专题01 一元一次方程 压轴题（高效培优专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题01 一元一次方程 压轴题 题型一：一元一次方程的特殊解法 题型二：含参数的一元一次方程解法 题型三：含绝对值的一元一次方程解法 题型四：一元一次方程在数轴的应用 题型五：化简绝对值 题型六：新定义题 题型七：一元一次方程的实际应用 题型八：幻方问题 题型一：一元一次方程的特殊解法 1．的解为（   ） A． B． C． D． 2．解方程： 题型二：含参数的一元一次方程解法 3．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 4．已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 5．已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 6．(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 7．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 题型三：含绝对值的一元一次方程解法 8．满足方程的整数x有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．已知关于x的方程有三个解，则 . 10．已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 题型四：一元一次方程在数轴的应用 11．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 12．如图，数轴上两点所对应的数分别是和，且．    (1)则________，________，两点之间的距离________； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点在某次运动时恰好到达某一个位置，使点到点的距离是点到点的距离的2倍？请求出此时点的位置，并直接写出是第几次运动． 13．点分别对应数轴上的数，且满足，点是线段上一点，． （1）直接写出 ， ，点对应的数为 ； （2）点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒． ①在运动过程中，的值是否发生变化？若不变求出其值，若变化，写出变化范围； ②若，求的值； ③若动点同时从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点相遇后，立即以同样的速度返回，为何值时，恰好是的中点． 14．综合与实践： 如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点同时开始运动，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问：    (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是______；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是______； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，是否在线段上存在两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等？（若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由） 题型五：化简绝对值 15．阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： (1)零点值是_________和_________； (2)化简代数式； (3)解方程； (4)的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 16．在数轴上，表示数m与n的点之间的距离可以表示为．例如：在数轴上，表示数－3与2的点之间的距离是，表示数－4与－1的点之间的距离是． 利用上述结论解决如下问题： (1)若，则x＝ ；若，则x＝ ； (2)点A、B为数轴上的两个动点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且（），点C表示的数为－3，若A、B、C三点中的某一个点是另两个点组成的线段的中点，求a、b的值． (3)求的最小值以及此时x的值； (4)已知，求的最大值和最小值． 题型六：新定义题 17．若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 18．阅读理解：对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若和5关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，和关于4的“美好关联数”为1，和关于5的“美好关联数”为1，…，和关于100的“美好关联数”为1，… ①的最小值为 ； ②试求的最小值． 19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 20．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 题型七：一元一次方程的实际应用 21．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 22．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 题型八：幻方问题 23．幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“如圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是（　　） A． B．5 C． D．5或 24．请阅读下列材料，并解答相应的问题： 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的3×3方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)请你将下列九个数：，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，x的值为______； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用e表示为______；进而可得该幻方中9个数的和可用e表示为______；a，h，f之间的数量关系为______； (4)图4的三阶幻方中，y的值为______． 25．请阅读下列材料，并解答相应的问题：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． 4 9 2 6 7 2 6 1 8 3 5 7 1 5 9 7 5 3 8 1 6 8 3 4 2 9 4 图1 图2 图3 图4 2 a b c y 8 10 5 x d e f 2 4 g h i (1)请你将下列九个数：、、、、、0、2、4、6，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，的值为 ； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用表示为 ；进而可得该幻方中9个数的和可用表示为 ；之间的数量关系为 ； (4)图4的三阶幻方中，的值为 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次方程 压轴题 题型一：一元一次方程的特殊解法 题型二：含参数的一元一次方程解法 题型三：含绝对值的一元一次方程解法 题型四：一元一次方程在数轴的应用 题型五：化简绝对值 题型六：新定义题 题型七：一元一次方程的实际应用 题型八：幻方问题 题型一：一元一次方程的特殊解法 1．的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将原方程变形，整理即可求解． 【详解】解： 将方程变形得： 即 ， ． 题型二：含参数的一元一次方程解法 3．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 4．已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义，换元法解方程．理解把关于y的方程中的比作关于x的方程中的x是解题关键．关于y的方程可变形为，结合题意可得出，解出y的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴，即关于y的方程的解为． 故答案为：． 5．已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，得到的解为，类比得到答案． 【详解】∵，得到， ∴的解为， ∵方程的解是， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键． 6．(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程； （1）将方程整理得，再根据该方程无解得，由此解出，然后将代入代数式之中即可得出答案； （2）将方程整理为关于的方程得，再根据无论为何值，方程的解总是得且，将代入即可得出，的值； （3）将方程整理得，根据该方程有无数个解得且，由此解出，即可得的值． 【详解】解：（1）对于方程，移项，得：， 方程无解， ， ， 8； 故答案为：． （2）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 将其整理为关于的方程，得：， 无论为何值，方程的解总是， 且， 将代入得且， ，； 故答案为：；． （3）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 该方程有无数个解， 且， ，， ． 故答案为：． 【点睛】解决问题的关键是理解关于的方程，若，则该方程只有唯一解；若且，则该方程有无数个解；若且，则该方程没有解． 7．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是非负整数解 或，，时，的解都是非负整数 则 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 题型三：含绝对值的一元一次方程解法 8．满足方程的整数x有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分类讨论：，，时，分别解方程求得答案. 【详解】当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去； 当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去； 当时，原方程为： ，得2=2，说明当时关系式恒成立，所以满足条件的整数解x有：0和1. 故选：C. 【点睛】此题考查解一元一次方程，需根据x的范围将绝对值符合去掉，再解出x的值. 9．已知关于x的方程有三个解，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程．根据题意得：，根据绝对值的定义，结合已知条件列出关于a的一元一次方程，求解之后判断答案即可； 【详解】解；根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∵关于x的方程有三个解，则有两个相等， 显然，不成立， 若，得到（舍去）； 若，得到，，（舍去）； 若，得到，，，（符合题意）； 若，得到，，（舍去）； 故答案为：． 10．已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【答案】4 【分析】首先去绝对值符号得到，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：、、、，然后用含的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，或，求出或，再根据绝对值的非负性可得． 【详解】解：， ， 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 或或或， 方程有三个解， 或， 或4， ， ． 故本题答案为：4． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程． 题型四：一元一次方程在数轴的应用 11．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 【答案】D 【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可． 【详解】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t， ∵PB＝2， ∴|2t−5|＝2， ∴2t−5＝−2，或2t−5＝2， 解得t＝或t＝； ②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t， ∵PB＝2， ∴|20−2t−5|＝2， ∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2， 解得t＝或t＝． 综上所述，运动时间t的值为秒或秒或秒或秒． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键． 12．如图，数轴上两点所对应的数分别是和，且．    (1)则________，________，两点之间的距离________； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点在某次运动时恰好到达某一个位置，使点到点的距离是点到点的距离的2倍？请求出此时点的位置，并直接写出是第几次运动． 【答案】(1) (2) (3)点P所对应的有理数分别是和且是P点分别运动到第23次和第8次的位置． 【分析】本题考查绝对值的非负性，数轴上的两点间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法运算，一元一次方程的应用．读懂题意，正确的列出算式和方程，是解题的关键． （1）根据非负性，求出的值，两点间的距离公式求出两点之间的距离即可； （2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，根据题意，列出算式进行计算即可； （3）设点对应的数为x，分点在点A的左侧，点P在点A和点B之间，点P在点B的右侧，三种情况，进行求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴两点之间的距离为； 故答案为：； （2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数， 依题意得： ， 所以点P所对应的数； （3）设点P对应的数为x， ①当点P在点A的左侧时：， 依题意得：， 解得：， ②当点P在点A和点B之间时：， 依题意得：， 解得：， ③当点P在点B的右侧时： 依题意得：， 解得：，这与点P在点B的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点P所对应的有理数分别是和且是P点分别运动到第23次和第8次的位置． 13．点分别对应数轴上的数，且满足，点是线段上一点，． （1）直接写出 ， ，点对应的数为 ； （2）点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒． ①在运动过程中，的值是否发生变化？若不变求出其值，若变化，写出变化范围； ②若，求的值； ③若动点同时从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点相遇后，立即以同样的速度返回，为何值时，恰好是的中点． 【答案】（1）-2，10，2；（2）①不变，2；②或；③或 【分析】（1）根据绝对值及完全平方的非负性，可得出a、b的值，再根据可得出点对应的数； （2）①先根据题意用t表示出点、点对应的数，再根据两点间的距离分别得出PD和AC的长，从而确定的值 ②根据列出关于t的方程，求出t的值即可． ③分和两种情况进行讨论 【详解】（1）解（1）∵， ∴a=-2，b=10， ∴AB=b-a=10-（-2）=12． 设点P 表示的数为x； ∵点是线段上一点，， ∴10-x=2（x+2），∴x=2 ∴点对应的数为2 故答案为：，， （2）①根据题意得: 点C表示的数为: ,点D表示的数为: ,点D表示的数为:2 ∴ ， ∴ ②∵点C表示的数为: ,点D表示的数为: ,点D表示的数为:2 ∴， ∵ ∴ ∴或 ③∵点C表示的数为: ,点D表示的数为: ,点D表示的数为:2 ∴点E表示的数为: ∴或 或 【点睛】本题考查了数轴与绝对值、解一元一次方程，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．． 14．综合与实践： 如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点同时开始运动，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问：    (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是______；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是______； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，是否在线段上存在两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等？（若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由） 【答案】(1)，6； (2)动点从点运动至点需要19秒； (3)两点秒相遇，相遇点所对应的数是； (4)存在，11． 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用与的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是，当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是6； （2）根据路程除以速度等于时间，可得答案； （3）根据相遇时，的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案； （4）根据与的长度相等，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）点从点出发，运动2秒时，点在数轴上表示的数是， 点从点出发，运动10秒时，点在数轴上表示的数是． 故答案为：，6； （2）点运动至点时，所需时间为（秒． 故动点从点运动至点需要19秒； （3）由题可知，、两点相遇在线段上于处，设． 则， 解得， 则． 故、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； （4）存在， 由题意可得：， 解得：， 答：的值为11 题型五：化简绝对值 15．阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： (1)零点值是_________和_________； (2)化简代数式； (3)解方程； (4)的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 【答案】(1)3， (2)当时，；当时，；当时， (3)或 (4)2025， 【分析】（1）令和，再解方程可得答案； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，合并同类项即可； （3） 分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，建立一元一次方程，再解方程即可； （4）先求解零点值，，，，再分五种情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，再化简绝对值，从而可得答案． 【详解】（1）解：令和， 解得：和， 故答案为：，； （2）当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，． （3）当时，， 解得； 当时，， 方程无解； 当时，， 解得； ∴方程的解为或． （4）中的零点值分别为： ，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 显然，当时，原式取得最小值，最小值为2025， 【点睛】本题是材料阅读题，考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解零点值的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 16．在数轴上，表示数m与n的点之间的距离可以表示为．例如：在数轴上，表示数－3与2的点之间的距离是，表示数－4与－1的点之间的距离是． 利用上述结论解决如下问题： (1)若，则x＝ ；若，则x＝ ； (2)点A、B为数轴上的两个动点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且（），点C表示的数为－3，若A、B、C三点中的某一个点是另两个点组成的线段的中点，求a、b的值． (3)求的最小值以及此时x的值； (4)已知，求的最大值和最小值． 【答案】(1)3或－1，5或－ (2)或或 (3)4， (4)最小值为－9，最大值为23 【分析】（1）根据绝对值的性质及题目中的例题进行化简求解即可； （2）根据题意得出，然后分三种情况进行讨论：①当C是A、B的中点时；②当A是B、C的中点时；③当B是A、C的中点时；利用数轴上中点的性质可得方程，求解即可； （3）结合绝对值的意义可得式子表示数轴上一点到3，2，－1的距离，当x在－1与3之间时，的值最小为4，根据式子可得当时，得出数轴上点之间的距离最小值即可； （4）根据（3）中方法可得表示数轴上一点到-1，2的距离，最小值是3，表示数轴上一点到2，-1的距离，最小值是3，表示数轴上一点到3，1的距离，最小值是4，结合题意可得：，，，得出当，，时，代数式取得最小值，当，，时，代数式取得最大值，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∴或； ∵， ∴或， ∴或； 故答案为：3或－1，5或－； （2）解：∵， ∴，， ①当C是A、B的中点时， ∵点C表示的数为－3， ∴，将代入， ∴解得：，， ∴，； ②当A是B、C的中点时， ∵点C表示的数为－3， ∴，将代入， 解得：，， ∴，； ③当B是A、C的中点时， ∵点C表示的数为－3， ∴，将代入， 解得：，， ∴，； 综上所述，，或，或，； （3）解：表示数轴上一点到3，2，－1的距离， 当x在－1与3之间时，的值最小为4， ∴当时，的值最小为4； （4）解：∵表示数轴上一点到-1，2的距离，最小值是3， 表示数轴上一点到2，-1的距离，最小值是3， 表示数轴上一点到3，1的距离，最小值是4， 又∵， ∴，，， ∴，，， ∴当，，时，的值最小为－9； 当，，时，的值最大为23． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简绝对值，绝对值与数轴上点的距离相结合，一元一次方程的解法，求代数式的值，数轴上两点中点的性质等，理解题意，熟练掌握运用绝对值的性质及分类讨论思想是解题关键． 题型六：新定义题 17．若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 【答案】(1)①②，①③ (2)或 (3)的值为或． 【分析】（1）先求出各个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出含有k，m，n的方程，然后根据无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，列出关于m的方程，求出m，再求出n，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ， ， ， ； ③， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴组合满足为“值1方程”的是①②，组合满足“值6方程”的是①③， 故答案为：①②，①③； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴， ∴，，， 解得：或18； （3）解：，，， ， ， ， ， ∵x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， ， ∴或5， 或15，即或15， ∵无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， 解得， ∴或15， 把代入得： ， ， ； 把代入得： ， ， ； 当，时， ； 当，时， ； ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和新定义，解题关键是理解已知条件新定义的含义． 18．阅读理解：对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若和5关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，和关于4的“美好关联数”为1，和关于5的“美好关联数”为1，…，和关于100的“美好关联数”为1，… ①的最小值为 ； ②试求的最小值． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①；② 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解绝对值方程，数字类的规律探索，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． （1）根据新定义列式，再计算即可； （2）根据新定义列方程，再解方程即可； （3）先计算出和到1的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，进而求出和到2的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，由此得到规律的最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴和5关于2的“美好关联数”为6； （2）解：∵和5关于3的“美好关联数”为4， ∴， ∴， 解得或； （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， 当时，则，即， 当时，则，即， ∴； 当时，的最小值为1； 当时，则，即， ∴，， ∴； 当时，的最小值为1； 当时，则，即， ∴的最小值为1； 当或时，都不符合题意，舍去； 综上：有最小值1； ②∵和关于2的“美好关联数”为1， ∴， 当时，则，即， 当时，则，即， ∴， ∴； 当时，则，即， ∴， ∴； 当时，则，即， 当或时，都不符合题意； ∴的最小值为3； 同理：， ， 以此类推，可得的最小值为； ……； ∴的最小值为： ． 19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 20．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键． 题型七：一元一次方程的实际应用 21．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 【答案】(1)20； (2)吨 (3)11月份应交水费16元，12月份应交水费36元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）该户居民8月份用水8吨，应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，计算即得答案；若该户居民9月份应交水费26元，判断应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，设未知数列方程并求解，即得答案； （2）先判断该用户10月份用水量超过10吨，再设未知数列方程并求解，即得答案； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨，分和两种情况，分别列方程并求解验证，即得答案． 【详解】（1）， 所以该用户8月应交水费20元； 设该用户9月用水量为x吨， ，， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户9月用水量为吨； 故答案为：20；． （2）设该用户10月用水量为y吨， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户10月用水量为吨； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨， 当时，， 由题意得， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 由题意得， 解得， ， （元）， （元）， 答：11月份应交水费16元，12月份应交水费36元． 22．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 【答案】(1)10；； (2)小胖的说法对，大胖的说法不对，理由见解析； (3)21，23或29． 【分析】（1）由日历中5个数的位置关系，即可求出a3，同样可用含x的式子表示a4； （2）由5个数之和分别为106和90，解之可得出a值，进而可得结论； （3）找出a的可能值，进而可得出2a+1的值，结合b的值及b = 2a+ 1可确定b值． 【详解】（1）解：由题意得：a3=1+7+2=10，若a＝x，则a4=x+1-7=x-6， 故答案为：10；x-6； （2）解：小胖的说法对，大胖的说法不对， 理由：小胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =106，解得：a=24； 大胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =90，解得：a=20.8 (不符合题意，舍去)； ∴小胖的说法对，大胖的说法不对； （3）解：a的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30， ∴2a+1的值可以为：19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61； ∵b的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且b= 2a+1， ∴b的值可以为：21，23，29， 故答案为：21，23或29． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型八：幻方问题 23．幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“如圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是（　　） A． B．5 C． D．5或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数的四则混合运算，由横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合横、竖两列的数相等及八个数分别为可求出内圆上最左边的数，结合八个空填写不同的八个数，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：根据题意得：,解得：, 又横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，且这个数总和为， 横、竖以及内、外两圈上的个数字之和为， , 在”幻圆”中填上部分数，如图所示： 可以为或， 当时，， 当时，， 的值为或， 故选：． 24．请阅读下列材料，并解答相应的问题： 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的3×3方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)请你将下列九个数：，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，x的值为______； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用e表示为______；进而可得该幻方中9个数的和可用e表示为______；a，h，f之间的数量关系为______； (4)图4的三阶幻方中，y的值为______． 【答案】(1)图见解析 (2)1 (3) (4) 【分析】（1）根据给出的幻方，可知最中央数字为9个数的和的平均数，再利用9个数的和÷3得到每行，每列，每条对角线上的三个数之和，在这组数中先确定两组和为的数，然后再分别推出其他位置的数字，填图即可； （2）根据给出的幻方，可以推出最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，列式求解即可； （3）根据最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，即可用表示幻和，幻和×3即可得到9个数的和；利用幻和为，分别用幻和和表示出和，再利用等于幻和，列式求解即可； （4）根据每行，每列，每条对角线上的三个数的和相等，和最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： 最中央的数字为：， 每一行，每一列，每条对角线上的三个数字和为：， 填表如下： （2）解：由题可知：最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，设第一行的最后一个数字为：， 则：，解得：， 设第一列的中间数字为：， 则：， 解得：； 故答案为：1； （3）解：由题意得：该幻方的幻和可用e表示为：； 该幻方中9个数的和可用e表示为：； ∵ ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：； （4）解：由题意得： 设第一列的最后一个数字为：， 则：， ∴， ∴最中央的数字为：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意推出幻和等于最中央数字的3倍，最中央的数字是每一行，每一列，每一条对角线上其它两个数字的平均数，是解题的关键． 25．请阅读下列材料，并解答相应的问题：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． 4 9 2 6 7 2 6 1 8 3 5 7 1 5 9 7 5 3 8 1 6 8 3 4 2 9 4 图1 图2 图3 图4 2 a b c y 8 10 5 x d e f 2 4 g h i (1)请你将下列九个数：、、、、、0、2、4、6，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，的值为 ； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用表示为 ；进而可得该幻方中9个数的和可用表示为 ；之间的数量关系为 ； (4)图4的三阶幻方中，的值为 ． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)，， (4)21 【分析】（1）根据题意，由幻方规则求解即可得到答案； （2）根据幻方规则列方程求解即可得到答案； （3）根据幻方规则列方程组求解即可得到答案； （4）根据幻方规则列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，三阶幻方如图所示：（答案不唯一） 2 0 6 4 （2）解：设表格第一列中间数为，如下表格： 2 5 4 ，即，解得， 故答案为：1； （3）解：如下表格： a b c d e f g h i 设该幻方的幻和为， ，则 ， ； ； ， ，则， ， ， ； 故答案为：，，； （4）解：如下表格： 8 10 2 根据幻方规则，该幻方幻和为，则第一列第三个数为，第二列中间的数为， 由（3）中可知幻和为中间数的3倍，即，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查幻方，涉及列方程与解方程，读懂题意，明白幻和定义及求法是解决问题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $