⊥BC， ∴∠DAB＝∠ACB＝90°， ∴∠DAE＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°， ∴∠DAE＝∠B， 又∵AD＝AB，∠DEA＝∠ACB＝90°， ∴△DAE≌△ABC（AAS）， ∴AE＝BC， ∵AD＝CD，DE⊥AC， ∴AE＝CE， 设BC＝x，则AC＝2x， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴（2x）2＋x2＝22， ∴x＝，即BC＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（      ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由的面积减去的面积就是所求的面积，即可． 【详解】解：如图，连接．   在中，∵， ∴， 又∵， ∴是直角三角形， ∴这块地的面积 ． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形是解题的关键． 7．如图，在的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段与线段的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，先根据勾股定理求出、的长，然后比较大小即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， 故选：A． 8．已知ΔABC的三边分别长为a，b，c，且满足+|b-15|+-16c+64=0，则ΔABC是（    ） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】由绝对值和偶次方的非负性求出a=17，b=15，c=8，由82+152=172，得出△ABC是以a为斜边的直角三角形即可． 【详解】∵(a-17)2+|b-15|+c2-16c+64=0， ∴(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0， ∴a-17=0，b-15=0，c-8=0， ∴a=17，b=15，c=8， ∵82+152=172， ∴△ABC是以a为斜边的直角三角形； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和偶次方的非负性质；熟练掌握绝对值和偶次方的非负性，由勾股定理的逆定理得出结论是关键． 9．如图，中，，是的平分线，E是上一点，连接．若，，则的长是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，根据可得，则,即为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ， ， ∴， ， ∴， ∴ 为等腰直角三角形， ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、勾股定理等知识点，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 10．如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“，依此规律即可得出结论． 【详解】解：正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ，， ． 观察，发现规律：，，，，， ． 当时，． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 二、填空题 11．在中，，若，，则 ． 【答案】 【分析】直接根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，若，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理解直角三角形是解本题的关键． 12．的三边为a、b、c，若满足，则 ；若满足，则是 角；若满足，则是 角． 【答案】 钝 锐 【分析】根据勾股定理的逆定理：若三角形三边满足 ，则这个三角形是直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：若，则∠B=90°；若，则∠B是钝角；若，则∠B是锐角， 故答案为：∠B，钝，锐． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 13．如图 中，，垂足为 ，若 ，，，则 的长是 ． 【答案】 【分析】根据，由勾股定理计算出的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，掌握直角三角形的勾股定理是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为 ． 【答案】8 【分析】作交的延长于点，在中，，在中,，根据列出方程即可求解． 【详解】如图，作交的延长于点， 则即为BC边上的高， 在中，， 在中,， ， AB＝10，BC＝9， AC＝17， ， 解得， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键． 15．如图所示，已知在中，，分别以， 为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键. 根据图形得到，，根据勾股定理推出. 【详解】解：由题意，得，， 所以， 故答案为：. 16．如图，在中，，，平分，，，则的周长 ． 【答案】 【分析】先证明，即有，，在中，，，，利用勾股定理可得，即：，根据图中线段间的关系问题随之得解． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵在中，，，， ∴，， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 17．如图，将三边长分别为3，4，5的沿最长边翻转成，则的长 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质以及勾股定理的逆定理的应用，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，根据翻转得出垂直平分，根据三角形面积公式求出，即可求出答案． 【详解】解： 记交于点D，    ∵，，， ∴， ∴是直角三角形． ∴， ∵沿最长边翻转成， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 18．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= s时，△PBQ为直角三角形． 【答案】或. 【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=6cm，∠A=∠B=∠C=60°， 当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°， ∴BP=2BQ． ∵BP=6-2t，BQ=t， ∴6-2t=2t， 解得t= ； 当∠QPB=90°时，∠PQB=30°， ∴BQ=2PB， ∴t=2（6-2t）， 解得t= ， ∵0<t≤3， ∴t=或t= 故答案为或 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，利用分类讨论是解题的关键． 三、解答题 19．如图，在四边形中，，，，，且．求的度数． 【答案】 【分析】根据勾股定理得，根据可得为直角三角形，． 【详解】解：在中，根据勾股定理：，     在中，，， ，     为直角三角形， ． 【点睛】此题考查勾股定理的定义和勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理逆定理是解题关键． 20．如图，四边形中，，，，．则的度数是多少度？说明理由． 【答案】．理由见解析． 【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据勾股定理逆定理求出即可求解． 【详解】解：， 理由如下：连接， ，， 在中， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理逆定理，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明和计算． 21．如图，在中、，，，．判断下列结论是否正确，并说明理由． (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意得到，即可证明； （2）根据勾股定理求出，然后得到即可证明． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴ ∴； （2）由（1）得 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理． 22．如图，在Rt中，，，，于． 求：（1）斜边的长； （2）高的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用勾股定理计算出的长即可； （2）根据三角形的面积公式计算出的长即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ； （2）， ， 解得． 故高的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 23．如图，，，，，把沿折叠，点折叠到点，的延长线与射线交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先由折叠的性质得出，进而利用直角三角形两锐角互余得出，进而利用30°所对的直角边是斜边的一半即可求解； （2）首先根据勾股定理得出EC的长度，进而求出EB的长度，最后利用求解即可． 【详解】（1）∵把沿折叠，点折叠到点， ∴， ． ， ． ， ； （2）， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查折叠与勾股定理，掌握折叠的性质及勾股定理的内容是关键． 24．勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：    证明：连接，过点D作交延长线于点F，则 又∵ ∴ 请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则．    ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD； （2）如图②，连接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的长； （3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD、CE和CA之间的数量关系，并加以说明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）2AC2＝CD2+CE2，理由见解析 【分析】（1）先判断出∠BAE＝∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论； （2）先求出∠CDA＝∠ADE＝30°，进而求出∠BED＝90°，最后用勾股定理即可得出结论； （3）连接BE，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由勾股定理可得2AC2＝CD2+CE2． 【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD； 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴CD＝BE； （2）如图②，连接BE， ∵AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°， ∵CD⊥AE， ∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°， ∵由（1）得△ACD≌△ABE， ∴BE＝CD＝5，∠BEA＝∠CDA＝30°， ∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE， ∴． （3）2AC2＝CD2+CE2， 理由如下：如图③，连接BE， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠D＝∠AED＝45°， 由（1）得△ACD≌△ABE， ∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°， ∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE， 在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2， 在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2， ∴2AC2＝CD2+CE2． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $