专题20.1 二次根式及其性质（第1课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题20.1 二次根式及其性质（第1课时） 教学目标 1. 由算术平方根引出二次根式的概念； 2. 知道二次根式有意义的条件； 3. 了解二次根式的双重非负性； 4. 掌握二次根式的性质1和性质2；根据二次根式的性质化简二次根式。 教学重难点 1.重点 （1）根据二次根式有意义的条件求参数范围； （2）二次根式非负性的应用； （3）二次根式性质化简二次根式的应用。 2.难点 （1）二次根式性质2中，对a的理解，整体思想； （2）二次根式与其他数学模块结合，如数轴，乘法公式，几何图形的性质等。 知识点1 二次根式 1.复习引入：在“实数”一章，我们学习了开平方运算，知道了当a≥0时，表示a的算术平方根. 2.二次根式 ①二次根式：形如的代数式(其中a 为有理式),叫作二次根式.例如，、、、、等，都是二次根式. ②二次根式有意义的条件：在实数范围内，负数没有平方根，所以如、(b<0) 这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0,即a≥0. 易知≥0，所以二次根式具有“双重非负性”。它与前面学的算术平方根的“双重非负性”是一致的。 *说明：、教材是没有附加括号条件的，但是教材有说明：无特别说明，本章出现的二次根式都有意义。 【即学即练】 1．下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．写出使下列式子有意义的x的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 3．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 知识点2 二次根式的性质1、性质2 1. 性质1：（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 2. 性质2： 问题：与a一定相等吗?为什么? 分析：是a²的算术平方根，是一个非负数，而a可能为负数，所以与a不一定相等，如≠-1.当a＞0时，a²的算术平方根为a; 当a=0时，a²的算术平方根为0; 当a<0时，a²的算术平方根为-a. 这是二次根式的又一性质。 总结： 【即学即练】 1．计算： ， ． 2．计算： ； ； ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型01 判断二次根式 【典例1】．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型02 二次根式有意义的条件 【典例1】．若二次根式有意义，则x的值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．使二次根式有意义的实数x的取值范围是 ． 【变式2】．如果式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【变式3】．使代数式有意义的x的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．一切实数 题型03 二次根式的性质1 【典例1】．计算的结果是（    ） A． B． C． D．5 【变式1】．计算：()2 = ． 【变式2】．计算的结果为 ． 【变式3】．计算: ． 题型04 二次根式的性质2 【典例1】．化简： ＝ ． 【变式1】．计算： ． 【变式2】．计算（   ） A． B．2 C． D． 【变式3】．下列各式化简错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】．若二次根式的值为9，则的值为 ． 题型05 二次根式性质2的应用 【典例1】．化简： ． 【变式1】．化简 ． 【变式2】．化简： ． 题型06 根据参数范围化简二次根式 【典例1】．．当时， ． 【变式1】．已知，化简 ． 【变式2】．当时，代数式的值是 ． 【变式3】．若，则化简的结果是 ． 题型07 根据数轴上参数的位置化简二次根式 【典例1】．．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．b B． C． D． 【变式1】．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 题型08 根据化简二次根式的结果求参数范围 【典例1】．．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，那么a应满足什么条件 （　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a ＝0 D．a任何实数 【变式2】．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（1）若，则a的取值范围是 ； （2）若，则a的取值范围是 ． 题型09 二次根式的值（含最值问题） 【典例1】．．当 时，的值为3． 【变式1】．若为整数，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【变式2】．已知是正整数，是整数，则的最小值是 ． 题型10 二次根式的非负性 【典例1】．．若，则 ． 【变式1】．已知，则 ． 【变式2】．已知． （1）求代数式的值 ． （2）求代数式﹣的值 ． 题型11 二次根式性质的综合应用 【典例1】．．已知、、是的三边长，化简 ． 【变式1】．（1）先计算： ； ； ； ； ．根据计算结果后面问题． （2）一定等于a吗？如果不是，那么 ． （3）利用你总结的规律完成下列问题： ①若，则 ； ② ． （4）若a，b，c为三角形的三边长，化简：． 【变式2】．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 一、单选题 1．下列代数式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．如果是任意实数，下列各式中一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 5．如果，那么a是（    ）． A．非负数 B．0 C．正实数 D．负实数 6．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 7．要使，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知，那么的值是（　　） A． B． C．8 D．9 9．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．7 B． C． D． 10．若，则化简的结果是（    ） A．-4 B．4 C．-6 D．6 二、填空题 11．计算的结果是 ． 12．当时，的值是 ． 13．代数式有意义，则x的取值范围是 ． 14．化简：＝ ． 15．化简 ． 16．如果有：，则= ． 17．若，则a的取值范围是 ． 18．已知x，y为实数，，则 ． 三、解答题 19．下列式子哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ ． 20．求使下列各式有意义的x的取值范围： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 21．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．已知a、b两数在数轴上的对应位置如图所示，化简． 23．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 24．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的周长__________（请直接写出答案）． (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则． 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20.1 二次根式及其性质（第1课时） 教学目标 1. 由算术平方根引出二次根式的概念； 2. 知道二次根式有意义的条件； 3. 了解二次根式的双重非负性； 4. 掌握二次根式的性质1和性质2；根据二次根式的性质化简二次根式。 教学重难点 1.重点 （1）根据二次根式有意义的条件求参数范围； （2）二次根式非负性的应用； （3）二次根式性质化简二次根式的应用。 2.难点 （1）二次根式性质2中，对a的理解，整体思想； （2）二次根式与其他数学模块结合，如数轴，乘法公式，几何图形的性质等。 知识点1 二次根式 1.复习引入：在“实数”一章，我们学习了开平方运算，知道了当a≥0时，表示a的算术平方根. 2.二次根式 ①二次根式：形如的代数式(其中a 为有理式),叫作二次根式.例如，、、、、等，都是二次根式. ②二次根式有意义的条件：在实数范围内，负数没有平方根，所以如、(b<0) 这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0,即a≥0. 易知≥0，所以二次根式具有“双重非负性”。它与前面学的算术平方根的“双重非负性”是一致的。 *说明：、教材是没有附加括号条件的，但是教材有说明：无特别说明，本章出现的二次根式都有意义。 【即学即练】 1．下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 2．写出使下列式子有意义的x的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，也考查了分式有意义的条件． （1）根据被开方数大于等于0列出不等式求解即可． （2）根据被开方数大于等于0列出不等式求解即可． （3）根据被开方数大于等于0列出不等式求解即可． （4）根据被开方数大于等于0以及分母不为0列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 解得： （2）解：， 解得： （3）解：， 则x为任意实数 （4）解且， 解得： 3．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由题意得且，据此即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是 解题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴且， 解得， 故选：． 4．已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 知识点2 二次根式的性质1、性质2 1. 性质1：（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 2. 性质2： 问题：与a一定相等吗?为什么? 分析：是a²的算术平方根，是一个非负数，而a可能为负数，所以与a不一定相等，如≠-1.当a＞0时，a²的算术平方根为a; 当a=0时，a²的算术平方根为0; 当a<0时，a²的算术平方根为-a. 这是二次根式的又一性质。 总结： 【即学即练】 1．计算： ， ． 【答案】 3 2 【分析】本题考查了二次根式的两个性质：，，掌握这两个性质是解题的关键；根据这两个性质计算即可． 【详解】解：，； 故答案为：3，2． 2．计算： ； ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式性质求解即可，熟练运用二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：，，， 故答案为：，，． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了二次根式的性质，幂的乘方，合并同类项，掌握二次根式的性质是解题的关键． （）根据二次根式的性质进行化简即可； （）根据二次根式的性质和积的乘方进行化简即可； （）根据二次根式的性质进行化简即可； （）根据二次根式的性质和合并同类项进行化简即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简与性质． （1）利用二次根式的性质化简运算即可； （2）利用二次根式的性质化简运算即可； （3）利用二次根式的性质化简运算即可； （4）利用二次根式的性质化简运算即可； （5）利用二次根式的性质化简运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 题型01 判断二次根式 【典例1】．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件， 根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负．逐项判定即可． 【详解】解：选项A：，被开方数为（负数），不符合条件②，排除． 选项B：，根指数为2（默认省略），被开方数，满足两个条件，是二次根式． 选项C：，根指数为3，属于三次根式，不符合条件①，排除． 选项D：，，（负数），不符合条件②，排除． 综上，正确答案为B． 故选：B． 【变式1】．下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、当时，它不是二次根式，故本选项不符合题意， B、一定是二次根式，故此选项符合题意； C、当时，该式子不是二次根式，故本选项不符合题意； D、，该式子无意义，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的被开方数为非负数，逐一分析即可． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意； B、因，则是二次根式，故本选项不符合题意； C、，由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，故本选项符合题意； D、由于被开方数是正数，是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 题型02 二次根式有意义的条件 【典例1】．若二次根式有意义，则x的值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于等于零时解题关键．根据二次根式的被开方数大于等于零得到不等式，求解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 故选：C． 【变式1】．使二次根式有意义的实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0． 根据二次根式有意义的条件，列出关于x的不等式，解不等式即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得， 故答案为：． 【变式2】．如果式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围． 【详解】解：根据题意，得， 解得，； 故答案为：． 【变式3】．使代数式有意义的x的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．一切实数 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义分母不等于0，二次根式有意义被开方数为非负数，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得，且， 解得：且， 故选：C． 题型03 二次根式的性质1 【典例1】．计算的结果是（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1】．计算：()2 = ． 【答案】2021 【分析】根据二次根式的性质即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：2021． 【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 【变式2】．计算的结果为 ． 【答案】18 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握是正确解答的关键．根据即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：18 【变式3】．计算: ． 【答案】2025 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：2025． 题型04 二次根式的性质2 【典例1】．化简： ＝ ． 【答案】2024 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟记“”是解题关键．直接利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 故答案为：2024． 【变式1】．计算： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式的化简，原式直接根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 【变式2】．计算（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式和平方的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次根式和平方的运算，即可选出正确结果． 【详解】解：∵， 故选：D 【变式3】．下列各式化简错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、，A选项运算正确，不符合题意； B、，B选项运算正确，不符合题意； C、，C选项运算正确，不符合题意； D、，D选项运算错误，符合题意； 故选：D． 【变式4】．若二次根式的值为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据题意列出，进而可得，求平方根，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 题型05 二次根式性质2的应用 【典例1】．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：； 故答案为： 【变式1】．化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，根据化简即可． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 【变式2】．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简，先比较出，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 注意中a在题目中所扮演的“角色”；整体思想。 题型06 根据参数范围化简二次根式 【典例1】．当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的运算法则可得：，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】．已知，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2】．当时，代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，绝对值的性质，正确化简是解题关键．根据a的取值范围，可求出和的取值范围，再结合二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：1． 【变式3】．若，则化简的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值、整式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再化简二次根式和绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：4． 题型07 根据数轴上参数的位置化简二次根式 【典例1】．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据实数在数轴上的位置，确定和0的大小关系，本题在化简求值过程中应用了绝对值的性质．先根据实数在数轴上的位置，确定和0的大小关系，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由实数在数轴上的位置可知， ， 故选：B． 【变式1】．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，由数轴可得，即得，再根据绝对值的性质化简即可求解，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型08 根据化简二次根式的结果求参数范围 【典例1】．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质：，得到关于的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 解得 故选：C． 【变式1】．已知，那么a应满足什么条件 （　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a ＝0 D．a任何实数 【答案】B 【分析】分别求出与的被开方数中a的取值范围即可得到答案. 【详解】∵的被开方数a的取值范围是，的被开方数中a的取值范围是任意实数， 故a应满足的条件是， 故选：B. 【点睛】此题考查二次根式的性质：双重非负性，二次根式的被开方数满足大于等于零的条件. 【变式2】．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和解一元一次不等式，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 直接根据二次根式的非负性列关于a的不等式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 故选B． 【变式3】．（1）若，则a的取值范围是 ； （2）若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． （1）直接利用二次根式的性质化简得出答案； （2）直接利用二次根式的性质化简得出答案； 【详解】（1）， ， 解得：； 故答案为： （2）， ； 解得：； 故答案为： 题型09 二次根式的值（含最值问题） 【典例1】．当 时，的值为3． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 先平方得，再求出解即可． 【详解】解：因为， 平方，得， 解得． 故答案为：4． 【变式1】．若为整数，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】6（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得， 则可取． 故答案为：6（答案不唯一）． 【变式2】．已知是正整数，是整数，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：， ∵是正整数，是整数， ∴是完全平方数， ∴n的最小值是7. 故答案是：7． 题型10 二次根式的非负性 【典例1】．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，和代数式求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 先根据算术平方根的被开方数非负性确定a，再代入求出b，最后将a、b值代入并化简得出结果． 【详解】∵在和中，被开方数须是非负数， ∴且． ∴． 把代入中， ， 将，代入，可得 ． 故答案为：．. 【变式1】．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式化简；由非负数的性质可求得a与b的值，再代入二次根式中化简即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：． 【变式2】．已知． （1）求代数式的值 ． （2）求代数式﹣的值 ． 【答案】 4 1 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式被开方数具备的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的被开方数成立的条件求得x，y的值，再将x，y的值代入运算即可； （2）将x，y的值代入运算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）原式 ， 故答案为：1． 题型11 二次根式性质的综合应用 【典例1】．已知、、是的三边长，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形的三边关系对式子化简即可． 【详解】解：由三角形的三边关系知：，， ∴ ． 故答案为： ． 【变式1】．（1）先计算： ； ； ； ； ．根据计算结果后面问题． （2）一定等于a吗？如果不是，那么 ． （3）利用你总结的规律完成下列问题： ①若，则 ； ② ． （4）若a，b，c为三角形的三边长，化简：． 【答案】（1）3，0.5，6，，0；（2）不一定等于a ，；（3）①；②；（4） 【分析】本题考查了二次根式的性质，三角形的三边关系． （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）根据二次根式的性质化简即可； （4）根据三角形三边关系求得，，，再利用二次根式的性质化简，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）；；；；； （2）不一定等于a，那么； （3）①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴； （4）∵a，b，c为三角形的三边长， ∴，，， ∴ ． 【变式2】．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 一、单选题 1．下列代数式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 【详解】解：A、，是二次根式，故此选项错误； B、，是二次根式，故此选项错误； C、是二次根式，故此选项错误； D、当时，，不是二次根式，故此选项正确． 故选：D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，根据二次根式的性质逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3．若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：代数式有意义， ，． 解得∶且． 故选：D． 4．如果是任意实数，下列各式中一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零进行分析即可． 【详解】A．当时，无意义，故此选项错误； B．当时，无意义，故此选项错误； C．是任意实数，都有意义，故此选项正确； D．当时，无意义，故此选项错误． 故选：C． 5．如果，那么a是（    ）． A．非负数 B．0 C．正实数 D．负实数 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为正实数，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式性质． 6．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是二次根式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式性质． 根据二次根式性质即可得解． 【详解】解：， ． 故选：． 7．要使，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识及计算是关键． 根据二次根式有意义的条件得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：B ． 8．已知，那么的值是（　　） A． B． C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件的运用，掌握二次根式被开方数为非负数是关键． 根据二次根式的性质得到的值，代入计算即可． 【详解】解：已知， ∴， ∴，则， ∴， 故选：C ． 9．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，以及二次根式化简，解题的关键在于确定实数的取值范围．根据数轴得到实数的取值范围，进而得到，，再结合二次根式性质进行化简，即可解题． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：B． 10．若，则化简的结果是（    ） A．-4 B．4 C．-6 D．6 【答案】B 【分析】本题考查求不等式的解集，化简二次根式．先求出不等式的解集，进而确定式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选B． 二、填空题 11．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 12．当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13．代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且； ∴且； 故答案为：且． 14．化简：＝ ． 【答案】2π﹣6/6﹣2π 【分析】先写成绝对值的形式，再判断6-2π的大小，根据绝对值的性质求出结果． 【详解】解： ＝|6-2π| ＝2π-6； 故答案为：2π-6． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解决此题的关键． 15．化简 ． 【答案】-2x 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：-2x． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，要牢牢掌握，化简时注意符号． 16．如果有：，则= ． 【答案】1 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性即可求解． 【详解】解：由题意可知：，且， 而它们相加为0，故只能是且， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根的概念及绝对值的概念是解决本题的关键． 17．若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 18．已知x，y为实数，，则 ． 【答案】或 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得：且 ∴ 解得 此时 当时， 当时， 故答案为：或 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，有理数的加减运算，平方根等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 三、解答题 19．下列式子哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ ． 【答案】是二次根式；不是二次根式 【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐个判断即可得． 【详解】解：都是二次根式， 因为， 所以是二次根式， 是三次根式，不是二次根式， 的被开方数为，不是二次根式， 综上，是二次根式；不是二次根式． 【点睛】本题考查了二次根式，熟记定义是解题关键． 20．求使下列各式有意义的x的取值范围： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)x可以取一切实数 (3) (4) (5) (6)且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，要注意分母不为零． （1）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （3）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （4）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式组即可； （5）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式组即可； （6）根据二次根式有意义的条件可得不等式且，再解不等式即可． 【详解】（1）由题意得：， 解得：； 故的取值范围为； （2）由题意得： x可以取一切实数 故的取值范围为一切实数； （3）由题意得：， 解得：； 故的取值范围为； （4）由题意得：， 解得：； 故的取值范围为； （5）由题意得：， 解得：； 故的取值范围为； （6）由题意得：， 解得：且； 故的取值范围为且． 21．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键， （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据二次根式的性质即可求解； （3）根据二次根式的性质即可求解； （4）根据二次根式的性质即可求解； 【详解】（1）解： ; （2）解：； （3）解：； （4）解：； 22．已知a、b两数在数轴上的对应位置如图所示，化简． 【答案】b 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，还涉及数轴，化简绝对值，整式的加减运算，判断出的符号和掌握是解题的关键． 先由数轴可得，则，再根据二次根式的性质化简得到，再化简绝对值，进行加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得：，则 ∴ ． 23．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)（或） (3)；2030 【分析】此题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行判断即可； （2）根据二次根式的性质进行回答即可； （3）由m的值可知，根据二次根式的性质得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解：根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的； 故答案为：小亮 （2）小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质：（或）， 故答案为：（或） （3）原式， ， ， 原式            ． 24．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的周长__________（请直接写出答案）． (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则． 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1) (2)（）， 【分析】（1）利用分别计算三条边的长度，然后求和即可获得答案； （2）依据二次根式有意义的条件可得的取值范围，进而化简得到的周长；由于为整数，且要使取得最大值，所以的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积． 【详解】（1）解：当时，，，， ∴． 故答案为：； （2）根据题意，可得，解得， ∴ ∴ ； ∵为整数，且有最大值， ∴或3或2或1或0或， 当时，三角形三边长分别为，，， ∵， ∴此时不满足三角形三边关系，故， 当时，三角形三边长分别为，，， 满足三角形三边关系， 可设，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三角形三边关系求解． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$