6.1.1条件概率的概念 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

6.1.1 条件概率的概念 3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学不放回地抽取，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学的小？ 事件 ：“抽到未中奖奖券2” 事件 ：“抽到中奖奖券” 事件：“抽到未中奖奖券1” 样本空间 若第一个同学抽到 ，此时有二种情况记作 同理若第一个同学抽到若第一个同学抽到 3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学不放回地抽取，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学的小？ 事件 ：“抽到未中奖奖券2” 事件 ：“抽到中奖奖券” 事件：“抽到未中奖奖券1” 样本空间 事件：“最后一名同学抽到中奖奖券”， 则. ：事件包含的样本点个数； ：样本空间包含的样本点个数. 对于抽签，虽然抽签有先后，但是抽签是公平的，每个人被抽到的概率都相等. 3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学不放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少呢？ 事件的发生与否，会影响事件发生的概率. 事件：“第一名同学未抽到中奖奖券” 事件：“最后一名同学抽到中奖奖券” } 样本点的个数由原来的个减少为个.由古典概型计算概率的公式可知， 已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 样本空间 知道第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 分析：因为已经知道事件发生，所以只需局限在事件发生的范围内考虑问题，即样本空间由缩小为.此外，在事件发生的情况下事件发生，等价于事件和事件同时发生，即原来的事件缩小为.因此相应的概率会发生变化. 由于样本空间由缩小为，同时原来的事件缩小为，因此在事件发生的情况下事件发生的概率为 设是两个事件，且，则称 为在事件发生的条件下事件发生的条件概率. 读作发生的条件下发生的概率，显然，. 从集合的角度看，若事件已发生，则为使也发生，试验结果必须是既在中又在中的样本点，即此点必属于. 由于已知已经发生，故成为计算条件概率新的样本空间. (2)成立。 探究5提示;《1》区别:表示事件A已发生的条件下事件的概率,事件发生的条件概率， P(AB)表示事件AB同时发生的概率. 联系: 1．概率P（B|A）与 P(AB)有什么区别和联系? 2、若B和C是两个互斥事件,则 P[(BUC)|A]=P（B|A)＋P(C|A)是否成立? 甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求： (1)乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率； (2)甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率. 解：设＝{甲市是雨天}，＝{乙市是雨天}， 一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率． 解：方法一(定义法)　设＝第只是好的．由题意知要求出． 因为， 所以 方法二(直接法)　因事件已发生(已知)，故我们只研究事件发生便可，在发生的条件下，盒中仅剩只晶体管，其中只好的，所以(|) 在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 解：方法一(定义法)　设“摸出第一个球为红球”为事件，“摸出第二个球为黄球”为事件，“摸出第二个球为黑球”为事件. 则 所以， 所以所以所求的条件概率为. 方法二(直接法)　因为 所以.所以所求的条件概率为. 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解：设第次抽到舞蹈节目为事件，第次抽到舞蹈节目为事件，则第次和第次都抽到舞蹈节目为事件. 从个节目中不放回地依次抽取个的事件数为. 根据分步乘法计数原理，于是 因为，所以. 方法一　由可得，在第次抽到舞蹈节目的条件下，第次抽到舞蹈节目的概率为. 方法二　因为 所以. 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率． 解：设事件为“其中一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”， 事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”， 则，且与互斥， 又， 故 条件概率的概念 一般地，设为两个事件，且＞0，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率． ；几何解释： ； 概率与的区别与联系 表示在样本空间中，计算发生的概率，而表示在缩小的样本空间中计算发生的概率．用古典概率公式，则，，一般来说比大． 课堂小结 作业：教材187页练习题全做． 例1 在5道题中有3道选择题和2道填空题.如果不放回地依次抽取道题,求:(1）第一次抽到选择题的概率; (2）第一次和第二次都抽到选择题的概率; (3）在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到选择题的概率. 解﹐设事件A表示“第一次抽到选择题”,事件B表示“第二次抽到选择题”,则事件AB表示“第一次和第二次都抽到选择题”". (1)在从5道题中不放回地依次抽取2道题的试验中,样本空间包含的样本点个数为==20. 由分步乘法计数原理,得n(A)= 于是P（A)=== 故第一次抽到选择题的概率为. (2）因为n（AB) ==6，所以P（AB）== 故第一次和第二次都抽到选择题的概率为 (3)方法1由(1)(2)可知P（A)=,P（AB）= 所以P(B|A)==. 故在第一次拙到选择题的条件下,第二次抽到选择题的概率为 方法2:由(1)(2)可知n(AB)= 6，n(A)=12,所以 P(B|A)=. 故在第—次抽到选择题的条件下,第二次抽到选择题的概率为. 计算条件概率有以下2种方法: (1)在样本空间中,先求概率P(AB)和 P(A),再按定义计算P(B|A)﹔ (2）随机事件A的样本点构成了一个小样本空间A,在样本空间A中求事件B的概率,就得到P(B|A). 例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字.求: (1）任意按最后一位数字,不超过两次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过两次就按对的概率. 解 设事件Ai ( i= 1,2)表示“第i次按对密码”,事件A表示“不超过两次就按对密码”,则A=A1UA1A2. (1)依题意知事件A1与事件A1A2互斥,由概率的加法公式得 P(A)=P(A1)＋P(A1A2)== 故任意按最后一位数字,不超过两次就按对的概率为 (2）设事件B表示“密码的最后一位数字按偶数”,则 P(A|B)=P(A1|B)+P(A1A2|B)=+= 故如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过两次就按对的概率是. $