专题20.3 二次根式的运算（第1课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题20.3 二次根式的运算（第1课时） 教学目标 1. 由二次根式的性质3到二次根式的乘法法则，学会二次根式的乘法运算； 2. 由二次根式的性质4到二次根式的除法法则，学会二次根式的除法运算； 3. 学会二次根式的乘除混合运算。 教学重难点 1.重点 （1）了解二次根式的乘法、除法法则及其成立的条件； （2）二次根式的乘法、除法及其混合运算；并会化简二次根式运的算结果。 （3）掌握二次根式乘除的应用。 2.难点 （1）二次根式的性质，乘法公式、完全平方公式等在二次根式乘除中的应用； （2）学会二次根式化简、变形、运算同时进行； （3）化、分、拆、解等数学思想。 知识点1 由二次根式的性质3到二次根式的乘法法则 1.复习 二次根式的性质3： =· (a≥0,b≥0). 2.二次根式的乘法法则：.= (a≥0,b≥0), 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点： (1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数； (2) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 　 （a1≥0，a2≥0，a3≥0,.......an≥0）; (3)在二次根式的乘法运算中，一般要把结果化成最简二次根式. 【即学即练】 1．计算： (1)． (2) (3)． (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．式子成立的条件是（   ） A． B． C．或 D． 知识点2 由二次根式的性质4到二次根式的除法法则 1.复习 二次根式的性质4： (a≥0,b>0). 2.二次根式的除法法则： (a≥0,b>0), 即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化成最简二次根式，最后结果中分母不能带根号. 【即学即练】 1．化去下列各式分母中的根号： (1) (2) (3) 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算的结果是 ． 4．计算： ． 5．设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，若，则 ． 知识点3 二次根式的乘除混合运算 二次根式的乘除混合运算 ①进行二次根式的乘除混合运算时，有括号的先算括号内的，没有括号的按照从左到右的顺序进行； ②两个二次根式相乘除，根号前的系数对应相乘除，根号内的被开方数对应相乘除． 要点： （1）带分数要化成假分数； （2）要注意确定最后结果的符号； （3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式； （4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用． 【即学即练】 1．计算的结果为 ． 2．计算：的值为（　　） A．1 B．3 C． D．9 3．计算： (1)； (2)． 4．如果，，那么下面各式： ①，②，③其中正确的是 （填序号） 5．若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 题型01 二次根式的乘法—数字型 【典例1】．计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【变式1】．计算： (1)； (2)； 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型02 二次根式的乘法—字母型 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 题型03 二次根式的乘法—乘法法则成立的条件 【典例1】．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【变式1】．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 题型04 二次根式的除法—数字型 【典例1】．直接写出计算结果： （1）    （2） （3） 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型05 二次根式的除法—字母型 【典例1】．计算: (1)÷; (2)-÷; (3)÷; (4)(a>0). 【变式1】．计算：= ． 【变式2】．计算： ． 【变式3】．计算： (1)÷ (2)÷ (3) (4)． 题型06 二次根式的除法—除法法则成立的条件 【典例1】．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．式子成立的条件是 ． 【变式2】．王聪学习了二次根式的除法公式后，他认为该公式逆过来也应该成立，于是这样化简了下面这道题：.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正． 题型07 二次根式乘法、除法的实际应用 【典例1】．长方形的宽是，面积为，则长方形的长为 【变式1】．已知长方形的两邻边的长分别是、，求这个长方形的面积． 【变式2】．已知三角形的面积为，一条边长为，求这条边上的高． 题型08 根据二次根式乘法、除法表示参数关系 【典例1】．已知，，则a与b的关系是 . 【变式1】．设＝a， ＝b，请用含有a，b的式子表示＝ ． 【变式2】．如果，则用含a,b的代数式表示为 . 题型09 二次根式乘法、除法的代数应用 【典例1】．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2】．如果是一个整数，那么可取的最小正整数为 ． 【变式3】．如方格，各行、各列及两条对角线上的三个数字之积均相等，则（   ） 2 6 3 A．6 B．2 C．2 D．3 题型10 二次根式的乘除混合运算——数字型 【典例1】．计算结果是 ． 【变式1】．计算：． 【变式2】． 【变式3】．计算： ． 题型11 二次根式的乘除混合运算——字母型 【典例1】．计算：． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型12 二次根式的乘除运算、变形综合辨析 【典例1】．如果，，那么下面各式： ①，②，③其中正确的是 （填序号） 【变式1】．如果，那么下列各式，①；②；③，④，正确的有 ． 题型13 与二次根式乘除运算有关的化简问题 【典例1】． 【变式1】．化简： (1) (2) 【变式2】．化简： (1)； (2)． 一、单选题 1．计算：（     ） A． B． C． D． 2．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．计算：的结果是（     ） A． B． C．40 D．7 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．小明的作业本上有以下四题: ①;②;③；④. 其中做错的题是(     ) A．① B．② C．③ D．④ 7．若，则化简（     ） A．m B．-m C．n D．-n 8．已知，，则用表示为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．化简的结果是 ． 10． ． 11．计算： ． 12．当时，化简 ． 13．化简： ． 14．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ． 1 b 3 a 2 6 c 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： 19．化简： （1）             （2） （3）；           （4）； （5）． 20． 21．【阅读·领会】 材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，是把几个同类二次根式前的系数相加，作为结果的系数，即利用这个式子可以化简一些含根式的代数式． 材料二：二次根式可以进行乘法运算，公式是 我们可以利用以下方法证明这个公式：一般地，当时， 根据积的乘方运算法则，可得， ∵，∴．于是、都是ab的算术平方根， ∴利用这个式子，可以进行一些二次根式的乘法运算． 将其反过来，得它可以用来化简一些二次根式． 材料三：一般地，化简二次根式就是使二次根式： （I）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （II）被开方数中不含分母； （III）分母中不含有根号．这样化简完后的二次根式叫做最简二次根式． 【积累·运用】 （1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式那样，试推导二次根式的除法公式． （2）化简：______． （3）当时，化简并求当时它的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20.3 二次根式的运算（第1课时） 教学目标 1. 由二次根式的性质3到二次根式的乘法法则，学会二次根式的乘法运算； 2. 由二次根式的性质4到二次根式的除法法则，学会二次根式的除法运算； 3. 学会二次根式的乘除混合运算。 教学重难点 1.重点 （1）了解二次根式的乘法、除法法则及其成立的条件； （2）二次根式的乘法、除法及其混合运算；并会化简二次根式运的算结果。 （3）掌握二次根式乘除的应用。 2.难点 （1）二次根式的性质，乘法公式、完全平方公式等在二次根式乘除中的应用； （2）学会二次根式化简、变形、运算同时进行； （3）化、分、拆、解等数学思想。 知识点1 由二次根式的性质3到二次根式的乘法法则 1.复习 二次根式的性质3： =· (a≥0,b≥0). 2.二次根式的乘法法则：.= (a≥0,b≥0), 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点： (1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数； (2) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 　 （a1≥0，a2≥0，a3≥0,.......an≥0）; (3)在二次根式的乘法运算中，一般要把结果化成最简二次根式. 【即学即练】 1．计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1)6 (2)10 (3)1 (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，二次根式的乘法． （1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 3．式子成立的条件是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法成立的条件：被开方数非负；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：； 故选：B． 知识点2 由二次根式的性质4到二次根式的除法法则 1.复习 二次根式的性质4： (a≥0,b>0). 2.二次根式的除法法则： (a≥0,b>0), 即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化成最简二次根式，最后结果中分母不能带根号. 【即学即练】 1．化去下列各式分母中的根号： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键： （1）利用除法公式和二次根式的性质，进行化简即可； （2）利用除法公式和二次根式的性质，进行化简即可； （3）利用除法公式和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3； (2)； (3)3； (4) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算； （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 3．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的除法，解题的关键是熟练的掌握二次根式除法法则．直接进行二次根式的除法运算即可，然后再化简． 【详解】 ． 故答案为：． 5．设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积公式可得． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 知识点3 二次根式的乘除混合运算 二次根式的乘除混合运算 ①进行二次根式的乘除混合运算时，有括号的先算括号内的，没有括号的按照从左到右的顺序进行； ②两个二次根式相乘除，根号前的系数对应相乘除，根号内的被开方数对应相乘除． 要点： （1）带分数要化成假分数； （2）要注意确定最后结果的符号； （3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式； （4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用． 【即学即练】 1．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．计算：的值为（　　） A．1 B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】从左往右，依次计算即可得． 【详解】解：原式= = = =1， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，解题的关键是掌握二次根式运算的运算法则和运算顺序． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 4．如果，，那么下面各式： ①，②，③其中正确的是 （填序号） 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是：能熟练的运用二次根式乘除法的运算法则，并知道根号下必须非负．由，，可得出，，从而排除了①，再根据二次根式乘除法运算法则可得知②③正确． 【详解】解：，， ，． ①根号下必须非负，错误； ②，正确； ③，正确． 故答案为②③． 5．若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 题型01 二次根式的乘法—数字型 【典例1】．计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1)6 (2)10 (3)1 (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：． 【变式1】．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式乘法运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘法法则进行计算． （2）依据二次根式乘法法则，先计算系数的乘积，再计算根式的乘积． （3）按照从左到右的顺序，连续运用二次根式乘法法则进行运算． （4）先将带分数化为假分数，再根据二次根式乘法法则计算． （5）先计算系数的乘积，再计算根式的乘积，最后化简． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 题型02 二次根式的乘法—字母型 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，二次根式的乘法． （1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握乘法运算法则并正确计算是解题的关键； （1）直接利用二次根式乘法法则计算即可； （2）把根号外的系数相乘，二次根式的被开方数相乘，再化简即可； （3）直接利用二次根式乘法法则计算即可； （4）直接利用二次根式乘法法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）利用二次根式的乘法法则运算． （2）利用二次根式的乘法法则运算． （3）利用二次根式的乘法法则运算． （4）利用二次根式的乘法法则运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型03 二次根式的乘法—乘法法则成立的条件 【典例1】．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【变式1】．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式乘法计算，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型04 二次根式的除法—数字型 【典例1】．直接写出计算结果： （1）    （2） （3） 【答案】 3 2 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的除法法则计算即可； （2）根据二次根式的除法法则计算即可； （3）根据二次根式的除法法则计算即可； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是关键. （1）根据二次根式的除法法则计算即可， （2）根据二次根式的除法法则计算即可， （3）根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 【变式2】．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 题型05 二次根式的除法—字母型 【典例1】．计算: (1)÷; (2)-÷; (3)÷; (4)(a>0). 【答案】(1)；(2) ；(3) ；(4). 【详解】试题分析： (1)被开方数与被开方数相除，结果化为最简二次根式； (2)根号外和根号内的部分分别相除，再把所得的结果相乘； (3)被开方数与被开方数相除，结果化为最简二次根式，注意符号运算； (4)逆用二次根式的除法法则. 试题解析： (1)； (2) ； (3) ； (4). 【变式1】．计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法和性质，先判断a，b的正负性，再运用二次根式的除法法则和性质运算即可． 【详解】解：依题意得：，， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【变式2】．计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 【变式3】．计算： (1)÷ (2)÷ (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）利用二次根式的性质化简即可； （4）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3） ； （4） ． 【点睛】题目主要考查二次根式乘除法运算及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 题型06 二次根式的除法—除法法则成立的条件 【典例1】．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式有意义的条件和分母不为求解即可，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得： ，， 解得：， 故选：C． 【变式1】．式子成立的条件是 ． 【答案】/ 【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 【详解】要使有意义，则 ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键． 【变式2】．王聪学习了二次根式的除法公式后，他认为该公式逆过来也应该成立，于是这样化简了下面这道题：.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正． 【答案】不对. 【详解】试题分析：要注意二次根式中的被开方数是非负数，否则无意义． 试题解析：因为 = ，有意义，而中的二次根式无意义，因此该种化简过程不对. 题型07 二次根式乘法、除法的实际应用 【典例1】．长方形的宽是，面积为，则长方形的长为 【答案】 【分析】根据长方形的面积等于长乘宽，可以得到长方形的长，本题得以解决． 【详解】解：∵长方形的宽为，面积为， ∴长方形的长为：÷=， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解题的关键是明确长方形的面积公式和会二次根式的除法． 【变式1】．已知长方形的两邻边的长分别是、，求这个长方形的面积． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：根据题意得， 长方形的面积． 【变式2】．已知三角形的面积为，一条边长为，求这条边上的高． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，根据三角形的面积公式，列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 答：这条边上的高为． 题型08 根据二次根式乘法、除法表示参数关系 【典例1】．已知，，则a与b的关系是 . 【答案】 (或a，b互为倒数） 【分析】根据已知条件计算可得，由此即可解答. 【详解】∵，， ∴ab==1， ∴a，b互为倒数. 故答案为 (或a，b互为倒数） 【点睛】本题考查了二次根式的乘法及倒数的概念，计算出是解决问题的关键. 【变式1】．设＝a， ＝b，请用含有a，b的式子表示＝ ． 【答案】3ab 【分析】将 【详解】=3=3=3ab. 【点睛】此题主要考查二次根式的计算. 【变式2】．如果，则用含a,b的代数式表示为 . 【答案】10ab 【详解】试题解析：. 因为,所以. 故答案为 题型09 二次根式乘法、除法的代数应用 【典例1】．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过等式变形，将的系数化为，再对根式进行化简计算．本题主要考查二次根式的运算及一元一次方程的求解，熟练掌握二次根式的化简与运算，通过系数化为求解方程是解题的关键． 【详解】解：由，两边同时除以， 得 ， ∴ , 故选：B． 【变式1】．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，无理数的估算等知识，先根据二次根式的除法运算得出，再估算出，进而可得出，即可解题． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】．如果是一个整数，那么可取的最小正整数为 ． 【答案】6 【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式乘法运算法则求出答案． 【详解】解：∵是一个整数， ∴， ∴是一个整数， ∴x可取的最小正整数的值为：6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键． 【变式3】．如方格，各行、各列及两条对角线上的三个数字之积均相等，则（   ） 2 6 3 A．6 B．2 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法运算，解题的关键是明确题意，列出相应的等式．根据各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等可得，进一步即可求解． 【详解】解：各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等， ， 解得：， 故选：A． 题型10 二次根式的乘除混合运算——数字型 【典例1】．计算结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式乘除运算法则计算即可． 【详解】解： = = = = =． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式乘除运算，掌握二次根式乘除混合运算法则是解答本题的关键． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，然后将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算．掌握相应的运算法则、运算顺序及性质是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2】． 【答案】1 【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式3】．计算： ． 【答案】12 【分析】根据二次根式的乘除运算计算即可； 【详解】． 故答案是12． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，准确计算是解题的关键． 题型11 二次根式的乘除混合运算——字母型 【典例1】．计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次乘法法则计算即可； （2）根据二次除法法则计算即可； （3）根据二次乘法法则计算即可； （4）根据二次除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 题型12 二次根式的乘除运算、变形综合辨析 【典例1】．如果，，那么下面各式： ①，②，③其中正确的是 （填序号） 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是：能熟练的运用二次根式乘除法的运算法则，并知道根号下必须非负．由，，可得出，，从而排除了①，再根据二次根式乘除法运算法则可得知②③正确． 【详解】解：，， ，． ①根号下必须非负，错误； ②，正确； ③，正确． 故答案为②③． 【变式1】．如果，那么下列各式，①；②；③，④，正确的有 ． 【答案】②③/③② 【分析】根据已知条件，二次根式的性质，二次根式的乘除法进行计算即可求解． 【详解】解：∵，则， ∴①，故①错误； ②，故②正确； ③，故③正确， ④，故④错误， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质是解题的关键． 题型13 与二次根式乘除运算有关的化简问题 【典例1】． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ． 【变式2】．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）把各式子的分子、分母进行因式分解，然后把除法转换为乘法，再进行约分，最后根据二次根式的乘法、二次根式的性质化简计算即可． 【详解】（1）解∶ ； （2）解： ． 【变式3】．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是商的算术平方根的化简，利用二次根式的性质化简，熟记公式是解本题的关键； （1）根据进行化简即可； （2）根据进行化简即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： . 一、单选题 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算 ，直接计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 故选：B 2．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 根据二次根式的乘法法则进行判断即可． 【详解】解：A、，所以A选项的计算错误； B、，所以B选项的计算正确； C、，所以C选项的计算错误； D、，所以D选项的计算错误． 故选：B． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与除法，求一个数的算术平方根，平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则和平方差公式对各选项进行计算，即可判断． 【详解】解：A．，原计算错误，故选项A不符合题意； B．，原计算错误，故选项B不符合题意； C．，原计算错误，故选项C不符合题意； D．，计算正确，故选项D符合题意； 故选：D． 4．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的除法，直接运用二次根式的除法法则和性质进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 6．小明的作业本上有以下四题: ①;②;③；④. 其中做错的题是(    ) A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质进而化简求出即可． 【详解】①=4a2，正确； ②=5a，正确； ③a==，正确； ④==2，故此选项错误． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键． 7．若，则化简（    ） A．m B．-m C．n D．-n 【答案】B 【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：由已知条件可得： m<0，n<0， ∴原式= = = =|m| =-m， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．　 8．已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 二、填空题 9．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握化简方法是解题的关键．分子、分母都乘以，即可去掉分母中的根号，从而得出最后结果． 【详解】解：， 故答案为：． 10． ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题的关键． 先将除法转化为乘法，然后进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】2a 【分析】根据二次根式的除法法则计算，再将计算结果化为最简二次根式即可解题． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的除法、最简二次根式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12．当时，化简 ． 【答案】 【分析】先根据二次根式的定义和除法的性质可得，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得． 【详解】由二次根式的定义得：， ， ， 又除法运算的除数不能为0， ， ， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 13．化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可． 【详解】解： ． 故答案： 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 14．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ． 1 b 3 a 2 6 c 【答案】18 【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方，然后求解即可． 【详解】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等， ∴， 解得，， 故答案为：18． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2) (3)10 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （2）先根据二次根式的乘法法则计算， 再根据二次根式的性质化简即可． （3）先根据二次根式的乘法法则计算， 再根据二次根式的性质化简即可． （4）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)20 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （3）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． （4）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 18．计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除混合运算法则是解题关键． 19．化简： （1）             （2） （3）；           （4）； （5）． 【答案】（1），（2），（3）；（4）；（5）． 【分析】根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可． 【详解】（1） （2） （3）；            （4） ； （5） ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键． 20． 【答案】 【分析】先利用平方差公式把分子因式分解，然后约分后合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 21．【阅读·领会】 材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，是把几个同类二次根式前的系数相加，作为结果的系数，即利用这个式子可以化简一些含根式的代数式． 材料二：二次根式可以进行乘法运算，公式是 我们可以利用以下方法证明这个公式：一般地，当时， 根据积的乘方运算法则，可得， ∵，∴．于是、都是ab的算术平方根， ∴利用这个式子，可以进行一些二次根式的乘法运算． 将其反过来，得它可以用来化简一些二次根式． 材料三：一般地，化简二次根式就是使二次根式： （I）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （II）被开方数中不含分母； （III）分母中不含有根号．这样化简完后的二次根式叫做最简二次根式． 【积累·运用】 （1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式那样，试推导二次根式的除法公式． （2）化简：______． （3）当时，化简并求当时它的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【分析】（1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式的方法，推导二次根式的除法公式 （2）根据二次根式乘法公式进行计算即可 （3）先根据二次根式除法公式进行化简，再把a和b的值代入即可 【详解】解：（1）二次根式的除法公式是 证明如下：一般地，当时， 根据商的乘方运算法则，可得     ∵，∴．于是、都是的算术平方根， ∴利用这个式子，可以进行一些二次根式的除法运算． 将其反过来，得它可以用来化简一些二次根式． （2） 故答案为： （3）当时， 当时，原式= 【点睛】本题考查二次根式的乘法和除法法则，，解题的关键是熟练运用公式以及二次根式的性质，本题属于中等题型． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$